Teoría de Campos Electromagnéticos Tema 6: Fuerza, materiales y dispositivos magnéticos - Fuerzas debidas a campos magnéticos - Torque y momento magnético - Magnetización en materiales - Condiciones en la frontera en el magnetismo - Inductores e inductancias - Energía magnética

1. Fuerza, materiales y dispositivos
magnéticos
Teoría de Campos Electromagnéticos
Francisco Sandoval

2. Agenda
 Fuerzas debidas a campos magnéticos
 Torque y momento magnético
 Dipolo magnético
 Magnetización en materiales
 Clasificación de los materiales magnéticos
 Condiciones en la frontera en magnetismo
 Inductores e inductancias
 Energía magnética
 Circuitos magnéticos
 Fuerza sobre materiales magnéticos

3. Quadrinho

4. Fuerzas debidas a campos
magnéticos

5. Fuerzas debidas a campos magnéticos
 Puede experimentarse:
 En una partícula cargada en movimiento en un campo 𝑩.
 En un elemento de corriente en un campo 𝑩.
 Entre dos elementos de corriente.

6. A. Fuerza sobre una partícula cargada
 La fuerza eléctrica 𝑭 𝑒 sobre una carga eléctrica 𝑄
estacionaria o en movimiento en un campo eléctrico está
dada por la ley experimental de Coulomb:
 Campo magnético solo ejerce fuerza sobre carga en
movimiento.
 La fuerza magnética 𝑭 𝑚 experimentada por una carga 𝑄
en movimiento con una velocidad 𝒖 en un campo
magnético 𝑩 es

7. A. Fuerza sobre una partícula cargada
 𝑭 𝑒
 Es independiente de la velocidad de la carga y puede realizar
trabajo sobre esta última y alterar su energía cinética.
 𝑭 𝑚
 Depende de la velocidad de la carga y es normal a ella.
 No puede realizar trabajo sobre la carga (𝑭 𝑚 ∙ 𝑑𝒍 = 0)
 no causa incremento en la energía cinética de la carga.
Carga 𝑄 en movimiento en presencia de campos tanto eléctrico como magnético, la
fuerza total sobre la carga está dada por:
𝑭 = 𝑭 𝑒 + 𝑭 𝑚
𝑭 = 𝑄 𝑬 + 𝒖 × 𝑩 Ecuación de Lorentz

8. B. Fuerza sobre un elemento de corriente
 En una corriente de convección:
𝑱 = 𝜌 𝑣 𝒖
 la relación entre elementos de corriente:
𝐼𝑑𝒍 = 𝑲𝑑𝑆 = 𝑱𝑑𝑣
 Alternativamente:
 Por tanto:
 Una carga elemental 𝑑𝑄 que se mueve a una velocidad 𝒖
es equivalente a un elemento de corriente de conducción
𝐼𝑑𝒍.

9. B. Fuerza sobre un elemento de corriente
La fuerza sobre un elemento de corriente 𝐼𝑑𝒍 en un campo magnético 𝑩 es
𝑑𝑭 = 𝐼𝑑𝒍 × 𝑩
Si la corriente 𝐼 fluye a través de una trayectoria cerrada 𝐿 o circuito, la fuerza sobre
el circuito está dada por:
𝑭 = ර
𝐿
𝐼𝑑𝒍 × 𝑩
Nota: el campo 𝑩 es externo al elemento de corriente 𝐼𝑑𝒍.
El campo magnético 𝑩 es la fuerza por unidad de elemento de corriente.

10. C. Fuerza entre dos elementos de corriente

11. Ejemplo 1 - Enunciado

12. Ejemplo 1 - Solución

13. Ejemplo 1 - Solución

14. Ejemplos

15. Torque y momento magnético

16. Torque magnético
El torque 𝑻 o momento magnético de fuerza sobre una espira es el producto vectorial
de la fuerza 𝑭 y el brazo del momento 𝒓.
𝑻 = 𝒓 × 𝑭 Newton-metros

17. Torque magnético
• Sobre la espira no se ejerce ninguna fuerza.
• Fuerzas actúan en diferente punto.
• Fuerzas generan un par de fuerzas.

