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1. 8/7/2020 Estabilidad
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Podemos definir un sistema como estable cuando su salida está acotada. Es decir, que su salida no es ±∞ sino un valor concreto. También podríamos definir a un
sistema estable que evoluciona de un modo similar a la variable de entrada.
Para analizar mejor la estabilidad primero hemos de hacer una distinción: sistemas en bucle abierto y en bucle cerrado.
En un sistema en bucle abierto solo estudiaríamos nuestro proceso con el regulador, o incluso sin él:
Pero en el bucle cerrado, estudiaríamos nuestro sistema, más la realimentación. Lo cual complica un poco las cosas:
Cada uno se estudia de una forma. En el caso del bucle abierto, la estabilidad se puede analizar mediante los polos y ceros del sistema. Como mencionamos en el
tema de la “función de transferencia directa” obteníamos un cociente de dos polinomios. El valor de Z para el cual el numerador de la función de transferencia
directa vale cero, son los ceros. Por contra, el valor de Z para el cual el denominador de la función de transferencia directa es cero, son los polos.
Ejemplo:
Para la función de transferencia:
Hay solo un cero, que seria el valor para el cual el numerador se haría cero:
z = -1
En el caso de los polos, hay dos. Los valores que harían cero el denominador son:
z = -3 y z = -5
En Scilab se calcularía del siguiente modo:

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Se usaría el comando roots para extraer los polos y los ceros de la función de transferencia; y luego se graficarían los polos y los ceros de la función de
transferencia directa mediante el comando plzr() quedando dicho grafico así:
La importancia de los polos y los ceros erradica en que en un sistema de bucle abierto, el sistema será estable si sus polos se encuentran dentro del circulo unidad
(en el plano Z) o en el semiplano negativo (en el plano S).
En el caso de que el sistema con bucle cerrado es más complicado, puesto que para saber que sea estable, las raíces de su ecuación característica deben estar en la
región estable (ya sea del plano S o Z). La ecuación característica la podemos ver mejor con esta imagen.
Los valores que hagan cumplirse esta expresión:

3. 8/7/2020 Estabilidad
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1 + K*G(s)*H(s) = 0
Si están en la región estable, el sistema entero será estable, pero como vemos la ecuación característica depende de K. Hay diversos métodos para estudiar la
estabilidad de un sistema. Por ejemplo está el criterio de Routh-Hurwitz, que mediante una tabla nos da un rango de valores de K para el cual el sistema es estable.
Pero con programas como Scilab no nos hace falta puesto que analizando el lugar de las raices podemos saber donde el sistema se hace o no inestable.
Ejemplo de un lugar de las raíces para un sistema en bucle cerrado:
En Scilab lo podriamos hacer del siguiente modo:
Con esto podemos obtener la K. En este caso en el ejemplo he obtenido el siguiente punto:

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Gracias a que podemos ver el punto que deseamos elegir, podemos elegir nuestro punto en un lugar dentro del círculo unidad. Por lo que está K elegida hará al
sistema estable. Y de ese modo controlamos la estabilidad en bucle cerrado de nuestro sistema.
En conclusión, para estudiar la estabilidad habrá que distinguir si el sistema está en bucle abierto o cerrado. Si el sistema está en bucle abierto solo tendremos que
estudiar los polos para ver si están dentro del circulo unidad o en el semiplano negativo. Sin embargo en bucle cerrado, tendremos que analizarlo con el lugar de
las raíces y elegir un punto siguiendo una especificaciones y que este dentro del circulo unidad o el semiplano negativo, para obtener una K que nos hará estables
el sistema.