Este documento presenta una metodología para predecir valores máximos de variables hidrológicas como caudales mediante la distribución de Gumbel. Explica los conceptos de tiempo de retorno, riesgo y datos máximos, y describe las fórmulas y características de las distribuciones de Gumbel y Log-Gumbel. Finalmente, incluye ejemplos de aplicación de la distribución de Gumbel para estimar caudales máximos anuales de un río.

1. 1
Índice
1. Introducción………....………………………………………………………………………………………3
2. Historia y antecedentes……………………………….……………………………………………….4
3. Conceptos previos
3.1 Tiempo de Retorno ………………………..……………………………………………………..4
3.2 Riesgo………………………………………………………………………………………………………4
3.3 Datos de máximos…………………………………………………………………………………..5
4. Distribución Gumbel
4.1 Fórmulas y características………………………………………………………………………6
5. Distribución Log-Gumbel
5.2 Fórmulas y características………………………………………………………………………9
6. Aplicaciones y ejemplos ………………………….…………………………………………………………10

2. 2
INTRODUCCIÓN
El desbordamiento de un río lleva consigo una serie de riesgos que pueden afectar gravemente
tanto a construcciones como a la población en general. Por ello, la sociedad demanda un
instrumentoparaacotar ese riesgo y obtener unaseguridad de que la zonaa ocuparquede libre
de ser susceptible de una intrusión de las aguas fluviales debido a una tormenta extraordinaria.
El caudal punta es el caudal máximo que se registra durante el aumento inusual del caudal de
agua de un cauce natural o artificial, superando con creces los valores medios normales. La
predicción de la magnitud de la creciente para el diseño de obras hidráulicas, ha sido siempre
motivo de controversia debido a que los métodos que analizan caudales punta, deben realizar
una proyección hacia el futuro, aplicando teoría de probabilidades, con un alto grado de
incertidumbre. Las estaciones hidrométricasregistran caudales mínimos, mediosy máximosque
fluyenporunpuntodeterminadodeunacuenca. Estainformaciónhidrológicapermitecuantificar
la oferta hídrica de la cuenca y estimar los caudalesmáximos paradistintosperíodosde retorno,
con el propósitode solucionarlos problemasqueimplica el diseñode obras hidráulicas(Chow et
al., 1994).
Si se conocen con un nivel de aproximación razonable las magnitudes de las crecientes que se
van a presentar durante la vida útil de una obra, es claro que las estructuras se pueden diseñar
con unagran confianza en cuantoa los aspectostécnicos y económicos. En efecto, la estabilidad
de una obradurantela vidaútil de diseño, depende en gran parte de sucapacidad para soportar
los efectos que se producen sobre la estructura cuando pasan las crecientes extraordinarias.
Estos efectos se traducen en impactos, presiones, socavación, taponamientos y
desbordamientos. Paralograrlaseguridadque reduzcael riesgode falla de dichasobras, sedebe
construir un modelo probabilístico y con ello contar con una función de distribución de
probabilidad representativa de la variable hidrológica de interés, indicando claramente su
probabilidad de excedencia (Muñoz, 2004).
El presente informe pretende entregar una metodología que permita predecir con cierta
probabilidadlos valores quepuede tomar unavariable hidrológica, en función de la información
de que se disponga, planteándoseloanterior, en valoresmáximos probables, aplicandola ley de
distribución de Gumbel.
Se plantealautilizacióndelaleyde distribucióndeGumbel,dadoque ellahademostradoposeer
una adecuada capacidad de ajuste, a valores máximos de caudales, precipitación en distintos
períodos de tiempo, aportaciones anuales, etc.
Datos:
Precipitación
Caudal
Temperatura
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
RESULTADO
HIDROLOGICO ESPERADO

3. 3
OBJETIVOS:
 Incrementar el conocimiento acerca del comportamiento de los caudales máximos
instantáneos, por medio de funciones de distribución de probabilidad. (Gumbel)
 Determinarlascaracterísticas de la distribuciónGumbel yenque situacionespuede ser
utilizada para obtener buenos resultados.
 Destacar la importancia de la distribución Gumbel en la construcción de obras de
ingeniería.

