Matematicas Financieras

1. Matemáticas Financieras

2. Conceptos Básicos
Expresiones Algebraicas:
Una expresión algebraica es una serie de números,
letras y símbolos que indican una operación entre
ellos.
Ejemplo: 2 + 3
Es una expresión algebraica, ya que se tienen dos
números con un símbolo que indica una operación
entre ellos.

3. Conceptos Básicos
Las operaciones mas comunes entre números son:
+ : Suma o Adición
- : Resta o Sustracción
X : Multiplicación
: o /: División

4. Conceptos Básicos
Para evaluar expresiones algebraicas se deben
considerar ciertas prioridades:
Ejemplo: En la siguiente expresión:
100 + 2 x 150
¿que operación se debe realizar primero?, ¿La suma o
la multiplicación? ¿O da igual?

5. Conceptos Básicos
En este ejemplo la secuencia correcta es:
100 + 2 x 150 Primero la multiplicación
100 + 300 Luego la suma
400 El resultado correcto

6. Conceptos Básicos
Entonces, siempre se debe resolver:
Primero la multiplicación o división, luego las sumas o
restas.
Ejemplos: 5 + 4 x 3
5 + 12
17
10,5 + 100/5
10,5 + 20
30,5

7. Conceptos Básicos
En la realización de todos los cálculos en esta unidad
trabajaremos con cuatro dígitos decimales (cuatro
números a la derecha de la coma) si existen mas
decimales estos deben ser aproximados:
Ejemplo: 0,9786532 se aproxima a 0,9787
30,28321 se aproxima a 30,2832
15,780963 se aproxima a 15,7810

8. Conceptos Básicos
La regla a utilizar para aproximar a cuatro decimales
es la siguiente: “si el quinto decimal es igual o
superior a 5 se aumenta en un digito el cuatro
decimal”.
En caso contrario, si el quinto decimal es menor que
5, solo se eliminan los decimales mas allá del cuarto
decimal.

9. Conceptos Básicos
Veamos ahora como resolveremos estos cálculos:
a) 1 + 0,04 x 12 =
b) 1 – 0,036 x 10 =
c) 1 + 0,5 x 5 – 0,028 x 12 =
d) 2,35 x 1,32 – 1,28 x 2,06 =

10. Conceptos Básicos
Además de lo anterior, cuando tenemos que resolver
cálculos matemáticos en donde figuren paréntesis (
[] , (), {} ), estos indican que la primera operación
que debemos resolver es la que esta dentro de estos,
ejemplo
(1,028 + 0,23) x 3
1,258 x 3
3,774

11. Conceptos Básicos
Las operaciones dentro de los paréntesis siguen
respetando las prioridades que estudiamos al
principio, sin embargo se puede dar el caso en que
una operación entre paréntesis pueda contener otro
paréntesis en su interior, en este caso se debe
resolver primero el paréntesis interior.
[4,8 – 2 x (3,6 – 1,5)] / 2
(4,8 – 2 x 2,1) / 2
(4,8 – 4,2) / 2
0,6 / 2
0,3

12. Conceptos Básicos
Realice los siguientes ejercicios:
a) (1,8 – 0,32 x 2) / 3,15
b) (0,35 – 0,24) x 2,15 + 1,15
c) [3,25 – 2,1 x (2,5 – 1,3)] x 2,3
d) (3,105 – 2,102) x (2,15 – 0,85)

13. Conceptos Básicos
En los próximos cálculos usaremos letras para representar
una situación general:
Por ejemplo, supongamos que mensualmente gastamos
una cantidad L en pagos de luz (Luz) y una cantidad A en
pagos de agua (Agua). Entonces podemos decir que lo que
gastamos en luz y agua es:
L + A

14. Conceptos Básicos
Esta representación es conveniente, pues los valores de luz
y agua pueden ir cambiando en el tiempo. Supongamos que
este mes se ha gastado $500 en luz y $1.000 en agua,
entonces:
L= 500 y A= 1.000
Entonces el gasto de luz y agua será: L + A =
500 + 1000 = 1.500

15. Conceptos Básicos
Supongamos que tenemos la expresión:
(A+B) x C
Si: A=5, B=4, C=3
El valor de la expresión será:
(5 + 4) x 3
9 x 3
27

16. Conceptos Básicos
Calcule las siguientes expresiones:
(A + B ) / C si A=10, B=20 y C=5
3 x K + 6 x M si K=15,5 y M=4,3
(A x 4 – B)/2 x C si A=15, B=5 y C=3
B x C + A si A=15, B=2 y C=8

17. Conceptos Básicos
Con lo anterior hemos terminado los conceptos
matemáticos básicos, que serán útiles para realizar con
éxito los problemas que se presentaran en loa cálculos
financieros.

