Geomat 1

Objetivos
Al concluir este tutorial:
• Reconocerás los términos de una pro-
gresión aritmética.
• Reconocerás los términos de una pro-
gresión geométrica.
• Escribirás el término general de una
progresión aritmética.
• Escribirás el término general de una
progresión geométrica.
• Calcularás la suma de los n – primeros
términos de progresiones aritméticas
y geométricas.
• Resolverás problemas aplicando pro-
gresiones aritméticas y geométricas.
Requisitos
• Sucesiones
Procedimiento constructivo
• Utilizar la hoja de cálculo para grafi-
car valores numéricos de fórmulas.
• Realizar sumas en la hoja de cálculo.
Descripción:
Resulta necesario y determinante que nuestros estudian-
tes utilicen Lenguaje Matemático, asi tambien, que com-
prendan lo que implican las palabras secuencia, sucesión,
progresión, patrón, modelo matemático y serie (Entre
otras palabras). Esta labor no es tarea unicamente del es-
tudiante, tambien el docente tiene que estar en continuo
desarrollo y formación. Es por ello, se propone el presente
material donde se brinda la orientación y guia para traba-
jar una clase de matemática con software educativo Geo-
Gebra.
Aplicar software educativo en el aula facilita la compren-
sión de los estudiantes, por la capacidad de simular una y
otra vez situaciones, además que permite la construcción
de secuencias y ayuda a la generalización y posterior in-
ducción de formulas matemáticas resultantes del analisis
de secuencias.
Aparte de guiar en la construcción de herramientas de
aprendizaje con GeoGebra, también se explica la temática
fortaleciendo de este modo el dominio matemático y po-
niendo este en practica al momento de analizar los grafi-
cos mostrados en el software.
CONTENIDO 1 Gerencia de Educación en Ciencia Tecnología e Innovación
Universidad Politécnica de El Salvador
Material de Autoformación para la enseñanza de la Matemática con GeoGebra
para Educación Media.

Unidad 1 Progresiones Aritméticas y Geométricas
2
Tema 1.1 Progresiones Aritméticas
1. Operando con la
Hója de Cálculo
• Crea el archivo hoja.ggb para que desarrolles el tutorial y
recuerda salvar tu trabajo cada vez que pases a otra sec-
ción.
• En el menú Apariencias selecciona Hoja de Cálculo y Grá-
ficos.
• Escribe el número 1 en la celda A1 y pulsa ENTER.
Estirador para arrastrar y copiar el
contenido de la celda a las celdas ubi-
cadas en la misma columna
La Hoja de Cálculo es una
tabla con filas numeradas de
uno en uno y por columnas,
identificadas por las letras
mayúsculas del alfabeto.
La tabla está formada por
celdas, direcciones para
almacenar datos numéricos y
simbólicos.
La dirección de una celda viene
dada por columna – fila:
Lista de números generados
por la fórmula.
• Crearás la fórmula “sucesor del número” sumándole uno
al número anterior.
• Escribe previamente en A2 el símbolo “=”, utilizado para
crear una fórmula.
• Clica A1 y suma 1:
Después de escribir “=” haz clic en la
celda A1.
• Presiona ENTER y estira la fórmula hasta la posición A6:
Arrastra el estirador manteniendo
oprimido el clic izquierdo
Ingresa en B1 la fórmula “el doble del número almacenado
en A1 disminuido en uno”:
Después de pulsar ENTER arrastra el contenido de B1 hasta
B6.
Habrás generado la secuencia finita de los seis primeros
impares positivos.

Instituto Salvadoreño de Geogebra para la Enseñanza de la Matemática
3
• Antes de proseguir vas a extender la Vista Gráfica para realizar una representación de los
puntos formados en la tabla.
• Coloca el cursor sobre el borde derecho de la hoja de cálculos, manteniendo pulsado el clic
llévalo hasta la columna C:
•
•
•
•
•
•
• Clica ahora sobre el rótulo Vista Gráfica:
•
•
• Tendrás exhibida la barra del menú de Herramientas:
• Para desplazarte por la Vista Gráfica, acercar o alejar objetos, debes clicar en los iconos de
las herramientas que aparecen a la izquierda.
• Con la herramienta Desplaza Vista Gráfica, acondiciona los ejes de modo a acercarlos con
la tabla.
• Haz clic en Elige y Mueve para desactivar la acción de la herramienta anterior:
•
•
•
•
• Una vez seleccionada la herramienta anterior haz clic en cualquier punto de la Vista Gráfica
y se mostrará su correspondiente caja de diálogo:

4
IMPORTANTE
Siempre que necesites desactivar la acción de
una herramienta o cambiarle las propiedades
a un objeto debes clicar previamente en Elige y
Mueve.
• Abre la Vista Gráfica y en las propiedades del eje X rellena
cada ítem con , según se muestra a la izquierda. Para
aceptar la configuración del eje clica en Cierra:
• Haz lo mismo con las propiedades del eje Y.
• Con estas modificaciones puedes representar con
amplitud los puntos de la secuencia de los primeros seis
números.
• Vuelve a la Hoja de Cálculo y rellena las celdas C1 – C6 (de
B1 a B6) con 0.
• Selecciona las celdas B1 – C6.
• Con clic derecho sobre la zona azul se abre la caja de
diálogo de las celdas escogidas:
En Crea opta por Lista de Puntos:
Celdas C1 – C6
Selección de celdas B1 – C6

5
Tal como has visto en la antepuesta construcción, a cada número natural le asignaste un único
número de acuerdo a una regla de correspondencia, generando dos secuencias finitas de térmi-
nos; en el primer caso de números impares, y en el segundo, de números pares.
En general puedes especificar una secuencia numérica mediante una expresión algebraica
a(n) que depende del valor numérico de la variable n definida en el dominio
de los números naturales. Esta es una función a definida en N que toma
valores en R:
a: N→ R talque n → a(n)
Las funciones con dominio en los naturales y valores reales se
llaman sucesiones reales, y el valor a(n) representado por an se
llama término general o término n – ésimo.
Trataremos ahora una clase especial de sucesiones.
Haz doble clic (izquierdo) en la celda B1 y cambia la fórmula a:
Aplícala hasta A6 y tendrás los primeros seis números pares:
Además de cambiar automáticamente la tabla, también lo hará la gráfica anterior:
Representación gráfica de los términos
de la sucesión sobre el eje X

6
2. Generando progre-
siones aritméticas
• Crea el archivo aritméticas.ggb para que desarrolles el
tutorial y recuerda salvar tu trabajo cada vez que pases
a otra sección.
• En el menú Apariencias selecciona Hoja de Cálculo y
Gráficos.
• Generemos los seis primeros términos de una sucesión
con primer término a1
= 5, segundo término:
a2
= a1
+ 0.5,
tercer término a3
= a2
+ 0.5 y así sucesivamente.
• En la celda A1 almacena 5 y en la celda A2 escribe la fór-
mula apropiada:
• Pulsa ENTER y arrastra la fórmula hasta la celda A6
• Rellena con ceros las celdas B1 – B6 Selecciona la tabla
formada por las celdas A1 – B6
• Abre la caja de dialogo de tabla y crea la lista de puntos:
Sucesión finita de los seis
primeros términos.
Representación gráfica de los términos
de la sucesión sobre el eje X.
Habrás observado que la diferencia d entre dos términos consecutivos an y an
– 1 es una cons-
tante:
d = an
- an
– 1
La ecuación de diferencia (finita) permite expresar por recurrencia el término general de la
sucesión:
an
= an
– 1 + d
En efecto:
a1 valor inicial de la secuencia
a2
= a1
+ d
a3
= a2
+ d
a4
= a3
+ d ……
an
= an
– 1 + d
Reemplaza el término antecesor en el término sucesor:
a2
= a1
+ d
a3
= a2
+ d = (a1
+ d) + d = a1
+ 2d
a4
= a3
+ d = (a1
+ 2d) + d = a1
+ 3d
Siguiendo la consigna puedes formar los términos a5
= a1
+ 4d, a6
= a1
+ 5d…
En general:
an
= a1
+ (n – 1)d

