Este documento presenta los pasos para resolver una actividad sobre transformaciones lineales. Calcula el núcleo, los autovalores y autovectores de la transformación lineal dada por la matriz A. Determina que la matriz no es diagonalizable y encuentra la inversa de la transformación.

1. Respuestas a la actividad 5D
Matriz elegida: 30
a) Vector genérico TX:
b) Núcleo de la transformación:






=
4
2
1
3
A
AXX
RRT nn

→:






+
+
=

















y
y
x
x
y
x
y
x
4
2
1
3
4
2
1
3

}0:{ 2
=∈= AXRXNulT
AXXTX =)(
0
0
4
2
1
3
0
0
4
2
1
3
=
=
+
+



→





=











=
y
y
x
x
y
x
NulA
1

2. c) Autovalores de la TL:
Sea AX=kX o det (A-kl)=0













=
0
0
NucleodeTL
ky
kx
yx
yx
y
x
k
y
x
=
+
+
=





=











41
23
4
2
1
3
2

3. K puede valer 5
0)4(
02)3(
=−+
=+−
kyx
ykx
12212211 **det AAAAA −=
( )( ) 1*243 −−− kk
( ) ( ) 24312 2
−+−+−+ kkk
1072
+−= kk
3

4. ,
K puede valer 2
d-e) Base de autovectores:
4

5. 5

6. Si k=2
(A-5l)X=0


















−

















−





2
2
1
1
2
0
0
2
4
2
1
3
1
0
0
1
2
4
2
1
3
x
x
6

7. Autovector asociado:
22
21 2
XX
XX
=
−=





−
=
1
2
y
7

8. 8

9. Si k=5
(A-5l)X






−
−












−

















−





1
2
1
2
5
0
0
5
4
2
1
3
1
0
0
1
5
4
2
1
3
X
X
9

10. Autovector asociado:
21
21
xx
xx
=
=






=
1
1
y
10

11. 11

12. f) La matriz no es diagonizable, no
se puede aplicar ,
no tiene 3 vectores propios LI
1−
= PDPA
12

13. 13

14. h) Transformación inversa:
Determinante de A= (3*4)-(1*2)=10
1- Por el método de cofactores:
BAX
x
x
X
B
A
BAX
1
2
1
0
0
4
2
1
3
−
=






=






=






=
=
14

15. 15

16. Por la matriz identidad:
16

17. es invertible.






=










 −
−
= −
0
0
0
0
3.0
2.0
1.0
4.01
BAX
0
0
2
1
=
=
x
x
17