18. Conceptos Financieros Básicos
Operación Financiera:
Es cualquier actividad que produce
variación en los recursos de una entidad y que es posible
medir en unidades monetarias.
Dependiendo de la acción que se realice, los recursos
pueden aumentar o disminuir.

19. Conceptos Financieros Básicos
Ejemplos:
 Girar en Cuenta corriente, disminuyen los fondos en la
cuenta y aumenta el dinero en efectivo.
 Depositar en cuenta corriente, aumentan los fondos en
la cuenta y disminuye el dinero en efectivo
 Solicitar créditos, pagar créditos
 Comprar dólares, vender dólares

20. Conceptos Financieros Básicos
Las entidades involucradas en las operaciones financieras
pueden ser empresas, personas u otras como el gobierno.
En todas las operaciones financieras existe una cantidad de
dinero que es prestada o invertida, a esta le llamaremos
CAPITAL.

21. Conceptos Financieros Básicos
¿Qué es el Capital?
Capital es la suma de dinero prestada o
invertida.
Ejemplo, Se abre una cuenta de ahorro, con un deposito en
efectivo de $15.000.
En esta operación financiera el capital asciende a $15.000.

22. Conceptos Financieros Básicos
Supongamos que alguien desea comprar un televisor por
$100.000 y para ello pide un préstamo a un banco. El
capital como ya lo dijimos es de $100.000, los que deberán
ser devueltos al banco.
De aquí surge la pregunta
¿al banco le devolvemos $100.000 o una cantidad mayor?

23. Conceptos Financieros Básicos
Como es natural, el banco nos cobrara por el uso de este
dinero y de aquí que debemos devolverle una suma mayor
a $100.000. Supongamos que la cantidad que se le debe
pagar al banco es de $115.000.

24. Conceptos Financieros Básicos
En calculo financiero, llamamos Interés a los $15.000
adicionales que debemos pagar “ $115.000 - $100.000 =
$15.000”

25. Conceptos Financieros Básicos
Definamos este nuevo concepto:
Interés, es la suma generada por el uso del
dinero durante un cierto periodo de tiempo.
De acuerdo a esta definición, interés es la diferencia entre
la cantidad final a pagar y el capital inicial.

26. Conceptos Financieros Básicos
Ejercicios de conceptos de Capital e Interés:
a) El señor Timy Torner solicita un préstamo de $200.000 y
debe pagar dentro de un año $215.000. ¿a que concepto
corresponden – Capital o Interés – cada una de las
siguientes sumas?
$200.000 corresponde a _______________
$15.000 corresponde a _________________

27. Conceptos Financieros Básicos
b) La empresa XXX S.A. desea invertir $1.200.000 durante
30 días, para ello toma un deposito a plazo. Al final de los
30 días, el banco le entregara a la empresa $1.238.500.
¿Cuál es el Interés? y ¿Cuál es el Capital?
_______________________
_______________________

28. Conceptos Financieros Básicos
Para que se pague interés es necesario que haya uso del
capital, y para ello es necesario que transcurran un periodo
de tiempo. Ello nos conduce a la siguiente definición.

29. Conceptos Financieros Básicos
PLAZO, es el periodo de tiempo durante el cual
se usa el capital en una operación financiera.

30. Conceptos Financieros Básicos
El plazo cumple varias características:
 Indica la duración de la operación financiera,
 Sirve de base para el calculo del interés y debe ser
indicado explícitamente.
 El plazo puede ser expresado en distintas unidades:
años, meses o días.

31. Conceptos Financieros Básicos
Ejercicios:
El ___________ es la suma de dinero prestada o invertida.
El ___________ es la suma generada por el uso del dinero
durante un plazo definido.
El ___________ indica la duración de una operación
financiera.

32. Conceptos Financieros Básicos
Como hemos visto la suma que es prestada o invertida es
llamada capital, y esta genera un interés en un cierto
periodo de tiempo.
Definiremos la suma de dinero que es devuelta al final del
plazo:
MONTO: Corresponde a la suma del capital mas
el interés.

33. Conceptos Financieros Básicos
La visualización grafica del Capital, Interés y Monto se
aprecia en el siguiente esquema:
CAPITAL + INTERES = MONTO

34. Conceptos Financieros Básicos
Entonces:
 Capital, es el valor involucrado al comienzo de la
operación
 Interés, es la suma cobrada por el uso del capital
durante el plazo de la operación
 Monto, es el valor a pagar al final de la operación

35. Conceptos Financieros Básicos
Cuando una persona invierte o solicita un préstamo, el
banco le habla de Tasa de Interés, la definición es la
siguiente:
Tasa de Interés, es el precio que se paga por
usar el dinero en una unidad de tiempo
determinada.