4. 4
1. Historia y antecedentes
Fue descubiertaporEmil JuliusGumbel matemáticojudíonacidoenAlemaniaafinalesdel siglo
XIX. Es un caso particular de la distribución de valores extremos generalizada y también es
conocida como la distribución log – Weibull, o como la distribución exponencial doble. Según
ReissyThomas(1997), ladistribuciónde Gumbeltiene lamismaimportanciaque ladistribución
normal en otras aplicaciones.
2. Conceptos necesarios
2.1 Probabilidades y periodos de retorno
Cuando la variable aleatoria considerada es una magnitud relacionada con algún fenómeno
natural(caudales, velocidadesde viento), es convenientereferirse a períodosderetorno enlugar
de a probabilidadesde ocurrencia. Si p es la probabilidadde que una variable x supere un dado
valorX enuncierto lapso(porlo general unaño), el períodode retorno T representaráelnúmero
deunidadesdetiempoquetranscurriránenpromedioentredosoportunidadesenquelavariable
supere dicho valor, es decir:
Por lo tanto, es equivalente especificar un período de retorno o recurrencia de 100 años o una
probabilidad anual de 0,01.
El análisis estadísticoconsiste enhallar la funciónque mejor represente el comportamientodela
variable aleatoria x, para luego asignar a cada valor X una probabilidad o un período de
recurrencia. Si Φ(x) es la función de distribución, resulta que:
2.2 Riesgo
Nodebeolvidarseque, cualquiera sea la funciónoprocedimientode ajusteutilizado, el resultado
obtenidoserá una relación entre la variable aleatoria y el período de retornoy que esa variable
aleatoria ya sea un caudal, una cota hidrométrica, un nivel de precipitación o una velocidad de
viento será empleada para un cálculo de ingeniería.
Dichocálculo se efectuará tomandocomobaseunciertoperíodode recurrencia queasegure que
la probabilidadde quela variable aleatoria supere un valor de referencia sea muy baja, tal como
1% anual (período milenario). Sin embargo, aunque se trabaje con elevados períodos, la
probabilidad de que la variable aleatoria supere el valor de diseño no será nula, aunque será
pequeña. Esaprobabilidadesdenominadariesgoy suvalordebeser calculadoantesde proseguir
con los restantes cálculos ingenieriles.
Entoncesla probabilidaddequeen unañogenérico cualquiera no se supere lacotaX deproyecto
relativa a un período de retorno T es:

5. 5
SiN eslavidaútil delemprendimientouobraparalacual se haefectuadoel cálculo probabilístico,
cada año de su vida puede ser considerado como un suceso independiente. Luego, puede
aplicarse la regla de la multiplicación para determinar la probabilidadde que en ninguno deesos
N años se supere la cota de diseño.
Finalmente, la probabilidaddeal menosunavez seasuperadoelvalordediseñoalolargo detoda
la vidaútil del proyectoseráunamedidadel riesgo queimplica trabajar conel períodode retorno
utilizado para los cálculos.
2.3 Datos de máximos
El “valormáximo” que se quiere determinar para undeterminadoperíodo de retornose
determina
por mediode la expresión:
x = xm + D x = xm + k· s n-1
x: valor máximo(caudal o precipitación) para unperíodo de retorno T.
xm: media de la serie dada de valoresmáximos
D x: desviaciónrespecto a la media, que se estima medianteel producto:k· s n-1
Donde:
k: factor de frecuencia, que indica el númerode veces de desviación típica en que el valor
extremo
consideradoexcede a la media de la serie.
s n-1 : desviaciónestándar, desviacióntípica de los valoresextremos.
El valorde la variable “k” se estima a partir del conocimientodel período de retornoen años y
del
númerode añosdisponiblesen la serie. Así: k = (yT – yn)/Sn
yT : variable de Gumbel para el períodode retorno T. Se determina a partir del valor del período
de
retorno. El valorse puedeobtener de la tablaadjunta. yT = -lnln (T/T-1)
yn:valor que se obtiene a partir del número de añosde la serie, mediante tablas
Sn:valor que se obtiene a partir del númerode añosde la serie, mediante tablas
Tabla. Valores de " yT " para distintosperíodosde retornoT

