Flujogramas de-concreto-1988-232

FLUJOGRAMAS PARA
EL CALCULO DE
CONCRETO ARMADO

POR
RODOLFO OSERS
Ingeniero Civil
Profesor de la Facultad de Ingeniería
de la Universidad Central de Venezuela

FLUJOGRAMAS PARA
EL CALCULO DE
CONCRETO ARMADO
POR
RODOLFO OSERS
Ingeniero Civil
Profesor de la Facultad de Ingeniería
de la Universidad Central de Venezuela
CARACAS, 1988
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Cuarta Edición
Octubre 1988, Venezuela
Reservado todos los derechos del autor.
Impreso en REFOLIT C.A.
Depósito Legal: Venezuela ISBN 980-300-87-X

- I
-5-
INDICE
1. INTRODUCCION
2. NOTACION EMPLEADA
Flexión y Corte
Teoría clásica
Teoría de rotura
Flexocompresión (teoría de rotura)
Símbolos
3. FLEXION PURA (Teoría Clásica)
SECCIONES RECTANGULARES
Deducción de fórmulas para secciones rectangulares
simplemente armadas. Empleo del método de la pareja
Página
11
13
15
17
19
resistente. 23
Deducción de fórmulas para secciones doblemente armadas 26
Coeficientes adimensionales de una sección rectangular
simplemente armada 29
SECCIONES "Te"
Deducción de fórmulas para secciones Te simplemente
armadas 35
Abacos para los coeficientes adimensionales de las
secciones Te simplemente armadas 37
Diagramas de flujo para el cálculo~
Revisión de secciones rectangulares y Te simplemente
armadas 45
Diseño de secciones rectangulares o Te 46

-6-
Dimensionado con cuantía de acero en compresIón (p?
prefijada (%) 53
Dimensionado con relacIón entre el acero en compresión y
a tracción conocida 56
Dimensionado con momento absorbido por la pareja de
aceros adicionales 46
4. MOMENTOS DE INERCIA EFECTIVOS
EN SECCIONES AGRIETADAS
Determinación de los coeficientes adimensionales 61
Diagrama de flujo para el cálculo del momento de Inercia 63
5. FLEXION PURA (Teoría de Rotura)
SECCIONES RECTANGULARES
simplemente armadas 65
doblemente armadas 70
Coeficientes adimensionales (Tablas) 75
SECCIONES "Te"
Fórmulas empleadas en el estudio de las secciones Te 79
Diagramas de flujo para el cálculo
Revisión de secciones rectangulares y Te simplemente
armadas 81
Diseño de secciones rectangulares y Te simplemente
armadas 84
Revisión de secciones rectangulares doblemente armadas 87
Diseño de secciones rectangulares doblemente armadas 90~ ,
Casos particulares para el diseño óptimo 93

'"
-7-
SECCIONES DE GEOMETRIA GENERAL
Deducción de las fórmulas y uso del bloque rectangular de
esfuerzos para secciones de forma general 97
Revisión de Secciones de Forma General.
6. SECCIONES SOMETIDAS A ESFUERZO
CORTANTE
Disposiciones para esfuerzo cortante 105
Normas para la separación de estribos 110
Diagramas de flujo para el cálculo
Diseño de estribos y separaciones
Teoría Clásica 111
Teoría de Rotura 112
Ejemplo 113
7. DISEÑO DE LOSAS
Tipos usuales de losas 115
LOSAS MACIZAS
Descripción de las losas macizas 117
Cálculo de la altura de las losas con la cuantfa de acero
conocida (Teorra de rotura) 118
Diseño del área de acero requerido en losas de altura
dada 120
LOSAS NERVADAS
Descripción de las losas nervadas 121
Diseño del área de acero requerido en losas nervadas
de altura dada 124

8.
-8-
parativo para el uso de losas nervadas o
Cálculo
NES
125
127
129
Normas pa a alturas mínimas de losas o Vigas y
deflexiones . éxlmas 130
9. SECCIO ES SOMETIDAS A
FLEXOC MPRESION.
10.
Principios y suposiciones para miembros sometidos a
flexocompre ión. Normas para columnas 135
columnas rectangulares 137
Diseño de las armaduras para una columna de
dimensione dadas 138
Diseño de olumnas esbeltas por el método A.c.!. 1977
139
~étodo. pa a la determinación de los diagramas de
mteraCClOn 143
Abacos con los diagramas de interacción de columnas
rectangulare con acero simétrico 145
Abacos ca los diagramas de interacción de columnas
circulares 148
DISPOSICIONES ESPECIALES
CAPITULO 18 NORMAS COVENIN 1756
NIVELES DE DISEÑO
CRITERIO DE DISEÑO PARA VIGAS
Cuantías máximas y mínimas
Momentos últimos de diseño
153
154
155

-9-
Fuerza cortante de diseño
CRITERIO DE DISEÑO
PARA COLUMNAS
Cuantfas máximas y mínimas
Momentos últimos de diseño
Fuerza cortante de diseño
Zona de confinamiento
11. COMBINACIONES DE CABILLAS
COLOCACION DE ACEROS
156
159
159
160
161
163
Propiedades de cabillas y sus combinaciones 167
Cabillas uniformemente espaciadas 170
Normas y detalles acerca de la longitud de desarrollo y
anclaje
Longitudes de desarrollo según las normas A.C.I 172
Anclaje y prolongaciones de cabillas
Disposiciones para el diseño sísmico 176
Ejemplo para la distribución de cabillas en una viga 177
12. CARCAS Y SOBRECARGAS
EFECTOS SISMICOS
Cargas Permanentes 185
Sobrecargas 187
Sobre cargas para puentes Normas A.A.S.H.T.O 188
Sobrecargas en Aceras 189

-10-
Sobrecargas debidas a Vehfculos 191
Fuerzas de Frenado 192
Coeficientes de Impacto 193
Pesos de los materiales de construcción 195
Peso de materiales almacenados 196
Fuerzas debidas a la acción de movimientos sísmicos 197
,
13. ELABORACION DE UN PROYECTO
PASOS A SEGUIR
Descripción 203
Ejemplo de un proyecto 205
14. REFERENCIAS 223
15. OBRAS DE LA MISMA CASA 225
16. PROGRAMAS DEL AREA 227

-11-
INTRODUCCION
La notación uti lizada en este libro es la adoptada por el A.C.1.
En cuanto a las teorías empleadas, se analizaron la flexión y corte
por la teoría clásica y la de rotura, mientras que la flexo-compresión se
estudió únicamente por rotura.
Se prepararon flujogramas para el DISEÑO de los elementos de con-
creto armado los cuales contemplan la determinación de las alturas útiles
de las secciones, la cantidad de acero de acuerdo a los requerimientos
correspondientes. Igualmente se prepararon los flujogramas para la RE-
VISION de aquellos elementos cuya geometría se conoce y se desea saber
si soporta satisfactoriamente las solicitaciones previstas.
El procedimiento seguido en la ordenación de cada capítulo consiste
en una breve descripción del capítulo, del método utilizado y de las nor-
mas correspondientes. Se sigue con la explicación del uso del flujograma
y el flujograma propiamente dicho. Donde se consideró necesario se
anexaron ejemplos con páginas de cálculo.
Además de los flujogramas se incluyeron varias tablas y ábacos úti-
les para el cálculo, en especial los referentes a flexión en teoría clásica,
flexo-compresión en teoría de rotura (Diagramas de Interacción) y dis-
tribución de cabillas.
Para la mejor y más rápida utilización de este libro en la esquina
superior exterior de cada página se colocó un símbolo que representa
escuetamente el contenido de dichas páginas. Estos símbolos están resu-
midos en la leyenda al comienzo del libro.

-13-
•
1
NOTACION EMPLEADA
Teoría Clásica
Flexión y Corte
A'. Area de acero a compresión
As Area de acero a tracción
Ami" Area de acero mínimo
Av Area del acero para absorber corte
b Ancho de la cara en compresión
b' Ancho de la cara en tracción
d Altura útil de la sección
d' Recubrimiento del acero en compresión
Es Módulo de elasticidad del acero
fy Esfuerzo cedente en el acero
fsp Esfuerzo permisible del acero
fs Esfuerzo en el acero a tracción
f's Esfuerzo en ei acero a compresión
f'< Resistencia máxima del concreto
fe Esfuerzo en el concreto
h Altura de la sección
j Brazo mecánico específico
K Profundidad específica del eje neutro
K< Coeficiente de resistencia del concreto
Ks Coeficiente de resistencia del acero
M Momento actuante en la 'sección
Mo Momento óptimo de la sección
M. Momento resistente por el acero
M< Momento resistente por el concreto
n Coeficiente de equivalencia
R Módulo de resistencia
Ro Módulo de resistencia óptimo
R< Módulo de resistencia del concreto
r Recubrimiento
S Separación entre estribos
t Espesor del ala de la Te
V Fuerza cortante actuante en la sección
P Porcentaje de acero a tracción
P' Porcentaje de acero a compresión

• -14-
1
Esfuerzo cortante nominal
Esfuerzo cortante nominal permisible
Esfuerzo cortante nominal absorbido por el acero

-15-
•
I
NOTACION EMPLEADA
Teoría de Rotura
Flexión y Corte
a Ancho de la columna en la dirección del claro
A'. Area de acero a compresión
A. Area de acero a tracción
A.I Area de acero ficticio
Amin Area de acero mínimo
Av Area de acero para absorber corte
Ag Area gruesa de la sección
b Ancho de la cara en compresión
b' Ancho de la cara en tracción
d Altura útil de la sección
d' Recubrimiento del acero en compresión
E. Módulo de elasticidad del acero
fy Esfuerzo cedente en el acero
f. Esfuerzo en el acero a tracción
f. Esfuerzo en el acero a compresión
f.u Esfuerzo en el acero a tracción en el agotamiento
f'. Resistencia máxima del concreto
f. Esfuerzo en el concreto
9 Carga distribuida a lo largo del tramo
h Altura de la sección
Brazo mecánico específico
Ku Profundidad específica del eje neutro en el agotamiento
K¡ Coeficiente de equivalencia (ver norma 10.2.7. del A.CJ.)
K2 Profundidad específica del centro de compresión
K3 Coeficiente de relación de resistencia del concreto
l Longitud entre apoyos
lmc Longitud de macizado por corte
lm", Longityd de macizado por momento
Mu Momento actuante último
Mo Momento resistente óptimo de la sección
Mcv Momento por carga viva
Mc", Momento por carga muerta
Mc. Momento por sismo

•
1
Mcw
M.
Mc.
Nu
-16-
Momento por viento
Momento actuante en el apoyo
Momento actuante en la cara de la columna
Fuerza axial actuante en el agotamiento
PP Peso propio
q Cuantía mecánica
qb Cuantía mecánica que produce la falla balanceada
qo Cuantía mecánica reducida
r Recubrimiento
S Separación entre estribos
t Espesor del ala de las Te
Vu Fuerza cortante actuante
Vc
Fuerza cortante resistente por el concreto
Va Fuerza cortante actuante en el apoyo
~ Diámetro de las cabillas
Eu Máxima deformación unitaria del concreto
E
su
Deformación unitaria del acero a tracción en el agotamiento.
,
Es
Vu
Ve
V,
o
Deformación unitaria del acero a compresión
Momento específico
Peso específico del concreto
Esfuerzo cortante nominal en el agotamiento
Esfuerzo cortante nominal resistido por el concreto
Esfuerzo cortante nominal que absorben los estribos
Factor de seguridad
,
-

-17-
•
I
NOTACION EMPLEADA
Teoría de Rotura
Flexo-Compresión
As Area de Acero
b Ancho de la columna
e Compresión
e Excentricidad
Es Módulo de elasticidad del acero
fe Resistencia máxima del concreto
fy Esfuerzo cedente del acero
f. Esfuerzo actuante en el acero
FS Factor de seguridad
K Profundidad específica del eje neutro en el agotamiento
M Momento
Mu Momento actuante último
N Fuerza axial
Pu Carga concentrada última sobre la columna
r Recubrimiento
t Dimensión más grande de la columna
T Tracción
Ve Centro de gravedad geométrico de la columna
Y(¡) Menor distancia de la capa de acero a la fibra más comprimida (*)
P Porcentaje de aci·o .)l!U{)
w Cuantía de acero
f.1 Momento específico
*
v Carga axial específica
o Factor de seguridad
Fibra más comprimida, fibra paralela al eje neutro que está sometida
a mayor compresión.