36. Conceptos Financieros Básicos
La tasa de interés se expresa usualmente en “tanto por
ciento” su símbolo es %, pero también se puede anotar en
“tanto por uno”
Para clasificar la notación veamos un ejemplo:

37. Conceptos Financieros Básicos
El banco ofrece una Tasa de Interés del 4% (4 por ciento)
anual, esta se puede representar en tanto por uno como
0,04 y para encontrar este valor basta dividir la Tasa
expresada en tanto por ciento por 100.
4% = 4/100 = 0,04

38. Conceptos Financieros Básicos
Entonces:
 Para convertir una tasa de interés medida en tanto por
ciento a tanto por uno, se debe dividir por 100
 Para convertir una tasa de interés medida en tanto por
uno a tanto por ciento, se debe multiplicar por 100

39. Conceptos Financieros Básicos
Ejemplos:
Si la tasa de interés es de un 15%, ¿Cuánto vale la tasa
expresada en tanto por uno?
Si la tasa vale 0,085 en tanto por uno, ¿Cuánto vale
expresada en tanto por ciento?

40. Conceptos Financieros Básicos
Cuando la tasa de interés no indica periodo de tiempo
al cual corresponde, entenderemos que es anual.
Ejemplo: 4,5%
No indica el periodo de tiempo, por lo que se supone a un
4,5% anual.

41. Conceptos Financieros Básicos
Ya sabemos como es expresada la Tasa de Interés, pero
¿Qué significa una tasa del 4% anual? Y ¿Qué significa una
tasa del 0,04?

42. Conceptos Financieros Básicos
La respuesta es que ambas significan lo mismo, pues según
las reglas de matemáticas son equivalentes.
¡¡¡¡¡Compruébelo!!!!!

43. Conceptos Financieros Básicos
Ejercicio: El ministerio de hacienda de Pelotillehue, le pide
un préstamo al banco de Cumpeo por 5 años. Este consiste
en $5.000.000 a una tasa del 40% para el periodo de 5
años. Al final del periodo, el gobierno de Pelotillehue deberá
pagar la suma de $7.000.000.
¿Cuánto vale cada uno de los siguientes parámetros
financieros?
Capital, Tasa de Interés, Interés, Monto, Plazo, la tasa
expresada en tanto por uno.

44. Interés
Hasta aquí hemos conocido los conceptos de Interés y Tasa
de Interés, pero aun no hemos estudiado como calcular el
interés a pagar.
Existen dos formas para calcular el interés:
Interés Simple e Interés Compuesto

45. Interés
A lo largo de esta unidad aprenderemos a utilizar ambas
modalidades y a conocer en que se diferencian y cuando
aplicar cada una de ellas.
Comenzaremos a analizar la formula de calculo bajo la
modalidad conocida como Interés Simple.

46. Interés Simple
Interés Simple, es aquel que siempre se
calcula sobre el capital original.

47. Interés Simple
En interés simple se tendra que:
1. El interés pagado en cada periodo de tiempo es el
mismo
2. El interés producido durante cada periodo no
incrementa el capital.

48. Interés Simple
Ejemplo: El señor Luis Miguel posee $100.000 y los presta
a una tasa del 3% mensual durante 4 meses bajo la
modalidad de interés simple. Entonces el interés ganado al
cabo del plazo será:
Mes 1: $100.000 x 3% = $3.000
Mes 2: $100.000 x 3% = $3.000
Mes 3: $100.000 x 3% = $3.000
Mes 4: $100.000 x 3% = $3.000
Total de Intereses $12.000

49. Interés Simple
Como se pudo apreciar, en el ejemplo tenemos 4 periodos
(meses y la tasa de interés expresada en forma mensual) y
el interés ganado en cada periodo es el mismo ($3.000).
Otro elemento a destacar es que el interés producido en
cada periodo no incrementa el capital original ($100.000)

50. Interés Simple
Entonces, ¿Cómo se calcula el Interés Simple?
El interés se calcula en base al capital original,
al plazo de la operación y a la tasa de interés de
cada unidad de tiempo.

51. Interés Simple
Recordemos que las operaciones pueden ser depósitos,
inversiones o prestamos, y la unidad de tiempo pueden ser
días, meses, bimestres, trimestres, cuatrimestres,
semestres, años u otras medidas de tiempo.

52. Interés Simple
Los factores que influyen en el calculo del Interés Simple
son:
1. Capital: a mayor capital mayor es el interés.
2. Plazo, a mayor plazo de la operación mayor será el
interés generado.
3. Tasa de Interés: a mayor tasa mayor es el interés
ganado.

53. Interés Simple
Ahora que conocemos los fundamentos del interés simple,
comenzaremos a estudiar las formulas utilizadas para su
calculo.
Como ya sabemos, las formulas algebraicas comúnmente
son presentadas con letras. En nuestro caso, el significado
de cada una de ellas es el siguiente:

54. Interés Simple
C = Capital Inicial.
i = Tasa de interés de un periodo.
n = Plazo, numero de periodos que dura la operación.
I = Interés obtenido al final del plazo.
M = Monto obtenido al final del plazo.