18. Torque y momento magnético
Momento magnético dipolar
El momento magnético dipolar es el producto de la corriente y el área de la espira;
su dirección es normal a ésta.

19. Magnetización en materiales

20. Magnetización en materiales I
 Cualquier material se compone de átomos.
 Cada átomo consta de electrones que describen órbitas
alrededor de un núcleo positivo central, al mismo tiempo
que rotan en torno a su propio eje. –Produce campo
magnético interno–
Electrón en órbita
alrededor del núcleo
Giro de un electrón Espira circular de corriente equivalente
al movimiento del electrón

21. Magnetización en materiales II
 La espira de corriente equivalente tiene un momento
magnético de 𝒎 = 𝐼 𝑏 𝑆𝒂 𝑛
 𝑆 es área de la espira
 𝐼 𝑏 corriente latente con relación al átomo
 Si no se aplica al material un campo 𝑩 externo, la suma
de las diversas 𝒎 es igual a cero. (por la orientación
aleatoria)
Momento magnético dipolar en
un volumen 𝛻𝑣
Antes de aplicar 𝑩 Después de aplicar 𝑩

22. Magnetización en materiales III
 Si hay 𝑁 átomos en un volumen dado ∆𝑣 y el átomo de
orden 𝑘 posee un momento magnético 𝒎 𝑘
 Para un volumen diferencial 𝑑 𝑣
′
, el momento magnético es
𝑑𝒎 = 𝑴𝑑 𝑣
′
.
L magnetización 𝑴 (en amperes/metro) es el momento magnético dipolar por unidad
de volumen.

23. Magnetización en materiales IV
 El potencial magnético
vectorial debido a 𝑑𝒎 es:
Como
Por tanto

24. Magnetización en materiales V
Recordando la identidad:
Sustituyendo en la expresión de 𝑨
Aplicando la identidad vectorial
A la segunda integral

25. Magnetización en materiales VI
 𝑱 𝑏 es la densidad de corriente volumétrica latente o densidad
de corriente volumétrica de magnetización (amperes por
metro cuadrado)
 𝑲 𝑏, densidad de corriente superficial latente (amperes por
metro)
 𝒂 𝑛, vector unitario normal a la superficie.
 𝑴, densidad de polarización magnética del medio.
 𝑴 es análogo a 𝑯.

26. Magnetización en materiales VII
 En el vacío, 𝑴 = 0,
 En un medio material 𝑴 ≠ 0, y 𝑩 cambia:
𝑱 𝑓, densidad de corriente volumétrica libre
Válida para todos los materiales, sean lineales o no.

27. Magnetización en materiales VIII
 En materiales lineales, 𝑴 (en A/m) depende linealmente
de 𝑯.
 𝝌 𝒎, susceptibilidad magnética del medio. (cantidad adimensional)
𝜇 = 𝜇0 𝜇 𝑟, permeabilidad del material y se mide en henrys/metro.
𝜇 𝑟, permeabilidad relativa del material, es razón de la permeabilidad de un material
dado a la del vacío. (cantidad adimensional)

28. Clasificación de los materiales
magnéticos

29. Clasificación de los materiales magnéticos

30. Clasificación de los materiales magnéticos
Diferentes tipos de materiales mágneticos.
a) Paramagneto. Los espines apuntan en
direcciónes al azar, las cuales varían al
paso del tiempo.
b) Ferromagnetos. Los espines tienen
tendencia a alinearse en una misma
dirección.
c) Antiferromagnetos.Tendencia de los
espines a alinearse antiparalelamente a
sus vecinos.
d) Vidrios de espín. Los espines apuntan en
direcciones aparentemente al azar, pero
fijas al paso del tiempo.

31. Diamagnetismo
 Materiales cuyo campo magnéticos debidos a los movimientos
electrónicos de orbitación y rotación se anulan totalmente
entre sí.
 El momento magnético permanente de cada átomo es de cero,
un campo magnético ejerce débil influencia sobre el material
de que se trate.
 Ejemplos: bismuto, plomo, cobre, silicio, diamante, cloruro de
sodio
 En la mayoria: 𝜒 𝑚 es del orden de −10−5
 A temperaturas cercanas al cero absoluto, ciertos materiales
(superconductores) presentan «diamagnetismo perfecto»:
𝜒 𝑚 = −1 o 𝜇 𝑟 = 0 y 𝐵 = 0.

