EJERCICIO - EXAMEN OGATA DIGITAL CONTROL

EXAMEN CONTROL DIGITAL
HERNANDEZ BALDERAS ARTURO
El siguiente sistema representa la función de transferencia de lazo abierto del control lateral de un avión, el cual contiene una
realimentación unitaria negativa.
Determiner:
Primeramente se escribió la función a MATLAB denominada G
a) La función de transferencia de lazo cerrado

b) La ecuación característica
Por lo tanto reescribiéndola es:
c) El diagrama de polos y ceros de lazo abierto
El sistema es estable puesto que todas sus raíces están en el semiplano negativo, o izquierdo

d) La estabilidad del sistema
Para definir la estabilidad, podemos usar el comando All margin en MATLAB
O podemos definirla a través de las raíces de la ecuación característica:
Con este criterio, sabemos que todas tienen parte real, por lo tanto es estable
e) El valor del error en estado estable.
Para calcularlo, debemos de usar la constante Kpe, y esta la calculamos con el límite, por lo tanto lo podemos hacer de dos formas:
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
O en MATLAB:

f) La gráfica de respuesta en el tiempo para una entrada escalón unitario
g) Los parámetros de la respuesta en el tiempo; tiempos y amplitudes.
C(∞)=0.939
Tiempo de asentamiento (98%) = 33.3s
Tiempo de Respuesta= 20.1 s

h) El lugar geométrico de las raíces y la identificación de los polos dominantes.
Ahí marco con rltool a Glc y podemos observar como los polos dominantes son los que están mas pegados al origen, y aunque no
vuelven inestable al sistema, serán los que tendrán más efectos e oscilación en el sistema
Considerando un periodo de muestreo T=0.5 s. inserte un retenedor de orden cero en la trayectoria directa y discretice el sistema para
obtener la correspondiente función en el dominio de Z, obtenga los siguientes puntos:
a) La función de transferencia de lazo abierto discreta

b) La función de transferencia de lazo cerrado discreta
c) La ecuación característica
d) El diagrama de polos y ceros de lazo abierto
Podemos ver que según el diagrama, será estable en el caso de Lazo Abierto
e) La estabilidad del sistema.
Lo podeos ver con allmargin

Pero para no fiarnos de MATLAB, y tener otro criterio, vemos las raíces de la ecuación característica, también el valor absoluto para
ver en el diagrama de polos y ceros cual será la que producirá mayores oscilaciones, (o sea las que están más pegadas al círculo
unitario), desde aquí podemos decir que el polo dominante sea el que tiene el 0.9405, o el que producirá mayor oscilación
f) El valor del error en estado estable.

g) La gráfica de respuesta en el tiempo para una entrada escalón unitario
h) Los parámetros de la respuesta en el tiempo; tiempos y amplitudes.

i) El lugar geométrico de las raíces y su interpretación de acuerdo a los polos y ceros.
Entre más se acerque a los ceros (o sea mayor ganancia), el sistema se hará más inestable, tendrá una menor tiempo de respuesta
pero se hará más inestable, empezando a usar valores cercanos a la inestabilidad y se empieza a volver un sistema subamortiguado,
que originalmente no lo es si usamos una ganancia unitaria, pero en el caso de aumentar la ganancia a la que calculamos que llegaría
a la inestabilidad o el valor cercano a 7.331 con rltool:

Pero si tomamos algún valor intermedio o más bajo el sistema de hecho se vuelve estable, por ejemplo con 1.5 el sistema ya empieza
apenas a volverse un sistema subamortiguado, cuando con ganancia unitaria no lo era.
Por lo tanto podemos concluir que aunque los polos dominantes son los que están más cerca al círculo unitario, el polo que hace mas
rápido que el sistema se vuelva inestable como podemos ver en la siguiente figura es el que se encuentra recorriendo el origen de los
reales, ya que los otros dos polos al parecer no se salen del circulo unitario.

Aquí podemos ver como el polo que esta mas pegado al origen de los Reales, ya se hizo inestable, mientras que los otros dos, ni
siquiera han llegado cerca a alcanzar a su cero.
Incluir un controlador proporcional integral y derivativo (PID) y obtener los valores de las constantes KP, KI y KD necesarios para que
la respuesta tenga:
Tomemos en cuenta que si tratamos d eliminar el polo imaginario sacamos primero los valores de los polos…
Y agregando un Zero complejo para eliminar el polo tenemos la siguiente respuesta:

Observamos que la respuesta para corregir el error en estado estable es muy inestable, además de que tarda mucho en asentarse, asi
que lo intentamos en MATLAB físicamente y sacamos su respuesta ante la estabilidad:
Y obseramos que no es estable, asi que nos vamos por los reales… de unavez lo hacemos con MATLAB y rltools, eliminando de una
vez los polos, por lo tanto tendremos que:

De esta forma si es estable, y usamos el rltool para poder sacar los parámetros que a continuación nos piden…
obreimpulso del 10%
Podemos vr que la ganancia es de 4.62 para un sobre impulso de 10% ai que hacemos los cálculos de sintonización con estos datos:

Para este punto hay varias respuestas, en este caso de la imagen de arriba se obtiene un buen tiempo de respuesta, sin embargo
tiene muchas oscilaciones, aún estaba indeciso entre cual elegir, debido a que se trata del control lateral de un avión, si eligiésemos
una respuesta sin oscilaciones tardaría aproximadamente 80s en reaccionar, y esto en un vuelo, puede ser perjudicial, por lo tanto,
tomando en cuenta que se trata de un avión que por naturaleza es inestable, deberíamos elegir un tiempo de respuesta más rápido y
con pocas oscilaciones (relativamente) además que el tiempo de asentamiento igual se reduce como el siguiente:
Tenemos una ganancia de 3.37, por lo que con ello haremos los cálculos de sintonización:

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