55. Interés Simple
Para calcular el Interés obtenido se emplea la formula:
I = C x i x n

56. Interés Simple
Ejemplo: Calcule el interés que genera un solo capital de
$500.000 durante 5 meses. La tasa de Interés mensual es
de 2,5%.
La formula es : I = C x i x n
Su reemplazo es : 500.000 x 0,025 x 5
El resultado es : 62.500

57. Interés Simple
De acuerdo al ejemplo anterior la Tasa de Interés esta
expresada en tanto por uno. Por lo anterior debemos
recordar siempre la siguiente regla:
SIEMPRE SE DEBE UTILIZAR LA TASA DE INTERES
EXPRESADA EN TANTO POR UNO PARA REALIZAR
CALCULOS CON LA FORMULA
I= C x i x n

58. Interés Simple
Ejemplo: La señora Zoila Mesa, ha recibido una herencia de
US$42.000 y la invierte a un plazo de 3 años a una tasa del
10% ¿Cuál es el interés que genera al cabo de los 3 años?
Formula : I = C x i x n
Reemplazo : I = US$42.000 x 0,1 x 3
Resultado : I = US$ 12.600
Observe que en este problema la tasa de interés no lleva
explicito el periodo, recuerden que cuando esto ocurre la
tasa es anual.

59. Interés Simple
Nótese que en cada uno de los ejemplos la tasa y el
periodo poseen las mismas unidades, de aquí debemos
afirmar que:
ES IMPRESCINDIBLE QUE LA TASA (i) Y EL
PLAZO (n) ESTEN EXPRESADOS EN LAS MISMAS
UNIDADES DE TIEMPO
En caso de que estén expresados en unidades
incompatibles se deben convertir a una misma unidad de
tiempo.

60. Interés Simple
Hasta ahora tenemos definido el Monto como : La suma del
capital mas los intereses generados durante el plazo de una
operación financiera.
Al igual que para el interés, existe una formula para
determinar el Monto:
M = C + I

61. Interés Simple
Ejemplo: La compañía de Maderas “El Palito”, debe cancelar
el capital de un préstamo por $25.000.000 a final de año y
además los intereses por $2.891.673. ¿Cuál es el monto a
pagar a fin de año?
Formula M = C + I
Reemplazo M = $25.000.000 + $2.891.673.-
Resultado M = $27.891.673.-

62. Interés Simple
Ejercicio: Calcule el monto a pagar por un capital de
$238.600 que genero un interés de $27.782
Formula
Reemplazo
Resultado

63. Interés Simple
En muchos problemas no se sabe el interés de capital, por
lo tanto es necesario calcularlo previamente para conocer el
monto.
Ejemplo: El señor Julio Jil, desea comprar un auto
para su hija, para esto pide un préstamo de
$5.000.000 a un año plazo, a una tasa del 13%. El
desea saber cuanto debe pagar al banco al cabo de
un año.
En el ejemplo se pregunta por el Monto, o sea por el capital
mas intereses, para calcularlo debemos encontrar el interés
y luego sumarlo con el capital inicial.

64. Interés Simple
Calcularemos primero los Intereses
Formula I = C x i x n
Reemplazo I = 5.000.000 x 0,13 x 1
Resultado I = 650.000

65. Interés Simple
Luego para encontrar el Monto, sumamos el capital mas el
interes:
Formula M = C + I
Reemplazo M = 5.000.000 + 650.000
Resultado M = 5.650.000
Así el señor Jil debe pagar al banco la suma de
$5.650.000.-

66. Interés Simple
Como sabemos que I = C x i x n , reemplazando podemos
obtener la formula mas usada para determinar el monto:
M = C + I
M = C + C x i x n
M = C x (1 + i x n)

67. Interés Simple
Ejemplo: Calcular el monto a pagar por un deposito de
$850.000 al 3% mensual durante seis meses.
Formula M = C x (1+ i x n)
Reemplazo M = 850.000 x (1 + 0,03 x 6)
Resultado M = 1.003.000

68. Interés Simple
Ejercicios: ¿Cuál es el monto a pagar por un deposito de
$30.000 al 2,8% mensual durante 8 meses?
¿Cuál es el monto a pagar por un deposito de $50.000 al
9,6% durante 9 meses?
¿Cuál es el monto a pagar por un préstamo de $200.000 al
12% durante 8 meses?

69. Interés Simple
Hasta ahora hemos aprendido a encontrar el Interés y el
Monto, pero que podemos hacer si se nos presenta la
siguiente pregunta:
¿Cuanto debo depositar hoy para que, al cabo de 8
meses y a una tasa del 3% mensual, yo gane un
interés de $24.000?
O sea, necesitamos saber el capital necesario para que
después del plazo planteado, obtengamos el interés
especifico a una tasa determinada.

