Actividad aplicación de matrices.

1. Instituto Universitario Aeronáutico
Matemática II
Actividad grupal Unidad I
Grupo V
Integrantes:
-Montalvan, Marcos Eduardo
- Chiaramonte, Victoria Paola
Ejemplo con 6 letras:
Tenemos que:
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
Palabra: TIEMPO
Identificación numérica de cada letra: 21 / 9 / 5 / 13 / 17 / 16
Matriz que expresa la palabra:
A = [
21 9 5
13 17 16
]
El emisor y el receptor tienen la clave para encriptar y desencriptar, en este caso la clave
es:
 Multiplicar la matriz del mensaje por la matriz M, para obtener la matriz B:
𝑀 = [
−1 2 3
0 5 1
1 2 4
]
𝐴. 𝑀 = [
21 9 5
13 17 16
] . [
−1 2 3
0 5 1
1 2 4
] = [
−16 97 92
3 143 120
] = 𝐵
Por lo que el mensaje queda encriptado de la siguiente manera:
-16 / 97 / 92 / 3 / 143 / 120

2. Instituto Universitario Aeronáutico
Matemática II
Actividad grupal Unidad I
Multiplicar la matriz B por M-1, para desencriptar el mensaje:
𝑀−1
=
1
31
[
−18 2 12
−1 7 −1
5 −4 4
]
𝐵. 𝑀−1
= [
−16 97 92
3 143 120
] .
1
31
[
−18 2 13
−1 7 −1
5 −4 5
] = [
21 9 5
13 17 16
]
 Observar en el abecedario cuál letra corresponde a cada número
21-T
9-I
5-E
13-M
17-P
16-O
Segundo ejemplo con 6 letras:
Tenemos que:
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
Palabra: MARCOS
Identificación numérica de cada letra: 13 /1 / 19 / 3 / 16 / 20
Matriz que expresa la palabra:
Α = [
13 1 19
3 16 20
]
El emisor y el receptor tienen la clave para encriptar y desencriptar, en este caso la clave
es:
 Multiplicar la matriz del mensaje por la matriz M, para obtener la matriz B:

3. Instituto Universitario Aeronáutico
Matemática II
Actividad grupal Unidad I
𝑀 = [
−1 2 3
0 5 1
1 2 4
]
𝐴. 𝑀 = [
13 1 19
3 16 20
] . [
−1 2 3
0 5 1
1 2 4
] = [
6 69 116
17 126 105
] = 𝐵
Por lo que el mensaje queda encriptado de la siguiente manera:
6 / 69 / 116 / 17 / 126 / 105
 Multiplicar la matriz B por M-1, para desencriptar el mensaje:
𝑀−1
=
1
31
[
−18 2 13
−1 7 −1
5 −4 5
]
𝐵. 𝑀−1
= [
6 69 116
17 126 105
] .
1
31
[
−18 2 13
−1 7 −1
5 −4 5
] = [
13 1 19
3 16 20
]
 Observar en el abecedario cuál letra corresponde a cada número
13-M
1- A
19-R
3- C
16-O
20-S

4. Instituto Universitario Aeronáutico
Matemática II
Actividad grupal Unidad I
Ejemplo con 9 letras:
Tenemos que:
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
2
6
2
7
Palabra: PROVEEDOR
Identificación numérica de cada letra: 17 / 19 / 16 / 23 / 5 / 5 / 4 / 16 / 19
Matriz que expresa la palabra:
𝐴 = [
17 19 16
23 5 5
4 16 19
]
El emisor y el receptor tienen la clave para encriptar y desencriptar, en este caso la clave
es:
 Multiplicar la matriz del mensaje por la matriz M, para obtener la matriz B:
𝑀 = [
−1 2 3
0 5 1
1 2 4
]
𝐴. 𝑀 = [
17 19 16
23 5 5
4 16 19
] . [
−1 2 3
0 5 1
1 2 4
] = [
−1 161 134
−18 81 94
15 126 104
] = 𝐵
Por lo que el mensaje queda encriptado de la siguiente manera:
-1/ 161 / 134 / -18 / 81 / 94 / 15 / 126 / 104
 Multiplicar la matriz B por M-1, para desencriptar el mensaje:
𝑀−1
=
1
31
[
−18 2 13
−1 7 −1
5 −4 5
]
𝐵. 𝑀−1
= [
−1 161 134
−18 81 94
15 126 104
] .
1
31
[
−18 2 13
−1 7 −1
5 −4 5
] = [
17 19 16
23 5 5
4 16 19
]

5. Instituto Universitario Aeronáutico
Matemática II
Actividad grupal Unidad I
 Observar en el abecedario cuál letra corresponde a cada número
17-P
19-R
16-O
23-V
5- E
5- E
4 - D
16-O
19-R
Anexo:
Resolución de la matriz inversa de M.
*Hallar M-1
F1 F3
−1 2 3
0 5 1
1 2 4
|
1 0 0
0 1 0
0 0 1
F1 (1)+F3
1 2 4
0 5 1
−1 2 3
|
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 2 4
0 5 1
0 4 7
|
0 0 1
0 1 0
1 0 1
F2 (1/5)
1 2 4
0 1
1
5
0 4 7
|
0 0 1
0
1
5
0
1 0 1
F2 (-2)+F1/ F2(-4)+F3

6. Instituto Universitario Aeronáutico
Matemática II
Actividad grupal Unidad I
1 0
18
5
0 1
1
5
0 0
31
5
|
|
0
−2
5
1
0
1
5
0
1
−4
5
1
F3 (5/31)
1 0
18
5
0 1
1
5
0 0 1
|
0
−2
5
1
0
1
5
0
5
31
−4
31
5
31
F3 (-1/5) + F2
1 0
18
5
0 1 0
0 0 1
|
0
−2
5
1
−1
31
7
31
−1
31
5
31
−4
31
5
31
F3 (-18/5)+F1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
−18
31
2
31
13
31
−1
31
7
31
−1
31
5
31
−4
31
5
31
Puede expresarse a la matriz inversa como el producto de un escalar por una matriz,
para simplificar las posteriores operaciones
𝐴−1
=
1
31
. [
−18 2 13
−1 7 −1
5 −4 5
]