-19-
SIMBOLOS
SIMBOLOS
••••
••••
D
DEseRIPelON
FLEXION PURA
SECCION "Te"
SIMPLEMENTE ARMADA
Teoría '~sica
FLEXION PURA
Sección rectangular
SIMPLEMENTE ARMADA
Teoría clásica
FLEXION PURA
DOBLEMENTE ARMADA
Teoría clásica
Esfuerzo cortante
Diseño de estribos
SIMBOLOS
•
1
•
1
DEseRIPelON
FLEXION PURA
Seccion Te
SIMPLEMENTE ARMADA
Teoría de rotura
FLEXION PURA
SIMPLEMENTE ARMADA
Teoría de rotura
FLEXION PURA
DOBLEMENTE ARMADA
Teoría de rotura
Información
en general
Normas y cálculo
de deflexiones

•
1
SIMBOLOS
-tAl
¡...:.'......'.'/1
(¡-(IIl
li··· '..----?--
~.
"
-20-
DEseRIPelON
Losas macizas
Tablas y normas
para cabillas de
acero
Sobrecargas por
carga viva
Sobrecargas vivás
debida a vehículos
Cargas permanentes
Pesos específicos
Cargas por sismo
SIMBOLOS
~
[J'- ""-
~ -~
"-
R
~'tJ.>
ry
18
DEseRIPelO
Losas nervadas
Bibliografía
Ejemplo de un
proyecto
FLEXO-COMPRESION
ACERO SIMETRICO
FLEXION PURA
Sección de geometría
particular
USO DEL BLOOUE
RECTANGULAR
Disposiciones
especiales
CAPITULO 18
-
-

-27-
•
1
SIMBOLOS DESCRIPCI SIMBOLOS
( I Datos
D Ejecución de
operaciones
D
Valores con los
cuales se entra NORMAS
en una tabla o
ábaco.
) 1
Dirección del
( Decisión flujo
CJI

• -22-
1
fA(J..fZ.¡:" 3>E:
•
A. -6.c.••• .. 't,u.,"'~ ti') ~
b::::. ~c(.i"o ola-- l~ ~o
J2Ar' w v-r f.1V- ~...:V
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~Liv¡t..A '-' -h' L. o-V-- Le.. SL~.or-v
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J~ (!>[;,}'2f jv4~c.o ¿.-S. r.e(.-<~co
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.,~:::. ~s-1S·tLvC..J j..A~~ otd Coy,. ~

-23-
FLEXION PURA
Teoría ~ ElA.sti~
Secciones Rectangulares
b ~lo
, 1
fe
Kd
Eje
h Neutro jdd I
/
/
As
/
t
/
T
••••• fsp/n
~
'1
b
+
SUPOSICIONES Y CONSIDERACIONES:
a) Conservación de las caras planas Navier) distribución de las defor-
maciones es lineal
b) El concreto no resiste esfuerzos de tracción .;
c) No existe deslizamiento entre el concreto y el acero./
d) Se aplica la Ley de Hooke Las deformaciones son proporcionales a los v
esfuerzos

••••
Kd~~./ J-d
/ T
fs/n
e
T
-24-
f Kd b
e
2
A f
s s
Porcentaje de acero
A
s
P = bd
Por condiciones de equilibrio: Por compatibilidad de deformaciones:
T e f f In
e s
Kd d - Kd
A f (f Kd b) /2
s s e
f f In
e s
=K 1 - K
Profundidad específica del eje neutro
K K =
2
K = - np (np) -,r2 np
Cuantía mecánica elástica
np =
2'(1-K)

-25-
Conociendo la profundidad del eje neutro el brazo mecánico jd es:
j d = d - Kd
3
=> j - K
3
El momento resistente se puede obtener de dos formas:
f Kd b jd
Kj fPor el concreto M e j d
e
=
e 2 2 e
f
Por el acero M T jd f bd jd npj
s
= P =
s s n
bd 2
bd 2
Cuando Me es mayor que M. se dice que la sección es subreforzada,
cuando esto es al revés, que M. es mayor que Me se dice que la sección
está sobrereforzada.
v
Cuando Me = M. = Mo se dice que tenemos un diseño óptimo y a
dicho momento se le llama momento óptimo de la sección.
Coeficientes utilizados:
Coeficiente de resistencia del concreto
Coeficiente de resistencia del acero
K = Kj /2
e
K
s
npj
Como resumen, el momento óptimo resistente de una sección será:
M = K f bd 2
s s s
n

-26-
SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS:
Teoría Clásica:
Las secciones rectangulares resultan doblemente armadas cuando
el momento actuante es mayor que el óptimo. Para absorber este exceso_
del momento respecto al óptimo se colocará una pareja de aceros adicio-
nales.
Comentario acerca de los aceros sometidos a compresión:
Se ha comprobado experimentalmente que el concreto en cilindros
de concreto armado sometidos a compresión sufren una marcada reduc--
ción de su módulo de elasticidad Ec instantáneo, bajo la influencia del
tiempo. A consecuencia de éstó, el A.C.1. en el capítulo 8.5.5. dice:
"En vigas y losas doblemente reforzadas, debe utilizarse una rela-
ción efectiva de múdulos de n = 2Es/Ec para transformar el refuerzo de
compresión en el cálculo del esfuerzo. El esfuerzo permisible de compre-_
sión en tal refuerzo no debe ser mayor que el permisible para tracción.
El análisis se hará dividiendo la secclOn en dos etapas: una que ab-
sorbe el momento óptimo y otra que absorbe el exceso, formada por la
pareja de aceros adicionales.
~f
d'~
fe
d':t~I'"
CSCs
Ce
Ce
_.
-g- +_. ~"O f~i2-n-- .
- "O
'"....... "O I
~M"O
~ "O
I
"O
T2
T T,
fs In As As, AS2
-
I
-

-27-
••••
La resultante de compresión: La resultante de tracción es:
f Kd b
e =
e
e 2
e = f'A·s s s
El momento óptimo es:
A f (d - Kd/3)
51 s
T = A f
51 51 s
El exceso del momento es:
El valor del f. lo obtenemos por triángulos semejantes:
, K - d'/d
f s=2fs _ K
pero menor que f.

-29-
••••
FLEXION PURA
Coeficientes Adimensionales
En las siguientes páginas se elaboraron las tablas y ábacos con los coefi-
cientes adimensionales que se presentan en las secciones rectangulares
Estos son:
K Profundidad específica del eje neutro.
Brazo mecánico espedfico.
Kc Coeficiente de Resistencia del concreto.
Ks Coeficiente de Resistencia del acero.
K¡ Momento de inercia específico.
np Cuantla mecánica elástica.

-30-
••••
fsp/nfc
0.50
0.51
0.52
0.53
~
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
- - -
0.60
0.61
0.62
0.63
0.64
- - -
0.65
0.66
0.67
0.68
0.69
---0.70
0.71
0.72
0.73
0.74
- - -
0.75
0.76
0.77
0.78
0.79
-o.so
0.81
0.81
0.83
0.84
---
0.85
0.86
0.87
0.88
0.89
ü.9O
0.91
0.92
0.93
0.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
COEFICIENTES ADIMENSIONALES DE UNA SECCION
RECTANGULAR SIMPLEMENTE ARMADA
K j Kc Ks K; np f sp/nfe 1( j Kc Ks K;
0.667 0.778 0.259 0.519 0.1728 0.667 1.00 0.500 0.833 0.208 0.208 0.1042
0.662 0.779 0.258 0.506 0.1709 0.649 1.01 0.498 0.834 0.208 0.205 0.1032
0.658 0.781 0.157 0.494 0.1690 0.633 1.01 0.495 0.835 0.107 0.103 0.1013
0.654 0.781 0.156 0.481 0.1671 0.617 1.03 0.493 0.836 0.106 0.100 0.1014
~ 0.784 0.154 0.471 0.1652 0.601 1.04 0.490 0.837 0.105 0.197 0.1005
- - - - - - -- -- - - - - - - -
0.645 0.785 0.153 0.460 0.1634 0.586 1.05 0.488 0.837 0.104 0.195 0.0996
0.641 0.786 0.152 0.450 0.1616 0.572 1. 06 0.485 0.838 0.103 0.191 0.0988
0.637 0.788 0.251 0.440 0.1598 0.559 1.07 0.483 0.839 0.103 0.189 0.0979
0.633 0.789 0.150 0.431 0.1580 0.546 1.08 0.481 0.840 0.101 0.187 0.0970
0.619 0.790 0.149 0.411 0.1563 0.533 1. 09 0.478 0.841 0.201 0.184 0.0961
- - - - - - -- --- - - - - - - - - - -- -- -- -- - - -
0.625 0.791 0.148 0.413 0.1546 0.511 1.10 0.476 0.841 0.100 0.181 0.0954
0.611 0.793 0.146 0.404 0.1530 0.509 1.11 0.474 0.841 0.100 0.180 0.0946
0.617 0.794 0.245 0.195 0.1513 0.498 1.11 0.472 0.843 0.199 0.177 0.0938
0.613 0.796 0.244 0.387 0.1497 0.487 1.13 0.469 0.844 0.198 0.175 0.0930
0.610 0.797 0.243 0.380 0.1481 0.476 ~ 0.467 0.844 0.197 0.173 0.0922
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
0.606 0.798 0.242 0.372 0.1466 0.466 1.15 0.465 0.845 0.197 0.171 0.0914
0.602 0.799 0.241 0.365 0.1450 0.456 1.16 0.463 0.846 0.196 0.169 0.0906
0.599 0.800 0.140 0.358 0.1435 0.447 1.17 0.461 0.846 0.195 0.167 0.0899
0.595 0.802 0.239 0.351 0.1420 0.438 1.18 0.459 0.047 0.194 0.165 0.0891
0.592 0.803 0.238 0.344 0.1405 0.429 1.19 0.457 0.848 0.194 0.163 0.0884
--- - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ---
0.588 0.804 0.236 0.338 0.1391 0.420 1.20 0.455 0.848 0.193 0.161 0.0877
0.585 0.805 0.135 0.332 0.1377 0.412 1.21 0.452 0.849 0.191 0.159 0.0869
0.581 0.806 0.234 0.326 0.1363 0.404 1. 22 0.450 0.850 0.191 0.157 0.0862
0.578 0.807 0.233 0.320 0.1349 0.396 1.13 0.448 0.851 0.191 0.155 0.0855
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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - -
0.571 0.810 0.231 0.308 0.1322 0.381 1.25 0.444 0.852 0.189 0.151 0.0841
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0.565 0.812 0.229 0.268 0.1295 0.367 1. 27 0.441 0.853 0.188 0.148 0.0828
0.562 0.813 0.228 0.193 0.1283 0.360 1.18 0.439 0.854 0.187 0.146 0.0821
0.559 0.814 0.217 0.188 0.1270 0.354 1.29 0.437 0.854 0.187 0.145 0.0815
D.556 o:BiS
- - - - - - - - --- - - - - - - - - - -- ---
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0.549 0.817 0.224 0.274 0.1233 0.335 1. 32 0.431 0.856 0.185 0.140 0.0795
0.546 0.818 0.223 0.269 0.1221 0.329 1.33 0.429 0.857 0.184 0.138 0.0789
0.543 0.819 0.213 0.165 0.1209
~ 1. 34 0.417 0.858 0.183 0.137 0.0783
--- - - - -- -- ---
0.541 0.820 0.222 0.161 0.1198 0.318 1. 35 0.426 0.858 0.183 0.135 0.0777
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0.532 0.823 0.219 0.249 0.1164 0.302 1.38 0.420 0.860 0.181 0.131 0.0759
0.529 0.824 0.218 0.245 0.1153 0.297 1. 39 0.418 0.861 0.180 0.130 0.0753
---- - - - - ---
0.1142
--- --- -- --- --- - -
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--- --- --- -- --- --- ---- -
0.5i3 0.829 0.213 0.224 0.1090 0.270 1.45 0.408 0.864 0.176 0.121 0.0720
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np
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- -
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- -
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- -
0.189
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- -
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- -
0.16)
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- -
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---
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---
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0.138
0.136
0.135

f sp/nfe
1.50
1. 51
1.52
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1.54
- -
1. 55
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- -
1.60
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1.62
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- -
1. 65
1.66
1.67
1.68
1.69
--
1. 70
1.71
1.72
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1. 74
1.75
1. 76
1.77
1. 78
1. 79
- -
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1.83
1.84
- -
1.85
1.86
1.87
1.88
1.89
- -
1.90
1.91
1.92
1. 93
1.94
1. 95
1.96
1. 97
1.98
1.99
-31-
••••
COEfiCIENTES ADIMENSIONALES DE UNA SECCION
K j Kc Ks Ki np f sp/nfe K j Kc Ks Ki
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- - - --- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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- - - --- - - - - - - - - - - - - - - - - -
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- - -
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- - - --- - - - - - - - - - - - - - - -- - - -
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0.365 0.878 0.160 0.0921 0.0585 0.105 2.24 0.309 0.897 0.138 0.0618 0.0427
- - - --- - - - - - - - - - - - - - - -
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- - - --- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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--- --- - - - - - - - - ---- - - - - - - - - -
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--- - - - - - - - --- - - - - - - - - - - - --- - - -
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--- - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - --- - - -
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np
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- - -
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- - -
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- - -
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0.0575

