El documento describe la transformada de Fourier, una transformación matemática que convierte señales entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia. Explica que la transformada de Fourier es reversible y tiene muchas aplicaciones en física e ingeniería. Luego enumera algunas propiedades básicas de la transformada de Fourier como la linealidad, la traslación en el tiempo y los cambios de escala.

1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Matemática IV
Escuela de Ing. Civil
Transformada de Fourier
Realizado por:
Cesar Ontiveros
V-24338068

2. Transformada de Fourier
denominada así por Joseph Fourier, es una
transformación matemática empleada para
transformar señales entre el dominio del tiempo y
el dominio de la frecuencia, que tiene muchas
aplicaciones en la física y la ingeniería. Es
reversible, siendo capaz de transformarse en
cualquiera de los dominios al otro. El propio
término se refiere tanto a la operación de
transformación como a la función que produce.

3. La palabra ”transformada” indica que estamos
trabajando con una herramienta para transformar un
tipo determinado de problema en otro. De hecho, la
transformada de Fourier será útil (como veremos) para
simplificar el estudio de la solución de cierto tipo de
ecuaciones diferenciales, convirtiendo ´ el problema de
la solución de una ED en un problema de solución de
ecuaciones algebraicas. La motivación para dicho
estudio esta en el hecho de que la transformada de
Fourier posee buenas propiedades ´ algebraicas
cuando se aplica a las derivadas sucesivas de una
señal, o al trasladar la señal, etc. En este ˜ apartado
estudiamos las propiedades mas sencillas de la
transformada de Fourier.
Teoremas básicos sobre la
transformada de Fourier

4. A continuación exponemos una lista de
las propiedades elementales de ´ F(x)(ξ) =
ˆx(ξ) (Algunas de las demostraciones son
muy sencillas y las dejamos como
ejercicio).

5. Linealidad
 La transformada de Fourier es un
operador lineal. Mas precisamente, si ´
x1, x2 ∈ L 1 (R), y a, b ∈ R, entonces
ax1 + bx2(ξ) = axb1(ξ) + bxb2(ξ)

6. Traslacion en el tiempo.
 Dado a ∈ R, se tiene que
F[x(t − a)](ξ) = e −iaξF[x(t)](ξ) y F[e iaξx(t)](ξ) = F[x(t)](ξ − a)
Demostración:
En realidad, esta propiedad es trivial: basta
hacer un cambio de variable, como se observa
a continuación:
F[x(t − a)](ξ) = Z ∞ −∞ e −iξtx(t − a)dt
= Z ∞ −∞ e −iξ(s+a)x(s)ds (donde s = t − a)
= = e − i a ξ F[x(t)]
( ξ).

7. Cambios de escala.
 Si δ > 0 y xδ(t) = δ −1x(t/δ), entonces
F[xδ](ξ) = F[x](δξ) y F[x(δt)](δξ) = F(x)δ(ξ).

8. Derivación
 Si x es continua y derivable a trozos, con
x 0 (t) ∈ L 1 (R), entonces:
F(x 0 )(ξ) = iξF(x)(ξ).
Además, si tx(t) es integrable entonces:
F(tx(t))(ξ) = iF(x) 0 (ξ).

11. Ejemplo