rebeca

1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Tecnológico
Antonio José de Sucre
Extensión Barquisimeto
LONGITUD DE UNA CURVA
Rebeca Barroeta

2. LONGITUD DE UNA CURVA
En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una
curva o longitud de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo
largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar
esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para
curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener
soluciones cerradas para algunos casos.
La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva,
es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión
lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud
en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas
específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener
soluciones cerradas para algunos casos
Al considerar una curva definida por una función y su
respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud s del
arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:
En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones
dependientes de t como e , la longitud del arco desde el
punto hasta el punto se calcula mediante:

3. Si la función está definida por coordenadas polares donde las coordenadas
radiales y el ángulo polar están relacionados mediante , la longitud del
arco comprendido en el intervalo , toma la forma:
Si la curva es un polígono, es fácil determinar su longitud; simplemente
sumamos las longitudes de todos los segmentos de recta que forman el polígono.
(Para la distancia entre los extremos de cada segmento podemos usar la fórmula
conocida de distancia.) Vamos a definir la longitud de una curva general
aproximándola con un polígono y entonces tomando un límite cuando el número de
segmentos del polígono aumenta, Este proceso es bien conocido para el caso de la
circunferencia, en el que la circunferencia es el límite de las longitudes de los
polígonos inscritos
Supongamos ahora que una curva C ha sido definida por medio de la
ecuación
donde f es continua en Obtenemos una aproximación poligonal
a C dividiendo el intervalo
en subintervalos con los extremos y todos de la misma
longitud

4. entonces, el punto está en la curva C y el polígono
con vértices La longitud de L de C es aproximadamente igual a la
longitud de este polígono y la aproximación es mejor cuando crece
Por lo anterior, definimos la longitud, L, de la
curva C, cuya ecuación es , como igual al límite de la suma de
las longitudes de esos polígonos inscritos (si existe el límite):
Observará que el procedimiento para definir la longitud del arco se parece
mucho al empleamos al definir el área y el volumen. Dividimos la curva en un gran
número de partes pequeñas. Luego calculamos las longitudes aproximadas de las
partes pequeñas para después sumarlas. Por último sacamos el limite cuando
.
La definición de longitud de arco, expresada por la ecuación 1, no es muy
cómoda para fines de cómputo, pero podemos deducir una fórmula integral a fin de
calcular L en el caso en que tenga una derivada continua. Una función así, se
denomina función lisa o función suave, porque el cambio de origina una pequeña
alteración de .
Con , entonces

5. Al aplicar el teorema del valor medio a , en el intervalo , vemos
que hay un número, entre y tal que
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños
segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada
entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendo una
familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la
poligonal que pasa por dichos puntos. Cuantos más puntos escojamos en C, mejor
seria el valor obtenido como aproximación de la longitud de C.
Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave
y su gráfica es una curva suave.

6. Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se
puede calcular mediante el teorema de Pitágoras (dL)2
=(dx)2
+(dy)2
.
Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:
LONGITUD DE UNA LÍNEA RECTA
Determinar la es una tarea relativamente fácil, pero si tenemos que determinar
la longitud de una curva entonces necesitamos la ayuda de la integración.
Es conocida por nombres como integral de línea, integral curvilínea, integral
de caminos o integral de contorno.
Aquí el propósito de la integración es la evaluación de una función
determinada a lo largo de la curva de la función.

7. Ambos, campos escalares o campos vectoriales se pueden integrar de esta manera.
La integración completa produciría la suma del valor de cada campo en cada
punto que se encuentre sobre la curva de la función dada, lo cual es ponderado por el
valor de cualquier función.
Esta suele ser una función escalar.
Considere una función continua, sea y = f(x) tal que la función y su derivada
son continuas en un intervalo cerrado [p, q].
Para la estimación de la longitud del arco de dicha función, considere la
pequeña parte ds de la curva correspondiente.
Por el Teorema dePitágoras, obtenemos
ds2 = dy2 + dx2
Llevando dx2 al otro lado
ds2 / dx2 = 1 + dy2 / dx2
ds2 / dx2 = 1 + (dy / dx) 2

8. ds / dx =
ds = dx
Ahora tomando la antiderivada de la ecuación anterior, obtenemos
Puede existir el caso, cuando la curva es definida en su forma paramétrica, es decir, x
= x (t) y y = y (t).
La fórmula integral correspondiente para la solución de tales formas es la siguiente:
El tercer caso es cuando la ecuación de la función se describe en forma polar, esto es,
r = f ( ), en ese caso, la longitud del arco se puede encontrar por:

9. Existe otra manera de despejar las fórmulas correspondientes para el cálculo
de la longitud del arco. De acuerdo con esta, suponga que longitud del arco de la
funciónf(x) será determinado.
Para encontrar la longitud del arco (denotadocomo S) en medio de los puntos
b y a, una serie de triángulo rectángulo se construye de manera que la hipotenusa del
triángulo cubra el arco correspondiente cuya longitud será determinada. Para
simplificar, la base del triángulo se consideraΔx tal que existe una y correspondiente
para cada Δx.
Ahora según el teorema de Pitágoras, obtenemos
Longitud de la Hipotenusa =
La longitud total de todas las hipotenusas da el valor aproximado de S. Esto es

10. Ahora, cuando el radicando es multiplicado por , obtenemos
Por tanto, la S puede ser modificada
Mientras menor sea el valor de Δx, más precisa será la aproximación. Tenemos S,
cuando el límite de Δxse mueve hacia 0.Esto es,
Vamos a considerar un ejemplo en el que la ecuación de la curva se da como x = cos
(a), y = sin(a), donde 0 ≤ a ≤ 2π.
Diferenciando x e y, obtenemos
dx / da = - sin (a) y dy / da = cos (a)
Ahora, elevando al cuadrado y sumando ambos lados
(dx / da)2 + (dy / da)2 = sin2 (a) + cos2 (a) = 1
Por tanto, S = 1 da
S = 2π.