3. Elaborado por Elsa Guédez
INTEGRALES IMPROPIAS
Se llaman integrales impropias aquellas que contienen límites
de integración infinitos o bien aquellas para las cuales la
función que se desea integrar, presenta una discontinuidad en
algún punto del intervalo de integración.
Estas integrales se evalúan siguiendo las definiciones que se
presentan a continuación:
4. Elaborado por Elsa Guédez
Y en tal caso diremos que hay impropiedad en “+∞ ”. Si el
límite existe, se indica que la integral es convergente, de lo
contrario se indica que es divergente.
Definición 1
Si F(x) es continua para x [ a,+ ) entonces
INTEGRALES IMPROPIAS
5. Elaborado por Elsa Guédez
Resolver la siguiente integral y determinar si converge o diverge:
Ejemplo 1
INTEGRALES IMPROPIAS
6. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Es claro que es continua para x∈ [0, ∞) y en
consecuencia, la integral sólo presenta impropiedad en
“+” y así:
Como sólo si x < 0 entonces:
Sea:
7. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Dada la continuidad de F(x) para x∈[0, k] con k > 0, es
posible aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo, para lo
cual se considera:
Se hace el cambio de variable:
Aplicando, integración por partes:
8. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Y de allí, queda:
Obteniendo:
9. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Evaluando, se obtiene:
Sustituyendo (2) en (1):
11. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
ANEXO
La integral calculada puede interpretarse como el área de la
región infinita delimitada por las gráficas de: , y = 0
y x = 0, región que se muestra en el siguiente gráfico.
x
e
y
La recta y = 0 es
asíntota horizontal
de la gráfica de
motivo por el cual la
región no se cierra
en el extremo
derecho y es infinita.
Esto indica que una
región infinita
puede tener área
finita.
12. Elaborado por Elsa Guédez
Y en tal caso diremos que hay impropiedad en “-∞ ”. Si el
límite existe, se indica que la integral es convergente, de lo
contrario se indica que es divergente.
Definición 2
Si F(x) es continua para x ( - , a ] entonces
INTEGRALES IMPROPIAS
13. Elaborado por Elsa Guédez
Ejemplo 2
Resolver la siguiente integral y determinar si converge o diverge:
14. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 2
Y sabiendo que es continua para x∈ (-∞, -1],
Como al factorizar x3 + 16x = 0 se tiene x(x2 +16) = 0,
donde x = 0 ∉ (-∞, -1] y (x2 +16) = 0 no tiene raíz real,
entonces el denominador no tiene problemas en el intervalo.
Sea:
la integral sólo presenta impropiedad en “-” y así:
15. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 2
Se obtiene:
Sea:
Factorizando el denominador para aplicar el proceso de
separación en fracciones simples queda:
16. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 2
Por lo tanto se obtiene:
Haciendo distributiva, igualando y agrupando términos
semejantes, se obtiene el sistema que al resolverlo
queda:
17. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 2
Por lo tanto:
Y al integrar, se tiene:
18. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 2
Al evaluar queda:
Sustituyendo (2) en (1), se obtiene:
19. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 2
Reacomodando para aplicar L´Hòpital:
Indet (∞ - ∞)
21. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 2
ANEXO
La integral calculada puede interpretarse como el área de la región
infinita delimitada por las gráficas de: x = -1, y = 0 y
, región que se muestra en el siguiente gráfico.
16x
x
16
-
y 3
La recta y = 0 es
asíntota horizontal de la
gráfica de
16x
x
16
-
y 3
motivo por el cual
la región no se
cierra en el
extremo
izquierdo y es
infinita.
Esto constituye otro ejemplo de que una
región infinita puede tener área finita.
22. Elaborado por Elsa Guédez
Y en tal caso diremos que hay impropiedad en “x = a ”. Si el
límite existe, se indica que la integral es convergente, de lo
contrario se indica que es divergente.
Definición 3
Si F(x) es continua para x (a,b] y discontinua en x = a,
entonces:
INTEGRALES IMPROPIAS
23. Elaborado por Elsa Guédez
Y en tal caso diremos que hay impropiedad en “x = b ”. Si el
límite existe, se indica que la integral es convergente, de lo
contrario se indica que es divergente.
De manera análoga
Si F(x) es continua para x [a,b) y discontinua en x = b,
entonces:
INTEGRALES IMPROPIAS
24. Elaborado por Elsa Guédez
Ejemplo 3
Resolver la siguiente integral y determinar si converge o diverge:
25. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 3
es continua para x∈ (0, 2] y discontinua en x= 0.
Para el denominador e4x - 1= 0 se tiene x = 0, donde
x = 0 ∈ [0, 2] quiere decir que:
Sea:
En consecuencia, la integral presenta una “impropiedad” en
x = 0, por lo tanto:
26. Elaborado por Elsa Guédez
Dada la continuidad de F(x), para x ∈ [k, 2] con 0 < k < 2, es posible
aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo, para lo cual se considera:
Solución del Ejemplo 3
27. Elaborado por Elsa Guédez
Haciendo el cambio de variable z = e4x – 1, se obtiene :
Luego, sustituyendo (2) en (1), resulta:
Solución del Ejemplo 3
28. Elaborado por Elsa Guédez
Evaluando los límites de integración:
Solución del Ejemplo 3
29. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 3
ANEXO
La integral calculada puede interpretarse como el área de la región
infinita delimitada por las gráficas de: x = 0, y = 0 y ,
región que se muestra en el siguiente gráfico. 1
e
e
y 4x
8x
La recta y = 0 es asíntota
horizontal de la gráfica de
1
e
e
y 4x
8x
motivo por el cual
la región no se
cierra en el
extremo izquierdo
y es infinita.
Esto constituye un ejemplo de que una
región infinita puede tener área infinita.
30. Elaborado por Elsa Guédez
Ejemplo 4
La región descrita es utilizada para diseñar un “Tanque infinito”,
al rotarla alrededor de la recta y = -1 ¿será infinito el volumen de
este tanque?
Considera la región limitada en el primer cuadrante por los ejes
coordenados y la función F(x) = - Ln(x) ; donde “x” e “y” se
miden en metros.
31. Elaborado por Elsa Guédez
El siguiente gráfico muestra los elementos a considerar a
efectos de calcular el volumen del “tanque infinito” referido:
Solución del Ejemplo 4
32. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 4
Se considerará:
La partición de “n” subintervalos para x ∈ [K, 1]
Ancho de cada subintervalo: ∆x
Puntos muestra: xi
* (Puntos medios de c/subintervalo – optativo)
Por lo cual, el volumen de la arandela # i es:
33. Elaborado por Elsa Guédez
Y así, el volumen del sólido correspondiente a la rotación de la
zona donde x K,1 es:
Solución del Ejemplo 4
34. Elaborado por Elsa Guédez
Por ser continua la función a integrar para x K,1 , es
posible aplicar el T.F.C. e integrar por partes:
Solución del Ejemplo 4
35. Elaborado por Elsa Guédez
Resolviendo la integral que falta:
Solución del Ejemplo 4
36. Elaborado por Elsa Guédez
Por lo tanto, el volumen del “Tanque Infinito” corresponde a:
Solución del Ejemplo 4
Evaluando:
Al evaluar, el segundo término tiende a la indeterminación
0·∞, por lo tanto: