Tema 3: Small-scale fading and multipath

Propagación de Ondas
Capítulo 3: Small-Scale Fading and Multipath
Francisco Sandoval1
1Departamento de Ciencias de la Computación y Electrónica
Universidad Técnica Particular de Loja
Loja, Ecuador
fasandoval@utpl.edu.ec
2017.1

Agenda
1 Introducción
2 Propagación por multi-trayecto a pequeña escala
3 Modelo de respuesta al impulso de un canal multi-trayecto
4 Delay Spread
5 Ancho de banda coherente (Coherence BW)
6 Efecto Doppler
7 Canal variante en el tiempo
8 Coherence time
9 Doppler Sprectrum

Modelo del Sistema de Comunicaciones
1 Transmisor.
2 Circuitos de acoplo a la antena: alimentador de antena, multiplexores,
etc.
3 Circuito de antena, que representa los elementos disipativos de la
antena.
4 Antena ideal.
fasandoval@utpl.edu.ec PO Small-Scale Fading and Multipath 3 / 88

5 Antena de Rx ideal, a través de cuya interfaz entra la señal al sistema
receptor.
6 Circuito de antena de Rx, representa los elementos disipativos de la
antena Rx.
7 Circuitos de acoplo al Rx, ﬁltros, línea de alimentación del receptor, etc.
8 Rx: Receptor.

Potencias
Pet(dBm): potencia entregada por el Tx al circuito de conexión al
sistema radiante.
Pt (dBm): Potencia entregada a la antena real.
Pt(dBm): Potencia (ficticia) entregada a la antena ideal, sin pérdidas,
equivalente a la antena real considerada y por tanto, potencia radiada.
PIRE (dBm): Potencia isótropa radiada equivalente en la dirección hacia
el Rx.
Pi(dBm): Potencia (ficticia) disponible en una antena receptora
isotrópica.
Pr(dBm): Potencia (ficticia) disponible en los terminales de la antena Rx
ideal equivalente a la antena receptora real.
Pr (dBm): Potencia disponible a la entrada de los circuitos de acoplo al
Rx.
Pdr(dBm): Potencia disponible a la entrada del Rx.

Pérdidas
Se deﬁne las siguientes pérdidas en dB:
Ltt: Pérdidas en los circuitos terminales del Tx, entre las
interfaces T y T’.
Lat: Pérdidas en la antena de Tx, entre las interfaces T’ y
AT.
Ltr: Pérdidas en los circuitos terminales del Rx, entre las
interfaces R’ y R.
Lar: Pérdidas en la antena de Rx, entre las interfaces AR y
R’.
Estás pérdidas dependen de los componentes pasivos de las
instalaciones del Tx y Rx.

Pérdidas
Lb: Pérdida de propagación (entre antenas isotrópicas),
que es función de la frecuencia, distancia, altura de
antenas, modo y medio de propagación.
Lt: Pérdida de transmisión (entre antenas ideales).
Ls: Pérdida de sistema, deﬁnida entre las interfaces de las
antenas reales.
Lg: Pérdida global, deﬁnida entre las interfaces T y R del
Tx y Rx.

Ganancias
Las únicas ganancias que aparecen en el modelo son las
correspondientes a las antenas:
Gt, Gt: ganancias de potencia y directiva para el trayecto,
respectivamente, de la antena del Tx.
Gr, Gr: ganancias de potencia y directiva para el trayecto,
respectivamente, de la antena del Rx.

Balance del enlace
Balance del enlace: Relación que expresa la potencia
disponible en el receptor en función de la potencia
entregada por el Tx y las diferentes pérdidas y ganancias
que aparecen en el trayecto del Tx al Rx.
Pdr = Pst − Ltt + Gt − Lb + Gr − Ltr
donde las pérdidas/ganancias están en dB y las potencias
en unidades logarítmicas similares (dBm).
5Comunicaciones Móviles: 3
AtenuaciAtenuacióónn
)dB(btrttrttr LLLGGPP −−−++=
)dB(btrrr LLGPIREP −−+=
)dB(exbfb LLL +=
Parte determinista
Parte aleatoria:
desvanecimiento
Modelos
Caracterización
estadística
bL

Atenuación
Modelos:
Determinísticos o analíticos
Semi-empíricos
Empíricos
Caracterízación estadística:
Desvanecimiento por sombra
Desvanecimiento multi-trayecto
DesvanecimientoDesvanecimiento
obstáculo
dispersores
Desvanecimiento por sombra
Desvanecimiento multitrayecto
Referencia: [Tomás, 2012]

Desvanecimiento
El devanecimiento por sombra es lento: varía despacio con
la posición del móvil (≈ m).
El efecto de multi-trayecto es rápido: varía deprisa (≈
fracción de λ: varios cm) con la posición del móvil.
La atenuación por sombra de un obstáculo puede ser
determinista o desvanecimiento (o parte de cada), según
que el modelo tenga en cuenta o no el efecto de ese
obstáculo.
Las variaciones de atenuación por multi-trayecto son
siempre desvanecimiento, ya que no pueden calcularse de
forma determinista, debido a su carácter rápido.

Distorsión
La propagación multitrayecto, además de producir
desvanecimiento, puede introducir distorsión lineal en la
señal:
Dispersión temporal
Dispersión en frecuencia
La importancia de estos efectos depende del tipo de canal
de propagación y de las características de la señal.