7
Progresión Aritmética
Una progresión aritmética (p.a.) de diferencia d ≠ 0 es una sucesión real talque a partir del pri-
mer término a1, el término an se obtiene según la ecuación:
an
= a1
+ (n – 1)d
• Si d > 0 la p.a. es monótona creciente, esto es an – 1 < an
• Si d < 0 la p.a. es monótona decreciente, esto es an – 1 > an
Si d = 1 tendrás la sucesión de los números naturales:
1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, … , n, n +1, …
El término n + 1 se llama sucesor de n.
Ejemplo 1 En una p.a. conoces a1
= 4 y a6
= 8. Encuentra los términos
intermedios.
Solución
Sustituyendo los datos en la ecuación an
= a1
+(n – 1) d:
a6
= a1
+(6 – 1) d
8 = 4 + 5d
d = 4/5
Sabiendo el valor de la diferencia procedes a determinar los
términos intermedios:
a2
= 4 + 4/5 = 4.8
a3
= 4 +2(4/5) = 5.6
a4
= 4 + 3(4/5) = 6.4
a5
= 4 + 4(4/5) = 7.2
a n
= a 1
+(n – 1) d
3. Sumando los
términos de una
progresión aritmética
• Crea el archivo sumatoria1.ggb para que desarrolles el
a otra sección.
• En el menú Apariencias selecciona Hoja de Cálculo y
Gráficos.
• Generemos los 10 primeros términos de la p.a. de
diferencia d = 0.3 y primer término a1
= -1.2
• En la celda A1 almacena a1
y en la celda A2 escribe la
fórmula apropiada:
• Pulsa ENTER y arrastra la fórmula hasta A10
Sucesión finita de los 10
primeros términos.

8
• Crea la lista de puntos, rellenando previamente las celdas
B1 – B10 con 0 :
• Selecciona las celdas A1 – A10 y encuentra su suma con
la herramienta:
• Obtendrás la suma de los contenidos de las celdas.
• En la Hoja de Cálculo clica en el botón para desplegar
la barra de estilo:
• Colorea la celda que contiene la suma de los términos.
• Generalos25primerostérminos deunap.a.dediferencia
d = 0.8 y a5
= 4.3
• Encuentra la suma los términos.
Remarca la celda resultante en
color gris.
Representación gráfica de los
términos de la progresión sobre el eje X
¿Has encontrado la suma de los 25 primeros términos de la p.a. propuesta? ¿Podrías encontrar la
suma de los 100 primeros términos sin utilizar la hoja de cálculo? Desde luego que sí, sin embargo esta
tediosa operación te resulta fácil si cuentas con una fórmula para hacerlo.
Adoptemos el símbolo Sn
para representar la suma de los n – primeros términos de una p.a.:
Sn
= a1
+ a2
+… + an
Aplica esta notación a la p.a. an
= a1
+ (n – 1)d:
Sn
= a1
+ (a1
+ d) + (a1
+ 2d) +…+ (a1
+(n – 1)d)
Esta suma permanece invariante la inicias en el último término an y sumas los siguientes términos en
forma descendente restando la diferencia (n – 1) veces hasta llegar al primer término a1:
Sn
= an
+ (an
– d) + (an
– 2d) +…+ (an
– (n – 1)d)
Si sumas los términos correspondientes de ambas representaciones eliminas la diferencia:
2Sn
= (an
+ a1
) + (an + a1
) + (an
+ a1
) +…+ (an
+ a1
)
Despejando Sn obtendrás:
n - veces

9
Ejemplo 2
Calcula la suma los seis primeros términos de la p.a. del
ejemplo 1.
Solución
Sustituyendo en la fórmula a1
= 4, a6
= 8 y n = 6:
S6
= 36
Laboratorio 1.1 Progresiones Aritméticas
Explorando conceptos
1. Si d = 0 y a1
= k:
a. Encuentra el término an
b. Calcula la suma de los n primeros tér-
minos.
2. Sean an
y am
los términos de una p.a. tal que
n < m:
a. Cuántos términos intermedios tendrás
entre an y am
b. Encuentra la diferencia d de la p.a.
3. Considera la fórmula de la suma de los n
primeros términos de una p.a.
a. ¿Cómo calculas Sn si únicamente cono-
ces a1 y d?
b. ¿Cuánto es la diferencia de Sn – Sn – 1 ¿
4. Sean a y b dos p.a. tales que a1 = b1 y la di-
ferencia d de b es el doble de la de a ¿Cuál la
relación entre las sumas de los n primeros
términos de ambas progresiones?
5. Sean a y b dos p.a. tales que a1 = b1 y la di-
ferencia d de b es opuesta a la de a ¿Cuál es
la relación de las sumas de los n primeros
Practicando con ejercicios propuestos
1. De las siguientes sucesiones selecciona las
que sean progresiones aritméticas. Si es el
caso, encuentra an , indicando si se trata de
una p.a. creciente o decreciente:
a. 2, 4, 8 …
b. 7, 9, 11…
c. 2, - 2, 2….
d. 10, 20, 40 …
e. ½, 1, 1/3 …
f. 10, 2, - 6…
g. 1, 0.75, 0.50…
2. Dados los siguientes términos generales
de varias sucesiones, selecciona los que co-
rrespondan a progresiones aritméticas. Si
es caso genera los 6 primeros términos y
encuentra su suma.
a. an
= 2n
b. bn
= 4n – 1
c. cn
= 3n
d. dn
=5 – 3n