70. Interés Simple
Para responder la interrogante anterior se utiliza la
siguiente formula:
C = I _
i x n
Para comprender como opera esta formula, resolvamos el
siguiente ejemplo:

71. Interés Simple
Si usted desea obtener un interés total de $24.000. ¿Cuál
es el capital que usted debe depositar para obtener dicho
interés al cabo de 8 meses, a una tasa del 3% mensual?
Formula C = I
i x n
Reemplazo C = 24.000
0,03 x 8
Resultado C = 100.000.-

72. Interés Simple
Observemos que con los datos del ejemplo anterior
podemos encontrar el monto de la operación, que sería
M = C + I
M = 100.000 + 24.000
M = 124.000.-

73. Interés Simple
Continuemos estudiando el interés simple, ahora
pensemos el siguiente caso:
Una persona se dirige a una tienda a comprar un traje, en
esta le ofrecen dos modalidades de pago. La primera
consiste en pagar al contado $50.000 , y la segunda
consiste en pagar en un mes los $50.000 mas un interés de
$3.000 ¿Cuál es la tasa de interés aplicada?

74. Interés Simple
Para responder la pregunta planteada utilizamos la
siguiente formula:
i = I
C x n

75. Interés Simple
Ejemplo: ¿ A que tasa de interés, un capital de $154.000
depositado durante 10 meses, genera un interés de
$46.200?
Formula i = I
C x n
Reemplazo i = 46.200
154.000 x 10
Resultado i = 0,03 mensual = 3% mensual

76. Interés Simple
Nótese que la tasa encontrada es una tasa mensual, esto
se debe a que el plazo esta expresado en esa unidad de
tiempo, debemos recordar que:
SIEMPRE LA TASA DE INTERES ESTA MEDIDA EN LA
MISMA UNIDAD EN QUE ESTA EXPRESADO EL PLAZO.

77. Interés Simple
Ejemplo: ¿Cuál es la tasa de interés simple que permite
que un capital de $80.000 se transforme en un monto de
$88.000, luego de transcurrido un plazo de 2 años?
Para resolver este problema no podemos aplicar
directamente la formula encontrada, sino que primero
debemos el interés total generado en la operación.
I = M – C
I = 88.000 – 80.000
I= 8.000

78. Interés Simple
Ahora que sabemos cuanto es el interés, podemos usar la
ecuación para calcular la tasa de interés:
i = I
C x n
i = 8.000
80.000 x 2
i = 0,05 anual = 5% anual

79. Interés Simple
Hasta ahora hemos aprendido a calcular el interes, el
monto, y la tasa de interes.
Veamos entonces como calcular el plazo de una operación
financiera.
Para calcular el plazo utilizamos la siguiente ecuación:
n = I
C x i

80. Interés Simple
Ejemplo: ¿Cuál es el plazo necesario para que un crédito
pactado por un valor de $370.000, a una tasa de 3,8%
mensual, se convierta en una deuda de $623.080?
Primero debemos encontrar el valor del interés:
Formula I = M - C
Reemplazo I = 623.080 – 370.000
Resultado I = 253.080

81. Interés Simple
Ahora calcular el valor del plazo:
Formula n = I
C x i
Reemplazo n = 253.000
370.000 x 0,038
Resultado n = 18 meses.

82. Interés Simple
El valor del plazo esta expresado en meses debido a que la
tasa de interés es mensual.
Cambiemos de unidad de medida al plazo encontrado. Un
año esta compuesto por 12 meses, por lo tanto 18 meses
equivalen a :
n = 18 / 12
n = 1,5 años.

83. Interés Simple
Al realizar el ejemplo anterior queda de manifiesto la
necesidad de aprender a transformar los años a meses o
estos últimos a días. El problema surge en la interpretación
de los valores que incluyen decimales.
Ejemplo: ¿A cuanto equivale 1,25 años?
El valor 1,25 puede ser escrito como 1 + 0,25, entonces
puede ser interpretado como un año mas una fracción de
un año.
¿A cuantos meses corresponde esta fracción?

84. Interés Simple
Para resolver la pregunta anterior, debemos saber cuantos
meses tiene un año, como un año tiene 12 meses, entonces
debemos multiplicar la fracción de año (0,25) por el
numero de meses que tiene un año.
0,25 x 12 = 3 meses
Por lo tanto 1,25 años es equivalente a 1 año y 3 meses.

85. Interés Simple
Ejercicios:
¿A cuanto equivale un plazo de 3,5 meses?
¿A cuanto equivale 1,75 años?
¿A cuanto equivale 4,8 años?