6. 6
Determinación matemáticade las curvasIDF
Para la elaboración de las ecuaciones matemáticas, que representen la relación entre la
intensidad, la duracióny la frecuencia de las precipitaciones, paracada una de las estaciones, se
optópor la expresión validada por Aparicio (1997), definida de la siguiente manera:
Dónde:
I = intensidadde precipitación (mm/h);
T = períodode retorno(años);
D = duración(horas);
k, m, n = parámetrosa estimara travésde un análisis de regresión lineal múltiple.
Aparicio (1997), señalaque esta expresión permite generar las curvasIDF a través de unmodelo
de regresión lineal, pudiéndoseextrapolarla ecuación generada, a zonasque carecen de
registros pluviográficosy quese encuentranrelativamente cerca.
Para obteneruna expresión conla forma de un modelode regresión lineal múltiple, se aplicaron
logaritmosa la ecuación anterior, quedandode la siguiente manera:
O de otra manera:
Dónde:
y = log I a0 = log k
X1 = log T a1 = m
X2 = log D a2 = -n
3. Distribución Gumbel
3.1 Fórmulas y características
Distribuciónacumuladade Gumbel:

7. 7
Donde losparámetros
y se definencomo:
y
siendo
la media
y
la desviacióntípica
Media
Desviacióntípica
Los valores y
son lamediay ladesviacióntípicade una
variable
que solodepende del tamañode lamuestraN y que se define como
Para un eventocualquiera
F(x) es la probabilidadde que se produzca dicho evento con un valor menor o igual que x, es
decir F(x) representa la probabilidad de que un valor dado de x no sea superado.

8. 8
El períodoolapsode tiempoT(x) dentrodel cual seríaesperableque seprodujese dichoevento
de valor x, llamado tiempo de retorno para ese evento x, sería:
Fórmula analítica para calcular un evento esperable para un tiempo de retorno T(x) dado
Volviendo alaecuaciónde Gumbel
y
despejando
teniendoencuenta
que
se obtiene
Gráficos:
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución acumulativa

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Parámetros
= α Ubicación (verdadero), para el gráfico.
Escala (real)
Características
Media
Varianza
Asimetría
Kurtosis
Entropía
Donde:
(Constante de Euler-Mascheroni)
(Constante de Apéry ) = 1,20206 aprox.

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Propiedades
La funciónde distribuciónacumulativa de ladistribuciónGumbeles
En la cual:
- La moda es μ,
- La medianaes
- La mediaestádadapor
Donde = Constante de Euler-Mascheroni
- La desviaciónestándares
DistribuciónGumbel Estándar
La distribución estándar Gumbel es el caso en el que y con:
La función de distribución acumulativa
Y la función de densidad de probabilidad
En este caso:
- La moda es 0, la mediana es
- La media es , y
- La desviación estándar es de
FunciónGumbel de confiabilidad
La fiabilidadde unamisiónde tiempo parala distribuciónGumbel viene dadapor:
La funciónde lafaltade fiabilidadestádadapor:

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Donde
Gumbel VidaReal
La vidafiable Gumbel estádadapor:
tR= µ + β [ln(-ln(R))]
FunciónGumbel de tasa de fracaso
La tasa de fracaso Gumbel instantáneaestádadapor:
λ= ez
/ β
La siguientetablase utilizaparalosvaloresde Yn y Sn
Tabla N°01
Método de Gumbel Valores de Yn y Sn

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4. Distribución Log-Gumbel
3.2 Fórmulas y características
Su expresiónessimilaraladistribuciónde Gumbel,perolavariablereducidaestávinculadacon
la variable aleatoria original de forma logarítmica.
𝐹( 𝑦) = 𝑒−𝑒−𝑦)
𝑦 = 𝛼(𝑙𝑛𝑥− 𝑢)
El campo de variaciónde x se extiende entre 0y +∞.
Partiendode estaexpresiónpuede estudiarselatendenciaparagrandesperiodosde retorno.
𝜃𝑥−𝛼 = ln 𝑇/(𝑇 − 1)
Características

