1. Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
1
3. FUNCIONES
Una función es un tipo particular de relación.
Definición N°6: Función
Se llama función de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵 a una relación 𝑓 𝑑𝑒 𝐴 𝑒𝑛 𝐵, que cumple la siguiente propiedad:
Es decir, el dominio de la relación debe ser igual al conjunto de partida ( 𝐴), y cada elemento del
conjunto de partida debe tener una única imagen en el codominio.
Si 𝑓 es una función de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵 se escribe
O bien, si ( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓, se escribe 𝑓( 𝑥) = 𝑦, esto es:
( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 ⇒ 𝑓( 𝑥) = 𝑦
Esto quiere decir,que cada elemento del conjunto 𝐴 al aplicar la función a ese elemento (𝑓(𝑥))
obtendremos un elemento en el conjunto 𝐵, es decir, obtendremos 𝑦,(𝑓( 𝑥) = 𝑦)
Si ( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓, se escribe 𝑓( 𝑥) = 𝑦, esto es:
( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 ⇒ 𝑓( 𝑥) = 𝑦
El conjunto 𝐴 es llamado Conjunto de Partida o Dominio, mientras que el conjunto 𝐵 es llamado
conjunto de Llegada o Recorrido.
Ejemplo Nº 18:
a. Sean los conjuntos 𝐴 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐} , 𝐵 = {0, 1,2, 3}, y 𝑓 la relación que se muestra en la
figura 4.1, ¿Es la relación 𝑓 una función?
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𝑓 si es función,puestoque cadaelementodel conjunto 𝐴 tiene una única imagen en el conjunto
𝐵, es decir,
( 𝑎,0), ( 𝑏,2),(𝑐, 2) ó 𝑓( 𝑎) = 0; 𝑓( 𝑏) = 2; 𝑓( 𝑐) = 2
b. Seanlosconjuntos 𝐴 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐}, 𝐵 = {0,1, 2,3 }y g larelaciónque se muestra en la figura 3.2.
¿Es la relación g una función?
𝑔 si es función,puestoque cadaelementodel conjunto 𝐴 tiene una única imagen en el conjunto
𝐵, es decir,
( 𝑎,0), ( 𝑏,1),(𝑐, 3) ó 𝑓( 𝑎) = 0; 𝑓( 𝑏) = 1; 𝑓( 𝑐) = 3
c. Seanlosconjuntos 𝐴 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐}, 𝐵 = {0, 1,2, 3}y ℎ la relación que se muestra en la figura 3.3.
¿Es ℎ una función?
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ℎ NO es función, puesto que:
𝑓( 𝑏) = 0 ∧ 𝑓( 𝑏) = 3
3.2 DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCION
Definición Nº 7: Dominio de una Función.
El Dominio de una Función, al igual que en una relación son los valores de 𝑥 en los cuales está
definida esta. Además, el dominio de una función está contenido en el conjunto de partida.
Ejemplo Nº19:
a. 𝑓:{1,2} ⟶ {3, 5}
𝑓( 𝑥) = 2𝑥 + 1
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {1,2} = 𝐴
b. 𝑓: {0,1,3} ⟶ ℝ
𝑓( 𝑥) =
4
5
𝑥 + 3
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {0, 1,3}
c. 𝑓 ∶ ℕ ⟶ ℕ
𝑓( 𝑥) = 𝑥 + 1
𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℕ
d. 𝑓: ℤ ⟶ ℝ
𝑓( 𝑥) =
1
𝑥
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℤ − {0}
Figura 3.3
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Definición Nº8: Recorrido de una Función
El recorrido de una función, al igual que en una relación son los valores de 𝒴, los cuales son
obtenidosapartirde 𝒳, en loscualesestádefinidaésta.Además,el recorrido de unafunción está
contenido o puede que sea el mismo conjunto de llegada o codominio de dicha relación.