Desvanecimiento a pequeña escala y multi-trayectoria
El desvanecimiento a pequeña escala, o simplemente
desvanecimiento, es usado para describir la rápida ﬂuctuación
de la amplitud de una señal de radio sobre un corto periodo de
tiempo o distancia de viaje, por lo tanto, los efectos de las
pérdidas por trayecto a larga escala pueden ser ignoradas.
0
K (dB)
Pr
P
(dB)
t
log (d)
Path Loss Alone
Shadowing and Path Loss
Multipath, Shadowing, and Path Loss
Figure 2.1: Path Loss, Shadowing and Multipath versus Distance.

Desvanecimiento a pequeña escala y multi-trayectoria
El desvanecimiento es causado por la interferencia entre dos o más
versiones (ondas multi-trayectoria) de la señal transmitida, la cual
arriba al receptor en un tiempo ligeramente diferente.
Las ondas multi-trayectoria son combinadas en la antena receptora
para dar como resultado una señal, la cual puede variar ampliamente
en amplitud y fase, dependiendo de la distribución de la intensidad, el
tiempo de propagación relativo de las ondas, y el ancho de banda la
señal transmitida.
Reflection
Scattering
Diffraction
Direct LOS Path

Propagación por multi-trayecto a pequeña escala
El multi-trayecto en un canal de radio produce
desvanecimiento a pequeña escala.
Los 3 efectos más importantes son:
Cambios rápidos en la intensidad de la señal sobre un
intervalo de tiempo pequeño.
Modulación en frecuencia aleatoria al considerar señales
multi-trayectoria diferentes debido a la variación por el
efecto Doppler.
Dispersión en tiempo (ecos) causados por los retardos en
la propagación por multi-trayecto.

En áreas urbanas ediﬁcadas, el desvanecimiento ocurre porque la altura
de las antenas de los móviles, están muy por debajo de la altura de las
estructuras circundantes.
No existe línea de vista respecto a la estación base.
Aún si existiera línea de vista, los multi-trayectos pueden ocurrir
debido a la reﬂexión en la tierra y las estructuras cercanas.
La onda de radio entrante arriba de diferentes direcciones con
diferentes retados de propagación.
La señal recibida por el móvil en cualquier punto del espacio puede
consistir de un número grande de ondas planas que tienen
distribuciones aleatorias de amplitud, fase y ángulo de arribo.
Aún cuando el receptor no se mueva, la señal recibida puede cambiar
debido al movimiento de los objetos cercanos.

Si los objetos en el radio canal se encuentran estáticos, y el movimiento
se debe únicamente al móvil, el desvanecimiento es un fenómeno
puramente espacial.
Las variaciones espaciales de la señal resultante son vistas como
variaciones temporales por el Rx.
Debido a los efectos constructivos y destructivos de la suma de ondas
multi-trayectoria en varios puntos del espacio, un receptor que se
mueve a altas velocidades puede pasar a través de varios
desvanecimientos en un periodo pequeño de tiempo.
Un Rx puede parar en una ubicación particular en la cual la señal
recibida se encuentra en un desvanecimiento profundo.
Mantener buenas comunicaciones puede ser muy difícil.
Los vehículos que pasan o las personas que caminan en la
vecindad del móvil pueden ofrecer interferencia, produciendo un
nulo profundo por un periodo largo de tiempo.

Factores inﬂuyentes en el desvanecimiento a pequeña
escala
La propagación multi-trayecto.
La velocidad del móvil.
La velocidad de los objetos circundantes.
El ancho de banda de transmisión de la señal.

escala
Propagación multi-trayecto
La presencia de objetos que reﬂejan y dispersan la señal en el
canal crea un constante cambio en el medio que altera la energía
de la señal en amplitud, fase o tiempo.
Como resultado, se tiene multiples versiones de la señal
transmitida que arriba a la antena Rx.
La fase y amplitud aleatoria en los diferentes componentes de la
señal generados por las multi-trayectorias, causan ﬂuctuaciones
en la intensidad de la señal, que induce desvanecimiento a
pequeña escala, distorsión de la señal, o ambas.
La velocidad del móvil
El movimiento relativo entre la EB y el móvil resulta en
modulación de frecuencia aleatoria debido al efecto Doppler en
cada componente multi-trayectoria.
El efecto Doppler puede ser positivo o negativo dependiendo de
si el móvil se está moviendo hacia o lejos de la EB.

escala
Velocidad de los objetos circundantes
Si los objetos en el radio canal se encuentran en
movimiento, ellos inducen una variación en tiempo por
efecto Doppler en las componentes multi-trayectoria.
Si los objetos circundantes se mueven a gran tasa respecto
al móvil, entonces este efecto domina el desvanecimiento a
pequeña escala.
Caso contrario, el movimiento de los objetos circundantes
puede ser ignorado, y únicamente se considera la velocidad
del móvil.

escala
Ancho de banda de transmisión de la señal
Si el ancho de banda del transmisor es más grande que el
ancho de banda del canal multi-trayecto, la señal recibida
puede ser distorsionada, pero el desvanecimiento de la
señal recibida sobre una área local podría no ser mayor.
El ancho de banda del canal puede ser cuantiﬁcado por el
ancho de banda coherente el cual se relaciona con la estructura
especíﬁca del canal multi-trayecto.
El ancho de banda coherente es la medida de la máxima
diferencia en frecuencia para la cual las señales son todavía
fuertemente correlatadas en amplitud.

