El documento describe cómo la ecuación de Michaelis-Menten se usa para modelar la tasa a la que el cuerpo procesa una droga sobre el tiempo. Se resuelven dos problemas utilizando esta ecuación para la cocaína y el alcohol, encontrando cómo cambia la concentración de la droga en el tiempo y cuánto tiempo toma para que la concentración se reduzca a la mitad.

1. 215. En el campo de la farmacocinética, la ecuación de Michaels-Menton
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −
𝐾𝑥
𝐴+𝑥
describe el ritmo con el que un cuerpo procesa una droga, donde x(t)
es la concentración de ésta en el cuerpo en el instante t, K y A son constantes
positivas.
a) Para la cocaína, A = 6, K = 1 y x(0) = 0.0025. Evalúe x para t = 1, 2, 3, 10 y 20.
Calcule cuánto tiempo será necesario para que la concentración se reduzca a la
mitad de su valor inicial.
b) Para el alcohol, A = 0.005, K = 1 y x(0) = 0.025. Evalúe x para t = 0.01, 0.02,
0.03, 0.04 y 0.05. Estime cuánto tiempo será necesario para que la concentración
se reduzca a la mitad de su valor inicial.
Resolución
Se resuelve como una ecuación diferencial de primer orden no lineal.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −
𝐾𝑥
𝐴+𝑥
→ 𝑑𝑥 = (−
𝐾𝑥
𝐴+𝑥
) ∗ 𝑑𝑡 → 𝑑𝑥
(−
𝐾𝑥
𝐴+𝑥
)
= 𝑑𝑡 →
𝑑𝑥
1
(−
𝐾𝑥
𝐴+𝑥
)
= 𝑑𝑡
→ −
𝐴+𝑥
𝑘𝑥
∗ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 → −(
𝐴
𝑘𝑥
+
𝑥
𝑘𝑥
) ∗ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 → −(
𝐴
𝑘𝑥
+
1
𝑘
) ∗ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡
→−
𝐴
𝑘𝑥
∗ 𝑑𝑥 −
1
𝑘
∗ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡
Ya con la ecuación en esta forma, se debe de integrar para llegar al resultado.
∫ −
𝐴
𝑘𝑥
∗ 𝑑𝑥 ∫ −
1
𝑘
∗ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑡 → −
𝑨
𝑲
∗ 𝒍𝒏( 𝒙) −
𝟏
𝒌
∗ 𝒙 = 𝒕 + 𝒄
Como no se pudo despejar la variable x, una opción para encontrar la solución es
iterar el valor de x(t) en algún programa como MATLAB, hasta encontrar la
solución, también meter la ecuación en una calculadora y esta encuentra el valor
de x(t), en este caso se usará la calculadora, ya que es más conveniente en este
caso.
Desarrollo a)
Como el enunciado del problema nos indica la condición inicial para la resolución
del a) es x(0) = 0.0025, también nos dan los valores de A = 6 y K = 1.
x(0) = 0.0025
A = 6
K = 1
−
𝑨
𝑲
∗ 𝒍𝒏( 𝒙( 𝒕)) −
𝟏
𝒌
∗ 𝒙(𝒕) = 𝒕 + 𝒄

2. → −
6
1
∗ 𝑙𝑛(0.0025) −
1
1
∗ 0.0025 = (0) + 𝑐
Para obtener el valor de c, se utiliza la condición inicial.
𝒄 = 𝟑𝟓. 𝟗𝟒𝟔𝟐𝟖𝟕𝟐𝟖
Se sustituye el valor de c
−
6
1
∗ 𝑙𝑛( 𝑥) −
1
1
∗ 𝑥 − 35.94628728 = 𝑡
Ya con esta ecuación se podrán encontrar las respuestas que se piden.
𝒕 = −𝟔 ∗ 𝒍𝒏( 𝒙( 𝒕)) − 𝒙(𝒕) − 𝟑𝟓. 𝟗𝟒𝟔𝟐𝟖𝟕𝟐𝟖
__________________________________________________________________
Evalúe x(t) para t = 1, 2, 3, 10 y 20.
Solución a)
𝑡 = −6 ∗ 𝑙𝑛( 𝑥( 𝑡)) − 𝑥(𝑡) − 35.94628728
t 𝒙(t)
1 2.116339𝒙𝟏𝟎−𝟑
2 1.7915398 𝒙𝟏𝟎−𝟑
3 1.5165752 𝒙𝟏𝟎−𝟑
10 4.723486𝒙𝟏𝟎−𝟒
20 8.9220824𝒙𝟏𝟎−𝟓
Tiempo necesario para que la concentración se reduzca a la mitad de su valor
inicial, x(t)=0.00125.
𝑡 = −6 ∗ 𝑙𝑛(0.00125) − 0.00125− 35.94628728
𝒕 = 𝟒. 𝟏𝟔𝟎𝟏𝟑𝟑𝟎𝟖𝟔
_________________________________________________
Desarrollo b)
Como el enunciado del problema nos indica la condición inicial para la resolución
del a) es x(0) = 0.025, también nos dan los valores de A = 0.005 y K = 1.
x(0) = 0.025

3. A = 0.005
K = 1
−
𝑨
𝑲
∗ 𝒍𝒏( 𝒙( 𝒕)) −
𝟏
𝒌
∗ 𝒙(𝒕) = 𝒕 + 𝒄
→ −
0.005
1
∗ 𝑙𝑛(0.025) −
1
1
∗ 0.025 = (0) + 𝑐
Para obtener el valor de c, se utiliza la condición inicial.
𝒄 = −𝟔. 𝟓𝟓𝟓𝟔𝟎𝟐𝟕𝟐𝟗𝒙𝟏𝟎−𝟑
Se sustituye el valor de c
−
0.005
1
∗ 𝑙𝑛( 𝑥) −
1
1
∗ 𝑥 + 𝟔. 𝟓𝟓𝟓𝟔𝟎𝟐𝟕𝟐𝟗𝒙𝟏𝟎
−𝟑
= 𝑡
Ya con esta ecuación se podrán encontrar las respuestas que se piden.
𝒕 = −𝟎. 𝟎𝟎𝟓 ∗ 𝒍𝒏(𝒙( 𝒕)) − 𝒙( 𝒕) + 𝟔. 𝟓𝟓𝟓𝟔𝟎𝟐𝟕𝟐𝟗𝒙𝟏𝟎−𝟑
__________________________________________________________________
Evalúe x(t) para t = 0.01, 0.02, 0.03, 0.04 y 0.05.
Solución b)
𝑡 = −0.005 ∗ 𝑙𝑛(𝑥( 𝑡))− 𝑥( 𝑡) + 6.555602729𝑥10−3
t 𝒙(t)
0.01 𝟎. 𝟎𝟏𝟔𝟗𝟒𝟒𝟔𝟐𝟓𝟓
0.02 𝟗. 𝟕𝟐𝟐𝟐𝟕𝟖𝟖𝒙𝟏𝟎−𝟑
0.03 𝟒. 𝟎𝟕𝟐𝟕𝟔𝟔𝟓𝒙𝟏𝟎−𝟑
0.04 𝟏. 𝟎𝟏𝟓𝟖𝟑𝟑𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟑
0.05 𝟏. 𝟔𝟐𝟎𝟒𝟒𝟑𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟒
Tiempo necesario para que la concentración se reduzca a la mitad de su valor
inicial, x(t)=0.0125.
𝑡 = −0.005∗ 𝑙𝑛(0.0125) − 0.0125+ 6.555602729𝑥10−3
𝒕 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟓𝟗𝟔𝟓𝟕𝟑𝟓𝟗