86. Formulas Interés Simple
I = C x i x n Interés
I = M – C Interés
M = C + I Monto
C = M – I Capital
M = C x (1 + i x n) Monto
C = M Capital
1 + i x n
i = M - C Tasa de Interés
C x n
n = M - C Plazo
C x i

87. INTERES COMPUESTO

88. Conceptos Básicos Matemáticos
POTENCIACION
La potenciación consiste en la representación de la
multiplicación de un mismo numero que se realiza
varias veces.

89. Conceptos Básicos Matemáticos
Por ejemplo en la siguiente expresión:
2x2x2x2x2x2
El numero 2 se multiplica por si mismo 6 veces. Para
simplificar estas expresiones se usa la notación:
6
2

90. Conceptos Básicos Matemáticos
Ejemplos:
4 4
a) 3 = (3) = 3x3x3x3 = 81
3 3
b) 5 = (5) = 5x5x5 = 125
3
c) (1,015) = 1,105 x 1,105 x 1,105 = 1,046

91. Conceptos Básicos Matemáticos
Ejercicios:
3
a) 5 =
3
b) 25 =
4
c) (1,081) =

92. Conceptos Básicos Matemáticos
Al incluir una nueva operación, queda la interrogante de
cual es la prioridad de las operaciones matemáticas con
potencias:
Primero: las potencias
Segundo Las multiplicaciones y/o divisiones
Tercero: Las sumas y/o restas
Lo anterior es valido en la medida en que no hayan
paréntesis, si los hay se deben priorizar.

93. Conceptos Básicos Matemáticos
Ejemplo:
2
a) 2 + 4
2 + 16
18
2
b) 2 x 6
2 x 36
72

94. Conceptos Básicos Matemáticos
Ahora, supongamos que tenemos que calcular la siguiente
expresión:
18
(1 + 0,022)

95. Conceptos Básicos Matemáticos
En este caso resultaría muy engorroso multiplicar 1,022,
18 veces. Por esto se puede recurrir a calculadoras que
tienen incorporado los cálculos de potencias.
La mayoría de las calculadoras trae la tecla
Para calcular la expresión ya mencionada hay que seguir los
siguientes pasos:
x y
Y o X

96. Conceptos Básicos Matemáticos
a) Ingresar el valor 1,022
b) Presionar la tecla
c) Ingresar el valor 18
d) Presionar la tecla =

97. Conceptos Básicos Matemáticos
Después de realizada esta secuencia el resultado que debe
aparecer en la pantalla es
1,4795

98. Conceptos Básicos Matemáticos
Ejemplos: Desarrolle los siguientes cálculos:
12
a) (1,025) =
4
b) (1,15) =
5
c) (2,08) =
6
d) (0,907) =
4
e) (3,05) =

99. Conceptos Básicos Matemáticos
Raíces:
La Radicación es la operación contraria a la
Potenciación
Cuando resolvíamos potencias, teníamos que determinar
cual era el valor de una expresión como:
6
2 = 64

100. Conceptos Básicos Matemáticos
Con la radicación nos interesa responder, ¿Qué valor
multiplicado 6 veces por si mismo nos da 64?
6
64 = 2
Nosotros ya sabemos que 2 multiplicado 6 veces por si
mismo nos da 64, con esto se comprueba lo antes
planteado

101. Conceptos Básicos Matemáticos
Realice los siguientes ejercicios:
5
1,288 =
1/5
(1,288) =
0,2
(1,288) =

102. Conceptos Básicos Matemáticos
Es decir, sacar la raíz quinta de 1,288, es igual que
elevar a la potencia de 1/5 o 0,2.

103. Conceptos Básicos Matemáticos
Ejercicios:
4
81 =
5
1024 =
5
1,4693 =
6
72,0744 =
(Ver con potencias)

104. Conceptos Básicos Matemáticos
Hemos desarrollado dos importantes operaciones :
Potencias y Raíces. Estas operaciones suelen incluirse en
expresiones en que aparecen otros operadores
matemáticos. A continuación ejemplos de expresiones
comúnmente utilizadas en calculo financiero:
12
1) (1+0,023) x 0,023
12
(1,023) x 0,023
1,3137 x 0,023
0,0302

105. Conceptos Básicos Matemáticos
Ejemplo 2:
0,0475
6
(1+0,023) - 1
0,0475
1,1462 - 1
0,0475
0,1462
0,3249

106. Conceptos Básicos Matemáticos
Ejercicios:
5
a) (1,012) x 0,012
5
(1,012) - 1
4
b) (1,15 - 0,18 x 2,5)
5
c) 0,06 x 32,7

107. Conceptos Básicos Matemáticos
Logaritmos:
Para entender el concepto de logaritmo, examinemos la
siguiente expresión:
2
10 = 100
Esto indicaba que el numero 10 debía multiplicarse 2 veces
por si mismo, lo que da 100.
Usualmente se dice que 10 elevado a 2 es 100

108. Conceptos Básicos Matemáticos
Ahora con la radicación, nuestra pregunta es ¿Que numero
elevado a 2 nos da 100?
La respuesta es 10 y esta operación la expresamos como:
2
100= 10

109. Conceptos Básicos Matemáticos
Ahora, la pregunta que nos hacemos con los Logaritmos es
¿Cuántas veces debemos multiplicar 10 por si mismo para
que nos de 100? O ¿A que numero debemos elevar 10 para
que nos de 100? La respuesta en este caso es 2, y se
expresa así:
Log 100 = 2
10
En el ejemplo anterior el 10 se conoce como base. Lo usual
en las calculadoras es que la base sea 10, por ello suele no
colocarse en el logaritmo.