Modelo de respuesta al impulso de un canal
multi-trayecto
Las variaciones a pequeña escala de la señal de radio de un móvil
pueden ser directamente relacionadas con la respuesta al impulso de un
canal de radio de un móvil.
La respuesta al impulso es una caracterización de banda ancha del
canal y contiene toda la información necesaria para simular y analizar
cualquier tipo de radio transmisión a través del canal.
Un canal de radio móvil puede ser modelado como un ﬁltro lineal con
respuesta al impulso variante en el tiempo, donde la variación en el
tiempo es debida al movimiento del receptor en el espacio.
La ﬁltración natural del canal es causada por la suma de amplitudes y
retardos de las múltiples ondas que arriban en cualquier instante de
tiempo.
La respuesta al impulso puede ser usada para predecir y comparar el
desempeño de diferentes sistemas de comunicaciones móviles y anchos
de banda de Tx para condiciones particulares de un canal móvil.

multi-trayecto
Considere el caso donde la variación en tiempo depende estrictamente
del movimiento del receptor en el espacio.
posición espacial
El Rx se mueve a lo largo de la tierra a velocidad constante v.
Para una posición ﬁja d, el canal entre Tx–Rx puede ser modelado como
un sistema lineal invariante en el tiempo.
Sin embargo, debido a las diferentes ondas multi-trayectos las cuales
tienen retardos de propagación y varían con la posición espacial del Rx,
la respuesta al impulso de un canal lineal invariante en el tiempo
debería ser una función de la posición del Rx.
La respuesta del canal al impulso puede ser expresada como h(d, t).

Modelo de respuesta al impulso de un canal multi-trayecto
Sea x(t) la señal Tx, luego la señal Rx y(d, t) a una distancia d puede ser
expresada como la convolución de x(t) con h(d, t).
y(d, t) = x(t) ⊗ h(d, t) =
∞
−∞
x(τ)h(d, t − τ)dτ
Para un sistema causal, h(d, t) = 0 para t < 0,
y(d, t) =
t
−∞
x(τ)h(d, t − τ)dτ
como el Rx se mueve a velocidad constante v, su posición es d = vt.
Remplazando
y(vt, t) =
t
−∞
x(τ)h(vt, t − τ)dτ
Como v es constante, y(vt, t) es únicamente función de t.
y(t) =
t
−∞
x(τ)h(vt, t − τ)dτ = x(t) ⊗ h(vt, t) = x(t) ⊗ h(d, t)
Por el resultado, es claro que un canal de radio móvil puede ser
modelado como un canal lineal variante en el tiempo, donde el canal
cambia con el tiempo y la distancia.

multi-trayecto
Si se asume que el canal multi-trayecto es pasa-banda, lo cual es
razonable, luego h(t, τ) puede ser descrito por la respuesta al impulso
compleja en banda base hb(t, τ), donde la entrada y la salida son las
envolventes complejas de las señales Tx y Rx, respectivamente.
r(t) = c(t) ⊗
1
2
hb(t, τ)
donde c(t) y r(t) son las envolventes complejas de x(t) y y(t), deﬁnidas
como
x(t) = Re{c(t) exp(j2πfct)}
y(t) = Re{r(t) exp(j2πfct)}
El factor de 1/2 se debe a las propiedades de la envolvente compleja, a
ﬁn de representar el sistema de radio pasa-banda en banda-base.
La potencia media de la señal pasa-banda x2(t) es igual a 1
2
|c(t)|2
.
Nota: La barra superior representa la media para una señal estocástica o la media en el tiempo para una
señal determinista o estocástica ergódica.

multi-trayecto
Ya que la señal recibida en un canal multi-trayecto consiste en una serie
de atenuaciones, retardos en tiempo, y replicas desplazadas en fase de
la señal transmitida, la respuesta al impulso en banda-base de un canal
multi-trayecto puede expresarse como [Rappaport et al., 1996]
hb(t, τ) =
L−1
i=0
ai(t, τ) exp[j(2πfcτi(t) + φi(t, τ))]δ(τ − τi(t))
donde ai(t, τ) y τi(t) son las amplitudes reales y los retardos,
respectivamente de i−ésimo componente multi-trayectoria en el tiempo
t.
146 Ch. 4 • Mobile Radio Propagation: Small-Scale Fading and Multipath
of the first arriving multipath component, and neglects the propagation delay
between the transmitter and receiver Excess delay is the relative delay of the
i th multipath component as compared to the first arriving component and is
given by t1. The maximum excess delay of the channel is given by NAt.
Since the received signal in a multipath channel consists of a series of
attenuated, time-delayed, phase shifted replicas of the transmitted signal, the
baseband impulse response of a multipath channel can be expressed as
N-I
h6(t, 'c) = a1(t, + $1(t, r))j8(t — (4.12)
where a1(t, t) and are the real amplitudes and excess delays, respectively,
of i th multipath component at time t [Tur721. The phase term
+ t)in (4.12) represents the phase shift due to free space propaga-
tion of the i th multipath component, plus any additional phase shifts which are
encountered in the channel. In general, the phase term is simply represented by
a single variable t) which lumps together all the mechanisms for phase
shifts of a single multipath component within the ith excess delay bin. Note that
some excess delay bins may have no multipath at some time t and delay t1,
since t) may be zero. In equation (4.12), N is the total possible number of
multipath components (bins), and S(.) is the unit impulse function which deter-
mines the specific multipath bins that have components at time t and excess
delays t1. Figure 4.4 illustrates an example of different snapshots of
h5(t, t), where t varies into the page, and the time delay bins are quantized to
widths of At.
to
1(13)
Figure 4.4
An example of the time varying discrete-time impulse response model for a multipath radio channel.
4
to t1 t2 t3 t4 TNI
1(h)

multi-trayecto
hb(t, τ) =
L−1
i=0
ai(t, τ) exp[j(2πfcτi(t) + φi(t, τ))]δ(τ − τi(t))
El término de fase 2πfcτi(t) + φi(t, τ) representa el
desplazamiento de fase debido a la propagación en espacio
libre de la i−ésima componente multi-trayectoria, más
cualquier desplazamiento en fase adicional encontrado en
el canal.
L es el número total de posibles multi-trayectorias.
δ(·) es la función impulso unitario que determina un
multi-trayecto especíﬁco que tiene una componente en el
tiempo t y un retardo τi.