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Parámetros
Dominio
Funciónde densidad(pdf)
Funciónde distribución(cdf)
Media
Mediana
Moda
5. Aplicaciones y ejemplos
5.1 Aplicaciones y ejemplos Gumbel
La distribuciónde Gumbel para valores extremoso mínimostiene diversasaplicaciones, estando
vinculadoespecialmente a la hidrología. En proyectosde ingeniería la distribuciónde Gumbeles
muy importante porque permite hacer estimaciones de:
 Resistencia de estructurascomopresas, puentes, y estructurasde resistencia en general
frente a incrementos de caudal o precipitaciones máximos.
 Prever inundaciones o desastres vinculados a crecidas de ríos.
 Evaluar e indicar los beneficios anuales de un proyecto.
Caso específico: Descargas anuales máximas de un río.
Para desarrollar este ejemplo de aplicación se tomarán los datos de caudales Máximos Anuales
del Rio Ica en un periodo de información de 25 años (1992-1998)

14. 14
Tabla N°02
Datos Máximos Caudales del Rió Ica 1978-1998
Año
Caudal Máximo
Anual (m3/s)
1978 38
1979 79
1980 66
1981 127
1982 133
1983 350
1984 100
1985 115
1986 155
1987 48
1988 101
1989 99
1990 107
1991 126
1992 16
1993 104
1994 167
1995 370
1996 141
1997 54
1998 817
Fuente: PETACC -WOL, 1998 en Guía metodológica para proyectos de protección y/o control de inundaciones en
áreas agrícolas.
DatosPara realizar la estimación.
Media 163.75
Desviación estándar 176.76355
n 20
N+1 21
¿Cuál será la probabilidad de que en el día de mayor precipitación del año, el caudal del río
supere 350m^3/s?
1° De acuerdo a la TABLA N°0 para20 datossetomanlos valoresde 𝑌 𝑛 = 0.5236 y 𝑆 𝑛 = 1.0628
2° Calculamoslos valoresde α y u
α = 𝑆 𝑛 / 𝑆 𝑥 = 1.0628/ 176.76355 = 0.006012552
u= 𝑥̅ - 𝑌𝑛/α = 76.666
3° Aplicamosla fórmula de la distribuciónde Gumbel

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𝐹( 𝑥) = 𝑒−𝑒−𝛼(𝑥−𝑢)
= 𝑒−𝑒−0.006012552(350−76.666)
= 0.82422
Porlo tantola probabilidadde que se supere ese caudales de : 1- 0.82422 =0.1757
Finalmente el periodo de retornoes el inverso:1/ 0.1757= 5.6 años.
De manera similar se puedencalcular la probabilidady el tiempo de retorno paracada dato y
generar una tabla comola siguiente:
Tabla N°0
Análisis de caudales máximos y mínimos para el Rio Ica
N°
Caudal Máximo
Anual (m3/s)
Probabilidad
acumulada de
ocurrencia de
caudales
menores
Probabilidad
acumuladade
ocurrencia de
caudales
mayores
Periodo de
retorno
(años)
1 817 0.988404764 0.011595236 86.2
2 370 0.84247696 0.15752304 6.3
3 350 0.82422496 0.17577504 5.7
4 167 0.559384455 0.440615545 2.3
5 155 0.535592675 0.464407325 2.2
6 141 0.507014847 0.492985153 2.0
7 133 0.49032626 0.50967374 2.0
8 127 0.477656142 0.522343858 1.9
9 126 0.4755325 0.5244675 1.9
10 115 0.451967774 0.548032226 1.8
11 107 0.434622696 0.565377304 1.8
12 104 0.428080572 0.571919428 1.7
13 101 0.421520541 0.578479459 1.7
14 100 0.419330192 0.580669808 1.7
15 99 0.417138118 0.582861882 1.7
16 79 0.373042965 0.626957035 1.6
17 66 0.3443047 0.6556953 1.5
18 54 0.317905485 0.682094515 1.5

