1. Community College de Santiago
Universidad Central de Chile
GUIA DE ALGEBRA INDUCCION
Ejercicios
1_Demostrar:
( ) ( ) 2
12..........7531: nnnP =−+++++
Solución.
i) Se verifica para 1=n
( ) ( ) 2
1112:1 =−⋅P
( ) 112 =−
11 =
Es verdadero
ii) Hipótesis:
Suponemos verdadero para kn = , con Ν∈k
( ) ( ) 2
12..........7531: kkkP =−+++++
iii) Por demostrar que es verdadero para 1+= kn , con Ν∈k
Reemplazando:
( ) ( )( ) ( )2
1112..........7531:1 +=−+++++++ kkkP
Podemos escribir la serie de otra manera dejando explicito el termino anterior a 1+= kn

2. Community College de Santiago Inducción
Universidad Central de Chile
2
( ) ( ) ( )( ) ( )2
111212..........7531:1 +=−++−++++++ kkkkP (*)
Como por hipótesis ( ) 2
12..........7531 kk =−+++++
Podemos reemplazar en (*)
( )( ) ( )22
1112 +=−++ kkk
Desarrollando
( ) ( )22
1122 +=−++ kkk
( )22
112 +=++ kkk
Como la primera parte es un cuadrado de binomio, nos queda
( ) ( )22
11 +=+ kk
Queda en demostración.

3. Community College de Santiago Inducción
Universidad Central de Chile
3
2_Demostrar:
( ) ( ) ( )
16
5145
5..........54535251:
1
432
+
⋅−+
=⋅++⋅+⋅+⋅+⋅
n
n n
nnP
Solución.
i) Se verifica para 1=n
( ) ( ) ( )
16
51145
51:1
11+
⋅−⋅+
=⋅P
( )
16
5145
5
2
⋅−+
=
( )
16
2535
5
⋅+
=
16
80
5 =
55 =
Es verdadero
ii) Hipótesis:
Suponemos verdadero para kn = , con Ν∈k
( ) ( ) ( )
16
5145
5..........54535251:
1
432
+
⋅−+
=⋅++⋅+⋅+⋅+⋅
k
k k
kkP
iii) Por demostrar que es verdadero para 1+= kn , con Ν∈k
Reemplazando:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
16
51145
51..........54535251:1
11
1432
++
+ ⋅−++
=⋅+++⋅+⋅+⋅+⋅+
k
k k
kkP

4. Community College de Santiago Inducción
Universidad Central de Chile
4
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
16
51145
51..........54535251:1
2
1432
+
+ ⋅−++
=⋅+++⋅+⋅+⋅+⋅+
k
k k
kkP (*)
Podemos escribir la serie de otra manera dejando explicito el termino anterior a 1+= kn
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
16
51145
515..........54535251:1
2
1432
+
+ ⋅−++
=⋅++⋅++⋅+⋅+⋅+⋅+
k
kk k
kkkP
Como
( ) ( )
16
5145
5..........54535251
1
432
+
⋅−+
=⋅++⋅+⋅+⋅+⋅
k
k k
k por nuestra
hipótesis es verdadero.
Podemos reemplazar en (*)
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
16
51145
51
16
5145 2
1
1 +
+
+
⋅−++
=⋅++
⋅−+ k
k
k
k
k
k
Multiplicando
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
16/
16
5345
16
51165145 211
⋅
⋅++
=
⋅+⋅+⋅−+ +++ kkk
kkk
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )211
534551165145 +++
⋅++=⋅+⋅+⋅−+ kkk
kkk
( )
( ) ( ) ( )21
5345152055 ++
⋅++=+⋅+ kk
kk
Factorizando por 5 uno de los términos en el primer miembro de la ecuación
( )
( ) ( ) ( )21
534534555 ++
⋅++=+⋅⋅+ kk
kk
( )
( ) ( ) ( )22
53453455 ++
⋅++=+⋅+ kk
kk
( ) ( )
( ) ( )22
53455345 ++
⋅++=⋅++ kk
kk
Queda en demostración.