multi-trayecto
MultitrayectoMultitrayecto
h(τ)
τ
Respuesta al impulso
en un instante dado
Parámetros de las componentes:
• Amplitud
• Retardo
• Desplazamiento Doppler
• Desfase

multi-trayecto
CaracterizaciCaracterizacióón del canaln del canal
τ
τ
τ
Sistema lineal variante:
h(t,τ)
Respuesta del canal en el
instante t a un impulso
transmitido τ segundos antes
t

multi-trayecto
Si la respuesta al impulso del canal se asume invariante en
el tiempo, o es estacionaria sobre un pequeño intervalo de
tiempo o distancia, simplificando
hb(τ) =
L−1
i=0
ai exp(−jθi)δ(τ − τi)
Para un modelo de canal a pequeña escala, el power delay
profile de el canal se encuentra al calcular |hb(t; τ)|2
sobre
una área local.
La received power delay profile en una área local es dado por
P(t; τ) ≈ k |hb(t; τ)|2
donde la ganancia k está relacionada con la potencia de
transmisión en el pulso de prueba p(t) usado para
medición o prediccion de hb(τ).

Modelo simpliﬁcado del canal multi-trayecto
Para el análisis se considera un modelo simpliﬁcado del
canal que incluye la atenuación (ai) y el retardo (τi) en cada
trayecto (i) para los L trayectos, i.e.
h(τ) =
L−1
i=0
aiδ(τ − τi)
h(τ)
τ
Respuesta al impulso
en un instante dado
mponentes:
ppler

Power proﬁle
φ(τ) = |h(τ)|2
=
L−1
i=0
|ai|2
δ(τ − τi)
=
L−1
i=0
giδ(τ − τi)
donde |ai|2
es la potencia que llega. gi es la ganancia de el
i−ésimo trayecto.

Ejemplo: Power proﬁle
Considerar un canal multi-trayectoria con L = 4, establezca el power proﬁle para el
sistema de comunicaciones inalámbrico.
Gain Delay
|a0|2
τ0
|a1|2
τ1
|a2|2
τ2
|a3|2
τ3

Delay spread
Múltiples copias de la
señal llegan sobre un
intervalo de tiempo al Rx.
Este tiempo de dispersión
(time spread) es conocido
como delay spread
representado por στ .
En un canal inalámbrico,
¿cómo se calcula el delay
spread?
Máximo delay spread
RMS delay spread
time spread

Delay spread SMALL-SCALE FADING 195
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
2
0
2
Direct Signal
1st Reflection
2nd Reflection
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
2
1
0
1
2
Direct Signal
Total Signal
Figure 8.22 Illustration of the effect of multipath delay spread on received symbols.
It is desirable to have the maximum delay spread to be small relative to the
symbol interval of a digital communication signal. An analogous requirement
SMALL-SCALE FADING 195
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
2
0
2
Direct Signal
1st Reflection
2nd Reflection
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
2
1
0
1
2
Direct Signal
Total Signal
Figure 8.22 Illustration of the effect of multipath delay spread on received symbols.Effect of multipath delay spread on received symbols.
Referencia: [Seybold, 2005]

Máximo delay spread
La primera componente
llega en el instante τ0.
La última componente
llega en el tiempo τL−1 .
σmax = τL−1 − τ0
Ej.: un canal de 4 trayectos,
donde τ0 = 0µs, y τ3 = 5µs.
Luego, el max delay spread
es σmax = 5µs − 0µs = 5µs
Primero
Último
spread or maximum spread
Una medida más apropiada del
retardo es el RMS delay spread.
spread or maximum spread
low power!

RMS delay spread
Root mean square delay spread.
La ganancia del i−ésimo trayecto gi = |ai|2
tiene asociado
un retardo τi.
g0 → τ0
g1 → τ1
... →
...
gL−1 → τL−1
Considere una fracción de la potencia bi en el i-ésimo
trayecto :
bi =
gi
g0 + g1 + · · · + gL−1
=
gi
L−1
j=0 gj
donde el denominador representa la potencia total.

RMS delay spread
El retardo medio ¯τ (average delay) puede representarse
como:
¯τ = b0τ0 + b1τ1 + · · · + bL−1 τL−1
=
L−1
i=0
biτi
=
L−1
i=0 giτi
L−1
j=0 gj
donde el numerador representa los weighted delay.
Si un trayecto no tiene potencia signiﬁcativa, luego el bi
asociado es pequeño al igual que el factor biτi y
correspondientemente, este factor no es signiﬁcante en la
suma total.
Esta es la ventaja de esta medida del delay spread versus el
max delay spread.