-32-
••••
f sp/nfe
2.50
2.51
2.52
2.53
2.54
- -
2.55
2.56
2.57
2.58
2.59
2.60
2.61
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- -
2.70
2.71
2.72
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2.74
- -
2.75
2.76
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2.79
- -
2.80
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2.84
- -
2.85
2.86
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2.89
- -
2.90
2.91
2.92
2.93
2.94
- -
2.95
2.96
2.97
2.98
2.99
COEFICIENTES ADIMENSIONALES DE UNA SECCION
K j Kc Ks Ki np f sp/nfe K j Kc Ks Ki
0.286 0.905 0.129 0.0517 0.0369 0.0571 3.00 0.250 0.917 0.115 0.0382 0.0286
0.285 0.905 0.129 0.0514 0.0367 0.0568 3.05 0.247 0.918 0.113 0.0371 0.0280
0.284 0.905 0.129 0.0510 0.0365 0.0564 3.10 0.244 0.919 0.112 0.0361 0.0273
0.283 0.906 0.128 0.0507 0.0363 0.0560 3.15 0.241 0.920 0.111 0.0352 0.0267
0.282 0.906 0.128 0.0504 0.0362 0.0556 3.20 0.238 0.921 0.110 0.0342 0.0261-- - - - - - -- - - - - - - - - - - -- ---0.282 0.906 0.128 0.0500 0.0359 0.0552 3.25 0.235 0.922 0.108 0.0334 0.0255
0.281 0.906 0.127 0.0497 0.0358 0.0549 3.30 0.233 0.922 0.107 0.0325 0.0249
0.280 0.907 0.127 0.0494 0.0356 0.0545 3.35 0.230 0.923 0.106 0.0317 0.0244
0.279 0.907 0.127 0.0491 0.0354 0.0541 3.40 0.227 0.924 0.105 0.0309 0.0239
0.279 0.907 0.126 0.0488 0.0352 0.0538 3.45 0.225 0.925 0.104 0.0301 0.0234
0.278
-- -- - - - --- - - - - - - - --- - - ---
0.907 0.126 0.0485 0.0350 0.0534 3.50 0.222 0.926 0.103 0.0294 0.0229
0.277 0.908 0.126 0.0482 0.0348 0.0531 3.55 0.220 0.927 0.102 0.0287 0.0224
0.276 0.908 0.125 0.0479 0.0346 0.0527 3.60 0.217 0.928 0.101 0.0280 0.0219
0.275 0.908 0.125 0.0476 0.0345 0.0524 3.65 0.215 0.928 0.100 0.0273 0.0215
0.275 0.908 0.125 0.0473 0.0343 0.0520 3.70 0.213 0.929 0.099 0.0267 0.0210- - - - - - - - - - - - - - - - ---0.274 0.909 0.124 0.0470 0.0341 0.0517 3.75 0.210 0.930 0.098 0.0261 0.0206
0.273 0.909 0.124 0.0467 0.0339 0.0514 3.80 0.208 0.931 0.097 0.0255 0.0202
0.272 0.909 0.124 0.0464 0.0338 0.0510 3.85 0.206 0.931 0.096 0.0249 0.0198
0.272 0.909 0.124 0.0461 0.0336 0.0507 3.90 0.204 0.932 0.095 0.0244 0.0194
0.271 0.910 0.123 0.0458 0.0334 0.0504 3.95 0.202 0.933 0.094 0.0239 0.0190- - - - - - - - - --- - - - - - - - -- --- - - -
0.270 0.910 0.123 0.0455 0.0332 0.0501 4.00 0.200 0.933 0.093 0.0233 0.0187
0.270 0.910 0.123 0.0453 0.0331 0.0497 4.05 0.198 0.934 0.092 0.0228 0.0183
0.269 0.910 0.122 0.0450 0.0329 0.0494 4.10 0.196 0.935 0.092 0.0223 0.0180
0.268 0.911 0.122 0.0447 0.0327 0.0491 4.15 0.194 0.935 0.091 0.0219 0.0176
0.267 0.911 0.122 0.0444 0.0326 0.0488 4.20 0.192 0.936 0.090 0.0214 0.0173
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --- - - -
0.267 0.911 0.121 0.0442 0.0324 0.0485 4.25 0.190 0.937 0.089 0.0210 0.0170
0.266 0.911 0.121 0.0439 0.0322 0.0482 4.30 0.189 0.937 0.088 0.0206 0.0167
0.265 0.912 0.121 0.0436 0.0321 0.0479 4.35 0.187 0.938 0.088 0.0201 0.0164
0.265 0.912 0.121 0.0434 0.0319 0.0476 4.40 0.185 0.938 0.087 0.0197 0.0161
0.264 0.912 0.120 0.0431 0.0317 0.0473 4.45 0.183 0.939 0.086 0.0194 0.0158
- - - - - - - - --- - - - - - - ---
0.263 0.912 0.120 0.0429 0.0316 0.0470 4.50 0.182 0.939 0.085 0.0190 0.0155
0.262 0.913 0.120 0.0426 0.0314 0.0467 4.55 0.180 0.940 0.085 0.0186 0.0153
0.262 0.913 0.119 0.0424 0.0313 0.0464 4.60 0.179 0.940 0.084 0.0183 0.0150
0.261 0.913 0.119 0.0421 0.0311 0.0461 4.65 0.177 0.941 0.083 0.0179 0.0147
0.260 0.913 0.119 0.0419 0.0310 0.0458 4.70 0.175 0.942 0.083 0.0176 0.0145
-- - - - - - - --- - - - - - - - - - - - -- ---
0.260 0.913 0.119 0.0416 0.0308 0.0456 4.75 0.174 0.942 0.082 0.0172 0.0142
0.259 0.914 0.118 0.0414 0.0307 0.0453 4.80 0.172 0.943 0.081 0.0169 0.0140
0.258 0.914 0.118 0.0411 0.0305 0.0450 4.85 0.171 0.943 0.081 0.0166 0.0138
0.258 0.914 O.l1S 0.0409 0.0304 0.0447 4.90 0.169 0.944 0.080 0.0163 0.0136
0.257 0.914 0.118 0.0407 0.0302 0.0445 4.95 0.168 0.944 0.079 0.0160 0.0133
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
0.256 0.915 0.117 0.0404 0.0301 0.0442 5.00
- - -
0.167 0.944 0.079 0.0157 0.0131
0.256 0.915 0.117 0.0402 0.0299 0.0439 5.50 0.154 0.949 0.073 0.0133 0.0112
0.255 0.915 0.117 0.0400 0.0298 0.0437 6.00 0.143 0.952 0.068 0.0113 0.0097
0.254 0.915 0.116 0.0397 0.0296 0.0434 6.50 0.133 0.956 0.064 0.0098 0.0085
0.254 0.915 0.116 0.0395 0.0295 0.0432 7.00 0.125 0.958 0.060 0.0086 0.0075
-- -- -- --- - - - - - - - - - - - - - - - - ---
0.253 0.916 0.116 0.0393 0.0293 0.D429 7.50 0.118 0.961 0.057 0.0075 0.0066
0.253 0.916 0.116 0.0391 0.0292 0.0427 8.00 0.111 0.963 0.053 0.0067 0.0059
0.252 0.916 0.115 0.0388 0.0291 0.0424 8.50 0.105 0.965 0.051 0.0060 0.0053
0.251 0.916 0.115 0.0386 0.0289 0.0422 9.00 0.100 0.967 0.048 0.0054 0.0048
0.251 0.916 0.115 0.0384 0.0288 0.0419 10.00 0.091 0.970 0.044 0.0044 0.0040
np
-0.0417
0.0405
0.0393
0.0382
-0.0372
---
0.0362
0.0352
0.0343
0.0334
¡-
0.0326
0.0317
0.0310
0.0302
0.0295 -0.0288
---
0.0281
0.0274
0.0268
0.0262 I
0.0256
---
0.0250
0.0244
0.0239 !
O"T0.0228
0.0224
0.0219
0.0215
0.0210 r0.0206
0.0202 I
0.0198
0.0194
r0.0190
0.0187
---
0.0183
0.0180
0.0176
r0.0173
0.0170
---
0.0167
0.0140
0.0119
r0.0103
0.0089
---
0.0078
0.0069
0.0062
r0.0056
0.0045

-35-
FLEXION PURA
Teoría Clasica
Secciones 11 Te 11
b 1.
~
fe
Kdr ../ fee
-tNeutro I
/
h d (
jdI
I
/
As
/
I
I T
••• fsp In
~--~
Tomando en cuenta las mismas consideraciones como en las seccio-
nes rectangulares obtendremos de la compatibilidad de deformaciones la
posición del eje neutro, la cual no depende de la forma de la sección.

-36-
Haciendo el análisis correspondiente obtenemos por simple trigono-
metría que
fe fee
Kd = Kd - t
=>
La resultante de tracción es:
T =
La resultante de compresión:
f + f
e e ee bt= =
2
Por compatibilidad de deformaciones
f
e
K =
f Ins
T=l<
pbd f =s
f =ee
A f
s s
f bt
e
2Kd
Kd - t
fe Kd
(2Kd - t)
Por condición de equilibrio
T =
A f
s s
t
(K - -)
2d
e
f bt
e (2Kd-t)
2Kd

-37-
FLEXION PURA
Secciones liTe11
Profundidad específica del eje neutro
Profundidad del centro de compresión
Brazo mecánico específico
Cuantía mecánica -elástica
Coeficiente de resistencia del concreto
Coeficiente de resistencia del acero
K = - - - -
(1 + fsp/nfc)
- 2
K = _2--,np_+_{t/_d_)__
2 (t/d) + 2np
c = -t
[
3-K- 2-t/d j3 (2·K - t/d)
= , _ e
d
K - -tt/d
K .j. t/d
K. = np· j

-38-
fsp t/d= .10 ~ /d ;= 1~,
. ...
--
nfc K Ks Kc j np Ks Kc j np
,30 .769 .296 .08'3 • '351 .312 .347 .104 .942 .369
.40 .714 .221 .1388 .951 .233 .259 .104 .942 .275
.5(1 .667 .176 .088 .951 .185 .2136 .1133 .942 .218
.60 .625 .146 .1388 .951 .153 .170 .1132 .942 · 181
~70 .588 .124 . (187 .952 · 131 .145 .102 .942 .154
. :::0 .556 .108 .1387 · '352 · 114 126 1131 .942 .134
,'30 .. 526 .0% .1386 .952 · 101 · 111 · lee .943 · 118
1..(10 .5(1(1 .(186 .1386 .952 .1390 · 1(10 HJ0 .94:3 · 1(16
1. 1(1 .476 .077 .(185 .952 · (181 .13'3(1 .099 .'343 .1395
1. 213 .455 .071 .085 .952 .074 · ¡):32 .098 . '3143 .087
1.3(1 .435 .1365 .1384 .952 .068 .075 · O';¡8 .943 .080
1. 4(1 .417 .136(1 .1384 .952 .063 .1369 .097 .943 .073
1. 50 .4130 . ('156 .083 .952 .(158 .064 .(196 .944 .1368
1 . 6(1 .385 .1352 .(183 .952 .1354 .(16(1 .1396 .944 .063
1. 7(1 .370 .048 .082 .953 .051 .056 · ¡)'35 .944 .059
1 . :3¡~1 .357 .046 .a82 .953 .048 .052 .094 .944 .055
1. 90 · :345 .043 .081 .953 .045 .1349 .1394 .944 .(152
2.:10 ~~ ...... .;.,.;...;, .134(1 .081 · '353 .042 .046 .093 .944 .049
2.10 · :323 .038 .081 .953 .040 .(144 .(192 .945 .(147
2 .. 2~3 .313 .036 .13813 .953 .1338 .042 .1392 .945 .1344
2.313 .3133 .035 .0813 .953 .036 .040 .1391 .945 .1342
2.40 .294 .033 .1379 .953 .035 .038 .1390 .945 .1<140
2.50 .286 .031 .079 .954 .033 .1336 .090 .945 .038
2.60 .278 .030 .078 .954 .032 .034 .089 .946 .0:36
2.7121 .270 .029 .078 .954 .030 .033 .088 .946 .035
2.813 .263 .028 .077 .954 .029 .031 .088 .946 .033
2. '30 .256 .026 .077 .954 .028 .030 .087 .946 .032
.3.0'0 .250 .025 .076 .954 .027 .029 .086 .946 .030
:3. 10 .244 .024 .076 .954 .026 .028 .086 .947 .029
:3.20 .238 .024 .075 .954 .025 .027 · ¡)S 5 .947 .028
3.:30 .233 .023 .075 .955 .024 .026 .084 .947 .027
3,4¡) .227 .022 .1374 .955 .1323 .025 .1384 .947 .026
3.50 .222 .021 .074 .955 .022 .024 .083 .947 .1325
3.613 .217 .1320 .1374 .955 .021 .. 02:3 .1382 .948 .024
3.70 .21:3 .020 .073 .955 .021 0·-' ..,
· "'...
.082 .948 .1023
3.80 .208 .019 .1373 · 955 .020 .1321 . 1381 .948 .1322
3.9(1 .204 .1318 .072 .955 .1319 .021 .080 .9481 .022
4.00 .200 .018 .072 .956 .019 .020 .0813 .949 .021
4. 10 .196 • ¡) 17 .071 .956 .1318 .1319 .079 .949 .1212121
4.20 .192 .017 .071 .956 .018 .019 .078 .949 .1320
4. :30 .189 .016 .1370 .956 .017 .018 .1378 .949 .1319
4.40 .185 .016 .070 .956 .017 .018 .1377 .950 .018
4.50 .182 .015 .069 .956 .1316 .017 .12176 .9513 .018
4.613 · 179 .1315 .069 .956 .016 .016 .076 .950 .1317
4.70 .175 .015 .068 .957 .015 .016 .075 .950 .017
4.80 .172 .014 .068 .957 .015 .015 .074 .951 .016
4.'30 .169 .12114 .12167 .957 .014 .12115 .12174 .951 .12116
5.00 .167 .013 .067 .957 .12114 .015 .073 .951 .12115

-39-
TABLAS PARA EL CALCULO DE SECC10NES TE
f$.p t/d= .14 t /d = • 16
--
nf.: K Ks Kc j np Ks Kc j t1tl
.40 .714 .294 · 118 .933 .316 .328 · 131 .923 .355
.513 .667 .234 · 117 .933 .251 .260 .130 .924 .282
.613 .625 .193 · 116 .933 .207 .215 .129 .924 .233
.70 .588 .164 • 115 .933 .176 .183 .128 .924 · 197
a80 .556 .143 · 114 .933 .153 .158 .127 .924 · 171
.90 .526 .126 • 113 .9:34 .135 .139 .125 .925 • 151
1. 00 .500 . 112 · 112 .9:34 .120 .124 .124 .925 .1:34
1. 10 .476 . 101 · 112 .934 .109 • 112 .123, .925 · 121
1. 20 .455 .092 · 111 .9:34 .099 .102 .122 .926 · 110
1. 30 .435 .084 • 110 .934 .090 .0'33 .121 .926 .100
1. 40 .417 .078 .109 .935 .083 .086 .120 .926 .092
1.50 .400 .072 .108 .935 .077 .079 · 119 .927 .0135
1. 613 .385 .067 .107 .935 .072 .1373 • 117 .927 .1379
1. 70 .370 .062 .106 .935 .067 .068 · 116 .927 .074
1. 80 .357 .059 .105 .936 .063 .064 · 115 .928 .06',
1. 90 .345 .055 .104 .936 .059 .060 · 114 .928 .065
2.1313 .333 .052 .104 .936 .055 .056 · 113 .928 .061
-2.10 .323 .049 .103 .936 .052 .053 · 112 .929 .057
2.213 .313 .046 .102 .937 .049 .050 · 111 .929 .054
2.30 .303 .044 • 101 .937 .047 .048 .109 .930 .051
2.413 .294 .042 .100 .937 .044 .045 .108 .930 .049
2.50 .286 .040 .099 .938 .042 .043 .107 .930 .046
2.60 .278 .03.8 .098 .938 .040 .041 .106 .931 .044
2.70 .270 .03':> .09'7 .938 .038 .039 .105 .931 .042
2.80 .263 .034 .096 .938 .037 .037 .104 .932 .040
2. '30 .256 .033 .096 .939 .035 .0:35 .103 .932 .038
3. (10 .250 .032 .095 .939 .034 .034 · 101 .933 .036
3.10 .244 .030 .094 .939 .032 .032 .100 .933 .035
3.20 .238 .029 .093 .940 .031 .031 .099 .933 .03:3
:3.30 .233 .028 .092 .940 .030 .030 .098 .934 .032
3.40 .227 .027 .091 .940 .028 .028 .097 .934 .030
3. 5~3 .222 .026 .090 .941 .027- .027 .096 .935 .029
3.613 .217 .025 .089 .941 .026 .026 .095 .936 .028
3. 7~) .213 .024 .088 .941 .025 .025 .093 .936 .027
3.80 .208 .023 .088 .942 .024 .024 .092 .937 .026
3.90 .204 .022 .087 .942 .024 .023 .091 .937 .025
4.(1(1 .200 .(121 .086 .943 .023 .023 .090 .938 .024
4. 1(1 .196 .(121 .085 .943 .022 .022 .089 .938 .023
4.2(1 .192 .020 .084 .943 .(121 .021 .088 .939 .022
4.30 .189 .019 .083 .944 .020 .020 .087 .940 .021
4.40 .185 .019 .082 .944 .020 .019 .085 .940 .021
4.50 .182 .018 .081 .945 .019 .019 .1384 .941 .020
4.60 .179 .017 .080 .945 .019 .018 · (183 .942 .019
4.70 .175 .017 .080 .945 .018 .017 .082 .942 .019
4.80 .172 .016 .079 .946 .017 .017 .081 .943 .018
4.90 .169 .016 .078 .946 .017 .016 .080 .944 .017
5.00 .167 .1315 .1377 .947 .016 .016 .079 .945 .017