5. Community College de Santiago Inducción
Universidad Central de Chile
5
3_Demostrar que la suma de los n primeros números naturales es igual a
( )
2
1+
⋅
n
n
Solución.
( ) ( )
2
1
..........4321:
+
⋅=+++++
n
nnnP
i) Se verifica para 1=n
( ) ( )
2
11
11:1
+
⋅=P
2
2
11 ⋅=
11 =
Es verdadero
ii) Hipótesis:
Suponemos verdadero para kn = , con Ν∈k
( ) ( )
2
1
..........4321:
+
⋅=+++++
k
kkkP
iii) Por demostrar que es verdadero para 1+= kn , con Ν∈k
Reemplazando:
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
11
11..........4321:1
++
⋅+=+++++++
k
kkkP

6. Community College de Santiago Inducción
Universidad Central de Chile
6
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
11..........4321:1
+
⋅+=+++++++
k
kkkP (*)
Podemos escribir la serie de otra manera dejando explicito el termino anterior a 1+= kn
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
11..........4321:1
+
⋅+=++++++++
k
kkkkP
Como por hipótesis
( )
2
1
..........4321
+
⋅=+++++
k
kk
Podemos reemplazar en (*)
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
11
2
1 +
⋅+=++
+
⋅
k
kk
k
k
Desarrollando
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
1
2
121 +
⋅+=
+++
⋅
k
k
kk
k
Multiplicando por 2 toda la ecuación.
( ) ( ) ( ) ( ) 2/
2
2
1
2
121
⋅
+
⋅+=
+++
⋅
k
k
kk
k
( ) ( ) ( ) ( )21121 +⋅+=+++⋅ kkkkk
( ) ( )21222
+⋅+=+++ kkkkk
( ) ( )21232
+⋅+=++ kkkk
( ) ( ) ( ) ( )2121 +⋅+=+⋅+ kkkk
Queda en demostración.

7. Community College de Santiago Inducción
Universidad Central de Chile
7
4_Demostrar:
( ) ( ) ( )( )
6
721
2..........534231:
++⋅
=+⋅+⋅+⋅+⋅
nnn
nnnP
Solución.
i) Se verifica para 1=n
( ) ( )( )
6
712111
31:1
+⋅+⋅
=⋅P
( )( )
6
7221
3
+⋅
=
( )( )
6
92
3 =
6
18
3 =
33 =
Es verdadero
ii) Hipótesis:
Suponemos verdadero para kn = , con Ν∈k
( ) ( ) ( )( )
6
721
2..........534231:
++⋅
=+⋅+⋅+⋅+⋅
kkk
kkkP
iii) Por demostrar que es verdadero para 1+= kn , con Ν∈k
Reemplazando:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )
6
712111
211..........534231:1
++++⋅+
=++⋅++⋅+⋅+⋅+
kkk
kkkP

8. Community College de Santiago Inducción
Universidad Central de Chile
8
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
6
9221
31..........534231:1
++⋅+
=+⋅++⋅+⋅+⋅+
kkk
kkkP (*)
Podemos escribir la serie de otra manera dejando explicito el termino anterior a 1+= kn
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
6
9221
312..........534231:1
++⋅+
=+⋅+++⋅+⋅+⋅+⋅+
kkk
kkkkkP
Como por hipótesis ( ) ( )( )
6
721
2..........534231
++⋅
=+⋅+⋅+⋅+⋅
kkk
kk
Podemos reemplazar en (*)
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
6
9221
31
6
721 ++⋅+
=+⋅++
++⋅ kkk
kk
kkk
Multiplicando.
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
6
9221
6
316721 ++⋅+
=
+⋅+⋅+++⋅ kkkkkkkk
Multiplicando por 6 toda la ecuación.
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 6/
6
9221
6
316721
⋅
++⋅+
=
+⋅+⋅+++⋅ kkkkkkkk
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )9221316721 ++⋅+=+⋅+⋅+++⋅ kkkkkkkk
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )92211861721 2
++⋅+=+⋅++++ kkkkkkkk
( )[ ] ( ) ( )( )9221186721 2
++⋅+=++++ kkkkkkk
( )[ ] ( ) ( )( )9221181321 2
++⋅+=+++ kkkkkk
( ) ( )( ) ( ) ( )( )92219221 ++⋅+=++⋅+ kkkkkk
Queda en demostración.