110. Conceptos Básicos Matemáticos
Para efectos del curso, basta entender los conceptos
anteriores y sepa hacer los cálculos con su calculadora:
Calcular: Log 2,1537
Utilizando la calculadora debemos:
a) Ingresar el valor 2,1537
b) Presionar la tecla Log de su calculadora

111. Conceptos Básicos Matemáticos
C) En el visor de la calculadora aparece el valor 0,3332, así
se tiene que:
Log 2,1537 = 0,3332
Lo anterior de acuerdo a la definición de logaritmo, significa
que 10 elevado a 0,3332 nos da 2,1537, o sea:
0,3332
10 = 2,1537

112. Conceptos Básicos Matemáticos
Verifique el valor de las siguientes expresiones:
a) Log 33,156 =
Log 103,21
b) Log 3,150 =
c) Log 2,533 =
d) Log 4,15 =
Log 8,07

113. Conceptos Básicos Matemáticos
Hasta aquí, la revisión de los conceptos matemáticos que
serán necesarios para realizar con éxito los problemas de
calculo financiero.

114. INTERES COMPUESTO

115. Interés Compuesto
Interés compuesto es aquel que se calcula e
base al capital inicial mas el interés ganado en
el periodo anterior.
Es decir, el capital inicial se le va agregando al
interés ganado en el periodo anterior.
En Interés Compuesto: ¡¡¡¡¡EL INTERES GANA
INTERES!!!!!

116. Interés Compuesto
Interés Compuesto
 Se calcula sobre el
capital inicial mas el
interés ganado en el
periodo anterior.
 El capital se incrementa
en cada periodo,
producto de la suma del
interés anterior.
 El interés generado en
cada periodo es mayor
porque se calcula sobre
una base mayor.
Interés Simple
 Se calcula siempre sobre
el capital original, el cual
no cambia porque no se
le agrega el interés
ganado en cada periodo.
 El interés generado en
cada periodo es siempre
el mismo porque se
calcula sobre la misma
base.

117. Interés Compuesto
¿Cuándo y como se usa el interés compuesto?
En general, el interés compuesto se emplea en las
operaciones de largo plazo. Sin embargo, debido a los
efectos de la inflación, actualmente se utiliza también en
periodos inferiores a un año.

118. Interés Compuesto
Veamos algunas definiciones:
Se denomina periodo de capitalización o conversión
de interés al momento en que estos pasan a formar
parte del capital.
Esto puede ocurrir anualmente, semestralmente,
mensualmente, etc.
Por lo anterior, EN EL INTERES COMPUESTO ES
FUNDAMENTAL DEFINIR CADA CUANTO TIEMPO
OCURRIRA LA CAPITALIZACION DE INTERESES.

119. Interés Compuesto
Se denomina periodo de interés o conversión, al
periodo de tiempo entre dos capitalizaciones o
conversiones sucesivas.
Por ejemplo, si se ha convenido que la capitalización de un
deposito por tres años sea semestral, entonces el periodo
de interés o conversión es cada seis meses.

120. Interés Compuesto
Se denomina frecuencia de conversión al numero de
veces que el interés se convierte o capitaliza en un
año.

121. Interés Compuesto
Para las formulas de calculo de Interés Compuesto, se tiene
que:
M = Monto al final del periodo
C = Capital Inicial
i = Tasa de Interés por periodo de capitalización expresada
en tanto por uno
n = Numero de capitalizaciones.

122. Interés Compuesto
Para calcular el Monto al final del periodo en cuestión
con interés compuesto, se utiliza la siguiente formula:
n
M = C x (1 + i)

123. Interés Compuesto
Ejemplo:
Una ancianita deposita un capital de $200.000 en el banco
durante 2 años a una tasa de interés compuesto de 15%.
¿Cuál será el monto recibido por la ancianita al final del
plazo si desea una capitalización anual?
Formula n
M = C x (1 + i)

124. Interés Compuesto
2
M = 200.000 x (1 + 0,15)
M = 200.000 x 1,3225
M = 264.500

125. Interés Compuesto
Para calcular el Capital utilizando interés
compuesto se emplea la siguiente formula:
C =
M
(1 + i)
n

126. Interés Compuesto
Ejemplo:
Iván quiere obtener al cabo de 6 meses la cantidad
de $350.000. ¿Cuánto dinero deberá depositar si
desea capitalización mensual, y si ofrecen una tasa
de 1,8% mensual?