-40-
f$p t .{d= . 18 t/d ., .20
-
nfc K Ks Kc j nI' Ks Kc j r.p
.40 .714 · :;:60 .144 .914 .393 .389 .156 .905 .430
. 5~3 .667 .285 · 142 .915 · 311 .308 .154 .906 .340
.60 .625 .235 • 141 .915 ."257 ~ 254 · 152 .906 .280
.70 .58B .1'39 .140 .915 .218 .215 · 151 .907 .237
.80 .556 · 173 .138 .916 · 18', .186 · 14', .907 .205
.9(1 .526 .152 .137 .916 .166 .163 .147 .908 .180
1. 00 .500 · 135 .135 .917 .148 .145 .145 .908 .160
1. 10 .476 .122 .134 .917 · 1:3:3 · 131 · 144 . ',09 . 144
1.2(1 .455 .-110 .132 .917 .120 · 118 .142 .909 .130
1.3('1 .435 · 1ül · 131 .918 • 110 .108 · 14ü .910 . 118
1.40 .417 • ~3'5'3 · 130 .918 .101 .ü99 · 138 .911 .109
1~5ü .400 .085 .128 .919 .093 .0',1 .137 .911 .100
1.6(1 .385 .079 .127 .919 .086 .ü84 · 1:35 .912 .ü93
1. 70 · :370 .(174 .125 .92ü .08(1 .078 .133 .912 .ü86
1 . :3(1 · :;:57 .069 .124 .920. .ü75 .073 · 131 .913 .ü80
1. 90 .345 .064 .122 .921 .07ü .068 .130 .914 .075
2.ÜÜ .333 .ü61 · 121 .921 .066 .ü64 .128 .914 .ü70
2. lü · :323 .057 .120 .922 .ü62 · ü6,ü .126 .915 .0.66
2.20 .31:3 .05,4 · 118 .922 .058 .057 .125 .916 .062
2.30 .303 .051 · 117 .923 .055 .ü53 .123 .916 .058
2.4ü .294 .0.48 • 115 .923 .052 .05ü · 121 .917 .ü55
2.50 .286 .046 • 114 .924 .049 .048 · 119 .918 .052
2.60 .278 .043 · 112 .924 .047 .045 · 118 .919 .049
2. 7~3 .270 .041 · 111 .925 .044 .043 .116 .920 .047
2. :=:0 .263 .03', · 110 .~26 .042 .041 · 114 .920 .044
2.90 .256 .037 .108 .926 .040 .039 .112 .921 .042
3.00 .250 .036 .107 .927 .038 .037 · 111 .922 .040
3.10 .244 .034 .105 .928 .037 .035 .109 .923 .038
3.20 .238 .032 .104 .928 .035 .034 .107 .924 .036
3.3(1 .233 .031 .102 .929 .033 0"~'
· ",.. · 165 .925 .035
3.40 .227 .630 · 101 .930 .032 .031 .104 . 926 .033
3.50 .222 .028 .100 .936 .031 .629 .102 .927 .031
:3. 6~J .217 · ~327 .698 .931 .029 .028 .100 .928 .03(1
::::. 7~J .213 .026 .097 .932 .028 .027 .099 .9:30 .029
:;:.8121 .208 · (125 .095 .93:3 .027 .12125 .097 .9:31 .027
:3.90 .204 .024 .094 .934 .026 .624 .695 .932 .026
4.00 .200 · ~323 .693 .935 .625
4. 10 .196 .622 .691 .935 .024
4.26 .192 .021 .696 .936 .023
4.30 .189 .621 .088 .9:37 0'-)-")
• <;.<.
4.413 .185 · ~320 .087 .938 .021
4.5(1 .182 .019 .685 .9:39 .020

-41-
TABLAS PARA EL CALCULO DE SECClONES TE
f'~"p t,/d= .22 t /d = .24
-
t"lfc K Ks Kc .j np f(s f(c .j np
.5121 .667 .:33121 .165 .897 .367 .35121 .175 .889 .394
• 6~) .625 .271 163 .898 · :302 .287 172 .89121 . :32:3
· 7~3 .588 .23121 . 161 .8'38 .256 .24-3 .17121 .89121 .273
· :::121 .556 .198 .159 .899 .221 .21121 .168 .891 .235
.9121 .526 .174 15.7 .9121121 .193 184 165 .892 .21216
1.00 .5121121 .154 154 .913121 .172 163 163 .893 .182
1. 10 .476 139 152 .91211 .154 146 160 .893 .163
1. 20 .455 .125 .1513 .91212 139 .132 .158 .894 147
1.30 .435 114 148 .902 126 120 156 .895 134
1. 40 .417 11214 146 · 9~33 116 11219 .153 .896 122
1.50 .400 .0% .144 .91214 • 11216 .100 151 .8',7 112
1.6(1 .3:::5 .089 142 .905 .12198 .093 148 .898 .103
1. 7~) .370 .12182 14121 .905 .091 .086 146 .8'39 .095
1 . ::: (1 • ~:57 • ~377 .138 · '306 .085 .080 • 14:3 • 9~)0 .1218'3
1. '30 · :345 .072 136 .907 .079 .074 141 .901 • ~)82
2. ~30 · :333 .067 134 .91218 .074 .069 • 13'3 .903 .077
2. 10 .32:3 .063 .132 .909 .12169 .12165 .136 .91214 .(172
2.20 · :;: 13 .059 .130 .91(1 .065 .061 .134 · '~(15 .(167
2.30 .3(13 .056 .128 .911 • ~%1 .057 131 .906 .06~
2.40 .234 .052 .126 .312 .057 .054 .123 · 3~J8
)
.05'3
2.50 .286 .049 .124 .913 .054 .12151 .127 .9(19 .056
2, 6~3 .278' .047 121 .914 .051 · ~348 • 124 .91(1 .052
2.70 .270 .044 119 .915 .048 · ~H5 122 .912 .049
2. :::~) .263 .(142 117 .916 .046 · ~H3 · 119 .914 .(147
2. 9~) .256 .040 115 .918 .043 .040 · 117 .915 .044
3.00 • 25~) .038 113 .919 .041 .038 • 114 .917 .042
":.'-' . 1(1 .244 .036 111 .920 .03'3 .036 • 112 .919 .03'3
3.20 .238 .034 .109 .921 .037
3.3(1 .233 .12132 .107 • '323 · ~335
3.4(1 .227 .031 1(15 .924 .12133
:3. ~5(1 .222 .12129 un .926 .12132

-42-
fsp t, /d= .26 t /d = .28
-- r--
nfe K Ks Kc j np Ks Ke j np
.60 .625 .302 · 181 .881 .343 · :316 .190 .873 .362
.70 .588 .255 · 17'3 .882 .289 .267 .187 .875 .305
.:'Hl .556 .220 .176 .883 .249 .229 .183 .876 .262
. '36 .526 .192 .173 .884 .218 .200 .180 .877 .228
1.00 .500 .170 .170 .885 .192 .177 .177 .878 .202
1. 10 .476 • 152 .168 .886 .172 .158 .174 .879 .180
1. 26 .455 .137 .165 .887 .155 .142 • 171 .881 · 161
1.30 .435 .125 .152 .888 .140 .129 .167 .882 .146
1 . 4~) .417 · 114 .159 .890 .128 · 117 .164 .8.84 .133
1. 56 .400 .104 .156 .891 · 117 .107 • 161 .885 · 121
1. 60 .385 .096 · 154 .892 · 108 .099 .158 .887 · 111
1. 70 .370 .089 · 151 .893 .099 .091 .155 .B88 .102
1.80 'OC"..,
•.;)._1 ( .082 .148 .895 .092 .084 .152 .890 .095
1.9,0 .345 .076 .145 .896 .085 .078 .148 .892 .088
2.00 .:333 .071 .142 .898 .079 .073 .145 .894 .081
2.10 .-,.-.. '':1
..;)':'--' .066 .140 .899 .074 .068 .142 .896 .075
2.20 .313 .062 .137 .901 .069 .063 .139 .898 .070
2. :3~3 .303 .058 .134 .903 .065 .059 · 1:36 .900 .065
2.40 .2'514 .055 • 131 .904 .060 .055 .132 .902 .061
2.50 .286 .12151 .128 .906 .057 .052 .129 .905 .057
2.60 .278 .048 .126 .908 .053
2.70 .270 .045 .123 .910 .050
2.80 .,263 .04:3 .120 .912 .047
fs,p t/d= .30 t /d = .32
--
nfe K Ks Kc j np Ks Kc j np
.60 .625 .329 .197 .866 .380 .341 .204 .858 .3'37
.70 .588 .277 .194 .867 .319 .286 .200 .860 .333
.80 .556 .238 .190 .868 .274 .245 .196 .862 .285
. 90 .526 .207 .187 .870 .238 .214 .192 .863 .247
1 . ~) O .500 .183 .183 .871 .210 .188 .188 .865 .218
1. 10 .476 .163 .179 .873 .187 .167 .184 .867 .193
1,20 .455 .147 .176 .875 .168 .150 .180 .869 • 17:3
1.3(1 .435 · 132 .172 .876 • 151 · 136 · 176 .871 • 156
1.40 .4 i 7 .120 .169 .878 .137 .123 .172 .873 · 141
1. 50 .400 • 110 .165 .880 .125 • 112 .168 .876 .128
1.60 .385 · 101 • 161 .882 • 114 .103 .164 .878 · 117
1. 70 .370 .093 .158 .884 .105 .094 .160 .881 .107
1 . 8~3 .357 .086 .154 .886 .097 .087 .156 .883 .098
1. '30 .345 .079 • 151 .888 .0.89 .080 .152 .886 .1390
2.00 .333 .073 .147 .891 .082 .074 .148 .889 .083
2. 16 .32:3 .068 .143 .893 .076 .069 .144 .892 .077
2.2f1 .313 .064 .140 .896 .071
2. :30 .303 .·059 .136 .899 .066

-43-
fsp t/d= .34 t /d :: .36
--
nfl: K Ks Kc j np Ks K'c j np
.70 .588 .295 .286 .853 · :345 .302 .2[11 .846 .357
.:::0 .556 .252 .282 .855 .295 .258 .237 .849 .304
.9>3 .526 .219 .197 .857 .256 .224 .202 .851 .263
1.0(1 .500 .193 .193 .859 .224 .197 .197 .854 .2310
1. 10 .476 · 171 .188 .861 · 199 · 174 .1n .856 .204
1. 20 .455 .153 .184 .864 .177 · 156 .187 .859 • 181
1.3(1 .435 .138 .179 .866 .159 .140 .182 .862 .162
1. 40 .417 · 125 .175 .869 · 144 .126 .177 .866 .146
1. 50 .400 · 114 .170 .872 .130 · 115 .172 .869 .132
1. 60 .385 · 104 .166 .875 · 119 .104 .167 .873 · 120
1. 70 .370 .095 .162 .878 · 108 .095 .162 .877 .109
1.80 .357 .087 .157 .881 .899
1. 90 .345 .080 .153 .885 .091
fsp t,/d= .38 t/d = .40
--
nf'c K Ks Ko: j np Ks Ko: j np
.70 .588 · :309 .216 .840 · :368 .315 .220 .834 M :377
. 8(1 .556 .263 .211 .843 .313 .268 .214 .838 .320
.90 .526 .228 .205 .846 .270 .232 .209 .841 .276
1. (10 .500 .200 .200 .849 .236 .203 .203 .844 .240
1. 10 .476 .177 .195 .852 .208 .179 .197 .848 · 211
1. 20 .455 · 158 .189 .855 .184 .159 • 191 .852 · 187
1.:3(1 .435 · 141 .184 .859 .165 .142 .185 .857 · 166
1.413 .417 .127 .178 .863 · 148 · 128 .179 .862 .149
1. 50 .400 · 115 .173 .867 · 133
1. 60 .385 .185 .168 .872 .120
fsp t,/d= .42 t /d .44
nf'c K Ks Ko: j np Ks Kc j np
.70 .58:3 .320 .224 .829 .:386 .324 2'~""
· "- . .824 · 3'33
. :30 .556 . 272 . 217 .83:3 .327 .275 .220 .828 .332
.90 .526 .235 .211 .836 .280 .237 .213 .833 .285
1. »0 .508 .205 .205 .841 .244 .206 .206 .838 .246
1. 10 .476 .180 198 .845 .213 · 181 .20(1 .843 .215
1.20 .455 16(1 192 .850 .188 161 · 1'33 .849 189
1. :30 .435 143 .186 .855 · 167

-44-
f~,p t, /d= .46 t/d = .48
--
nfc K K:s Kc j np K:s Kt j np
· :3~) .556 .278 .222 .824 .3:37 .280 .224 .821 .341
.90 .526 .239 .215 .:330 .288 .240 .216 .827 .290
1'.00 .500 :207 .207 .835 .24:3 .208 .208 .834 .250
1. 10 .476 .182 .200 .842 .216
f~,p t/d= .50 t /d .52
nfc K I<:s Kc j nI=' K:s Kc j nI'
· :::0 .556 .2:31 .225 .818 • :344 .2:32 .226 .:316 .346
• '30 .526 .241 .217 .825 .292 .241 .217 .:325 .292

-45-
••••
REVISION DE SECCIONES SIMPLEMENTE ARMADAS
Descripción del diagrama del flujo:
DATOS:
Como se trata de la revlslon de una sección, se conocen las carac-
terísticas geométricas de la misma; o sea:
A. Cantidad de acero sometido a tracción.
b Ancho de la cara sometida a compresión.
d Altura útil de la sección.
t Para las secciones Te el espesor del ala.
Las características de los materiales, tales como:
f'o Resistencia máxima del concreto a los 28 días.
f.p El esfuerzo permisible del acero.
n El coeficiente de equivalencia.
Por último se conocen las cargas de servicio a las cuales va a
trabajar, a partir de las cuales se obtiene el momento actuante M.
PROCEDIMIENTO:
Se calcula la cuantía mecanlca elástica np, con este valor SEl _entra
en las tablas para secciones rectangulares simplemente armada~, P~i- _~ .:J.O
obteniendo los valores de la profundidad específica del eje neutro, brazo
mecánico y los coeficientes de resistencia. Si se trata de una sección Te
es necesario verificar si trabaja como Te o como rectangular, comparando
la profundidad del eje neutro con el espesor del ala, si dicha profundidad
es menor la sección trabaja como rectangular; si es mayor trabajará cO~~'B
Te y se procede a entrar en los ábacos para secciones Te, Pág. 50, con j
los valores de np y de tjd, para conseguir su correspondiente brazo me-
cánico y los coeficientes de resistencia.
Con los coeficientes respectivos y con las fórmulas adecuadas para
cada caso se obtienen los esfuerzos a los cuales estári trabajando los
materiales, comparando si éstos son menores que los permisibles se de-
termina si la sección resiste o no. En caso de que la sección resista, se
calculan los momentos resistentes del acero y del concreto, según cuál
de lós dos sea mayor la sección es subreforzada o sobrereforzada.