9. Community College de Santiago Inducción
Universidad Central de Chile
9
5_Determine si la suma de tres números enteros consecutivos es siempre
divisible por 6.
Solución.
( ) ( ) ( ) qnnnnP 621: =++++ con Ν∈q
i) Se verifica para 1=n
( ) ( ) ( ) qP 621111:1 =++++
( ) ( ) ( ) qP 6321:1 =++
( ) qP 66:1 =
Es verdadero
ii) Hipótesis:
Suponemos verdadero para kn = , con Ν∈k
( ) ( ) ( )21: ++++ kkkkP es divisible por 6
( ) ( ) ( ) qkkkkP 621: =++++ con Ν∈q
iii) Por demostrar que es verdadero para 1+= kn , con Ν∈k
Reemplazando:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) qkkkkP 621111:1 =++++++++
( ) ( ) ( ) ( ) qkkkkP 6321:1 =++++++
Podemos escribir la serie de otra manera para utilizar la hipótesis
( ) ( ) qkkk 6321 =+++++

10. Community College de Santiago Inducción
Universidad Central de Chile
10
( ) ( ) qkkk 6321 =+++++ (*)
Como por hipótesis ( ) ( ) qkkk 621 =++++
Podemos reemplazar en (*)
qq 636 =+
Despejando q
6
36 +
=
q
q (*)
2
1
+= qq
Entonces
Ν∉q No es divisible por 6

11. Community College de Santiago Inducción
Universidad Central de Chile
11
6_Determine todos los numeros naturales para que
( ) n
nnP 2......4321: >⋅⋅⋅⋅⋅ sea verdadero
Solución.
i) Para 3,2,1=n no se comprueba
Para 4=n
( ) 4
24321: >⋅⋅⋅nP
1624 > Es verdadero
ii) Hipótesis:
Suponemos verdadero para kn = , con Ν∈k
( ) k
kkP 2......4321: >⋅⋅⋅⋅⋅ sea verdadero con Ν∈k y 4≥k
iii) Por demostrar que es verdadero para 1+= kn , Ν∈k y 4≥k
Reemplazando:
( ) ( ) ( )1
21......4321:1 +
>+⋅⋅⋅⋅⋅+ k
kkP sea verdadero con Ν∈k y 4≥k
Podemos escribir la serie de otra manera dejando explicito el termino anterior a 1+= kn
( ) ( ) ( )1
21......4321:1 +
>+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ k
kkkP
Como por hipótesis
k
k 2......4321 >⋅⋅⋅⋅⋅
Podemos reemplazar en (*)
( ) ( )1
212 +
>+⋅ kk
k
( ) 21 >+k

12. Community College de Santiago Inducción
Universidad Central de Chile
12
1>k
Entonces es valido Ν∈k y 4≥k

13. Community College de Santiago Inducción
Universidad Central de Chile
13
Ejercicios propuestos:
Demostrar
1_ ( ) ( )( )
6
21
..........4321: 22222 ++⋅
=+++++
nnn
nnP
2_ ( ) ( )( )( ) ( ) ( )12...53121.........321: −⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅+++ nnnnnnP n
3_ ( ) ( )( ) ( )
( )
( )22
2
1
11..........
9
11
4
11: 2
+
+
=





+
−⋅−−
n
n
n
nP
4_Demostrar que 122
−n
es divisible por 3
5_Demostrar que ( )142
−⋅ nn es divisible por 60
6_Demostrar que nn 53
+ es divisible por 6