RMS delay spread
Usando la expresión del average delay para derivar la expresión del
spread:
σ2
τ = b0(τ0 − ¯τ)2
+ b1(τ1 − ¯τ)2
+ · · · + bL−1 (τL−1 − ¯τ)2
=
L−1
i=0
bi(τi − ¯τ)2
=
L−1
i=0 gi(τi − ¯τ)2
L−1
i=0 gi
Por lo tanto el RMS delay spread del canal inalámbrico es dado por:
στ =
L−1
i=0 gi(τi − ¯τ)2
L−1
i=0 gi
donde el numerador representa el average squaded deviation y el
denominador la potencia total.
Considerando gi = |ai|2
,
στ =
L−1
i=0 |ai|2
(τi − ¯τ)2
L−1
i=0 |ai|2

Ejemplo: RMS delay spread
Dado el ejemplo de la ﬁgura, calcule el max delay spread y el RMS delay spread.
-20 dB
-10 dB
0 dB
0.01
0.1
1
0.1
0 1 3 5

τ (µs) Ganancia (dB) Ganancia g (lineal) a =
√
g
0 -20 0.01 0.1
1 -10 0.1 0.3162
3 0 1 1
5 -10 0.1 0.3162
τmax = 5µs.
Primero calcular el average waighted delay ¯τ:
¯τ =
L−1
i=0 giτi
L−1
i=0 gi
=
0.01 × 0 + 01 × 1 + 1 × 3 + 0.1 × 5
0.01 + 0.1 + 1 + 0.1
= 2.9752µs
Por lo tanto:
στ =
0.01 × (0 − 2.9752)2
+ 0.1 × (1 − 2.9752)2
+ 1 × (3 − 2.9752)2
+ 0.1 × (5 − 2.9752)2
0.01 + 0.1 + 1 + 0.1
2
= 0.8573µs
Opción más pesimista: σ2 = 5µs.

Average Power Profile
Recuerde que la potencia en cada componente multi-trayectoria es:
φ(τ) = |h(τ)|2
Si tomamos la media de un gran número de canales inalámbricos y
calculamos la potencia media en un instante, esto da la potencia media
recibida sobre todos estos canales inalámbricos. Por lo tanto, da el
average power profile que puede defirse como:
Φ(τ) = E{|h(τ)|2
}
También, se puede obtener la potencia recibida media fraccional
(fractional power profile received at delay τ) como función de τ:
f(τ) =
Φ(τ)
∞
0
Φ(τ)dτ
donde el denominador representa la potencia total.
Por lo tanto, de average delay ¯τ es:
¯τ =
∞
0
τf(τ)dτ

Average Power Proﬁle
Y average RMS delay spread puede calcularse también como:
στ =
∞
0
(τ − ¯τ)2f(τ)dτ
donde el término (τ − ¯τ) hace referencia a la desviación
estándar del average RMS delay spread.
Esta es una deﬁnición de στ más realista porque no se
aprecia como un único canal inalámbrico, sino como una
colección de canales inalámbricos sobre la celda o región.

Considere un perﬁl de potencia exponencial representado como: Φ(τ) = α exp−τ/β
donde α = 2, es decir, α = 3dB y β = 1µs. Encuentre el RMS delay spread.

Considere un perﬁl de potencia exponencial representado como: Φ(τ) = α exp−τ/β
donde α = 2, es decir, α = 3dB y β = 1µs. Encuentre el RMS delay spread.
Solución:
El fractional power received en el retardo τ es
f(τ) =
Φ(τ)
∞
0 Φ(τ)dτ
=
Φ(τ)
2β
,
ya que
∞
0
Φ(τ)dτ =
∞
0
2e−τ/β
dτ = 2β exp−τ/β
∞
0
= 2β
Y el average delay es dado por
¯τ =
∞
0
τf(τ)dτ =
∞
0
τ
β
exp−τ/β
dτ = β = 1µs
Y
σ2
=
∞
0
(τ − ¯τ)2
f(τ)dτ =
∞
0
(τ − β)2 1
β
exp−τ/β
dτ = β2
Por lo tanto el RMS delay spread es
στ = β2 = β = 1µs

Average delay spread in outdoor channels
Considere una celda típica
con la estación base en el
centro y el móvil en una
posición cualquiera cerca
al límite de la celda.
Recordar, que el radio
típico de una celda es
alrededor de 3 a 4 Km (a
veces podría llegar a estar
entre 5 a 10 Km).
La diferencia en distancia
entre el trayecto disperso y
el trayecto directo será un
valor en término de los ≈
Km.
2 Km
2 Km

Average delay spread in outdoor channels
El rayo directo llega con retardo τ0 ≈ 2 Km
c .
El rayo dispersado llega con retardo τ1 ≈ 3 Km
c .
El delay spread o diferencia entre en tiempo entre el trayecto
directo y el disperso, es entonces
≈
1Km
c
=
1000m
3 × 108
= 3.33µs
El outdoor delay spread en sistemas de comunicaciones
inalámbricos 3G/4G es aproximadamente del orden de los
µs.
Típicamente alrededor de: 1 − 3µs.
El indoor delay spread tiene un valor alrededor de los 10 a
50 ns.

Ancho de banda coherente
Considere el perfil de retardo (delay profile) h(τ). Ahora, se
desea calcular la transformada de Fourier, que constituye
el espectro de este perfil de retardo, i.e.,
H(f) =
∞
0
h(τ) exp−j2πfτ
dτ
El ancho de banda coherente Bc es la porción del espectro
sobre la cual la respuesta es aproximadamente constante.

Señal
transmitida
Canal
inalámbriclo
Espectro de
la señal
recibida

Si Bs ≤ Bc, donde Bs es el ancho de
banda de la señal, entonces no existe
distorsión en la señal recibida.
Bs ≤ Bc → No existe distorsión →
“Flat-fading channel”
Si Bs > Bc, entonces la salida o
señal recibida se distorsiona.
Bs > Bc → Hay distorsión →
“Frequency selective distortion”
No hay
distorsión
attenuated
attenuated

frequency-non-selective fading, respectively. For the given channel frequency response,
frequency selectivity is generally governed by signal bandwidth. Figure 1.10 intuitively
(a) Frequency-non-selective fading channel (b) Frequency-selective fading channel
x(t)
)h(t,τ
y(t)
H(f) Y(f)
cf
sT
t
0
<< >>
0 τ
t
)h(t,τ
x(t) y(t)
sT + τ
t
cf cf
fff
X(f)
sTτ
0
x(t)
)h(t,τ
y(t)
H(f) Y(f)
cf
sT
t
00 τ t
)h(t,τ
x(t) y(t)
sT + τ
t
cf cf
ff
X(f)
0 sT
sTτ
f
Figure 1.10 Characteristics of fading due to time dispersion over multi-path channel [2]. (Rappaport,
Theodore S., Wireless Communications: Principles and Practice, 2nd Edition, Ó 2002, pgs. 130–131.
Reprinted by permission of Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, New Jersey.)
The Wireless Channel: Propagation and Fading 17
Referencia: [Cho et al., 2010]

Ahora, considerar el multipath delay channel,
h(τ) =
L−1
i=∞
aiδ(τ − τi)
Y calcular el espectro de este multipath delay proﬁle.
H(f) =
∞
0
h(τ)e−j2πfτ
dτ
=
∞
0
h(τ) =
L−1
i=∞
aiδ(τ − τi)e−j2πfτ
dτ
Por tanto, la transformada de Fourier de el multipath
wireless channel es:
H(f) = aie−j2πfτi

Ahora, considere un trayecto típico: aie−j2πfτi ,
Si f = 0, aie−j2π0τi
= ai.
Si f = 1
4τi
, aie
−j2π 1
4τi
τi
= aie−j π
2 = −jai. (cambio completo
de real a imaginario)
Punto de cambio signiﬁcante de la frecuencia (donde
empieza decaimiento) ≈ 1
4τi
≈ 1
4στ
point of significant
change

Por tanto, el ancho de banda coherente es el doble de esta frecuencia,
i.e.,
Bc ≈ 2 ×
1
4στ
=
1
2στ
donde στ representa el RMS delay spread.
Time Frequency
In wired
channel

Relación entre Bc y στ en dominio del tiempo
Escenario στ << Tsym. Donde Tsym es la duración del
símbolo.
Señal
transmitida
En el
receptor
Trayecto directo
LOS
Trayecto disperso
NLOS

Escenario στ >> Tsym.
Señal
transmitida
En el
receptor
Trayecto directo
LOS
Trayecto disperso
NLOS
Interferencia entre símbolos (ISI)

στ ≤ Tsym → no Inter-symbol interference (ISI)
στ > Tsym → ISI
1
Tsym
>
1
στ
→ ISI
1
Bs
>
1
2Bc
→ ISI
Bs > Bc → condición para frequency selective distortion
Frequency selective implica ISI.
Bs > Bc → Freq. Sel. (dominio de la frecuencia), ISI
(dominio del tiempo).
Bs < Bc → Flat fading, NO ISI.

Ejemplo: Ancho de banda coherente
Considere el outdoor channel στ = 1µs. Compare el ancho de banda de la señal
respecto al ancho de banda coherente para los sistemas: (a) GSM, (b) WCDMA.

Ejemplo: Ancho de banda coherente
Considere el outdoor channel στ = 1µs. Compare el ancho de banda de la señal
respecto al ancho de banda coherente para los sistemas: (a) GSM, (b) WCDMA.
Solución:
Bc =
1
2στ
=
1
2 · 1 × 10−6
= 500kHz
(a) GSM System: Bs = 200 kHz. Por tanto:
Bs < Bc
200kHz < 500kHz
Por lo tanto, GSM es un canal ﬂat-fading y no existe ISI.
(b) WCDMA System (3G Spread Sprectrum System): Bs = 5000 kHz
Bs >> Bc
5MHz >> 500kHz
Por lo tanto, el canal WCDMA es frequency selective fading y existe ISI (necesario
ecualizar).
Nota: Es necesario emplear alguna técnica en el Rx que pueda revertir esta
distorsión en el dominio de la frecuencia. Esta técnica se conoce como
ecualización.

Efecto Doppler
Debido al movimiento relativo entre el móvil y la estación base (EB),
cada onda multi-trayecto experimenta un aparente cambio (shift) en
frecuencia.
El cambio en la frecuencia de la señal recibida debido al movimiento es
llamado efecto Doppler.
El efecto Doppler es directamente proporcional a la velocidad y
dirección del movimiento del móvil con respecto a la dirección de
arribo de la onda multi-trayecto recibida.
Un micrófono inmóvil registra las sirenas de los policías en movimiento en diversos tonos dependiendo de su
dirección relativa [Wikipedia].