Ejemplo Nº18:
a. 𝑓:{1,2} ⟶ {3,5}
𝑅𝑒𝑐 𝑓 = {3,5}
𝑓( 𝑥) = 2𝑥 + 1
𝑦 = 2𝑥 + 1
𝑦−1
2
= 𝑥
𝑅𝑒𝑐 𝑓 ⊆ 𝐶𝑜𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑓
b. 𝑓: {0,1, 3} ⟶ ℝ
𝑓( 𝑥) =
4
5
+ 3 ⟶ 𝑦 =
4
5
𝑥 + 3
5
4
( 𝑦 − 3) = 𝑥
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ
c. 𝑓:ℕ ⟶ ℕ
𝑦 = 𝑥 + 1
𝑦 − 1 = 𝑥 ≥ 1
𝑦 − 1 ≥ 1
𝑦 ≥ 2
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜
𝑅𝑒𝑐 𝑓 = {2,3, 4, 5…}
d. 𝑓: ℕ ⟶ ℕ
𝑓( 𝑥) = 2𝑥 − 3 𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℕ
𝑦 = 2𝑥 − 3
𝑦 + 3 = 2𝑥
𝑥 =
𝑦+3
2
≥ 1
𝑦 + 3 ≥ 2
𝑦 ≥ 2 − 3
𝑦 ≥ −1
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = {−1,0,1, 2,… .}
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-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
𝐷𝑜𝑚 𝑡 = {[1,3]}
𝑅𝑒𝑐 𝑡 = {3}
Gráfico de la función 𝑡( 𝑥) = 3
Figura 3.4
3.3 FUNCIONES CON DOMINIO RESTRINGIDO
Consideremos la figura:
Sea 𝐶 un subconjunto del conjunto 𝐴 (𝐶 ⊆ 𝐴) y sea 𝑅una relación. Notemos que:
1. 𝑅: 𝐴 ⟶ 𝐵 no es función, pues 3 no tiene imagen.
2. 𝑆: 𝐶 ⟶ 𝐵 es función.
Figura 3.5
Figura 3.6
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Notemosque larelación 𝑠 noesfunción,yaque el elemento1del conjunto A tiene dos imágenes
(𝑠(1) = 𝑎 ∧ 𝑠(1) = 𝑏)
Sea 𝑓una funciónde 𝐴 𝑒𝑛 𝐵 (𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵), entonces 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝐴.Sinembargo una relación de 𝐴𝑥𝐵
puede ser una relación en 𝐴𝑥𝐵puede ser una función definida en un dominio contenido en 𝐴.
El dominio de la función se llama dominio restringido cuando 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ⊆ 𝐴 pero 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ≠ 𝐴.
Ejemplo Nº19:
Sea 𝐴 = { 𝑛 ∈ ℕ/7 ≤ 𝑛 ≤ 10}. Analicemos los siguientes diagramas sagitales.
𝑓1 es unafunciónde 𝐴 𝑒𝑛 𝐴, puestoque para elementodel conjuntode partidaexiste una imagen
en el conjunto 𝐴.
𝑓1(7) = 7; 𝑓1(8) = 9; 𝑓1(9) = 10; 𝑓1(10) = 8
𝑓2 es función, puesto que:
𝑓2(7) = 7; 𝑓2(8) = 7; 𝑓2(9) = 8; 𝑓2(10) = 9
Figura 3.7
Figura 3.8
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Notemos que del ejemplo c, se tiene que:
1. 𝑓3no es función de 𝐴 𝑒𝑛 𝐴 ya que 𝑓(10) no tiene imagen en el conjunto de llegada.
2. 𝑓3 es una función con dominio restringido, 𝑓3 es función de 𝐵 𝑒𝑛 𝐴, puesto que:
𝑓3(7) = 7; 𝑓3(8) = 8; 𝑓3(9) = 9
𝑓4 no es función de 𝐴 𝑒𝑛 𝐴 puesto que:
𝑓4(7), 𝑓4(8), 𝑓4(9) no tiene imagen en el conjunto de llegada.
𝑓4 es función con dominio restringido, 𝑓4 es función del conjunto 𝐷 𝑒𝑛 𝐴.
Ejemplo Nº20:
Analicemoslossiguientes gráficos en el plano cartesiano y determinemos cuales de ellos son el
gráfico de una función.
a.- Figura 3.11. Ecuación de la recta 𝑓1 = {(𝑥, 𝑦)/𝑦 = 𝑥 + 1}
Figura 3.9
Figura 3.10
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-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
X
Y
b.- Figura 3.12. Semicircunferencia de centro (0,0) 𝑦 radio 1.
𝑓2 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥2 + 𝑦2 = 1 /𝑦 ≥ 0}
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
c.- Figura 3.13. Gráfica Función Valor Absoluto.
𝑓3 = {( 𝑥, 𝑦)/ | 𝑥| = 𝑦}
Notemos que 𝑓 2 es función,
puesto que cada elemento de 𝑥 ∈
ℝ tiene una, y sólo una imagen.
