Este documento presenta un esquema sobre las fuentes del campo magnético. Incluye una introducción y luego describe 1) el campo creado por una carga en movimiento según la ley de Biot-Savart, y 2) el campo creado por corrientes eléctricas rectilíneas, espirais circulares y solenoides. Finalmente, cubre las fuerzas magnéticas entre corrientes y las leyes de Gauss y Ampere para el magnetismo.

1. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
F´ısica
1er
curso de Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Bloque B: Campo magn´etico. Inducci´on
electromagn´etica
Tema 4: Campo magn´etico y sus fuentes
Parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega
Departamento de Qu´ımica y F´ısica Aplicadas. ´Area de F´ısica Aplicada
eduardo.garcia@unileon.es
Universidad de Le´on (Le´on-Espa˜na)
Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magn´etico y sus fuentes

2. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Fuentes del Campo Magn´etico
1 Fuentes de B
Campo creado por una carga
Ley de Biot y Savart
Aplicaciones
2 Asuntos varios
Fuerzas magn´eticas entre corrientes
Ley de Gauss para el magnetismo
Ley de Amp`ere y casos
Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magn´etico y sus fuentes

3. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Fuentes del Campo Magn´etico
1 Fuentes de B
Campo creado por una carga
Ley de Biot y Savart
Aplicaciones
2 Asuntos varios
Fuerzas magn´eticas entre corrientes
Ley de Gauss para el magnetismo
Ley de Amp`ere y casos
Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magn´etico y sus fuentes

4. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Campo creado por una carga
Ley de Biot y Savart
Aplicaciones
Campo creado por una carga
Sea una carga q movi´endose con velocidad v. El campo B creado por la
carga en un punto P, cuya posici´on est´a fijada por r, viene dado por
Campo magn´etico creado por una carga
B =
µ0
4π
·
q · v × ˆr
r2
=
µ0
4π
·
q · v × r
r3
B es proporcional a q, v y r−2
.
B = 0 a lo largo de la direcci´on de movimiento, en cada instante.
B es perpendicular a v y r.
µ0/4π = km siendo µ0 la permeabilidad magn´etica del vac´ıo, espacio
libre y aire.
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5. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Campo creado por una carga
Ley de Biot y Savart
Aplicaciones
Campo creado por una carga
Sea una carga q movi´endose con velocidad v. El campo B creado por la
carga en un punto P, cuya posici´on est´a fijada por r, viene dado por
Campo magn´etico creado por una carga
B =
µ0
4π
·
q · v × ˆr
r2
=
µ0
4π
·
q · v × r
r3
B es proporcional a q, v y r−2
.
B = 0 a lo largo de la direcci´on de movimiento, en cada instante.
B es perpendicular a v y r.
µ0/4π = km siendo µ0 la permeabilidad magn´etica del vac´ıo, espacio
libre y aire.
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6. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Campo creado por una carga
Ley de Biot y Savart
Aplicaciones
Campo creado por un elemento de corriente I · dl
Sea un elemento de carga dq de una corriente el´ectrica, movi´endose con
velocidad v. En un tiempo dt recorre dl: dq · v = dq · dl
dt = dq
dt · dl. El
campo magn´etico creado por un elemento de corriente viene dado por
Ley de Biot y Savart
dB =
µ0
4π
·
I · dl × ˆr
r2
=
µ0
4π
·
I · dl × r
r3
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7. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Campo creado por una carga
Ley de Biot y Savart
Aplicaciones
Campo creado por una corriente rectil´ınea
El m´odulo del campo creado por el elemento de corriente I · dl es
dB =
µ0
4π
·
I · dx
r2
· sin φ =
µ0
4π
·
I · dx
r2
· cos θ
Escribimos todo en funci´on del
´angulo θ:
x = R·tan θ ⇒ dx = R
1
cos2 θ
dθ =
r2
R
dθ
dB =
µ0
4π
I
R
cos θdθ
B =
θ2
θ1
µ0
4π
I
R
cos θdθ
B =
µ0
4π
I
R
(sin θ2 − sin θ1)
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8. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Campo creado por una carga
Ley de Biot y Savart
Aplicaciones
Campo creado por una corriente rectil´ınea infinita
Partiendo de:
B =
µ0
4π
I
R
(sin θ2 − sin θ1)
Si la longitud del conductor tiende a
infinito, entonces
θ1, θ2 → π/2
B =
µ0
2π
I
R
Las l´ıneas de campo son circunferen-
cias centradas en el hilo de corriente.
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9. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Campo creado por una carga
Ley de Biot y Savart
Aplicaciones
Campo creado por una espira circular
Sea una espira de radio R por la que
circula una corriente I. Sea un ele-
mento de corriente que crea un cam-
po magn´etico en el punto P, cuyo
m´odulo es:
dB =
µ0
4π
I · |dl × ˆr|
r2
=
µ0
4π
I · dl
R2 + x2
La componente en el eje X
dBx =
µ0
4π
I · dl
R2 + x2
·senθ =
µ0
4π
IR · dl
(R2 + x2)3/2
El campo magn´etico en P
B =
µ0
2
R2
I
(R2 + x2)3/2
i =
µ0
4π
2µ
(R2 + x2)3/2
i
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10. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Campo creado por una carga
Ley de Biot y Savart
Aplicaciones
Campo creado por una espira circular
Sea una espira de radio R por la que
circula una corriente I. Sea un ele-
mento de corriente que crea un cam-
po magn´etico en el punto P, cuyo
m´odulo es:
dB =
µ0
4π
I · |dl × ˆr|
r2
=
µ0
4π
I · dl
R2 + x2
La componente en el eje X
dBx =
µ0
4π
I · dl
R2 + x2
·senθ =
µ0
4π
IR · dl
(R2 + x2)3/2
El campo magn´etico en P
B =
µ0
2
R2
I
(R2 + x2)3/2
i =
µ0
4π
2µ
(R2 + x2)3/2
i
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11. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Campo creado por una carga
Ley de Biot y Savart
Aplicaciones
Campo creado por un solenoide
Un solenoide es un conductor arrolla-
do estrechamente en forma de h´elice.
Se utiliza para crear campos magn´eti-
cos intensos.
Sea un elemento dx. n = N/L el
n´umero de vueltas por unidad de lon-
gitud. Cada una transporta una inten-
sidad de corriente I. El elemento equi-
vale a una simple espira di = nIdx.
B =
µ0
2
R2
I
(R2 + x2)3/2
i ⇒ dB =
µ0
2
nIR2
(R2 + x2)3/2
dxi
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12. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Campo creado por una carga
Ley de Biot y Savart
Aplicaciones
Campo creado por un solenoide
Un solenoide es un conductor arrolla-
do estrechamente en forma de h´elice.
Se utiliza para crear campos magn´eti-
cos intensos.
Sea un elemento dx. n = N/L el
n´umero de vueltas por unidad de lon-
gitud. Cada una transporta una inten-
sidad de corriente I. El elemento equi-
vale a una simple espira di = nIdx.
B =
µ0
2
R2
I
(R2 + x2)3/2
i ⇒ dB =
µ0
2
nIR2
(R2 + x2)3/2
dxi
Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magn´etico y sus fuentes

13. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Campo creado por una carga
Ley de Biot y Savart
Aplicaciones
Campo creado por un solenoide
El campo debido al solenoide ser´a:
B =
µ0
2
nIR2
x2
x1
dx
(R2 + x2)3/2
i
B =
1
2
µ0nI
x2
x2
2 + R2
−
x1
x2
1 + R2
i
Si L >> R, B es uniforme
B = µ0nIi
En los extremos del solenoide
B = 1
2 µ0nIi. Es nulo fuera.
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14. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Campo creado por una carga
Ley de Biot y Savart
Aplicaciones
Campo creado por un solenoide
El campo debido al solenoide ser´a:
B =
µ0
2
nIR2
x2
x1
dx
(R2 + x2)3/2
i
B =
1
2
µ0nI
x2
x2
2 + R2
−
x1
x2
1 + R2
i
Si L >> R, B es uniforme
B = µ0nIi
En los extremos del solenoide
B = 1
2 µ0nIi. Es nulo fuera.
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15. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Fuerzas magn´eticas entre corrientes
Ley de Gauss para el magnetismo
Ley de Amp`ere y casos
Fuerzas entre corrientes rectil´ıneas y paralelas
El m´odulo del campo magn´etico que la corriente I1 crea en la corriente I2
situada a una distancia R es B1 = km
2I1
R
La fuerza elemental sobre el ele-
mento de corriente I2dl2 es
dF2 = I2dl2 × B1
La fuerza por unidad de longitud (al
ser corrientes infinitas) viene dada
por:
F2
L
= km
2I1I2
R
Analizando la expresi´on vectorial:
Corrientes en el mismo sentido
se atraen.
Corrientes en sentido opuesto
se repelen.
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16. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Fuerzas magn´eticas entre corrientes
Ley de Gauss para el magnetismo
Ley de Amp`ere y casos
Fuerzas entre corrientes rectil´ıneas y paralelas
El m´odulo del campo magn´etico que la corriente I1 crea en la corriente I2
situada a una distancia R es B1 = km
2I1
R
La fuerza elemental sobre el ele-
mento de corriente I2dl2 es
dF2 = I2dl2 × B1
La fuerza por unidad de longitud (al
ser corrientes infinitas) viene dada
por:
F2
L
= km
2I1I2
R
Definici´on de Amperio
Si por dos corrientes paralelas muy
largas, situadas a una distancia de
1 m, circulan corrientes iguales, se
define la corriente en cada una de
ellas como igual a 1 A si la fuerza
por unidad de longitud sobre cada
conductor es de 2 · 10−7
N/m
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17. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Fuerzas magn´eticas entre corrientes
Ley de Gauss para el magnetismo
Ley de Amp`ere y casos
Ley de Gauss
La l´ıneas de campo magn´etico son cerradas pues no existen monopolos
magn´eticos, a diferencia de lo que sucede con el campo el´ectrico. La
unidad fundamental del magnetismo es el dipolo magn´etico.
Ley de Gauss
φm =
S
B · ds = 0
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18. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Fuerzas magn´eticas entre corrientes
Ley de Gauss para el magnetismo
Ley de Amp`ere y casos
Ley de Gauss
La l´ıneas de campo magn´etico son cerradas pues no existen monopolos
magn´eticos, a diferencia de lo que sucede con el campo el´ectrico. La
unidad fundamental del magnetismo es el dipolo magn´etico.
Ley de Gauss
φm =
S
B · ds = 0
Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magn´etico y sus fuentes

19. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Fuerzas magn´eticas entre corrientes
Ley de Gauss para el magnetismo
Ley de Amp`ere y casos
Ley de Amp`ere
Es una ecuaci´on que relaciona la componente tangencial de B a lo largo
de una trayectoria cerrada, con la intensidad que atraviesa la superficie
definida por la curva.
Ley de Amp`ere
c
B · dl = µ0Ic
Se utiliza para calcular el B en situaciones de elevada simetr´ıa.
c
B·dl = B· dl = µ0I
De donde
B =
µ0
2π
I
r
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20. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Fuerzas magn´eticas entre corrientes
Ley de Gauss para el magnetismo
Ley de Amp`ere y casos
Ley de Amp`ere
Es una ecuaci´on que relaciona la componente tangencial de B a lo largo
de una trayectoria cerrada, con la intensidad que atraviesa la superficie
definida por la curva.
Ley de Amp`ere
c
B · dl = µ0Ic
Se utiliza para calcular el B en situaciones de elevada simetr´ıa.
c
B·dl = B· dl = µ0I
De donde
B =
µ0
2π
I
r
Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magn´etico y sus fuentes

21. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Fuerzas magn´eticas entre corrientes
Ley de Gauss para el magnetismo
Ley de Amp`ere y casos
Ley de Amp`ere
Es una ecuaci´on que relaciona la componente tangencial de B a lo largo
de una trayectoria cerrada, con la intensidad que atraviesa la superficie
definida por la curva.
Ley de Amp`ere
c
B · dl = µ0Ic
Se utiliza para calcular el B en situaciones de elevada simetr´ıa.
c
B·dl = B· dl = µ0I
De donde
B =
µ0
2π
I
r
Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magn´etico y sus fuentes

22. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Fuerzas magn´eticas entre corrientes
Ley de Gauss para el magnetismo
Ley de Amp`ere y casos
Ley de Amp`ere
Es una ecuaci´on que relaciona la componente tangencial de B a lo largo
de una trayectoria cerrada, con la intensidad que atraviesa la superficie
definida por la curva.
Ley de Amp`ere
c
B · dl = µ0Ic
Se utiliza para calcular el B en situaciones de elevada simetr´ıa.
c
B·dl = B· dl = µ0I
De donde
B =
µ0
2π
I
r
Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magn´etico y sus fuentes

23. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Fuerzas magn´eticas entre corrientes
Ley de Gauss para el magnetismo
Ley de Amp`ere y casos
Campo de un toroide
Arrollamiento circular de N espiras que transportan I cada una de ellas.
Sea una trayectoria C de radio a < r < b.
Por simetr´ıa, B en el interior es
tangente a C y constante en m´odu-
lo en todos los puntos de la trayec-
toria.
c
B · dl = B2πr = µ0NI
B =
µ0NI
2πr
Si r < a o r > b el campo es
nulo, pues no encierra
corriente.
Si a ≈ b, B es pr´acticamente
uniforme.
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24. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magn´etico
Fuentes de B
Asuntos varios
Fuerzas magn´eticas entre corrientes
Ley de Gauss para el magnetismo
Ley de Amp`ere y casos
Campo en el interior de un hilo de corriente
Sea un hilo de corriente de radio R por el que circula una intensidad I.
Calculemos B a distancia r del centro del hilo. Sea C la trayectoria.
Por simetr´ıa, B en el interior es
tangente a C y constante en m´odu-
lo en todos los puntos de la trayec-
toria.
c
B · dl = B2πr = µ0Ic
Si j = I/(πR2
) ⇒ Ic = j · πr2
B = µ0
I
2πR2
r
Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magn´etico y sus fuentes