-46-
REVISION
SECCIONES SIMPLEMI;NTE ARMADAS
r
~----·
Tabla
np D > K, j, Ke,K.
Esfuerzo en el concreto
M
fe = K .b.d2
e
Esfuerzo en el acero
ó
f. = n f ~e K
M
f. =---
As'j· d
NORM
[ Sección
Teoría Clásica
No
Seccion Te
Tobla "-
np~
O
np Tabla
t/d ""i::P K, j, Kc' K.
Esfuerzo en el acero
M
f5 = -:-A-5.~j--:¡d'-
Esfuerzo en el concreto
K . fs
fe = n.(l-K)
sobrereforzada

"""'
,. i

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-
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I

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-
1
D.
-47-
RODOLFO OSERS
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Kc.
j
1REFERENCIA:
10 í. ?n
= 0.055
= 0./30
= O. 905

-48-
-DISEÑO DE SECCIONES Te Y RECTANGULARES
Descripción del diagrama de flujo:
DATOS:
Como se trata de un diseño, se conoce el momento
sección que va a ser diseñada:
L Resistencia máxima del concreto a los 28 días.
fe El esfuerzo permisible del concreto. 0.45 f'e
fsp El esfuerzo permisible del acero.
n El coeficiente de equivalencia.
Características geométricas de la sección:
b Ancho de la sección.
d Altura útil de la sección. Puede no conocerse
d' Recubrimiento de las barras en compresión.
Para las secciones Te:
t El espesor del ala
b' El ancho del nervio.
PROCEDIMIENTO:
actuante en la
L..
!
-Se determina el valor de fsp/nfe y se entra en las tablas para secciones 1
rectangulares simplemente armadas, Pág. 47, para obtener los valores de i
la profundidad específica del eje neutro K, el coeficiente de resistencia ...
del concreto Ke y el brazo mecánico específico j. Si la altura útil es desco-
nocida se calcula ésta como si la sección fuera simplemente armada y I
el momento actuante sea el momento óptimo de la sección, luego esta L.
altura debe ser redondeada. A continuación si se trata de una sección Te
es necesario verificar si trabaja como Te o como rectangular, comparando
la profundidad del eje neutro con el espesor del ala, si dicha profundidad L.
es menor, la sección trabaja como rectangular; de lo contrario trabajará
como Te y se procede a entrar en los ábacos para secciones Te, Pág. 50, i
con los valores de fsp/nfe y de t/d, para conseguir su respectivo brazo .I
mecánico y los coeficientes de resistencia.
Con los coeficientes respectivos se calcula el momento resistente I
óptimo de la sección Mo, y en función de éste se determinará si debe ser
doblemente armada.

-49-
••••
Si el momento actuante en la sección es menor que el óptimo, la
sección será simplemente armada, entonces se calculará el acero a trac-
ción con las fórmulas correspondientes, siempre verificando que sea
mayor que el mínimo permisible por normas. Si se desea ser más preciso
como se está calculando el acero para absorber el momento óptimo, se
puede obtener el valor del coeficiente de resistencia del acero K. para
el momento actuante y con este término entrar en las tablas para secciones
Te o rectangulares, según el caso, y leer el valor del brazo mecánico j
respectivo, con este término se obtiene la cantidad de acero.
Si el momento actuante es mayor que el óptimo, la sección será
doblemente armada. Para ello se calcula la cantidad de acero necesaria
para absorber el momento óptimo, el exceso de momento será absorbido
por una pareja de aceros adicionales, cumpliendo siempre el requisito
por norma, que el acero a compresión esté trabajando a un esfuerzo per-
misible menor o igual al de acero a tracción Luego se
distribuye el acero.

-50-
••••
DISEÑO
TEORIA CLASICA
(Sección simplemente armada 1
.----'----!
'--
L
,
K, Ke , jo
,..----===,., ;
No
f;p
n' fe
tld
COMO r.
Tabla)
U Kc, jo
(Sección doblemente armada)
L
L

D.
-51-
RODOLFO OSERS
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S=0838
IREFERENCIA: IPAG: 1/1

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D.
-52-
RODOLFO OSERS
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IREVISION: 1REFERENCIA:
I
PAG:
60c7IC-
1/1.

-53-
DIMENSIONADO PARA EL DISEÑO OPTIMO
,
Conocida la cuantía de acero en compresión
fsp f~ , n
M, p', (b), (d)
flll
n· fe
Tabla :>
D
Ke
Se supone una cierta
relacion d'/d tal que:
¿ , - fIP/(2 'n' fe)
(1<' +fspl(n·fe)
para que f~ = fl
Deducción
Despejando
-,
I
Chequear que se cumplo. I
la relacion d/d, si ,no --1
repetir el ciclo.
••••

D.
RODOLFO OSERS
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1REVISION: 1REFERENCIA:

D.
-55-
RODOLFO OSERS
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1M. lA. ICALCULO: IREVISION: 1REfERENCIA:

-56-
DIMENSIONADO PARA EL DISEAO OPTIMO
Conocida la relación entre el acero a compresión y a tracción
efap, fe I n
M, PLP I b
~r
~ Tabla
~ Kel j
n . fe
O
iSe supone una cie.rta
relacion d/d tal que;
~ < 1 -fiP /(2·n·fe}
d 1 +fsp/(n·fc}
para que f~ = fsp
~
Ro = Ke' fe
..
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/ M/b
Ro [1 + L.(' - d'/d )]
p. J 1 - p'/p
~
Chequear que se cumplo
la relacion d/,d, si no
repetir el ciclo.
+Ro . b· d
As = fsp' j . (1 - pIp)
1
A~ = (p'/p). As
~
¡--
----¡
I
I
I
I
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I
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RODOLFO OSERS
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CALCULO: REVISION: REFERENCIA:

-58-
DIMENSIONADO PARA EL DISEÑO OPTIMO
Conocido el momento absorbido por la pareja de aceros adicionales
~ Tabla "'-
--.,=--7>7 Ke
n- fe
Deducción
Despejando
b =
d =' ¡;;;-;;;V~
oc eros
No
- , 1

D.
RODOLFO OSERS
-59-
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300"- "
1
~
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'1
j.ftltl
15 x 'M.5
1M. JA. JCALCULO:
= 099
(30 _ X3J'I) 10 5
14J1t1, {6-t.S- S)
IREVISION:
t = 0. 50 3
¡¿c.. ~ 0.209
j -
11"10 = 11!.b~ d. Q.3! c,.;-.
fi
IREFERENCIA:
i
tIPAG: 1/i

-61-
MOMENTOS DE INERCIA EFECTIVOS
Teoría Clásica
Flexión Pura
La determinación de los momentos de inercia efectivos se hace en
base a los momentos de inercia de la sección agrietada y el momento ac-
tuante.
El momento de inercia de la sección agrietada se hará por el método
de la sección transformada, es decir por la teoría clásica, como se ve
a continuación.
-t
!----
nAs
b'
b
d
,
d
s
(n-1)p'
np
t 2d'
(b/b' -1)
- - - - t/d
e np

-62-
Las fórmulas quedarán de la siguiente manera:
K np~ +,8c) + j{nP(1 +,8c)}2 + np(2 + ~c tjd) ,
El valor de F será de 4 para secciones rectangulares y de 3 para las Te.
- "

-63:-
MOMENTOS DE INERCIA EFECTIVOS
o F 4, F' 3
( b,d,f~,fy, Es,Ma,h,As,t:d ( b,b',d,t,f~,fy ,E.,Mo , h, As
y .J,
( )' [Es ] A's h
2
. tin-1 p "--1 -
b·t (h - 1/2)Ec b·d - +
2
Y -
(
t
b'·h + (b-b')·tNo
A's: O
....J, Si
Es As
.. 19
b'y~ + b·{h-Yt)'- (b-b')·(h-Yt - t)'
np =_.- :
Ec b·d
.. 3
.l.
K := -np + 0np)2 + 2'np
~
K ~ lId
No .... Es As
np = Ec' b'd
~Si
¡ ~
[ 3 2] 3 t := 2·d'
Ier := . ~ + np(l-K) b·d
~ :=
(b/b' -1) 1 ~ ,,(n-1) P
e np "d e np
¡ .~
Yt =h/2
K= -np·(1t ~c)+ V[np(1+~c)r+np(2+~c'i)
• ¡19
b:h'
=--12
J 3 [ t
2
]} 3... 1 ={np (1 - K)2 + L + ~np. K{K-t/d)+-2 bd...
l er 3 e F·d
r
Normas A.C.I
9.5.2.2.
fr=2·FM =~ Normas A.C.I.
ec yt 8.5.,.
Ec=15000 F3
{1- [ ~:rnler ~19le =[ ~~rh +
covenin 9.6.2.1
ec 9.12 covenin
momento de
fisuracion ec 9.13

-65-
FLEXION PURA
Teoría de Rotura
-t----- b - ·_--t
h
d
C::. Kud
Eje
Neutro
'k--r-- ..- - .
SUPOSICIONES Y CONSIDERACIONES:
(lO.2.7.l
T
a) Conservación de las caras planas (NavierL distribución de las defor-
maciones es lineal. Arti'cu/o (10.2.2.)
b) El concreto no resiste 10s esfuerzos de tr.icción.llo.2.5.)
c) No existe deslizamiento entre el concreto y acero.
d) No se aplica la Ley de Hooke, las deformaciones no son proporcio-
nales a'los esfuerzos. (10.2.6) ,
el La falla de la sección ocurre cuando el concreto alcanza su defor-
mación máx;ma útil fu.
Normas
(10,2,..,3.) .
EU = 0.003

-66-
Coeficientes empleados necesarios para definir la teoría de rotura:
1. Coeficiente de forma:
Este coeficiente se emplea para convertir el área del diagrama de
esfuerzos en un rectángulo equivalente. Viene dado por la norma
10.2.7.
(o
~, = 0.85 - 0.05 e - 280
70
0065 ~ ~, :;:;0.85
2. Coeficiente para la ubicación del centro de compresión: ~ 2
Este, nos indica la profundidad de la resultante en compresión res-
pecto al eje neutro y su valor aproximado es de ~2 == . ~, /2
3. Coeficiente de relación: ~ 3 Arti'cu Io 10.2.7.
Con este coeficiente obtenemos la relación entre la resistencia del
concreto en la viga con el cilindro de control su valor es 0.85.
Diagrama de esfuerzo-deformación del acero:
(3 -1)
f s = ; [11+ ~:I~ 1'· ~: 1]
10.2.4.
A diferencia de la teoría clásica que los factores de seguridad están
implícitamente considerados en los esfuerzos permisibles, en la teoría
00 de rotura se emplea un factor minorante de resistencia, rJ>, que la norma
en el capítulo 9.3.2. para flexión usa como mínimo 0.9., y un. factor
mayorante de cargas los cuales salen prescritos en el capítulo 9.2.
tulo 9.2.
De todo esto si se llama M al momento actuante y f el factor mayorante
se puede escribir la siguiente expresión:
F·M~<p·M (u 9.1.)