32. Paramagnetismo
 Materiales cuyos campos magnéticos producidos por la
orbitación o rotación de los electrones no se anulan por
completo.
 Depende de la temperatura.
 Ejemplos: aire, platino, tungsteno, potasio.
 Mayoría: 𝜒 𝑚 es del orden de +10−5 a 10−3

33. Ferromagnetismo
 Materiales cuyos átomos poseen un momento magnético
permanente relativamente alto.
 Ejemplos: hierro, cobalto, níquel.
 Muy útiles en la práctica.
 Propiedades:
 Pueden ser magnetizados en muy alto grado por un campo
magnético.
 Preservan un considerable nivel de magnetización cuando se les
aparta del campo magnético.
 Pierden sus propiedades y se convierten en materiales
paramagnéticos lineales cuando la temperatura aumenta por encima
de la temperatura curie.
 Son no lineales, no rige la relación constitutiva 𝑩 = 𝜇0 𝜇 𝑟 𝑯, porque
𝜇 𝑟 depende de 𝑩 y no puede representarse con un solo valor.

34. Histéresis Magnética

35. Histéresis Magnética

36. Condiciones en la frontera en
magnetismo

37. Condiciones en la frontera en magnetismo

38. Condiciones en la frontera en magnetismo
𝒂 𝑛12 vector unitario normal a la interfaz y
se dirige del medio 1 al 2

39. Condiciones en la frontera en magnetismo
 Si 𝐾 = 0 (densidad de corriente libre)
Si estos campos forman un ángulo 𝜃 con la normal a la interfaz

40. Ejemplo

41. Inductores e inductancias

42. Inductores e Inductancias
 Un circuito portador de
corriente 𝐼 produce un
campo magnético 𝑩 el cual
genera un flujo 𝜓 = ‫׬‬ 𝑩 ∙ 𝑑𝑺
que pasa por cada vuelta del
circuito.
 El eslabonamiento de flujo 𝜆
para circuito de 𝑁 vueltas:
𝜆 = 𝑁𝜓
 Si, medio que circunda al
circuito es lineal:

43. Inductores e Inductancias
 𝐿 es una constante de proporcionalidad llamada
inductancia del circuito.
 Inductancia es propiedad de la disposición física del
circuito.
 Inductor, un circuito con inductancia.
 Unidad de inductancia: Henry (H)
 La energía magnética (en joules) almacenada en un
inductor es:
Autoinductancia

44. Inductores e Inductancias
𝑀 inductancia mutua
Si el medio que rodea el circuito es lineal

45. Cálculo de autoinductancia 𝐿 de un
inductor
1. Se elige el sistema de coordenadas conveniente
2. Se presupone que el inductor porta corriente 𝐼.
3. Se determina 𝑩 con base en la ley de Biot-Savart (o de
Ampère si hay simetría) y se calcula 𝜓 a partir de 𝜓 =
‫׬‬ 𝑩 ∙ 𝑑𝑺
4. Por último, se halla 𝐿 a partir de 𝐿 =
𝜆
𝐼
=
𝑁𝜓
𝐼

46. Inductancia
 La inductancia producida por el flujo interno del
conductor se llama inductancia interna 𝐿𝑖𝑛𝑡, mientras que
la producida por el flujo externo se llama inductancia
externa 𝐿 𝑒𝑥𝑡. La inductancia total 𝐿 es:
 Puede demostrarse que:

47. Inductancia de elementos comunes

48. Inductancia de elementos comunes

49. Inductancia de elementos comunes

50. Energía magnética

51. Energía Magnética
Volumen diferencial en campo
magnético
Suponiendo que toda región está ocupada
por volúmenes diferenciales. Cada
volumen posee una inductancia:

52. Energía Magnética

53. Referencias

54. Bibliografía y Referencias
 Sadiku, Matthew N. O. «Elementos de Electromagnetismo»,
Editorial Alfaomega, Oxford University Press, 2010.

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