16. 16
19 48 0.304800256 0.695199744 1.4
20 16 0.236888759 0.763111241 1.3
Fuente:Elaboraciónpropia
5.2 Aplicaciones Log Gumbel
Para el caso de la aplicaciónde ladistribuciónde Log-Gumbelenlugarde trabajarcon los
valoresinicialesde lasvariablesse trabajaconel logaritmoneperianode ellas, Ln(X).
Tabla N°
Datos Máximos Caudales del Rió Ica 1978-1998
Año
Caudal Máximo
Anual (m3/s)
Ln (X)
1978
3.63758616
1979
4.36944785
1980
4.18965474
1981
4.84418709
1982
4.89034913
1983
5.85793315
1984
4.60517019
1985
4.74493213
1986
5.04342512
1987
3.87120101
1988
4.61512052
1989
4.59511985
1990
4.67282883
1991
4.83628191
1992
2.77258872
1993
4.6443909

17. 17
1994
5.11799381
1995
5.91350301
1996
4.94875989
1997
3.98898405
1998
6.70563909
Fuente:Elaboraciónpropia
Del mismomodoseguidoenlosprocedimientosparalaaplicaciónde Gumbel se generala
siguiente tabla:
Tabla N°
Análisis Log-Gumbel para los caudales Máximos
N°
Caudal Máximo
Anual (m3/s)
Probabilidad
acumulada de
ocurrencia
1 817 0.954688135
2 370 0.877289981
3 350 0.868658218
4 167 0.689867109
5 155 0.664074562
6 141 0.629128544
7 133 0.606361334
8 127 0.587739142
9 126 0.584495863
10 115 0.545918483
11 107 0.514141013
12 104 0.501318556
13 101 0.487965602
14 100 0.483392577
15 99 0.478757038
16 79 0.371584967
17 66 0.285660098
18 54 0.195976318

18. 18
19 48 0.149311209
20 16 0.000328058
Fuente:Elaboraciónpropia
Ejemplo2 Log- Gumbel
En un río se tienen 30 añosderegistrosde Q máximosinstantáneosanualescon x=15 m3/s,S
= 5 m3/s (media y desviación estándarpara losdatosoriginales). xy=2.655, sy = 0.324 (media y
desviación estándardelos datostransformados).Encontrarelcaudalpara un periodo de
retorno de 100 añosy los límites deconfianza para un  = 5%. 1
Para el ejemplo encontrarel Q de 100 añosde periodo de retorno y los intervalosde confianza.
x= 15 m3/s, s = 5 m3/s
QTr100 = x + KT s
 )]99ln(100ln[ln577.0
6

TK
KT = 3.14
QTr100 = 15 + 3.14*5
QTr100 = 30.7 m3/s
Intervalosde confianza
t(1-) = t(0.95) = 1.645 (Leído de la tabla de la normal)
   [ . ( . ) . ( . ) ]1 11396 314 11 314 2
1
2
 = 3.93
Se
Se m s



( . ) ( )
. /
393 5
30
358 3
Xt  t(1-) Se
30.7 m3/s  (1.64) (3.58)
[24.83 m3/s 36.58 m3/s] Intervalo deconfianza para QTr100

19. 19
Referencias
 Maggio, J. (s.f.) ANALISISESTADISTICODE VALORES EXTREMOS, Aplicacionesen
hidrología
 APARICIO, F. 1997. FundamentosdeHidrologíade Superficie. Balderas, México: Limusa.
303 p.
 Velásquez, T. (2008). Guía metodológia para proyectosdeprotección y/o controlde
inundacionesen ÁreasUrbanasy Argícolas. Anexos. P. 188
Webs:
 https://prezi.com/j61_lmng1b0b/distribuciones-de-probabilidad/
 Estimaciónde funcionesde distribuciónde probabilidad,paracaudalesmáximos.
Universidadde Talca.Facultadde cienciasforestales.Escuelade ingenieríaforestal.
 Leyesde distribuciónde procesoshidrológicos.Sociedad estándaresde ingenieríapara
aguas y suelosLTDA.