10
3. Calcula los términos medios de la p.a. con
términos a4
= 3 y a10
= 21
4. Averigua si 123 es término de la p.a. con
a1
= 5 y d = 3. Si lo fuera, ¿qué posición ocu-
pa?
5. La suma de los 10 primeros términos de
una p.a. es 326, si d = 0.75, encuentra a1
y el
término general.
6. Calcula la suma de:
a. Los mil primeros números pares.
b. Los mil primeros números impares.
7. Un deportista se puso en forma nadando
100m libres el primer día y durante los si-
guientes 29 días, 10m libres más que el día
anterior.
a. Encuentra cuántos metros nadó el día
15
b. Cuántos días han de pasar para que
haga el doble de metros de los que
nadó el primer día.
c. Al finalizar su entrenamiento, cuántas
metros habrá nadado.
Resolución de problemas
En Garita Palmera se han plantado 25 filas
de cocoteros.
En la primera fila hay plantados 20 coco-
teros, agregándose 5 a cada fila sucesiva.
a. Cuántos cocoteros hay plantados
en la fila 12
b. Cuántos cocoteros hay plantados
en total.
c. Cuántos cocoteros están plantados
entre la fila 10 y la fila 5

11
Tema 1.2 Progresiones Geométricas
1. Generando Progre-
siones Geométricas
• Crea el archivo geométricas.ggb para que desarrolles el
a otra sección.
ficos.
• Haz clic aquí:
•
• Tendrás desplegado el menú de herramientas:
• Selecciona la herramienta Deslizador:
• Pulsa en el botón y aparecerá la caja de diálogo :
• Aplica los cambios y en Vista Gráfica tendrás:
• Ingresa r en la celda C1 :
• En la celda A1 almacena el valor del primer término (1) y
en la celda A2 escribe la fórmula “= r*A1” :
El Deslizador se crea
especificando en la caja de
diálogo sus características:
• Número o ángulo en gra-
dos.
• Nombre de la variable
• Incremento de variación.
• Intervalo de definición.
• Para símbolos especiales
está la pestaña indicada al
final de la barra de Nombre
• Al realizar tu configuración
clica en Aplica
El deslizador, por defecto tiene
asignado el valor de 1, puedes
cambiar su valor arrastrando
el ratón sobre el punto que
lo identifica. (Los valores
seleccionados pertenecen al
intervalo definido según el
incremento establecido).
Valor asignado por defecto
Valor actual de r

12
• Pulsa ENTER y arrastra la fórmula hasta A6 .
• En las celdas C1 – C6 almacena 0.
• Grafica la lista de puntos:
• Introduce en la celda C2 la razón de A2 entre A1.
• Arrastra la fórmula hasta C6
• Desliza r para valores diferentes de 1.
• ¿Qué observas entre C2 y D2 – D6?
• Comenta tus observaciones.
Valores iniciales de los seis
primeros términos.
Lista de puntos correspon-
diente a los términos de la su-
cesión, con r = 2.5.
¿Notaste que la razón r entre dos términos consecutivos de la sucesión an
y an
–1 permanece
constante?
r = an
: an
– 1
La razón te permite expresar por recurrencia el término general de la sucesión:
an
= r an
– 1
En efecto:
a1 valor de arranque dado
a2
= r a1
a3
= r a2
a4
= r a3
……
an
= r an
– 1
Reemplaza el término antecesor en el sucesor:
a2
= r a1
a3
= r a2
= r(r a1
) = r2
a1
a4
= r a3
= r(r2
a1
) = r3
a1
Según la consigna puedes seguir formando los términos a5
= r4
a1
, a6 = r5
a1
…
En general:
an
= rn – 1
a1