Efecto Doppler
El efecto Doppler es un cambio en la frecuencia de la onda
electromagnética que arriba al receptor debido a un movimiento
“relativo” entre el transmisor y el receptor.
Considere un móvil moviéndose a una velocidad constante v, a lo largo
de un segmento del trayecto que tiene una longitud d entre los puntos
X y Y , mientras este recibe señales de una fuente remota S.

Efecto Doppler
La diferencia en la longitud del trayecto viajado por la onda de la
fuente S al móvil del punto X al Y es
∆l = d cos θ = v∆t cos θ
donde ∆t es el tiempo requerido por el móvil para viajar de X a Y , y θ
es asumido de tal forma que es igual para los puntos X y Y , ya que se
supone que la fuente se encuentra muy lejos.

Efecto Doppler
El cambio de fase en la señal recibida debido a la diferencia
en la longitud del trayecto es
∆φ =
2π∆l
λ
=
2πv∆t
λ
cos θ
El aparente cambio en frecuencia, o Doppler shift, es dado
por
fd =
1
2π
·
∆φ
∆t
=
v
λ
· cos θ
Si el móvil se mueve hacia la dirección de arribo de la
onda, el efecto Doppler es positivo, i.e. la frecuencia
recibida aparente incrementa, caso contrario es negativo.

Efecto Doppler
La frecuencia Doppler puede expresarse como
fd =
v cos θ
c
fc
donde fc es la frecuencia portadora.
0 ≤ θ ≤ π
2 : Móvil (MS) → BS.
π
2 ≤ θ ≤ π: Móvil (MS) ← BS.
θ = π
2 → La frecuencia recibida es igual a la frecuencia de
la portadora → movimiento perpendicular, no existe
cambio de frecuencia.

Ejemplo: Efecto Doppler
Considere un transmisor que radia a una frecuencia portadora sinusoidal de 1850
MHz. Para un vehículo moviéndose a 60 mph, calcule la frecuencia recibida si el móvil
está moviéndose (a) en dirección hacia el Tx, (b) en dirección contraria al Tx, (c) en una
dirección perpendicular a la dirección de arribo de la señal de Tx.

Ejemplo: Efecto Doppler
Considere un transmisor que radia a una frecuencia portadora sinusoidal de 1850
MHz. Para un vehículo moviéndose a 60 mph, calcule la frecuencia recibida si el móvil
está moviéndose (a) en dirección hacia el Tx, (b) en dirección contraria al Tx, (c) en una
dirección perpendicular a la dirección de arribo de la señal de Tx.
Solución:
Parámetros
fc = 1850 MHz, λ = c
fc
= 3×108
1850×106 = 0.162
Velocidad del vehículo v = 60mph = 26.82 m/s
(a) El efecto Doppler en este caso es positivo y la frecuencia en el
receptor es
f = fc + fd = 1850 × 106
+
26.82
0.162
= 1850.00016MHz
(b) El efecto Doppler en este caso es negativo y la frecuencia es
f = fc + fd = 1850 × 106
−
26.82
0.162
= 1849.999834 MHz
(c) En este caso, θ = 90◦
, cos θ = 0, y no existe efecto Doppler. La
frecuencia recibida de la señal es similar a la frecuencia transmitida, i.e.
1850 MHz.

Canal variante en el tiempo
Considere el canal multi-trayecto en banda base:
aiδ(t − τi)
donde ai y τi representan la atenuación y el retardo del i−ésimo
trayecto, respectivamente.
Después de un tiempo t, la distancia decrese por vt
τi −
vt
c
MS
BS
El cambio en el retardo respecto
al tiempo es:
τi(t) = τi −
v cos θt
c
donde τi es el tiempo inicial.

Recordando:
h =
L−1
i=0
aie−j2πfcτi
donde h representa el ﬂat fading channel coefﬁcient.
Luego, introduciendo la variación en el tiempo para el
retardo,
h(t) =
L−1
i=0
e−j2πfc(τi−v cos θ
c )t
=
L−1
i=0
e−j2πfcτi
· e−j2πfc
v cos θ
c
t
=
L−1
i=0
e−j2πfcτi
· e−j2πfdt
e−j2πfdt → time varying phase!

Por lo tanto,
(Mobility =⇒ Doppler) =⇒ (Time varying channel =⇒ Time Selectivity)
El canal variante en el tiempo es también conocido como canal selectivo
en tiempo (Time-selective channel).
Ahora, considerar que sucede con cada coeﬁciente:
ai(t) = aie−j2πfcτi
ej2πfdt
t = 0 → ai(0) = aie−j2πfiτi
(real)
t = 1
4fd
→ ai( 1
4fd
) = aie−j2πfcτi
· e
j2πfd
1
4fd = jaie−j2πfcτi
(imaginario)
La fase cambia drásticamente.

Coherence time
Coherence time → Tc = 1
4fd
Coherence time: Tiempo sobre el cual el canal es
aproximadamente constante.
Tc =
1
4fd
=
1
2Bd
Bd = 2fd = Doppler Spread
Coherence time =
1
2 × Doppler spread

Example: Coherence time
Considere un móvil que se mueve a 60 mph y se comunica a fc = 1850MHz. Calcule
el tiempo coherente.

Example: Coherence time
Considere un móvil que se mueve a 60 mph y se comunica a fc = 1850MHz. Calcule
el tiempo coherente.
Solución:
fd = 165 Hz
Bd = 2fd = 2 × 165 = 330 Hz → Doppler Spread
Tc =
1
2Bd
=
1
2 × 330
= 0.00155 = 1.5 ms
Tc = 1.5 ms
Nota: Esto signiﬁca que cuando el móvil se desplaza a 60 millas por hora
hacia la BS, aproximadamente, el periodo sobre el cual el canal es constante
puede asumirse como 1.5 ms. Después de 1.5 ms el canal cambia a otro
diferente. Esto es, al observar el fading coefﬁcient durante 1.5 ms, éste se
mantiene aproximadamente constante, y en el siguiente periodo de 1.5 ms
este cambia a otro valor diferente.

