Este documento presenta los conceptos básicos del cálculo integral, incluyendo la definición de integral indefinida, notación, constante de integración, fórmulas básicas y técnicas de integración. Explica que la integral indefinida representa el conjunto de todas las antiderivadas de una función y que la constante de integración refleja que múltiples funciones pueden tener la misma antiderivada. También incluye ejemplos de aplicación de las propiedades, fórmulas y técnicas de integración.

1. MATERIA
CALCULO INTEGRAL
TUTORIA 1
Lic. César Hernández, Mgs

3. Unidad 1 – La Integral indefinida
1.1 Conceptos básicos
1.1.1 Definición
1.1.2 Notación de la Integral
1.1.3 Constante de integración
1.2 Propiedades y técnicas principales
1.2.1 Fórmulas principales
1.2.2 Técnicas de integración
1.2.3 Integración con condiciones iniciales

4. 1.1 Conceptos básicos
La integrales constituyen el estudio del cálculo integral
Dentro de los conceptos básicos estudiaremos:
1. Definición de integral
2. Notación de la integral
3. Constante de integración
4. Fórmulas básicas
5. Técnicas de integración
6. Coondiciones iniciales

5. INTEGRAL INDEFINIDA
Analizar y entender la notación de la integral
indefinida y cada uno de sus elementos
Analizar y utilizar técnicas para integrar
Estudiar y comprender la definición de la
integral indefinida.
Objetivos
Estudiar y practicar las fórmulas básicas de
integración

7. Definición de Integral Indefinida
Una anti-derivada de una función f
es una función F tal que
F ’(x) = f(x)
El proceso para determinar una función a partir de su derivada es
opuesto a la derivación por se denomina antiderivación
F(x)
f(x)
DERIVACIÓN ANTIDERIVACIÓN

8. Definición de Integral Indefinida
Si f(x) = x2 f´(x) = 2x Decimos que x2 es una
antiderivada de 2x
f(x) = x2 +1 f´(x) = 2x
f(x) = x2 +2 f´(x) = 2x
f(x) = x2 +5 f´(x) = 2x
f(x) = x2 -1 f´(x) = 2x
f(x) = x2 - 5 f´(x) = 2x
f(x) = x2 - 10 f´(x) = 2x
……………… f´(x) = 2x
f(x) = x2 + C f´(x) = 2x

9. Notación de Integral Indefinida
𝐹 𝑥 ⅆ𝑥 = 𝑓 𝑥 + C
símbolo de integración
integrando
constante de integración.
Diferencial

10. Constante de integración
𝐹 𝑥 ⅆ𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝐶
constante de integración.
La constante de integración representa
que muchas funciones o una familia de
funciones tienen la misma antiderivada.

11. Constante de integración
Si F(x) = X2 + C ; donde C es cualquier número
Para todas estas funciones
F(x) = X2 + C,
su derivada en 2X,
2𝑥 ⅆ𝑥 = X2+ C
La antiderivada de 2x es igual a
X2 + C, lo cual, se denota por:
Donde C recibe el nombre de
constante de integración

12. Preguntas
Al conjunto o familia de antiderivadas de una función se le llama:
a) Integral impropia
b) Integral infinita
c) Integral propia
d) Integral indefinida
El significado matemático  fx dx  Fx  C, es:
a) La antiderivada más general de f(x)
b) La antiderivada de la función F(x)
c) La derivada de f(x)
d) F(x) es la derivada de f(x)

13. Preguntas
El símbolo  significa:
a) integrando
b) símbolo de diferencial
c) símbolo de integración
d) variable de integración
La función 𝒙𝟑
+ c describe todas las antiderivadas de la función
a) f(x) = 𝑥2
b) f(x) = 2𝑥2
c) f(x) = 3𝑥2
d) f(x) = −2𝑥2

14. Propiedades de la integral indefinida
Propiedades de la derivada
I (kf )' (x) = k f '(x) con k  R
La derivada de una constante por una
función es el producto de la constante
por la derivada de la función.
II (f  g) ' (x) = f ' (x)  g ' (x)
La derivada de una suma (resta) de dos
funciones es la suma (resta) de las deri-
vadas de cada una de ellas.
Propiedades de la integral indefinida
I 
 k f(x) dx = k 
 f(x) dx con k  R
Las constantes pueden salir y entrar fuera del
signo de la integral indefinida.
II 

[ f(x)  g(x)] dx = 
 f(x) dx 
 g(x) dx
La integral indefinida de una suma (resta) de
dos funciones es la suma (resta) de las inte-
grales indefinidas.

