Proposiciones y los conectivos lógicos.

1. Lógica
Elaborado por Violeta Guédez
PROPOSICIONES

2. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
Gráfico con la secuencia a seguir en el curso:
Distinguiremos en su
estructura….
Con el objeto de…
Podremos…
Definiremos
Argumento lógico
Premisas
Razonamiento
Conclusión
Identificaremos
Proposiciones
Proposiciones
Simples,
Compuestas
Conectivos
Simbolizar
Premisas y
Conclusión
con Conectivos
Predicados
Cuantificadores
Métodos:
Tablas de verdad
Diagramas de Venn
Reglas de Inferencia
Validar
Argumentos con
razonamiento
deductivo

3. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
Proposiciones
En vista de las necesidades de «contar», «ordenar»,
«medir», «clasificar», «relacionar»,… resultan el lenguaje
matemático como una decodificación, elaboración y
comunicación de las ideas.
Este curso comienza con la presentación de las ideas más
simples que caracterizan el lenguaje matemático: el
concepto de proposición y las operaciones fundamentales
para obtener nuevas proposiciones a partir de algunas ya
conocidas, la negación, la conjunción, la disyunción y el
condicional.

4. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
Proposiciones
Un enunciado se define como una expresión lingüística
que establece un pensamiento completo:
• Interrogativos:
¿Qué hora es?
• Imperativos:
Levántate
• Admirativos o exclamativos:
¡Que grande estás!
• Declarativos:
Hoy es sábado.
Los enunciados declarativos serán de estudio en esta área.

5. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
Proposiciones
Una proposición es un enunciado al cual se le puede
asociar uno de los conceptos “verdadero” (V) o “falso” (F),
pero no ambos.
Comúnmente se denotan con las letras p, q, r, s, …
De acuerdo a la definición anterior, ¿Cuál(es) de las siguientes
expresiones es(son) proposición(es)?
(i) 4 es un número impar
(ii) Hoy es día lunes
(iii) ¡Apague inmediatamente el celular!
(iv) Ese triángulo está mal dibujado
(v) La suma de dos números impares es un número par.
(vi) ¿Qué hora tiene tu reloj?

6. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
Proposiciones
La idea de una proposición se recuerda con una tabla
donde se coloca la proposición y sus valores lógicos. A
esta tabla se le denomina Tabla Lógica de p o Tabla de
Verdad de p o Tabla de Certeza de p.
F
V
p
Proposición 
Valores lógicos 
Nota:
A cada proposición se le denomina proposición simple (Atómicas).
Su tabla de verdad es:

7. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
Proposiciones
Al conectar dos o más proposiciones simples se obtienen
las proposiciones compuestas.
Una proposición compuesta se forma
enlazando proposiciones simples con conectivos.
El valor de certeza de una proposición
compuesta dependerá de los valores de certeza
de las proposiciones simples que la componen
Nota:
A cada proposición compuesta también se le denomina moleculares.

8. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
Los conectivos que abordaremos
inicialmente en este curso serán:
Conectivos
conectivo nombre símbolo
y conjunción 
o disyunción 
⊻
no negación ~
Si...entonces condicional 
…si y sólo si.. bicondicional 

9. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
La proposición ~p es la proposición compuesta cuyo
valor lógico es el contrario al valor lógico de la
proposición p.
Ejemplo: La negación de “n es menor que 5” es:
“n no es menor que 5”
Pero también equivale a decir:
“n es mayor o igual que 5”
La negación

10. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
Su tabla de verdad será:
La negación
Proposición Negación
Primera fila para las
proposiciones 
Filas segunda en adelante para
los valores lógicos de las
proposiciones 
Nota: Frases que permiten simbolizar una negación:
no p;
no es cierto que p;
es falso que p.

11. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
La negación
Ejemplos
¿Cuál es la negación, y cuál el valor lógico de ella, para cada
una de las siguientes proposiciones?
(i) 4 es un número impar
(ii)El cuadrado de un número par es par
(iii) La Universidad Metropolitana tiene 20 años de existencia.
(iv) El número ½ está a la misma distancia del cero que del
uno.

12. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
La conjunción de dos proposiciones p, q es otra
proposición denotada por p  q, la cual es cierta, si y
sólo si p y q son ciertas.
Frases que se toman como “sinónimos” de la conjunción:
Además
Pero
Sin embargo
Aunque
También
Aún
A la vez
No Obstante
(las comas, y el punto y coma)
La conjunción (“y”)

13. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
Ejemplos de conjunción:
El número 3 es positivo y se encuentra a la derecha de 0.
Colecciono postales además de perfumes.
Intenté llegar temprano a clase pero el tráfico lo impidió.
Me perdí la primera parte de la película sin embargo la entendí.
Estudiaré Básica aunque me cueste concentrarme.
Me divertí en la playa, también en la piscina.
Entendí el problema a la vez que lo leía.
Toco piano muy afinado no obstante canto desafinado.
Compraré queso, jamón, pan y mantequilla.
La conjunción (“y”)

14. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
Su tabla de verdad es:
La conjunción (“y”)
Observe que sólo es cierta cuando p y q son ciertas.
Primera fila para las
proposiciones 
Filas segunda en adelante para
los valores lógicos de las
proposiciones


15. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
La conjunción (“y”)
Ejemplos
Para cada una de las siguientes proposiciones indique
cuales son las proposiciones simples y simbolice utilizando
la conjunción:
(i) -3 es un número negativo y se representa a la derecha
del cero
(ii) En la Isla de Margarita hay playas y tiendas
(iii) El médico y su paciente discutieron por los honorarios.
(iv) Intenté llegar temprano a la Universidad, pero una
“tranca” me retrasó.

16. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
Dadas las proposiciones p y q, definimos la
proposición “ p disyunción q”, denotada como p  q, a
la proposición que se obtiene conectando ambas
proposiciones con la expresión “o”.
Ejemplo:
Veo las noticias o me divierto.
Estudio matemática o lenguaje.
Estoy dentro o fuera.
Estoy viva o muerta.
La disyunción (“o”)
Advertencia importante:
El “o” correspondiente a la disyunción será siempre incluyente.

17. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
La tabla de verdad de la “o” inclusiva es:
La disyunción (“o”)
Primera fila para las
proposiciones 
Filas segunda en adelante para
los valores lógicos de las
proposiciones

Observe que sólo es falsa cuando p y q son falsas.

18. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
La tabla de verdad de la “o” exclusiva es :
La disyunción (“o”)
Primera fila para las
proposiciones 
Filas segunda en adelante para
los valores lógicos de las
proposiciones

Observe que sólo es falsa cuando p y q tiene los
mismos valores.
p⊻q
F
V
V
F

19. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
La disyunción (“o”)
Ejemplos
Para cada una de las siguientes proposiciones indique
cuales son las proposiciones simples y simbolice utilizando
la disyunción:
(i) El valor de x es un número mayor que 12 o menor que 3.
(ii) El domingo próximo pintaré la pared o el techo.
(iii) Me quedo con la duda o pregunto
(iv) Vengo a clases en el Ford o en el Nissan.
(v) Estoy casada o soltera.

20. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
Dadas dos proposiciones p, q, la proposición
condicional de ellas es la nueva proposición que se
obtiene conectando ambas con la expresión “si p…
entonces q”.
Lecturas equivalentes de “si p entonces q” (p  q) son:
• p implica q
• q si p
• p es suficiente para q
• q es necesaria para p
• q cuando p
• q siempre que p
• p sólo si q
• q porque p
• q a menos que no p
El condicional (“si … entonces …”)

21. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
El condicional (“si … entonces …”)
Ejemplos:
 Si cumpliste 18 años entonces puedes sufragar.
 Cumplir 18 años implica que puedes sufragar.
 Puedes sufragar si cumpliste 18 años.
 Cumplir 18 años es suficiente para poder sufragar.
 Es necesario haber cumplido 18 años para poder
sufragar.
 Puedes sufragar cuando cumplas 18 años.
 Podrás sufragar siempre que cumplas 18 años.
 Cumpliste 18 años sólo si has sufragado.
 Pudiste sufragar porque cumpliste 18 años.
 Podrás sufragar a menos que no hayas cumplido 18
años.

22. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
Observe en el siguiente condicional:
“Si Pedro tiene una gandola entonces pasa por
la rampa”
Considere
p: Pedro tiene una gandola
q: Pedro pasa por la rampa
El condicional (“si … entonces …”)
Asigne valores de verdad a las proposiciones:
p: V q: V p:V q: F
p: F q: V p: F q: F
¿Cuál de las combinaciones es la que falla (es Falsa)?

23. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
Su tabla de verdad es:
Observe que sólo es falsa cuando el antecedente es
verdadero y el consecuente falso.
El condicional (“si … entonces …”)
Primera fila para las
proposiciones 
Filas segunda en adelante para
los valores lógicos de las
proposiciones

Nota:
La proposición p se llama
antecedente y la
proposición q recibe el
nombre de consecuente

24. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
El condicional (“si … entonces …”)
Ejemplos
Para cada una de las siguientes proposiciones indique
cuales son las proposiciones simples y simbolice utilizando
el condicional:
(i) Si se eleva al cuadrado un número par se obtiene un
número par.
(ii) Para poder aprobar el trimestre es necesario pasar
Lógica.
(iii) Si un triángulo es equilátero, también es isósceles.
(iv) Debo hacer los ejercicios, puesto que entendí la clase.
(v) Es suficiente que sea caraqueño para que sea
venezolano.

25. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
El bicondicional (“… si y sólo si …”)
Dadas dos proposiciones p y q, la proposición
bicondicional de ellas es la nueva proposición que
se obtiene conectando ambas con la expresión “p si y
sólo si q”, o «p es condición necesaria y suficiente
para q», o «p entonces y sólo entonces q».
.
El bicondicional es llamado equivalencia entre dos
proposiciones p y q compuestas de la forma
(p  q)  (q  p) la cual, habitualmente, se
denota por p  q , o p  q , o p  q .

26. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
El bicondicional (“… si y sólo si …”)
Por ejemplo en la definición:
“Si un triángulo es equilátero entonces todos sus lados
tienen la misma longitud, y si todos los lados de un
triangulo tienen la misma longitud entonces es
equilátero”.
Se tiene:
“Un triángulo es equilátero si y sólo si todos sus lados
tienen la misma longitud”.

27. Lógica Básica
Elaborado por Violeta Guédez
Ejercicio:
a) Determinar cuál de los siguientes es o no proposición.
b) Si es proposición indicar si es simple o compuesta.
c) Si es proposición compuesta indicar cuál es el
conectivo y enunciar cada proposición simple que la
conforman.
• Tiene tres lados porque es un triángulo .
• Lógica Básica es la mejor asignatura.
• Carlos y José son hermanos.
• Las personas que no miran a los ojos no inspiran
confianza.
• Quiero ir al cine pero no tengo dinero.
• El numero 6 es impar.

28. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
Un teorema es un esquema valido de razonamiento
donde el conjunto de premisas se denomina
hipótesis y la conclusión es la tesis.
Ejemplo:
 Si una figura geométrica tiene tres lados y tiene un
ángulo recto entonces es un triángulo rectángulo.
 Dos ángulos son complementarios si la suma de la
medidas de sus ángulos es 90 grados.
 El conjunto C={1, 2, 3, 4, 5} es la unión de los
conjuntos A={1, 3, 5} y B={2, 3, 4}.
Respecto a los teoremas
En matemática, cada vez que se enuncia un Teorema
se tiene un condicional: Hipótesis Tesis.

29. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
Proposiciones
Una tautología a una proposición compuesta que es
siempre verdadera, cualesquiera que sean los valores
de verdad de las proposiciones que la conforman. (La
tabla de verdad de una tautología da como resultado
exclusivamente el valor V ). Por convención
denotaremos una tautología como V0.
Una contradicción a una proposición compuesta que
es siempre falsa, cualesquiera que sean los valores
de verdad de las proposiciones que la conforman.
(La tabla de verdad de una contradicción da como
resultado exclusivamente el valor F).
Por convención denotaremos una contradicción como F0.
Nota:
Todos los teoremas son una tautología.

30. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
Proposiciones
Una Contingencia es una proposición compuesta que
en la tabla de verdad toma valores de verdad V para
algunas valoraciones y valores F para otras en su
resultado.
Ejemplos:
(p ∨  p) es tautología
(p   p) es contradicción
(p  q) es contingencia

31. Lógica Básica
Elaborado por Violeta Guédez
Formas derivadas del CONDICIONAL
Cuando se establece un teorema, de manera casi obligatoria se piensa en los
siguientes condicionales asociados:
p q q p
 p q q  p
Teorema directo Teorema recíproco
Teorema contrario
(Inverso)
Teorema contrarrecíproco
recíprocos contrarios
contrarrecíprocos

32. Lógica Básica
Elaborado por Violeta Guédez
Notas de Formas derivadas del CONDICIONAL
 Toda definición es reversible, es decir la proposición
y su recíproca son siempre ciertas.
 Una proposición y su contrarrecíproca son
equivalentes, quiere decir que en una demostración
se puede utilizar cualquiera de las dos.

33. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
Proposiciones
Dos proposiciones son equivalentes si sus valores de
verdad son idénticos, esto es, son aquellas
proposiciones que tienen la misma tabla de verdad.
En las proposiciones condicionales existen expresiones
equivalentes entre si:
Dado el condicional p  q su equivalente es su
contrarrecíproco ~q  ~p
Y del recíproco q  p su equivalente es el inverso ~p  ~q
Demuestre las equivalencias anteriores realizando las tablas de
verdad en cada caso.

34. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
Proposiciones
Negación del condicional
~ (p  q) es ~ (~p  q)
Negación del condicional p  q:
Se escribe ~ (p  q) = ~(~p  q) = p  ~q
Aplicando la Ley de De Morgan:
Realice su tabla de verdad y verifique que:
~ (p  q) = p  ~q .

35. Elaborado por Violeta Guédez
Matemática Básica
Ejercicios:
Exprese en símbolos cada una de las siguientes
proposiciones compuestas y para ello identifique cada
proposición simple con las letras p, q, r, s,… (que hagan
falta):
a) No es cierto que, si soy venezolana entonces soy
de Caracas.
b) Soy venezolana pero no soy de Caracas.
c) No es cierto que, soy de Caracas y no soy
venezolana.
d) No es cierto que, no soy venezolana ni soy de
Caracas.