Mat

1. INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
UNIDAD PROFESIONAL
INTERDISIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA
APLICACIONES MATEMATICAS (TALLER)
Tarea 1, segundo departamental.
Profesores:
HIGUITA BORJA DANIEL FERNANDO
ORTIZ JUAREZ JUAN CLAUDIO
Alumno
Palomo Pérez Fernando
3LM2
Fecha de entrega: 18/09/2018

2. Ecuación logística
La población x(t) de una cierta ciudad satisface la ley logística;
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑥
100
−
𝑥2
108
Donde el tiempo (t) se mide en años.
Suponiendo que la población de esta ciudad es 100,000 en 1980, determine:
A) La población como función del tiempo (t)
B) La población en el año 2000
C) El año en que se duplicara la población de 1980
D) Comportamiento de la población cuando t→∞
Resolución
Como tenemos una ecuación diferencial, esta se puede resolver por distintos
métodos, pero para mayor facilidad, elegiremos el de Bernoulli.
Ya que con los otros métodos seria mas complicado acomodar las variables de la
manera que nosotros las queremos.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
−
𝑥
100
= −
𝑥2
108
Entonces ya tenemos la ecuación de la forma
𝒅𝒙
𝒅𝒕
− 𝒑( 𝒕) 𝒙 = 𝒒(𝒕)𝒙 𝒏
Ya que tenemos así la ecuación proseguimos a resolver.
𝑛 = 2
𝒖 = 𝒙 𝟏−𝒏
𝑢 = 𝑥−1
𝑢′
= −𝑥−2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
−𝑢′
= 𝑥−2
𝑑𝑥
𝑑𝑡

3. Para que estas identidades puedan ser sustituidas la ecuación original
(
1
𝑥2
)(
𝑑𝑥
𝑑𝑡
−
𝑥
100
= −
𝑥2
108
)
(
1
𝑥2
∗
𝑑𝑥
𝑑𝑡
−
1
𝑥2
𝑥
100
=
1
𝑥2
∗ −
𝑥2
108
)
𝑥−2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
−
𝑥−1
100
= −
1
108
Como
𝑢 = 𝑥−1
y −𝑢′
= 𝑥−2 𝑑𝑥
𝑑𝑡
(−𝑢′
−
𝑢
100
= −
1
108)(−1)
𝑢′
+
𝑢
100
=
1
108
Entonces ya tenemos una ecuación en la forma x’+p(t)x=q(t), resolvemos
𝑢′
+
𝑢
100
=
1
108
x’ p(t) q(t)
𝝆 = 𝒆∫ 𝒑( 𝒕) 𝒅𝒕
𝜌 = 𝑒∫
1
100
𝑑𝑡
𝜌 = 𝑒
𝑡
100
𝝆𝒖 = ∫(𝝆𝒒)𝒅𝒕 + 𝒄
𝑒
𝑡
100 𝑢 = ∫(𝑒
𝑡
100 ∗
1
108
)𝑑𝑡 + 𝑐

4. 𝑒
𝑡
100 𝑢 =
1
108
∫(𝑒
𝑡
100)𝑑𝑡 + 𝑐
𝑒
𝑡
100 𝑢 =
1
108
[100 ∗ 𝑒
𝑡
100] + 𝑐
𝑢 = (
1
𝑒
𝑡
100
) ∗ (
1
108
[100 ∗ 𝑒
𝑡
100] + 𝑐)
𝑢 = (
1
𝑒
𝑡
100
) ∗ (
1
108
[100 ∗ 𝑒
𝑡
100] + 𝑐)
𝑢 = (
100
108
+
𝑐
𝑒
𝑡
100
)
𝑢 = (10−6
+ 𝑐𝑒−
𝑡
100)
Entonces como 𝑢 = 𝑥−1
, sustituimos para encontrar la función de población
respecto al tiempo.
𝑥−1
= (10−6
+ 𝑐𝑒−
𝑡
100)
𝒙(𝒕) = (𝟏𝟎−𝟔
+ 𝒄𝒆−
𝒕
𝟏𝟎𝟎 )−𝟏
Para encontrar el valor de c usamos la población en el tiempo 0, en este caso
seria en el año 1980 en donde la población era de 100,000.
100000 = (10−6
+ 𝑐𝑒−
(0)
100)−1
(100000)−1
− 10−6
= 𝑐
Entonces
𝒄 = 𝟗𝒙𝟏𝟎−𝟔
Sustituyendo el valor de c en la función tenemos lista la ecuación en función del
tiempo para calcular la población en los tiempos que se requieran.
Solución A)
𝒙(𝒕) = (𝟏𝟎−𝟔
+ (𝟗𝒙𝟏𝟎−𝟔
) ∗ 𝒆−
𝒕
𝟏𝟎𝟎 )−𝟏

5. _________________________________________________
Como se nos pide a población en el año 2000 y el tiempo 0 fue en 1980, para
sustituir en la variable t= 20
𝑥(20) = (10−6
+ (9𝑥10−6) ∗ 𝑒−
20
100)−1
𝑥(20) = 119,494.6317 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠
Se redondea el resultado, ya que no puede haber fracciones de personas.
Solución B)
𝒙( 𝟐𝟎) = 𝟏𝟏𝟗, 𝟒𝟗𝟓 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔
_________________________________________________
Como la población en el año 1980 era de 100,000, el problema nos pide calcular
en que año se duplicara esta población.
Entonces sustituimos en la función el doble de esa población, y despejamos la
variable t para obtener en que año se duplicara dicha población.
100000 ∗ 2 = (10−6
+ (9𝑥10−6
) ∗ 𝑒−
𝑡
100)−1
(200000)−1
= 10−6
+ (9𝑥10−6
) ∗ 𝑒−
𝑡
100
(200000)−1
− 10−6
(9𝑥10−6)
= 𝑒−
𝑡
100
(𝐿𝑛)(
(200000)−1
− 10−6
(9𝑥10−6)
= 𝑒−
𝑡
100)
𝐿𝑛(
(200000)−1
− 10−6
(9𝑥10−6)
) = −
𝑡
100
𝐿𝑛 (
(200000)−1
− 10−6
(9𝑥10−6)
) ∗ (−100) = 𝑡
𝑡 =81.09302162
Solución C)
𝒕 =81 años
Entonces en el año 2061 se alcanzaría el doble de la población.
_____________________________________________________________

6. Comportamiento de la población cuando t→∞
𝑥(𝑡) = (10−6
+ (9𝑥10−6
) ∗ 𝑒−
∞
100)−1
𝑥(𝑡) = (10−6
+
9𝑥10−6
𝑒
∞
100
)−1
𝑥(𝑡) = (10−6
+
9𝑥10−6
∞
)−1
𝑥(𝑡) = (10−6
+ 0)−1
𝑥(𝑡) = (10−6
)−1
Solución D)
𝒙( 𝒕) = 𝟏, 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