Breve explicación de que es una integral indefinida y una antiderivada. Utilizando ejemplos para ello

1. Matemáticas II
Código: 1042

2. Elaborado por Elsa Guédez
Matemática II
Temas a trabajar:
Integrales
Integrales indefinidas
Antiderivadas

3. Elaborado por Elsa Guédez
La Integral
La integral es la operación inversa a
la derivada.
La notación:

4. Elaborado por Elsa Guédez
La Antiderivada
La palabra "integral" también puede
hacer referencia a la noción
de antiderivada o primitiva de una
función.
Una función G(x) recibe el nombre de
Antiderivada de f (x) en un intervalo I
si: G’(x) = f (x) para toda x  I.

5. Elaborado por Elsa Guédez
La antiderivada
Si G (x) es una antiderivada de f (x) en un intervalo I
entonces diremos que la antiderivada más
general de f (x) en I es G (x) + C, donde “C”
representa una constante general denominada
constante arbitraria y lo denotaremos así:

6. Elaborado por Elsa Guédez
Integral Indefinida
Una condición suficiente para que una función f admita
primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho
intervalo.
Si G es una primitiva de una función f, el conjunto de sus
primitivas es G + C.
f (x) dx
Respecto a quien se integra
Integrando
A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se
representa como:

7. Elaborado por Elsa Guédez
Integral Indefinida
En general una integral indefinida se caracteriza por:
Símbolo de
integral
Integrando
Diferencial
Variable de
integración
Primitiva General
Constante de
integración

8. Elaborado por Elsa Guédez
El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce
como integración indefinida y es la operación inversa de
la diferenciación, ya que consiste en hallar todas las funciones
cuya diferencial sea una dada
Para trabajar en esta asignatura se tomarán como base los
conceptos que se planteen y las reglas de derivación
desarrolladas en el curso de Matemáticas I, y se establecerán
las fórmulas del “Formulario de integrales indefinidas” de este
curso.
Integral Indefinida

9. Elaborado por Elsa Guédez
Formulario de Integrales Indefinidas

10. Elaborado por Elsa Guédez
Para integrar una función, es decir, para buscar la antiderivada
más general de dicha función, se procede así:
En primer término se realiza la comparación de la función a
integrar con “el formulario” a efectos de verificar si es o no
aplicable.
Si la tabla de derivadas en mención no es aplicable, se intenta
realizar una adaptación algebraica (mediante el desarrollo de
productos notables, el uso de propiedades de potencias, etc.)
de la función hasta transformar el integrando para obtener
integrales que aparezcan en la tabla de integrales básicas.
Integral Indefinida

11. Elaborado por Elsa Guédez
Si definitivamente no es factible la adaptación algebraica de
la función a integrar a la tabla en cuestión a través de
procesos básicos, se requiere entonces el uso de
metodologías más sofisticadas que revisaremos a lo largo del
curso tales como: el Método de Sustitución, el Método de
integración por partes, el Método de los cambios
trigonométricos, etc.
Integral Indefinida

12. Elaborado por Elsa Guédez
Calcular cada una de las integrales indefinidas:
Ejemplo 1:
a)
b)
c)
d)
e)

13. Elaborado por Elsa Guédez
Se separa el integrando formando dos integrales:
En conclusión:
Se procede a aplicar [1] de la tabla y se obtiene:
a)
Dada la integral:

14. Elaborado por Elsa Guédez
Se separa el integrando formando tres integrales:
Dada la integral:
Se procede a aplicar [4] de la tabla a cada integral:
b)

15. Elaborado por Elsa Guédez
Simplificando, se obtiene:
aplicando [1] de la tabla a cada integral:
b) Continuación…
En conclusión:

16. Elaborado por Elsa Guédez
Se separa el integrando formando tres integrales:
Dada la integral:
Simplificando se obtiene:
c)

17. Elaborado por Elsa Guédez
aplicando [1] y [2]de la tabla se tiene:
c) Continuación…
En conclusión:

18. Elaborado por Elsa Guédez
Se separa el integrando formando cuatro integrales:
Dada la integral:
Reescribiendo las integrales, se obtiene:
d)

19. Elaborado por Elsa Guédez
Y luego se reescribe cada término.
d) Continuación…
En conclusión:
aplicando [1] y [2]de la tabla se tiene:

20. Elaborado por Elsa Guédez
Resolviendo producto notable, separando y resolviendo las
integrales:
Dada la integral:
e)
En conclusión:

21. Elaborado por Elsa Guédez
Antiderivada
TEOREMA DE UNICIDAD DE LA ANTIDERIVADA DE UNA
FUNCIÓN:
Si una función f admite una primitiva sobre un
intervalo, admite infinitas, que difieren entre sí en
una constante: si G1 y G2 son dos primitivas de f,
entonces existe un número real C, tal
que G1 = G2 + C.
Recordar que “C ”es conocida como constante de
integración

22. Elaborado por Elsa Guédez
Dadas las funciones:
Ejemplo Teorema de Unicidad de Antiderivada
a) Verifique que F(x) y G(x) son, cada una, antiderivada de A(x).
b) De acuerdo a lo establecido en item a) y según lo
planteado en el “Teorema de Unicidad de la Antiderivada de
una función”: F(x) = G(x) + C para cierta constante “C”.
Probar que efectivamente esto se cumple y determinar la
constante “C” correspondiente.
10



 4
x
Ln(8x)
7
F(x) )
Ln(x
x
G(x) 7
4


x
7
4x
A(x) 3



23. Elaborado por Elsa Guédez
Derivando la función F(x):
Respuesta a)
Derivando la función G(x):
Por lo tanto: F(x) si es una antiderivada de A(x)
Por lo tanto: G(x) si es una antiderivada de A(x)

24. Elaborado por Elsa Guédez
Partiendo de F(x):
Respuesta b)
Por lo tanto: F(x) = G(x) + C donde C = – 7 Ln(8) - 10
10
10
10 












 Ln(8)
7
x
Ln(x)
7
x
Ln(x)
7
Ln(8)
7
x
Ln(8x)
7
F(x) 4
4
4
10


 Ln(8)
7
G(x)

25. Elaborado por Elsa Guédez
Solución:
La antiderivada más general es G(x):
Usa el formulario de integración para obtener la
antiderivada más general de F(x).
7
6 4



 x
e
x
x
x 4
5
)
F( 2
Ejercicio:

26. Elaborado por Elsa Guédez