Notemos que 𝑓1 es una función
de ℝ 𝑒𝑛 ℝ, puesto que cada
elemento 𝑥 ∈ ℝ tiene una, y sólo
una imagen
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10
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
3.5. PROPIEDADES DE FUNCIONES
Ya estudiado el dominio y recorrido de funciones, podemos analizar estas, y observar algunos
tipos especiales que cumplen ciertas propiedades las cuales veremos a continuación.
a. FUNCION INYECTIVA O 1-1 (UNO A UNO)
Una función 𝑓 es una función inyectiva ó uno a uno si, y sólo si
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥1,𝑥2 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓, (𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) ⟹ 𝑥1 = 𝑥2
Ejemplo Nº21:
a. Sea 𝑓:ℝ − {1} ⟶ ℝla función definida por 𝑓(𝑥) =
1
𝑥−1
P.D 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) ⟹ 𝑥1 = 𝑥2
𝑓(𝑥1) =
1
𝑥1−1
⟹
1
𝑥1−1
=
1
𝑥2−1
𝑓(𝑥2) =
1
𝑥2−1
𝑥2 − 1 = 𝑥1 − 1
𝑥2 = 𝑥1
Notemos que 𝑓3 es función,
puesto que cada elemento de 𝑥 ∈
ℝ tiene una, y sólo una imagen.
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Por lo tanto 𝑓 es una función inyectiva.
b. Sea 𝑓:ℝ ⟶ ℝ una función definida por 𝑓(𝑥) =
2𝑥2−1
3
. ¿𝑓 Es inyectiva?
P.D 𝑓( 𝑥1) = 𝑓(𝑥2) ⟹ 𝑥1 = 𝑥2
2𝑥1
2
− 1
3
=
2𝑥1
2
− 1
3
3(2𝑥1
2
− 1) = 3(𝑥2
2
− 1)
2𝑥1
2
− 1 = 2𝑥2
2
− 1
2𝑥1
2
= 2𝑥2
2
𝑥1
2
= 𝑥2
2
𝑥1 = ±𝑥2
Por lo tanto 𝑓 no es función inyectiva.
Vemosque paratenerigual imagennoesnecesarioque 𝑥1 𝑦 𝑥2 seaniguales.Porejemplo,si 𝑥1 =
1 𝑦 𝑥2 = −1, tenemos que 𝑓( 𝑥1) = 𝑓(𝑥2)con 𝑥1 ≠ 𝑥2.
b. FUNCION SOBREYECTIVA O EPIYECTIVA
Una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 esEpiyectivao Sobreyectiva si, y sólo si el recorrido es igual al conjunto 𝐵,
es decir:
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑦 ∈ 𝐵, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑥 ∈ 𝐴 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒𝑓(𝑥) = 𝑦
Ejemplo Nº21:
Figura 3.14
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a. Sea 𝑓:ℝ → ℝdefinida por 𝑓(𝑥) = 6𝑥 − 3. Demostraremos que 𝑓 es sobreyectiva.
Sea 𝑦 = 6𝑥 − 3. Despejemos el valor de 𝑥 en función de 𝑦, esto es:
𝑦 − 3
6
= 𝑥
Entonces, 𝑅𝑒𝑐𝑓 = ℝ
Así 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ = 𝐵
Por lo tanto 𝑓 es una función sobreyectiva.
Notemos que 𝐵 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐} y 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑓 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐}
Por lo tanto 𝑓 es una función sobreyectiva.
Figura 3.15
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c. La Gráfica de la Función Cuadrática.
Figura 3.16. Gráfica función Cuadrática.
𝑓( 𝑥) = 𝑥2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
Sea 𝑓:ℝ → ℝ0
+
la función definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2.
Notemos que el 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ0
+
= 𝐵.
Por lo tanto 𝑓 es una función sobreyectiva.
RESTRICCIONES PARA QUE UNA FUNCION SEA SOBREYECTIVA
Sea 𝑓:ℝ∗ → ℝ una función definida por:
𝑓(𝑥) =
1 + 2𝑥
𝑥
Para demostrar que 𝑓 es una función sobreyectiva basta con verificar
𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ = 𝐵
Calculemos el recorrido:
𝑦 =
1 + 2𝑥
𝑥
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𝑥𝑦 − 2𝑥 = 1
𝑥( 𝑦 − 2) = 1
𝑥 =
1
𝑦 − 2
Luego 𝑟𝑒𝑐 𝑓 = ℝ − {2}
Por lo tanto 𝑓 no es una función sobreyectiva.
Para que 𝑓 sea una función sobreyectiva, basta con restringir el conjunto de llegada (𝐵) al
recorrido obtenido, esto es:
c. FUNCION BIYECTIVA
Una función 𝑓 𝑑𝑒 𝐴 𝑒𝑛 𝐵, es una función biyectiva si, y sólo si 𝑓 es inyectiva y sobreyectiva
simultáneamente.