-67-
Análisis de una sección de concreto armado sometida a flexión pura:
E:u .j..
"- K 1P2Ku~(..- u
' - - - -
d
id
• • •
Mediante el correspondiente análisis se puede obtener:
La resultante de tracción: T Asfsu (3 - 2)
La resultante de compresión: PI P3 f ~ (K db)
u (3- 3)
El brazo mecánico: jd d - P2 K d (3-4)
U
Tj d <P (3-5)El momento de agotamiento: I <P M~, l' U
., L OL ../i-r2-A CfA o..-l UNcIr L)
17 ~o~ ck l.úAP ~g~l-¡Q_"", u-~.,{~
~");v'>t1..,¿.J..;........ é~(..;G)
De igualar la resultante en compresIOn con la tracción para lograr
el equilibrio y usando la expresión del porcentaje de acero p = A,jbd ob-
tenemos la profundidad del eje neutro.
f A fsu ú)su s
K = p ú)
= bcj f'
K
u
P1~3 f~,
u pJP3e
(3-6) (3 -7) (3-8)
Se llama a ú) cuantía mecánica.
Por otra parte, por la hipótesis de distribución de deformaciones linea,l.
K
u
E:
U
E: + S
U su
(3 - 9)

-68-
Igualando las ecuaciones (3 - 6) Y (3 - 9) queda: Esfuerzo del acero
en el rango elástico.
p (3-11 )
(3-10)
Sustituyendo por (3 - 10)
De esta ecuación se despeja Esu y se calcula el esfuerzo del trabajo fsu del
acero, sustituyendo en la ecuación (3 - 1)
(3-13) 1 /
- Eu + VE~ +
E su = 2
4·Eu·~'· ~3·f~
PEs
Despejando Esu de la ecuación (3 - 11) queda:
(3-1)
fy [1 ESUI I ESUI]fsu= 2 1+E; - 1- Ey
Esu
(3-14)
Cuando E su > E y , fsu = f y , se puede despejar de la ecuación (3 - 11) el
valor P siendo este el porcentaje de acero que produce una falla balanceada.
( 10.3.2.)
f~
fy (3-15)
~
Eu
W - .
b- 1 ~3 E + E
u y (3-16)
Tomando momentos respecto a la resultante de compresión queda:
(3-17)

-69-
Para el diseño de las secciones simplemente armadas es más sencillo
expresar el momento de agotamiento de la sección Mu en función de la
cuantía mecánica W
M = A f d (1 - ~2K )~u s su U
sustituyendo Ku en función de W Ec. (3 - 8)
2
Dividiendo ambos miembros entre f'cbd
t1
u
f I bcÍ 2
e
Para el diseño es necesario conocer el valor de W en fúnción de fl
con lo cual, despejando, queda:
w ~ ~,[, -) , -
~ = h [, - :~.]

-70-
SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS
Teoría de Rotura
Las secciones deberán ser doblemente armadas cuando el momento
de agotamiento actuante sea mayor que el óptimo que resiste la sección.
El problema se concretará, a determinar el momento óptimo que re-
siste la sección simplemente armada. el cual vendrá en función del por-
centaje de acero permisible en la sección para control de la ductilidad.
El análisis de las secciones doblemente armadas por la teoría de
rotura es el siguiente:
-t------.~---+
h
As
-{-. ......~-----'¡, b'
-''r~---
Eje
Neutro
d
~ ~3~~ <:,.u L 1'-'
'r,...._--..", ~t H- c,
Ce
'k--i'-- . - - ,
T
La resultante de compresión es: La resultante de tracción es:
e = A'f's s s
T = A f
s su

j
-71-
Por equilibrio, igualando las resultantes de compresión con las de
tracción se obtiene la profundidad del eje neutro.
T e + ee s
~1 3fl (K db) + Alfl
e u s s
A f
s su
A f - Alfl
S su S s
~lhf~.bd
Como siempre se diseña para que la falla ocurra después que el
acero a tracción ceda (para obtener una falla dúctil), cuando la defor-
mación del acero a compresión sea mayor que la de cedencia, la profun-
didad del eje neutro es directa:
E > E => f = f
su y su y
-:> f~
Esto ocurre cuando
E
= f'y
K =u
A - A.I
f'
s s . __y_
en tl3bd f I
r-' r e
El u
(K dl/d) K dte < - >
K uy= s ·u
U
por lo general fy f'y
E
u
. d'
E: - te
U Y

-72-
Cuando eL Acero en compresión no está en cedencia:
Eu d
E' s = ( Ku -
Ku d'
As fy - A's f's As fy - A's E's Es w
Ku =
~ ~bd f'c
1 3 .
~ ~ bd f'c
1 3
fy
Sustituyendo La Expresión deE's y haciendo E y =
Es
Eu d
~ ~ Ku
1 . 3
- W + W' ( ( Ku - )) =O
E Y Ku d'
Multiplicando toda la expresión por Ku:
2 Eu Eud
~1 ~3 (Ku) - (w -Wl (Ku) - W' -- = O
Ey E Y d'
A=~ ~
Eu Eu d
Haciendo B = W-W' - y C =W' - -
1 3 Ey E Y d'
2
A (Ku) - B (Ku) - C = O
De esta expresion se puede despejar directamente Ku.
w' EsE'
~ ~ fy
1 3
queda:
Queda:
Finalmente para conocer el momento de agotamiento se toma mo·
mentos respecto al punto de apl icación de la resultante en compresión
del concreto.

-73-
El brazo mecánico del acero a tracción es: jd
El brazo mecánico del acero a compresión es: ~2Kud~d"
1)-,
Entonces el momento de agotamiento ya minorado será:
Para reajustar la fórmula se puede hacer lo siguiente: sumar y restar
el siguiente término: A'.fsd quedando así la siguiente expresión:
<t:> M <t:> r(A f - AI f I ) ( 1- ~2. K ) d + AI f I (d - di)]
u L s su s s u s s

-75-
FLEXION PURA (Teoría de Rotura)
CUANTIA MECANICA
BRAZO MECANICO
~2
jU - 1 - --------------- w
- ~l ~3
,-l
I-l = <))w( 1 - ~W)
~1f33
,]

-76-
COEFICIENTES ADIMENSIONALES
SECCIONES RECTANGULARES (TEORIA DE ROTURA)
W Hiu Ju W Hiu Ju W Hiu Ju W Miu Ju
O.OIl .0098 .9935 0.056 .0487 .9671 0.101 .0855 .9406 0.146 .1201 .9141
0.012 .0107 .9929 0.057 .0496 .9665 0.102 .0863 .9400 0.147 .1209 .9135
0.013 .0116 .9924 0.058 .0504 .9659 0.103 .0871 .9394 0.148 .1216 .9129
0.014 .0125 .9918 0.059 .0513 .9653 0.104 .0879 .9388 0.149 .1223 .9124
0.015 .0134 .9912 0.060 .0521 .9647 0.105 .0887 .9382 0.150 .1231 .9118
0.016 .0143 .9906 0.061 .0529 .9641 0.106 .0895 .9376 0.151 .1238 .9112
0.017 .0151 .9900 0.062 .0538 .9635 0.107 .0902 .9371 0.152 .1246 .9106
0.018 .0160 .9894 0.063 .0546 .9629 0.108 .0910 .9365 0.153 .1253 .9100
0.019 .0169 .9888 0.064 .0554 .9624 0.109 .0918 .9359 0.154 .1260 .9094
0.020 .0178 .9882 0.065 .0563 .9618 0.110 .0926 .9353 0.155 .1268 .9088
0.021 .0187 .9876 0.066 .0571 .9612 0.111 .0934 .9347 0.156 .1275 .9082
0.022 .0195 .9871 0.067 .0579 .9606 0.112 .0942 .9341 0.157 .1283 .9076
0.023 .0204 .9865 0.068 .0588 .9600 0.113 .0949 .9335 0.158 .1290 .9071
0.024 .0213 .9859 0.069 .0596 .9594 0.114 .0957 .9329 0.159 .1297 .9065
0.025 .0222 .9853 0.070 .0604 .9588 0.115 .0965 .9324 0.160 .1304 .9059
0.026 .0230 .9847 0.071 .0612 .9582 0.116 .0973 .9318 0.161 .1312 .9053
0.027 .0239 .9841 0.072 .0621 .9576 0.117 .0981 .9312 0.162 .1319 .9047
0.028 .0248 .9835 0.073 .0629 .9571 0.118 .0988 .9306 0.163 .1326 .9041
0.029 .0257 .9829 0.074 .0637 .9565 0.119 .0996 .9300 0.164 .1334 .9035
0.030 .0265 .9824 0.075 .0645 .9559 0.120 .1004 .9294 0.165 .1341 .9029
0.031 .0274 .9818 0.076 .0653 .9553 0.121 .1011 .9288 0.166 .1348 .9024
0.032 .0283 .9812 0.077 .0662 .9547 0.122 .1019 .9282 0.167 .1355 .9018
0.033 .0291 .9806 0.078 .0670 .9541 0.123 .1027 .9276 0.168 .1363 .9012
0.034 .0300 .9800 0.079 .0678 .9535 0.124 .1035 .9271 0.169 .1370 .9006
0.035 .0309 .9794 0.080 .0686 .9529 0.125 .1042 .9265 0.170 .1377 .9000
0.036 .0317 .9788 0.081 .0694 .9524 0.126 .1050 .9259 0.171 .1384 .8994
0.037 .0326 .9782 0.082 .0702 .9518 0.127 .1058 .9253 0.172 .1391 .8988
0.038 .0334 .9776 0.083 .0711 .9512 0.128 .1065 .9247 0.173 .1399 .8982
0.039 .0343 .9771 0.084 .0719 .9506 0.129 .1073 .9241 0.174 .1406 .8976
0.040 .0352 .9765 0.085 .0727 .9500 0.130 .1081 .9235 0.175 .1413 .8971
0.041 .0360 .9759 0.086 .0735 .9494 0.131 .1088 .9229 0.176 .1420 .8965
0.042 .0369 .9753 0.087 .0743 .9488 0.132 .1096 .9224 0.177 .1427 .8959
0.043 .0377 .9747 0.088 .0751 .9482 0.133 .1103 .9218 0.178 .1434 .8953
0.044 .0386 .9741 0.089 .0759 .9476 0.134 .1111 .9212 0.179 .1441 .8947
0.045 .0394 .9735 0.090 .0767 .9471 0.135 .1119 .9206 0.180 .1448 .8941
0.046 .0403 .9729 0.091 .0775 .9465 0.136 .1126 .9200 0;181 .1456 .8935
0.047 .0411 .9724 0.092 .0783 .9459 0.137 .1134 .9194 0.182 .1463 .8929
0.048 .0420 .9718 0.093 .0791 .9453 0.138 .1141 .9188 0.183 .1470 .8924
0.049 .0428 .9712 0.094 .0799 .9447 0.139 .1149 .9182 0.184 .1477 .8918
0.050 .0437 .9706 0.095 .0807 .9441 0.140 .1156 .9176 0.185 .1484 .8912
0.051 .0445 .9700 0.096 .0815 .9435 0.141 .1l64 .9171 0.186 .1491 .8906
0.052 .0454 .9694 0.097 .0823 .9429 0.142 .1l7l .9165 0.187 .1498 .8900
0.053 .0462 .9688 0.098 .0831 .9424 0.143 .1179 .9159 0.188 .1505 .8894
0.054 .0471 .9682 0.099 .0839 .9418 0.144 .1186 .9153 0.189 .1512 .8888
0.055 .0479 .9676 0.100 .0847 .9412 0.145 .1l94 .9147 0.190 .1519 .8882

-77-
COEFICIENTES ADIMENSIONALES
SECCIONES RECTANGULARES (TEORIA DE ROTURA)
W Hiu Ju W Miu Ju W Hiu Ju W Hiu Ju
0.191 .1526 .8876 0.236 .1829 .8612 0.281 .2111 .8347 0.326 .2371 .8082
0.192 .1533 .8871 0.237 .1836 .8606 0.282 .2117 .8341 0.327 .2377 .8076
0.193 .1540 .8865 0.238 .1842 .8600 0.283 .2123 .8335 0.328 .2382 .8071
0.194 .1547 .8859 0.239 .1849 .8594 0.284 .2129 .8329 0.329 .2388 .8065
0.195 .1554 .8853 0.240 •1855 .8588 0.285 .2135 .8324 0.330 .2393 .8059 .
0.196 .1561 .8847 0.241 .1862 .8582 0.286 .2141 .8318 0.331 .2399 .8053
0.197 .1568 .8841 0.242 .1868 .8576 0.287 .2147 .8312 0.332 .2404 .8047
0.198 .1574 .8835 0.243 .1874 .8571 0.288 .2153 .8306 0.333 .2410 .8041
0.199 .1581 .8829 0.244 .1881 .8565 0.289 .2159 .8300 0.334 .2415 .8035
0.200 .1588 .8824 0.245 .1887 .8559 0.290 .2165 .8294 0.335 .2421 .8029
0.201 .1595 .8818 0.246 .1894 .8553 0.291 .2171 .8288 0.336 .2426 .8024
0.202 .1602 .8812 0.247 .1900 .8547 0.292 .2177 .8282 0.337 .2432 .8018
0.203 .1609 .8806 0.248 .1906 .8541 0.293 .2183 .8276 0.338 .2437 .8012
0.204 .1616 .8800 0.249 .1913 .8535 0.294 .2188 .8:m 0.339 .2443 .8006
0.205 .1623 .8794 0.250 .1919 .8529 0.295 .2194 .8265 0.340 .2448 .8000
0.206 .1629 .8788 0.251 .1925 .8524 0.296 .2200 .8259 0.341 .2453 .7994
0.207 .1636 .8782 0.252 .1932 .8518 0.297 .2206 .8253 0.342 .2459 .7988
0.208 .1643 .8776 0.253 .1938 .8512 0.298 .2212 .8247 0.343 .2464 .7982
0.209 .1650 .8771 0.254 .1944 .8506 0.299 .2218 .8241 0.344 .2470 .7976
0.210 .1657 .8765 0.255 .1951 .8500 0.300 .2224 .8235 0.345 .2475 .7971
0.211 .1663 .8759 0.256 .1957 .8494 0.301 .2229 .8229 0.346 .2480 .7965
0.212 .1670 .8753 0.257 .1963 .8488 0.302 .2235 .8224 0.347 .2486 .7959
0.213 .1677 .8747 0.258 .1970 .8482 0.303 .2241 .8218 0.348 .2491 .7953
0.214 .1684 .8741 0.259 .1976 .8476 0.304 .2247 .8212 0.349 .2496 .7947
0.215 .1690 .8735 0.260 .1982 .8471 0.305 .2253 .8206 0.350 .2501 .7941
0.216 .1697 .8729 0.261 .1988 .8465 0.306 .7258 .8200 0.351 .2507 .7935
0.217 .1704 .8724 0.262 .1995 .8459 0.307 .2264 .8194 0.352 .2512 .7929
0.218 .1710 .8718 0.263 .2001 .8453 0.308 .2270 .8188 0.353 .2517 .7924
0.219 .1717 .8712 0.264 .2007 .8447 0.309 .2276 .8182 0.354 .2523 .7918
0.220 .1724 .8706 0.265 .2013 .8441 0.310 .2281 .8176 0.355 .2528 .7912
0.221 .1730 .8700 0.266 .2019 .8435 0.311 .2287 .8171 0.356 .2533 .7906
0.222 .1737 .8694 0.267 .2026 .8429 0.312 .2293 .8165 0.357 .2538 .7900
0.223 .1744 .8688 0.268 .2032 .8424 0.313 .2298 .8159 0.358 .2543 .7894
0.224 .1750 .8682 0.269 .2038 .8418 0.314 .2304 .8153 0.359 .2549 .7888
0.225 .1757 .8676 0.270 .2044 .8412 0.315 .2310 .8147 0.360 .2554 .7882
0.226 .1764 .8671 0.271 .2050 .8406 0.316 .2315 .8141 0.361 .2559 .7876
0.227 .1770 .8665 0.272 .2056 .8400 0.317 .2321 .8135 0.362 .2564 .7871
0.228 .1777 .8659 0.273 .2062 .8394 0.318 .2327 .8129 0.363 .2569 .7865
0.229 .1783 .8653 0.274 .2069 .8388 0.319 .2332 .8124 0.364 .2575 .7859
0.230 .1790 .8647 0.275 .2075 .8382 0.320 .2338 .8118 0.365 .2580 .7853
0.231 .1797 .8641 0.276 .2081 .8376 0.321 .2343 .8112 0.356 .2585 .7847
0.232 .1803 .8635 0.277 .2087 .8371. 0.322 .2349 .8106 0.367 .2590 .i841
0.233 .1810 .8629 0.278 .2093 .8365 0.323 .2355 .8100 0.368 .2595 .7835
0.234 .1816 .8624 0.279 .2099 .8359 0.324 .2360 .8094 0.369 .2600 .7829