127. Interés Compuesto
C = 350.000
(1+0,018)6
C = 350.000
1,1130
C = 314.465

128. Interés Compuesto
Calculo de TASA DE INTERES en el caso de interés
compuesto se emplea la siguiente formula:
n
i = M
- 1
C

129. Interés Compuesto
Ejemplo: El Señor Juan Fierro, desea depositar
$120.000 a nombre de su hijo y obtener al cabo de
un año la suma de $150.000. ¿Qué tasa de interés
compuesto mensual deberá requerir el ahorrante si
desea capitalización mensual?

130. Interés Compuesto
12
i = 150000
- 1
120000
12
i = 1,25 - 1
i = 1,0188 - 1
i = 0,0188
i = 1,88% mensual

131. Interés Compuesto
Para Calcular el PLAZO o NUMERO DE PERIODOS
en el caso del interés compuesto, se debe emplear la
siguiente formula:
log M
n =
C
log (1 + i)

132. Interés Compuesto
Ejemplo: Ignacio deposita su capital de $270.000 a
una tasa de interés compuesta de 9% con
capitalización anual. ¿Cuál debe ser el plazo del
deposito para obtener un monto de $350.000?
log M
n =
C
log (1 + i)

133. Interés Compuesto
log 350.000
n =
270.000
log (1 + 0,09)
n = 3,01años
n = 3 años (aproximado)

134. AMORTIZACION

135. Amortización
La AMORTIZACION de una deuda consiste en una serie de
pagos periódicos en los que el ultimo de ellos permite pagar
completamente la deuda original mas los intereses
generados.

136. Amortización
En este sentido diremos que un documento que genera
intereses esta “amortizado” cuando las obligaciones
contraídas (capital mas intereses) son liquidadas a través
de una serie de pagos efectuados a intervalos iguales de
tiempo.
Existen varias modalidades de amortización, en este curso
estudiaremos el mas utilizado en nuestro sistema
financiero, el “SISTEMA DE CUOTA FIJA”

137. Amortización
Sistema de Cuota Fija:
El sistema de cuota fija (Capital mas Intereses) consiste en
una serie de pagos iguales que permiten extinguir la deuda
en forma progresiva.
En este sistema, cada pago realizado cubre los intereses
del periodo y amortiza una parte de la deuda.

138. Amortización
A continuación una representación grafica de este sistema:
INTERES
CAPITAL
VALOR
CUOTA

139. Amortización
Como se puede apreciar, en las primera cuotas, el interés
que se paga es alto y luego va disminuyendo. Por otra
parte, con el tiempo las amortizaciones de capital van
aumentando.

140. Amortización
¿Cómo calcular la cuota fija en este sistema?. En este caso
se utiliza la formula de calculo de valor de cuota:
R = C x i (1 + i)
n
(1 + i)
n
1

141. Amortización
Veamos un ejemplo para ver como usar esta formula en el
caso de amortización es de cuotas fijas:
Ejemplo, el Señor Pedro Pablo pide un préstamo de
$300.000 según el sistema de cuota fija, en un plazo de 5
meses. ¿Cuál es el valor cuota, y como será el cuadro de
amortización que enfrentara, a una tasa de interés mensual
del 2%?
R = 63.648.-
5
R= 300.000 x 0,02 (1 + 0,02)
5
(1 + 0,02) - 1

142. Amortización
Periodo Capital
Insoluto
Valor
Cuota
Interés Capital Deuda
Residual
1 300.000 63.648 6.000 57.648 242.352
2 242.352 63.648 4.847 58.801 183.551
3 183.551 63.648 3.671 59.977 123.574
4 123.574 63.648 2.471 61.177 62.397
5 62397 63.648 1.248 62.397 0

143. Amortización
a) El periodo corresponde al plazo de la deuda (en este
caso, n=5 meses).
b) El Capital Insoluto corresponde al Capital que queda por
amortizar.
c) El valor de la cuota es el mismo en cada periodo.
d) El Interés se calcula según el capital insoluto que queda
en un periodo.
e) El capital pagado corresponde a la diferencia entre el
valor de la cuota y el interés del periodo.
f) La deuda residual corresponde al saldo insoluto del
periodo menos el capital pagado durante el mismo.

144. Amortización
g) El interés de un periodo mas el capital pagado
corresponde a la cuota fija de la deuda.
h) La deuda residual de cualquier periodo pasa a ser el
capital del próximo periodo.

145. Amortización
Hasta aquí los contenido de matemáticas financieras para
este curso, a continuación se elaborara un taller a fin de
ejercitar los contenidos aprendidos.