Ejemplo Nº22:
a. Sea 𝑓1: 𝐴 → 𝐵una función definida por:
Notemos que:
𝑓1(1) = 2 ;𝑓1(2) = 4; 𝑓1(3) = 6
Por lo tanto 𝑓1 es una función inyectiva.
Además, 𝑅𝑒𝑐𝑓1 = {2,4, 6} = 𝐵
Por lo tanto 𝑓1 es una función sobreyectiva.
Figura 3.17
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Por lo tanto 𝑓1 es una función biyectiva.
d. FUNCIONES CRECIENTES
Sea una función real, 𝑓 es una función creciente si, y solo si
𝑥 > 𝑦 ⟹ 𝑓( 𝑥) > 𝑓( 𝑦) 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓
Es decir, a medida que el valor de x crece, su imagen también crece. La figura 3.18, muestra una
función creciente.
e. FUNCIONES DECRECIENTES
Sea una función real, 𝑓 es una función decreciente si, y solo si
𝑥 > 𝑦 ⟹ 𝑓( 𝑥) < 𝑓( 𝑦) ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓
Es decir,a medidaque el valorde 𝑥crece,su imagen decrece. La figura 3.19, muestra una función
decreciente.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
Figura 3.18. Función
Creciente
Figura 3.19. Función
Decreciente
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3.6. FUNCION INVERSA (𝒇−𝟏)
En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en
ciertas condiciones será posible definir la aplicación f -1
que realice el camino de vuelta de J a I. En
ese caso diremos que f -1
es la aplicación inversa de f.”
Una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 tiene su correspondiente función inversa 𝑓−1:𝐵 → 𝐴, si 𝑓 es una
función biyectiva (inyectiva y sobreyectiva).
Además si 𝑓es una función biyectiva, entonces 𝑓−1 también será una función biyectiva.
Ejemplo Nº 23:
Notemos que 𝑓 es una función, pues:
I. 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝐴
II. 𝑓(1) = 4, 𝑓(2) = 5, 𝑓(3) = 6
Por lo tanto 𝑓 es una función inyectiva.
Además,𝑅𝑒𝑐 𝑓 = 𝐵.
Por lo tanto 𝑓 es una función biyectiva.
Luego,
Figura 3.20
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17
Para poder determinar la función inversa 𝑓−1 de una función biyectiva 𝑓 debemos seguir los
siguientes pasos:
i. Primero despejar la variable 𝑥 de la ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥)
ii. Luego, se deben intercambiar los valores de 𝑦 por la letra 𝑥.
Ejemplo Nº24:
a. Sea 𝑓:ℝ → ℝuna función biyectiva definida por 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 2
Hacemos 𝑦 = 𝑓(𝑥), esto es:
𝑦 = 4𝑥 + 2
Despejamos el valor de 𝑥,
𝑦 − 2
4
= 𝑥
Luego, donde este una variable 𝑦, la cambiamos por la variable 𝑥, esto es:
𝑥 − 2
4
= 𝑦
Así se define la inversa de la función 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 2 por 𝑓(𝑥)−1 =
𝑥−2
4
Figura 3.16
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b. Observemos la siguiente gráfica de la función biyectiva
𝑓:ℝ → ℝ
𝑥 → 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2
Su función inversa es:
𝑓−1:ℝ → ℝ
𝑥 → 𝑓(𝑥)−1 =
𝑥 − 2
2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
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3.7 COMPOSICION DE FUNCIONES
En matemática, una función compuesta es una función formada por la
composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica
sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo
anterior se le aplica finalmente la función restante.
Formalmente, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen d
está contenida en el dominio de g, se define la función composición
(g ο f ): X → Z como (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de X.
A (g ο f) se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de
escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.
La función compuesta, existe y puede ser calculada si y solo si ocurre que
𝑅𝑒𝑐(𝑓) ⊆ 𝐷𝑜𝑚 (𝑔)
En caso de que la condición no se cumpliese, se redefine la función para que ocurra dicha
condición.
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Ejemplo Nº25:
b. Si 𝑓:ℕ → ℕy 𝑔:ℕ → ℕ son las funciones definidas por
𝑓( 𝑛) = 5𝑛 ∧ 𝑔(𝑛) = 𝑛 + 3
Entonces, ( 𝑔 𝑜 𝑓):ℕ → ℕqueda definida de la siguiente manera:
Figura 3.23
Figura 3.24