13
Progresión Geométrica
Una progresión geométrica (p.g.) de razón r ≠ 1 es una sucesión real talque a partir
del primer término a1, el término an se obtiene según la ecuación:
an
= rn – 1
a1
• Si r > 1, la p.g. es monótona creciente, esto es
an
– 1 < an
• Si 0 < r < 1, la p.g. es monótona decreciente, esto es an
– 1 > an
• Si r < 0, la p.g. es alternante, esto es an
– 1 an
< 0
Nota.
En las progresiones alternantes los términos consecutivos tienen
signos algebraicos opuestos, de ahí que el producto sea negativo.
1. Sumando los térmi-
nos de una Progresión
Geométrica
a otra sección.
ficos.
• Crea un deslizador r.
• Deposita r en B1.
• Almacena el valor 1 en la celda A1.
• Ingresa en A2 la fórmula:
• Arrastra la fórmula hasta A10
• Selecciona las celdas A1 – A10 y aplica la herramienta
Suma.
• Para ver el contenido formal de las celdas despliega la
Barra de Entrada:
• Desliza r para valores mayores de 1.
• Desliza r para valores entre 0 y 1.
• Desliza r para valores menores de 1.
• Presenta tus observaciones.
El Deslizador se crea
especificando en la caja de
diálogo sus características:
• Número o ángulo en gra-
dos.
• Nombre de la variable
• Incremento de variación.
• Intervalo de definición.
• Para símbolos especiales
está la pestaña indicada al
final de la barra de Nombre
• Al realizar tu configuración
clica en Aplica
El deslizador, por defecto tiene
asignado el valor de 1, puedes
cambiar su valor arrastrando
el ratón sobre el punto que
lo identifica. (Los valores
seleccionados pertenecen al
intervalo definido según el
incremento establecido).
Clica aquí

14
Con referencia a lo que observaste puedes intuir que existe una forma más sencilla de sumar los
términos de la p.g. sin contar con la ayuda del ordenador. Tal como en la suma de los n – prime-
ros términos de una p.a. adoptemos el símbolo Sn
para representar su suma:
Sn
= a1
+ a2
+… + an
Aplica esta notación al término general an
= rn – 1
a1
de la p.g.:
Sn
= a1 + ra1
+ r2
a1
+ r2
a1
+…+ rn – 1
a1
Multiplica esta suma por la razón r:
rSn
= ra1
+ r2
a1
+ r3
a1
+ r4
a1
+…+ rn
a1
Si restas a los términos Sn
los correspondientes de rSn
habrás obtenido:
Sn
– rSn
= a1
– rn
a1
Sn
(1 – r) = a1
(1 – rn
)
Despejando Sn resulta:
Ejemplo 1
Dados los términos de una p.g. a1
= 2 y a5
= 108.
a. Encuentra los términos medios
b. Calcula la suma de todos los términos
Solución
Sustituyendo los datos en la ecuación an
= rn – 1
a1
a5
= r4
a1
108 = r4
2
r = 54 ¼
r ~ 2.71
Sabiendo el valor de la razón procedes a determinar los térmi-
nos medios:
a2
= 2.71 * 2 ~ 5.42
a3
= (2.71)2 * 2 ~ 14.69
a4
= (2.71)3 * 2 ~39.82
a n
= rn – 1 a 1

15
Conociendo a1
y r calcula el valor aproximado de la suma S6:
S6
~ 1351.28
1. Sumando los térmi-
nos de una progresión
geométrica con razón
-1 y 1
a otra sección.
ficos.
• Crea un deslizador r en el intervalo – 1 < r < 1
• Deposita r en B1
• Almacena el valor 2 en la celda A1
• Ingresa en A2 la fórmula:”=r*A1”
• Arrastra la fórmula hasta A60.
• Repite para diferentes valores de r.
• ¿Qué observas?
• ¿Ocurre esta tendencia cuando r > 1? Ensáyalo.
• ¿Y si r < 1?
• Vuelve a – 1 < r < 1 y arrastra la fórmula hasta A13.
• Suma los términos A1 – A10.
Suma de los primeros diez
términos.
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
Proceso:
Valor de r

16
• ¿A cuál número se acerca la suma sí sumas 1000 términos?
Tras sumar numerosos términos de una p.g. con razón - 1 < r < 1 observaste que la suma se
aproxima a un número fijo.
En efecto, si |r|<1, cuando n es muy grande, la potencia rn
es muy pequeña y Sn
se aproxima a:
Estas progresiones tienen la característica que el término general an
va acercándose a 0 cuando
n toma valores grandes.
Para decir que n se vuelve muy grande escribirás:
n → ∞, que se lee “ n tiende a infinito”
Con esta notación tendremos:
Convergencia de una progresión geométrica
Sea una p.g. tal que su razón r está entre – 1 y 1, es decir |r|<1, entonces
cuando n → ∞, se cumple:
En ambos casos se dice que an
y Sn
convergen respectivamente.
0 y
Si una progresión geométrica no converge se dice que es divergente.
En valor absoluto, una serie alternante con razón |r|<1 es convergente.