-79-
T
FLEXION PURA
Teoría de Rotura
Secciones 11 Te 11
b
b-b b b-b'
-2- 2
--,r- ------i----i-- .,lt
+
T,
•Alf
Las secciones Te, por el principio de superposlclon se pueden trans-
formar en la suma de dos secciones como se muestra en el esquema.
Una sección rectangular de ancho b', y una secclOn compuesta por los
salientes del ala sometida a compresión y a un área de acero a tracción.
La resultante a compresión será la suma de la resultante a compresión
de la sección rectangular el y la resultante a compresión existente en
las alas. la cual puede estimarse suponiendo una distribución uniforme
de esfuerzos en las alas y tomando como intensidad máxima permisible
el valor de O.85f'q y situada en la mitad del ala. Esta suposición se acerca
más a la realidad a medida que el eje neutro baja más en el nervio.
Haciendo uso de este artificio las secciones te se pueden tr·atar como
secciones rectangulares doblemente armadas donde las alas de la Te
son sustituidas por una cierta area de acero ficticia, que se obtiene está-
ticamente igualando la resultante a tracción ficticia con la resultante a
compresión de las alas.

T
2
A ffs y
-80-
e2
La profundidad del eje neutro se determina igual que en las secciones
doblemente armadas:
K du
CA - Al) f
s s y
bd ~ 1~3 f ~
(A -A f)
= _--=.s_:::.s~
Igual para determirar el momento de agotamiento.
f
--1
f'
e

-81-
REVISION DE SECCIONES SIMPLEMENTE ARMADAS
DATOS:
Como se trata de la revlslon de una sección, se conocen las carac-
terísticas geométricas de la misma, o sea:
As Cantidad de acero sometido a tracción.
b Ancho de la cara sometida a compresión.
t Para las secciones Te: El espesor del ala.
El espesor del alma.
f'e Resistencia máxima del concreto a los 28 días.
fy El esfuerzo cedente del acero.
fu La deformación última del concreto.
Por las normas, los coeficientes ~" ~2' ~3 Y el factor de minoración
de resistencia r[J.
PROCEDIMIENTO:
Se calcula el porcentaje de acero p, si se trata de una sección Te es
necesario verificar si trabaja como tal, determinando la profundidad del
eje neutro; si éste es mayor que el espesor del ala la sección trabaja
como Te; en este caso se adopta el artificio utilizado por el A.eJ. que
consiste en transformar el área de concreto de las alas en un área de
acero ficticio equivalente.
Luego, tanto para las secciones Te como para las rectangulares se
determina mediante las fórmulas respectivas, el momento último resis-
tente de la sección.

-82-
REVISION
SECCIONES SIMPLEMENTE ARMADAS
As, b, b', d , t, fy, f~
Te
As
P=--
b·d
fy
Ku =P'-r< .~ . f'
i"', t-' 3 e
No
Trabaja camo
rectangular
NO
Normas A.C. r.
9.3.2.
<1> = 0.9
W'ormos A.C.I.
10.2.7.
Q f~-280
1"1 • 0.85 - 0.05----
70
0.65 "~1 <" 0.85
Normas A.C. L
10.2.3.
e:u : 0.003

RODOLFO OSERS 1-'R_F_:-::-:-I:-:_9_¡¡¡-:-IfS-O-:_9A-"-:-E-.::_B.::_I/-O-:-:-~-~~~::-(J--5-~-:-1'.-~:_:_:_:_:_:_f_()_~_.s_:_:_:_:_d_()--1 T
--JL- 80 00 C.Fn.~..___~.
'1 - - - - - - - - ..,
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;<-,
o. 9 (. /90'1 .,< 133'1)
IREVISION 1REFERENCIA PAG{/i

-84-
DISEIIO DE SECCIONES SIMPLEMENTE ARMADAS
DATOS:
Como se trata de un diseño se conoce el momento de agotamiento ~
al cual va a estar sometida la sección.
las características de los materiales, tales como:
Es El módulo de elasticidad del acero.
Forma; Te o rectangular.
b Ancho de la cara sometida a compresión
d La altura útil de la sección.
b' Para las secciones Te: El espesor del alma.
El espesor del ala.
Por las normas, los coeficientes ~h ~2,~3 Y .el factor minorante de _
resistencia cf>,
PROCEDIMIENTO:
Si la altura útil de la secclOn no es conocida, es necesario suponer
~lIia cuantía de acero, mayor que la mínima y menor que la mitad de la
reqUerida para producir una falla balanceada, con' este valor se determinará
la altura de la seq:ión; en el caso de que la altura útil sea conocida, se
calcula la cuantía mecánica necesaria, que debe estar comprendida en-
tre los valores normativOs. Si se trata de una Te es necesario verificar
si trabajará como tal, determinando la profundidad del eje neutro, que
.en caso. de ser mayor que el espesor del ala trabaja como Te, y calcula-
mos el acero ficticio equivalente al concreto de las alas, junto con el mo- ~
mento que resiste. Una vez determinados estos valores es preciso cal-
cular ·el momento remanente y con este; el nuevo valor de la cuantía
mecánica y el brazo mecánico. A continuación tanto para las Te como para
las secciones rectangulares se obtiene la cantidad de acero a tracción, ~
con las fórmulas. respectivas.

-85-
DISEÑO
SECCIONES SIMPLEMENTE ARMADAS
Normas A. e. 1.
10.&.1. - A.5.2..
A~ = Amin= ~ b·dfy
Aumentar d
Normas .A.e.I.
9.3.2.
4> = 0.9
Normas A.e.I.
10.2.7.
r< f~ - 280
1"1 = 0.85 - 0.05 70-
0.65 ~ ~, :::;0.85
Normas A. e. 1.
10.2.3
Eu = 0.003
~3' fb(b - b'J!

o
RODOLFO OSERS
])J?ros:
b'~ 6 = 30c»v
Hu = ~"Í /, ;>n.
#¡;íEe/,t;,<,E5 :
f¡ ~ 4.<-00 V0,i
f~ = 350 1/c4,
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CALCULO:
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1116u,i
REVISION.
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r. = 0..f5
REFERENCIA:
T
T
T
T
T
T
T
T
T

-87-
REVISION DE SECCIONES DOBLEMENTE ARMADAS
DATOS:
Como se trata de la revisión de una sección, se conocen las caracte.
rísticas geométricas de la misma o sea:
As Cantidad de acero sometido a tracción.
A'. Cantidad de acero sometido a compresión.
b Ancho de la cara.
d' Recubrimiento de las barras a compresión.
Eu La deformación última del concreto.
fy El esfuerzo cedente del acero
Por las normas los coeficientes ~h K2, K3 Y el factor de minoración
de resistencia P.
PROCEDIMIENTO:
Si el área <;le acero a tracción es igual a la de compreSlOn, como el
eje neutro sube mucho, se supone la profundidad específica del mismo
igual a d'jd y se procederá a realizar el lazo iterativo, para ubicar su po-
sición y así determinar el momento último resistente. En caso de ser di-
ferentes se calcula el porcentaje de acero, luego la cuantía mecánica y la
probable profundidad del eje neutro, verificando si el acero a compresión
está en cedencia o no. De encontrarse en cedencia el momento último re-
sistente Mu se calculará directamente con la fórmula respectiva, de lo
contrario se requiere un proceso iterativo para ubicar la profundidad ver-
dadera del eje neutro, una vez conocida la posición del eje neutro se
puede determinar a que esfuerzo está trabajando el acero a compresión
y el momento último resistente respectivo.

-88-
REVISION
SECCIONES DOBLEMENTE ARMADAS
M~, Es
b, d, d', As ,A's, t~ ,ty,t~
Normas A.C. I.
9.3.2
<P = 0.9
Normas A.C,1.
10.2.7
~ 1 = 0.85 - 0.05 f~ - 280
70
0.65 ,,;;; ~, ';;;;0 85
K2 = 0.42
K3 = 0.85
..
_N_o_r_m_CS_A_._C_.I_.__~.10.2.3
e:. = 0.003
, E: u
B:W- W--
E:y
e = w/~ d/d'
E: y
2
A(K u ) + B(K u ) + e = o
,fy [1 Es 1 I E's IJts = '2 1 + '€y - l-Ey .

-89-
FlejofP91119S ~PI!iI 1'11 cálcel(l ds !JvilCPSiv 4"1119«.10
IRODOLFO OSERS ".>~ ; :.::~..::.
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3. 0./6 '19 0.0/52 280.0. 0.00./2/ 2 .... 1 0..1653 0./650.
-4 0.1650. 0.0./5/ .:1900 0.00 12.;'
.26"5 0./650 0/6S0
C¡UCIIJ,O :DE)" MtJHI.'J./'TO '])E J!1¿¡,or,q#IEU70:
11'1l = ~ [!A.f,,,,- 1I~"f~),d"(1- Ku".K.,,) + 11;'. f~ . (d _d')]
Hu = 0'9[(.31 03", Z8o.O-202:¡" .tG6S)s:J5 (1- 0/650" 042) + .J(¡.U'" 26(,5. (5.25- 5)]
Hu = 3.( 55 f - -7?Z..
D.
t lA
CALCULO'.• IREVISION: 1REFERENCIA: IPAG
i /
i

-90-
DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE
ARMADAS
DescripciÓn del diagrama de flujo:
DATOS:
Como se trata de un diseño, se conoce el momento de agotamiento
al cual va a estar sometida la sección:
f'e· Resistencia. máxima del concreto a los 28 días.
Es El módulo de elasticidad del acero.
b Ancho de la sección.
d' Recubrimiento de las barras en compresión
Por las normas los coeficientes ~ 10 K2 , K3 el factor minorante de resis-
tencia cf> y los factores de mayoración de carga.
PROCEDIMIENTO:
Se calcula la cuantía mecánica de acero que produce la falla balanceada, ......
la cual depende de los materiales empleados, con lo cual la cuantía
máxima que podrá ser utilizada será (por normas A.eJ.) la mitad de la
anterior. Con este valor se puede determinar el momento máximo que pue-
de resistir dicha sección, si este momento, es mayor que el actuante-
entonces la sección quedará simplemente armada, y se calculará el área
de acero como tal, si es menor habrá que absorber el exceso de momento
con una pareja de aceros adicionales, quedando doblemente armada, pero-
para ello será necesario primero verificar si el acero en compresión se
encuentra en cedencia o no, con las fúrmulas respectivas.

-91-
DISEÑO
SECCIONES DOBLEMENTE ARMADAS
Teoría de Rotura
Normas A. C. I.
A.5.1
. (¡) " 0.5· (¡) b
. K2
J =1 - - - ( ¡ )
~1 K3
t-l =
Mu
Normas A.C.I.
9.3.2.
<jJ " 0.9
Normas A.C.I. ~,
10.2.7
R f'e - 280
1"'1 = 0.85 - 0.05· 70
0.65 " ~1 ~ 0.85
Normas A. C.. I.
,0.2..3
E: u " 0.003
f~ = ; [11 + :~ 1-11- ~~ 1]

o.
-92-
RODOLFO OSERS
~..... .
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L¡:¡;.,v.,o ;J)/i Jo ¡:¡ZU; :PE: I?c,z.o:
CALCULO: REVISION: REFERENCIA:
1-= .
50 C.7n .
PAG: •
l./i
r
r
r
r
r
r
r

-93-
CASOS PARTICULARES PARA EL DISEÑO OPTIMO
Al igual que en teoría clásica se pueden deducir las fórmulas para
determinar la altura útil de las secciones para que el diseño sea óptimo,
las fórmulas que a continuación se dan son utilizables cuando el acero
en compresión se encuentra en cedencia: f'.=fy ,
1) DETERMINACION DE LA ALTURA UTIL CUANDO SE CONOCE P'
Por definición p'=A's/bd
w=
b·d
~
f'
e
Sustituyendo en la ecuación del momento de agotamiento quedan las
siguientes expresiones:
K2
Mu =cp{wbd2
fc (1-- w) + p' bd2
fy (1-d'/d) }
~IK3
Despejando de esta fórmula la altura útil d se obtiene la expresión
buscada:
d

-94-
2) DETERMINACION DE LA ALTURA UTIL CUANDO SE CONOCE P'/P:
Como p'/p es conocido entonces A's= (p'/p) As
Debido a que la sección será doblemente armada el acero total será
la suma del acero que corresponde a la cuantía óptima Ao más el corres-
pondiente al acero en compresión A's
Por definición:
f'
Ao = wobd _c_
fy
Despejando As
As=Ao+A',
Sustituyendo:
f'
As = (uobd ~
fv
+
úJobd(f'/f )
As = C y
1 - PI/p
(Pi /p)A
s
Haciendo las sustituciones sobre la ecuación de momento, queda:
Mu=<P{(1-P'/pl (1-K2Ku) + (1-d'/d) (P'/p)} Asd fy
+ (1-d'/d) (p'/p)}q bd2fc
(1-p'/p)
Despejando de esta fórmula la altura úti I d y sustituyendo Ku por su
valor W./K1K3
d
_ / _ _ _Mu_/b_ __
V { K2 p' [(1-d'/d J ]}
W fe (1- ~IK3 w) + p' (1-p'/p) <P

h :
I
.¡.
-97-
FLEXION PURA
Teoría de Rotura
Secciones de Geometría General
Uso del bloque rectangular de esfuerzos equivalentes para el cálculo de
secciones de geometría general:
El A.eJ. usa como intensidad de esfuerzos para el bloque rectangular
el valor de 0.85 f'c, y la profundidad del mismo la llama ~. A continuación
se verá la distribución de esfuerzos general para una sección rectangular
y su equivalencia con el uso del bloque rectangular:
d
.~. .....r b'
-.f--------____+_
.,
T
..
01. ;: ~ I í.,.el
C;:.~ol
085·f~
T
Cuando el anch o es constante el centro de compresión se encuentra
a una profundidad de a/2..
Por equilibrio las resultantes en compresión iguales:
A.C.I.10.2.1.(0)
La profundidad del bloque se puede determinar también igualando la
tracción y la compresión; quedando:
A,fy = O.85L ab A f /o.85f 1
bs y e

-98-
Si las secciones fuesen doblemente armadas se procede igual que en
el caso general; siendo
a =
A - Al
S 's
o.85f l
b
e
En el caso de las Te As As!
Cuando a::> t
Para determinar el momento de agotamiento al realizar un análisis.
se hace igual que antes tomando momentos respecto al punto de aplicación
de la resultante en compresión:
Mu = cP {Asfsu(d-a/2) + A'sf',(a/2-d') }
Para las secciones Te
La extensión del bloque rectangular consiste en suponer que dicha
hipótesis es aplicable a cualquier tipo de sección.

