longitud de curvas

1. Javier S.
Diseñador de Obras Civiles.
Calculo II.

2. Determinar la longitud de una línea recta es una tarea
relativamente fácil, pero si tenemos que determinar la
longitud de una curva entonces necesitamos la ayuda de
la integración.
Es conocida por nombres como integral de línea, integral
curvilínea, integral de caminos o integral de contorno.
Aquí el propósito de la integración es la evaluación de
una función determinada a lo largo de la curva de la
función.
Ambos, campos escalares o campos vectoriales se
pueden integrar de esta manera.
La integración completa produciría la suma del valor de
cada campo en cada punto que se encuentre sobre la
curva de la función dada, lo cual es ponderado por el
valor de cualquier función.
Esta suele ser una función escalar.
Considere una función continua, sea y = f(x) tal que la
función y su derivada son continuas en un intervalo cerrado
[p, q].
Para la estimación de la longitud del arco de dicha función,
considere la pequeña parte ds de la curva correspondiente.

3. Por el Teorema de Pitágoras,
obtenemos
ds2 = dy2 + dx2
Llevando dx2 al otro lado
ds2 / dx2 = 1 + dy2 / dx2
ds2 / dx2 = 1 + (dy / dx) 2
ds / dx =
ds = dx
Ahora tomando la anti derivada de la
ecuación anterior, obtenemos:
Puede existir el caso, cuando la curva
es definida en su forma paramétrica,
es decir, x = x (t) y y = y (t).
La fórmula integral correspondiente
para la solución de tales formas es la
siguiente:
El tercer caso es cuando la ecuación de
la función se describe en forma polar,
esto es, r = f ( ), en ese caso, la longitud
del arco se puede encontrar por:
Existe otra manera de despejar las
fórmulas correspondientes para el
cálculo de la longitud del arco. De
acuerdo con esta, suponga que longitud
del arco de la función (x) será
determinado.

4. Para encontrar la longitud del arco (denotado como S) en
medio de los puntos b y a, una serie de triángulo rectángulo
se construye de manera que la hipotenusa del triángulo cubra
el arco correspondiente cuya longitud será determinada. Para
simplificar, la base del triángulo se considera Δx tal que existe
una y correspondiente para cada Δx.
Ahora según el teorema de Pitágoras, obtenemos:
Longitud de la Hipotenusa =
La longitud total de todas las hipotenusas da el valor aproximado
de S. Esto es,
Ahora, cuando el radicando es multiplicado por ,
obtenemos
Por tanto, la S puede ser modificada
Mientras menor sea el valor de Δx, más precisa
será la aproximación. Tenemos S, cuando el límite
de Δx se mueve hacia 0.

5. Vamos a considerar un ejemplo en el que la ecuación de la curva se da
como x = cos (a), y = sin(a), donde 0 ≤ a ≤ 2π.
Diferenciando x e y, obtenemos
dx / da = - sin (a) y dy / da = cos (a)
Ahora, elevando al cuadrado y sumando ambos lados
(dx / da)2 + (dy / da)2 = sin2 (a) + cos2 (a) = 1
Por tanto, S = 1 da
S = 2π.