Coherence time
En canales inalámbricos prácticos, el tiempo coherente es
Tc ≈ ms.
Dos importantes cantidades, “diferente la una de la otra”:
Delay spread (µs)
Coherence time (ms).
El delay spread está relacionado con el intervalo de tiempo
sobre el cual la energía de la señal arriba, mientras el
coherence time está relacionado con la duración de tiempo
sobre la cual el canal es constante.
Existe una diferencia fundamental entre estas cantidades y
no se encuentran relacionadas entre si.
El coherence time está relacionado con el Doppler spread,
mientras que el coherence bandwidth está relacionado con
el delay spread.
Bc (coherence BW), στ (delay spread)
Bd (Doppler spread), Tc (coherence tiem)

Doppler Spectrum
El Doppler spectrum da una intuición de la tasa de cambio
del canal inalámbrico.
Considere dos variables aleatorias X, Y , y la deﬁnición de
la correlación para v.a.’s E{XY ∗}.
Si la correlación entre X, Y es alta, luego X y Y son
similares.

Doppler Spectrum
E{ai(t)a∗
i (t + ∆t)}
Si la correlación (Ψ) entre ai(t), ai(t + ∆t) es alta, entonces
el canal NO cambia signiﬁcativamente entre t y ∆t.
ai(t) = aie−j2πfτi
e2πfd(t)
ai(t + ∆t) = aie−j2πfτi
e2πfd(t+∆t)
Ψ(∆t) = E{|ai|2
· 1 · e−j2πfd∆t
}
= E{e−j2πfd∆t
}
= E{e−j2πfc
v cos θ
c
∆t
}
= E{e−j2πfmax
d ∆t
}
donde fmax
d = fc · v
c → máximo Doppler shift

Doppler Spectrum
θ puede considerarse como uniformemente distribuido
entre 0 y π. 0 ≤ θ ≤ π
Ψ(∆t) =
π
0
1
π
e−j2πfmax
d ∆t cos θ
dθ
Ψ(∆t) = J0(2πfmax
d ∆t)
donde J0 representa la función Bessel de 0th
orden.
Ψ(∆t) = J0 2π
1
4Tc
∆t
Ψ(∆t) = J0
π
2
∆t
Tc

Doppler Spectrum
Lag, seconds
Autocorrelation
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
1

Doppler Spectrum
Dado que se conoce la autocorrelación, el Doppler
Spectrum corresponde a la Transformada de Fourier de la
correlación, es decir,
SH(f) =
∞
−∞
Ψ(∆t)e−j2πf(∆t)
d(∆t)
=
∞
−∞
J0(2fmax
d ∆t)e−j2πf(∆t)
d(∆t)
SH(f) =
1
π
fmax
d
rect f
2fd
1 − f
fd
2
donde
rect(x) =



1 |x| ≤ 1
2
0 otherwise

Doppler Spectrum
Jakes Sprectrum
Frequency shift from carrier, Hertz
NormalisedDopplerpowerspectraldensity
-10 -5 0 5 10
Doppler spread = spread of the Doppler Spectrum

Implicaciones del tiempo coherente
Por lo tanto, para tener conocimiento del canal, es necesario medirlo
cada coherence time.
y(t) = hx(t) + n(t)
ˆx(t) =
1
h
y(t) = x(t) → invertir el canal
Se necesita conocimiento del canal h para la detección de x(t)
El medir o “estimar” h es conocido como “estimación de canal”
(channel estimation).
¿Cómo se realiza la estimación en el receptor?
A través del uso de entrenamiento o símbolos pilotos
Ejemplo, en GSM
Entrenamiento
26 símbolos
156 símbolos
slot for users

Fading
Desvanecimiento rápido o desvanecimiento lento?
Tc > te → desvanecimiento lento, donde te es el tiempo de
estimación entre canal.
Tc < te → desvanecimiento rápido
tiempo de
estimación
El canal
cambió
Esto resulta en
errores en el
receptor

Comprehensive Picture
Slow-Fading
Flat - Fading
No ISI
Slow-Fading
Frecuency - Selective
ISI
Fast-Fading
Flat - Fading
No ISI
Fast-Fading
Frequency - Selective
ISI
Coherence
time
Delay
spread

Under-spread channels
στ ≈ µs
Tc ≈ms
In a tipical channel στ << Tc
Delay spread « Coherence time → underspread channels

References I
[Cho et al., 2010] Cho, Y. S., Kim, J., Yang, W. Y., and Kang, C. G. (2010).
MIMO-OFDM wireless communications with MATLAB.
John Wiley & Sons.
[Jagannathan, 2013] Jagannathan (2013).
Advanced 3g and 4g wireless mobile communications.
[Rappaport et al., 1996] Rappaport, T. S. et al. (1996).
Wireless communications: principles and practice, volume 2.
Prentice Hall PTR New Jersey.
[Seybold, 2005] Seybold, J. S. (2005).
Introduction to RF propagation.
John Wiley & Sons.
[Tomás, 2012] Tomás, L. M. (2012).
Comunicaciones móviles.

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