1. El documento presenta un examen de probabilidad y estadística con 4 preguntas. La primera pregunta evalúa afirmaciones sobre eventos A y B dados sus probabilidades. La segunda pregunta analiza un canal de comunicaciones. La tercera pregunta considera una variable aleatoria continua con función densidad dada. La cuarta pregunta evalúa la independencia estadística de dos variables aleatorias dados su función densidad conjunta. El examen incluye un formulario de conceptos de probabilidad y variables aleatorias.

1. Departamento de Ciencias de la Computación y
Electrónica
Electrónica y Telecomunicaciones
2017.2
Análisis Estadístico y Probabilístico
Instructor del curso: Francisco Sandoval, e-mail: fasandoval@utpl.edu.ec
Examen - Bimestre I
Instrucciones:
• Lea detenidamente cada una de las preguntas.
• El tiempo máximo para resolución de la prueba es de 150 minutos.
• Especifique con lapicero su respuesta para cada literal o pregunta.
• No se permite el uso de calculadora, formulario o cualquier material adicional.
• Al finalizar debe entregar esta hoja y su resolución.
1. (21/2 Puntos) Sea A y B eventos tales que P(A) = 1/4, P(B|A) = 1/2 y P(A|B) = 1/4. Diga
si las afirmaciones siguientes son falsas o verdaderas y justifique su respuesta.
(a) (1/2 Punto) Los eventos A y B son mutuamente exclusivos.
(b) (1/2 Punto) El evento A está contenido en B, o sea, A ⊂ B;
(c) (1/2 Punto) Los eventos A y B son estadísticamente independientes;
(d) (1/2 Punto) P(B) = 3/4;
(e) (1/2 Punto) P( ¯A| ¯B) = 3/4.
2. (2 Puntos) La Fig. 1 presenta un diagrama que representa un canal de comunicaciones en
que el valor de entrada x puede ser “0” o “1” y que transporta este valor produciendo en la
salida el valor y que puede ser “0”, “E” o “1”. Los valores indicados en la figura corresponden
a las probabilidades condicionales. Los valores de la entrada son equiprobables, esto es,
P(x = 0) = P(x = 1). Considere la experiencia que consiste en observar un par de valores
de entrada y salida del canal, por ejemplo el par (x, y), y encuentre:
(a) (1/2 Punto) La probabilidad de observar en la salida del canal el valor y = 0;
(b) (1/2 Punto) La probabilidad de observar en la salida del canal el valor y = E;
(c) (1/2 Punto) La probabilidad de que el valor observado en la salida sea igual al valor
observado en la entrada y.
(d) (1/2 Punto) La probabilidad de que el valor observado en la salida sea diferente del
valor de la entrada.
3. (11/2 Puntos) Considere una variable aleatoria continua con función densidad de probabili-
dad dada por
px(X) =
kX 0 < X < 1
0 de otra forma
, (1)
donde k es una constante.
(a) (1/2 Punto) Determine el valor de la constante k y esboce px(X);

2. Figure 1: Diagrama de un canal de comunicaciones
(b) (1/2 Punto) Determine y esboce la función distribución de probabilidad Fx(X);
(c) (1/2 Punto) Calcule P(1/4 < X < 2).
4. (2 Puntos) La función de densidad conjunta de dos variables aleatorias x e y es descrita por
pxy(X, Y ) =
cXY 0 < X < 1, 0 < Y < 1
0 de otra forma
, (2)
donde c es una constante.
(a) (1/2 Punto) Determine el valor de c.
(b) (1 Punto) ¿Las variables aleatorias x e y son estadísticamente independientes? Ex-
plique.
(c) (1/2 Punto) Calcule P(x + y < 1) y esboce la región del plano correspondiente al evento.
Formulario:
1 Probabilidad
• Ley de Morgan: ¯A ∩ ¯B = A ∪ B
• Probabilidad de la unión: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
• Probabilidad condicional: P(B|A) = P(A∩B)
P(A)
• Teorema de Probabilidad total: P(A) = m
j=1 P(A|Bj)P(Bj)
• Regla de Bayes: P(Bj|A) =
P(Bj)P(A|Bj)
m
k=1 P(Bk)P(A|Bk)
2 Variables aleatorias
• Función distribución de probabilidad: Fx(X) = P(x ≤ X)
• Función densidad de probabilidad marginal:
px(X) =
∞
−∞
pxy(X, v)dv
py(Y ) =
∞
−∞
pxy(v, Y )dv
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