Usos y desusos de la inteligencia artificial en revistas científicas
Solución Examen de Mejoramiento II Término 2017
1. Solución Realizada por Eduardo Paredes
Estudiante en Ingeniería Mecánica
Escuela Superior Politécnica del Litoral
Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas
Departamento de Matemáticas
Tercera Evaluación, II Término 2017
1. (25 puntos). Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique
su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.
a) El siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única para todo valor real
de 𝒂.
−𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝒂𝒙
−𝒙 − 𝒚 = 𝒂𝒚
𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝒂𝒛
Solución
El sistema de ecuaciones se lo puede expresar de la siguiente forma acomodando los
valores de 𝑎.
(−2𝑥 − 𝑎𝑥) + 𝑦 − 𝑧 = 0
−𝑥 + (−𝑦 − 𝑎𝑦) = 0
𝑦 + (−3𝑧 − 𝑎𝑧) = 0
→
(−2 − 𝑎)𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
−𝑥 + (−1 − 𝑎)𝑦 = 0
𝑦 + (−3 − 𝑎)𝑧 = 0
Y basados en el siguiente teorema podemos continuar para resolver:
𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎
𝑆𝑒𝑎 𝐴 𝑢𝑛 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑛𝑥𝑛 𝑦 𝑠𝑒𝑎 𝐴𝑋 = 0, 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑜.
𝑆𝑖 det 𝐴 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠.
(−2 − 𝑎) 1 −1
−1 (−1 − 𝑎) 0
0 1 (−3 − 𝑎)
= 0
−2 − 𝑎 −1 − 𝑎 −3 − 𝑎 − (−1) 1 −3 − 𝑎 − −1 = 0
− 2 + 𝑎 1 + 𝑎 3 + 𝑎 + −𝑎 − 2 = 0
− 2 + 𝑎 𝑎2
+ 4𝑎 + 3 − 2 + 𝑎 = 0
− 2 + 𝑎 𝑎2
+ 4𝑎 + 3 + 1 = 0
− 2 + 𝑎 2 + 𝑎 2
= 0
2 + 𝑎 3
= 0 → 𝑎1,2,3 = −2
El resultado de aplicar el determinante determina que para 𝑎 = −2 el sistema tiene
como consecuencia infinitas soluciones.
→ 𝐸𝑙 𝑆. 𝐸. 𝐿. 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 ∀𝑎 ∈ 𝑅 − −2
∴ 𝐹𝐴𝐿𝑆𝑂
2. Solución Realizada por Eduardo Paredes
Estudiante en Ingeniería Mecánica
b) Sea 𝑽 un espacio, sobre un campo 𝑲, con producto interno y 𝒗 𝟏, 𝒗 𝟐 ∈ 𝑽 dos
vectores no nulos. Si 𝒗 𝟏 𝒚 𝒗 𝟐 son dos vectores ortogonales, entonces 𝒗 𝟏, 𝒗 𝟐 es un
conjunto linealmente independiente de 𝑽.
Solución
Sea 𝒗 𝟏 , 𝒗 𝟐vectores de 𝑽. Se debe probar que:
𝜶 𝟏 𝒗 𝟏 + 𝜶 𝟐 𝒗 𝟐 = 𝒏 𝒗 ↔ 𝜶 𝟏 = 𝜶 𝟐 = 𝟎
Al tomar el producto interno del vector 𝜶 𝟏 𝒗 𝟏 + 𝜶 𝟐 𝒗 𝟐 = 𝒏 𝒗con el vector 𝑣𝑗 donde
1 ≤ 𝑗 ≤ 2 se obtiene que:
𝒏 𝒗 𝑣𝑗 = 0
Luego;
𝜶 𝟏 𝒗 𝟏 + 𝜶 𝟐 𝒗 𝟐 𝑣𝑗 = 0
Como el conjunto 𝒗 𝟏, 𝒗 𝟐 es ortogonal, se tiene que 𝑣𝑖 𝑣𝑗 ≠ 0 si y solo si 𝑖 = 𝑗, en
cuyo caso se obtiene
𝑣𝑖 𝑣𝑗 = 𝑣𝑗
2
; 𝑖 = 𝑗
Entonces,
𝜶𝒋 𝑣𝑗
2
= 0
Como por hipótesis 𝑣𝑗 ≠ 𝒏 𝒗( y por tanto 𝑣𝑗
2
≠ 0), se concluye que
𝜶𝒋 = 𝟎
Lo cual es válido para toda𝒋 = 𝟏, 𝟐.
→ 𝜶 𝟏 = 𝜶 𝟐 = 𝟎
∴ 𝑉𝐸𝑅𝐷𝐴𝐷𝐸𝑅𝑂
c) Si 𝑨 es una matriz de 𝟐𝒙𝟐 y 𝒑 𝑨(𝝀) es su polinomio característico, entonces
𝒑 𝑨 𝝀 = 𝝀 𝟐
− 𝒕𝒓𝒂𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝑨 𝝀 + 𝐝𝐞𝐭(𝑨)
Solución
Sea 𝐴 ∈ 𝑀2𝑥2 → 𝐴 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
.
Para hallar los valores propios se utiliza det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 𝑝 𝐴 𝜆 lo cual se conoce como
polinomio característico de 𝐴.
𝑎 − 𝜆 𝑏
𝑐 𝑑 − 𝜆
= 𝑎 − 𝜆 𝑑 − 𝜆 − 𝑐𝑏 = 𝜆2
− 𝑑𝜆 − 𝑎𝜆 + 𝑎𝑑 − 𝑐𝑏
= 𝜆2
− 𝑎 + 𝑑 𝜆 + (𝑎𝑑 − 𝑐𝑏)
= 𝜆2
− 𝑡𝑟𝑎𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝐴 𝜆 + det(𝐴)
𝑡𝑟𝑎 𝐴 = 𝑎 + 𝑑 → 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙
det 𝐴 = (𝑎𝑑 − 𝑐𝑏)
∴ 𝑉𝐸𝑅𝐷𝐴𝐷𝐸𝑅𝑂