17
Ejemplo 2
Dada una p.g. de razón r = 0.1 y a4
= 3, calcula la suma de
todos los términos.
Solución
Aplicando la ecuación an
= rn – 1
a1
encuentra a1
a4
= r3 a1
3 = (0.1)3 a1
a1
= 3/0.13
a1
= 3000
Sabiendo el valor a1
procedes a calcular la suma de la p.g.
cuando n → ∞:
a n
=r
n-1 a 1
Laboratorio 1.2 Progresiones Geométricas
Explorando conceptos
1. Sean an y am los términos de una p.g. tal
que n < m:
a. ¿Cuántos términos intermedios habrá
entre an y am?
b. Encuentra la razón r de la p.g.
2. Considera el proceso Sn – rSn para formu-
lar la suma de los n primeros de una p.g.
a. ¿Cómo la formulas si procedes de la
manera rSn – Sn?
b. ¿Cómo la igualarías a la primera fór-
mula ¿
3. Sean am y ak dos términos de una p.a. ta-
les que m < k . Escribe una expresión para
encontrar la razón r.
4. Sean a y b dos p.a. tales que a1 = b1 y la
razón r de b es el doble de la de a ¿Cuál es
la relación de las sumas de los n primeros
Practicando con ejercicios propuestos
1. De las siguientes sucesiones selecciona las
que sean progresiones aritméticas. Si es el
caso, encuentra an , indicando si se trata de
una p.a. creciente o decreciente:
a. 1, 1/2, 1/3 …
b. 1, 3, 9…
c. - 5, 10, - 20….
d. 100, 200, 400 …
e. 1/2, 1/4, 1/8 …
f. 1, 0.1, 0.01…
g. 2, - 4, 8…

18
2. Dados los siguientes términos generales
de varias sucesiones, selecciona los que
correspondan a progresiones geométricas.
Si es caso genera los 6 primeros términos
y encuentra su suma.
a. an
= 2n
b. bn
= 4n
c. cn
= (- 2)3n
d. dn
= 2(– 3)n
3. Calcula los términos medios de la p.g. con
términos a5
= 3 y a8
= 211
4. Sea la sucesión de primer término a1
= 10.
a. Escribe los cinco siguientes términos,
sabiendo cada término es 20% menor
que el anterior.
b. Comprueba que es una p.a.
c. Encuentra el término general.
d. Calcula la suma de todos los términos
de la p.a.
5. El siguiente ejercicio está inspirado en
una leyenda hindú: se dice que el inventor
del ajedrez sería beneficiado por un rajá
con cualquier favor que pidiese. El humil-
de padre del “juego ciencia” pidió un gra-
no de trigo por el primer cuadro del table-
ro, y el doble de granos por cada cuadro
sucesivo. Si el tablero tiene 64 cuadros:
a. Encuentra el término general de la
progresión.
b. ¿Cuántos granos recibiría por el pri-
mer cuadro de la segunda fila?
c. ¿Cuántos granos recibiría en total?
d. Suponiendo que en promedio 250 000
granos de trigo pesan una tonelada.
¿Cuántas toneladas de cereal debía re-
cibir
Resolución de problemas
Un “rally” automovilístico que parte de Bel-
mopán recorrerá 3100 km en diversas eta-
pas el istmo centroamericano. El primer día
serán recorridos únicamente 275 km. Los
organizadores proponen que en cada etapa
se recorra 25% más que la etapa anterior.
a. Cuántos kilómetros se recorrerán
durante la tercera etapa.
b. Aproximadamente cuántas etapas
serán recorridas para llegar a Pana-
má.

Geomat 1

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (18)

Destacado

Destacado (14)

Similar a Geomat 1

Similar a Geomat 1 (20)

Geomat 1