15. Fórmulas básicas de integración
Integrales inmediatas: una tabla de derivadas leída al revés proporciona
primitivas e integrales indefinidas.
1.- 

xa
dx =
xa+1
a+1 + C, si a -1, a  R
2.-


 1
x dx = ln x + C
3.- 

ex
dx = ex
+ C
4.- ∫ax
= ln
x
a
a + C, si a>0, a 1
5.- 

sen x dx = – cos x + C
6.- 

cos x dx = sen x + C
7.-  
2
1
1
dx arcsen x C
x
 


8.-  
2
1
arctg
1
dx x C
x
 



16. Ejemplos de uso de fórmulas
1. 𝟔 𝐝𝒙
2.  x4 dx
3.  20 x3 dx
4.  (x5 + 5x) dx
= 20 .
𝑥4
𝟒
+ 𝑪
= 5𝑥4
+ 𝑪
5.  20 ex dx
= 6 x + C
=
𝑥4+1
𝟒+𝟏
+ 𝑪
=
𝑥5
𝟓
+ 𝑪
 20  x3 dx
  x5 dx +  5x dx
 (
𝑥6
6
+ 𝐶 ) + 5  x dx
 (
𝑥6
6
+ 𝐶) + ( 5
𝑥2
2
+ 𝐶 )
 (
𝑥6
6
+ 𝐶 ) + (
5
2
𝑥2  𝐶 )

𝒙𝟔
𝟔
+
𝟓
𝟐
𝒙𝟐
 𝑪
 20  ex dx
= 20 ex + C

17. Técnicas de Integración
Integral no
conocida
(sin formato de
fórmulas básicas)
Uso de
Operaciones
algebraicas
Integral conocida
(formato de
fórmulas básicas)
(a + b) (c +d) = ac + ad+ bc + db
𝑎 + 𝑏
𝑐
=
𝑎
𝑐
+
𝑏
𝑐
𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

18. El proceso de integración es similar al de
derivación:
Proceso de Integración
Integral
Original
Reescribi
r
Integrar Simplificar

19. Ejemplos
𝟒𝒙𝟑
(𝟐𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙) 𝒅𝒙
= (8𝑥5
+12𝑥4
) 𝑑𝑥
= 8𝑥5 𝑑𝑥 + 12𝑥4 𝑑𝑥
=8
𝑥6
6
+ 12
𝑥5
5
+ 𝐶
=
𝟒
𝟑
𝒙𝟔
+
𝟏𝟐
𝟓
𝒙𝟓
+ 𝑪
𝟑𝒙𝟒 + 𝟒𝒙
𝒙𝟑
𝒅𝒙
= (
3𝑥4
𝑥3
+
4𝑥
𝑥3
) 𝑑𝑥
= 3𝑥 𝑑𝑥 +
4
𝑥2
𝑑𝑥
= 3
𝑥2
2
+ 4
𝑥−2+1
−2+1
+ 𝐶
=
3
2
𝑥2
+
4
−1
𝑥−1
+ 𝐶
=
𝟑
𝟐
𝒙𝟐
−
𝟒
𝒙
+ 𝑪

20. Integración con condiciones iniciales
Ejemplo:
Si f(x) es una función tal que f´(x) = 3𝑥2. Hallar la función f(x) si se conoce que
f(2) = 3
1.- Integramos
Si se conoce el valor de f(x) para un valor particular de x, podemos
determinar el valor de C.
si f(2) = 3; f(2) = (𝟐)𝟑+𝑪
3 = (𝟐)𝟑
+𝑪
3 = 8 + 𝑪
𝑪 = - 5
f(x) = 𝒙𝟑 − 𝟓
f(x) = 3𝑥2
𝑑𝑥 ,
f(x) = 3
𝑥3
3
+ 𝐶
f(x) = 𝒙𝟑
+ 𝑪
2.- Hallamos el valor de C
3.- Reemplazamos el valor de C en f (x)

21. Integración con condiciones iniciales
Ejemplo:
Si f(x) es una función tal que f´(x) = 4𝑥3 + 𝑥 + 2. Hallar la función f(x) si se conoce que
f(1) = 2

22. EJERCICIO
• En la manufactura de un producto, los costos fijos por semana son de
$4000. Los costos fijos son costos como la renta y el seguro, que
permanecen constantes a todos los niveles de producción en un
periodo dado. Si la función de costo marginal dc/d q es

23. Ejercicio
Un fabricante ha determinado que la función de costo marginal es
donde q es el número de unidades producidas. Si el costo marginal es
de $27.50 cuando q=50 y los costos fijos son de $5000, ¿cuál es el
costo promedio de producir 100 unidades?

24. Ejercicios

25. Ejercicios
Dieta para ratas Un grupo de biólogos estudió los efectos alimenticios en ratas a
las que se alimentó con una dieta en la que 10% era proteína.1 La proteína consistió
en levadura y harina de maíz.
El grupo encontró que en cierto periodo, la razón de cambio aproximada del
aumento promedio de peso G (en gramos) de una rata, con respecto al porcentaje P
de levadura en la mezcla proteínica fue
Si G=38 cuando P=10, encuentre G.

26. Ejercicios
Polilla de invierno En Nueva Escocia2 se llevó a cabo un
estudio acerca de la polilla de invierno. Las larvas de la
polilla caen al suelo de los árboles huéspedes. Se encontró
que la razón (aproximada) con que la densidad y (número
de larvas por pie cuadrado de suelo) cambia con respecto a
la distancia x (en pies), desde la base de
un árbol huésped es
Si y=57.3 cuando x=1, encuentre y.