-99-
REVIStON DE SECCIONES DE FORMA CUALQUIERA
DATOS:
Como se trata de una revisión, se conocen las características de la
sección estudiada, o sea:
Forma de la sección estudiada
As el Cantidad de acero en cada capa.
ye) Distancia de la capa de acero a la fibra más comprimida.
fe Resistencia máxima del concreto a los 28 días.
fy Esfuerzo cedente del acero.
Por las normas, los coeficientes ~1 y el factor de minoración de
resistencia qJ.
PROCEDIMIENTO:
Se fija una posición tentativa del eje neutro, en base a ésta, se deter-
mina el área de concreto que se encuentra sometida a compresión y la
resultante de compresión. A continuación se calcula la deformación y el
esfuerzo a que está trabajando cada capa de acero. Se puede hacer una
corrección por concreto desplazado en caso de que la capa de acero se
encuentre en la zona de compresión, esta corrección consiste en reducir
el esfuerzo de trabajo del acero en un 85% del esfuerzo de rotura del
concreto. Después de obtener los esfuerzos a los cuales están trabajando
los aceros se puede comprobar si la sumatoria de resultantes en compresión
son iguales a las de tracción, de no ser así la posición del eje neutro fue
incorrecta y es preciso hacer otro tanteo con otro valor de Kud hasta ob-
tener la condición de equilibrio.
Para determinar el momento de agotamiento de la seCClon, se puede
tomar momentos respecto al eje neutro, y minorarlo con el factor de
seguridad.

-100-
REVISION DE UNA SECCION DE CUALQUIER
FORMA
Forma de 10 sección
Distribución 'i cantidad de
acero, materiales.
Se fija
Se determina
Si
Me =
Mu = (j).[t 1(¡tKud - l(il) + Me]
1=1
Corrección por concreto
desplazado
I
1
1'!,,
1,

D
-101-
RODOLFO OSERS
Floj,........... 01 oólo... do D"ooo" ......,. liIr'1?fVI::J'O'J:DE UMA .sECC/OP i/-S/lvlJl7 E... 7S,IOQ.UC 7i!Ec7. I~ '.:,..
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-102-
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"FieM· tJlIS ~P. K,d - 1. IU EJE LI¡;v7Za (C1-")
1:: < ~K"(,,d 0111 65878.83 /353b3 1
b O¡q:¡. 212QL¡OQ J:.¡¡C¡492
2/ 00 'f./ 11804.¿8 554.80 1
3/ - 0052- -1299'+.65 67512
40 _ {)202 _ 85176 00 (1.z 05.55 1
L = .zq c¡ flf . iR.
T
f~ o.q ( --POli!. LJD1il.I-i.4)
Hu.. = ~x 2'f'fSlf.82
~;:ob8 T
1-11.1 = 269f6.3Kg-m.
T
0ü ~21-ozq *s-~ T
T
T
T
D
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1PAG
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-103-
NOTAS
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G.J,ev b{ .e..R 0~ ~ ttf :;:::.o. (é,~ ~::= 70 W<-lB
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Kl4. := IfJiy
~ 4::.'1/<f l c.::;:::: '2;<., 1 cp==.f-.() 14:::. iC,3LI
H,,::o Jl/s-~o
~ ~/( G;:-?~ .03, q-:==0.80+ H~= lCfJ-/,(
/'-'tu. ::: (9 ¿S-

-105-
D
CORTE
Teoría Clásica -
Teoría de Rotura
El comportamiento de los elementos 'de concreto armado sometidos a
esfuerzo cortante no se ha podido determinar con precisión. El poder idea-
lizar de una manera sencilla el funcionamiento del concreto armado some-
tido a este tipo de solicitación se dificulta debido a las siguientes razones:
a) No se trata de un material homogéneo.
b) La formación de grietas se lleva a cabo en sitios no predecibles con
exactitud.
c) La distribución de esfuerzos varía con el nivel de carga por tratarse de
un material no elástico.
.~
Una de las maneras para reforzar las vigas de concreto consistiría en
colocar un refuerzo transversal perpendicular a la grieta, es decir siguiendo
la trayectoria de los esfuerzos principales de tracción, como se muestra
en la .figura siguiente:
p
Refuerzo transversal
Refuerzo longitudinal
Trayectoria de los esfuerzos principales de compresión
Trayectoria de los esfuerzos principales de tracGión
El problema se presenta en evaluar la cantidad· de refuerzo transver- .
sal que será necesario proporcionar a la viga para absorber los esfuerzos
de tracción que originan las grietas.

D
-106-
Uno de los métodos utilizados para determinar cualitativamente las
funciones del refuerzo transversal, es el propuesto por Ritter en el aña-
de 1899, conocido con el nombre de Analogía de la Armadura, en el cual
se idealiza la viga como una armadura, asemejándose las funciones del
refuerzo longitudinal al cordón de tracción, el refuerzo transversal a las_
diagonales de tracción y el concreto comprimido, entre grieta y grieta a
la diagonal de compresión.
C +lIC
T + liT T
liT = A f cos a + A f sen a
V S V S tan 8
V
Por equilibrio:
CM ,6.M = Vs
S S
,6. M = ,6. T jd
~ !. ~
It 'f It
V ,6. T = VS/jd

-107-
'd A
s = J . v fs
V
[cosa + sen a]tan e
Suponiendo que las grietas se forman a un ángulo e
V
J = bdj
queda la siguiente expresión:
Donde s
Av
f.
b
s
Separación entre refuerzos transversales.
Sección transversal del refuerzo.
Esfuerzo al cual trabaja el refuerzo.
Ancho del nervio.
D
45° Y siendo
Cuando el refuerzo transversal se coloca perpendicular al eje del
miembro o sea formando un ángulo (J., = 90° se le conoce con el nombre de
estribos. La fórmula anteriormente deducida se ha venido usando durante
casi medio siglo pero con el advenimiento de la teoría de rotura y con la
aparición de las barras corrugadas y los materiales de alta resistencia se
le han hecho ciertas modificaciones y consideraciones.
A continuación se tratará la fuerza cortante según las Normas A.C.I.
y se hará mención únicamente al capítulo en el cual aparece.
El esfuerzo cortante nominal se evalúa de la siguiente manera:
Capítulo 11.1.1. Capítulo 9.3.2. 0=0.85

D
-108-
En el capítulo 11.1.3.1. se recomienda considerar la secclOn crítica
a una distancia d de la cara del apoyo. Esto, es debido principalmente a
los esfuerzos verticales de compresión que existen en los apoyos, que
cierran las grietas, además se ha comprobado experimentalmente que las
grietas se empiezan a formar a partir de una distancia no menor de d
de la cara del apoyo.
A continuación se presenta como se vería el diagrama de
cortantes
clh
[
JtL¡ ¡ J
L
Diagrama de Corte Vu
Vu = Fuerza cortante actuante mayorada con el factor de carga
Ve -= Fuerza cortante que resiste el concreto por si' solo.
Vs = Fuerza cortante que resisten los estribos.

-109-
DUna vez conocidas las solicitaciones de corte a la cual va a estar
sometido un elemento de concreto se procede a calcular la cantidad de
estribos que serán necesarios.
En el capítulo 11.3.1.2. se especifica la cantidad de fuerza cortante
Ve que es capaz de absorber el concreto por sí solo y por consi-
guiente el remanente tendrá. que ser absorbido por los estribos o sea:
Como es de notar el valor de Vs tiene que tener un máximo el cual
está especificado en las normas en el capítulo 11.5.6.8.
Por último hay ciertos valores para las separaciones maxlmas de los
estribos a lo largo de la viga, las cuales se resumen al final de este tema.

D
-110-
NORMAS DE SEPARACION DE ESTRIBOS
NORMAS A.C.I, COVENIN 18.2.3.3.2
~
bb I~ II-e(
I~
El espaciamiento máximo debe ser d12 en todo el mi~mbro. _
ir1 ! ¡
..,........------;---1 ls. .L -{¡'Dkf/>vT c- <S
S ~ dj2 S~o. s-d ~ 60 '-'J -
S ~ 60 cm
Dentro de una distancia igual a 2h (COVENIN 18.2.3.4) a
partir de la separación máxima debe ser:
,1 S ~. . 30 cm / '
S 15 Av dj(0.15 A's)
La menor
~
9/y'~/. W·~ ~.~. S ~_ _Al,[ Qj{Q.1~ f:.s) / /
~ - 8 veces el diámetro de la barra longitudinal '1./
,!J. . '. .~ S ~ dj4 (COVENIN 18.2.3.3.2) v
'J -- S ,:- 24 veces el diámetro del estribo v
~
CoJv-- "}-:.S. 'L
/ 11~
'-c.'r) /¡b ILIJ
Cuando se requiere acero en compresión (A's)
S ~
S. ~
16 veces el diámetro de la barra longitudinal
GiLC:nv l.s:c- ~ ,
/.fe é(> ~ (,;).. t¡G.;2(,t, l2
Cuando Vu>0.5 cpVc
S ~ Av tYj(3.5b')
Cuando Vs~1.1 Po b'd
S == dj4.

-111-
DDISEÑO DE LOS ESTRIBOS PARA ABSORBER CORTE
TEORIA CLASICA
e' ,V, b,d, 0 t fe I f.p
# RAllAS ACtO
+Normas A.C. l.
8.7.1.
V
'U=--
b'· d
X
Normas A. C.!.
8.7.4.2. ~
'Ue ..;; 0.29' f~
......
1 No J estr i bosJ .'U > 'Ue
l
No hacen falta
~Si
'U. = 'U - 'Ue
1
A =v ACf) .# RAMAS
Normas A.C.I. 1977
B.7.5.6.8.
e'U.>1.2y-t;'
Si .. Cambiar la sección~
~NO
S
Av' f.::
'U.' b'
1 Aumentar el # de
e No
ramas
S >7em
.. Aumentar {3 < 5/8"
Cambiar sección
Si
Ver normas de separaciónj-"

D
-112-
DISEÑO DE lOS ESTRIBOS PARA ABSORBER CORTE
TEORIA DE ROTURA
Normas A.C.I.
11.3.1.2.
Nu)G: •
Ve ~ 0.53'(1+0.0071 - yfe ·b·d
Ag
V N 'Ve <0.93 (1+0.029. A~)f~ ·tl,d
PARA N u NEGAT1VO
1'.3.2.3.
./ Nu )1 r;;-' •
Ve """ 0.53(1 + 0.029 - Vfc b·d
Ag
I,~ '{C~O.S}.@G~vOa_ _-Z-_ _
Ú;)u~" ,{.. l'?~ l,~
Normas A.C. I.
9,3.2.
<P = 0)3'5 ;:: O ';j.J
Ca ').Q..-. ((, l/,2-
Normas A. C. I.
11.5.2.
fy ~ 4200 kg/cm2
Normas A,C.I,
A.S.IO.
fIlmin = 3/8" (# 3)
F~-----'-¡ No hacen fal ta estribos
Normas A·C.I.
~_ _ _ _ _~ 11.5.S.8.
Cambiar la sección
Aumentar el # de ramas
F=-----------aI Aumen·tar 1'1 < 5/8"
Cambiar la sección
sepa rac ión 14-----------------.J
~-----------------~

-113-
RODOlFO OSERS
1.32'1<" I
8U! 1
18
D.
21'169,5
.=D15EUO.::DE LSTR.IE>05.
el ~ 32.5+ 1;; = A~5 <'772·
C.O/Z.í$
-', J,Yc=--.8221 ¿Vu..s~ VECES/,nl.) ~STeI80.s.
-'k8n! r
I
i JIC!35
-'i<
USIU!IIA.J 1;672(805 #3 COA)
Ilv = -< ~ 0.:;'/ = 1.-13
I.f.
CALCULO:
5=~d..=
V:;
/1.5 't. l.
Uf:''' 260032.5 ~ son). .¡.
-15$86
- J
J>E 5E?lIzeqQP'
5 ~ d = 3Z.5 ~ 16 c:>?Z
..e .z
A .5. /1. ])w,,i!.O IJé 4d Sé. si: 3-Z.5.;Jo &'cm.
'* -4
1/5.5.3.
REVISION: REFERENCIA: PAG:
-/./i

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