Este documento presenta fórmulas y ejemplos para calcular la distancia entre puntos y encontrar la ecuación de una circunferencia. Explica cómo calcular la distancia entre dos puntos y cómo determinar la ecuación de una circunferencia dados su centro y radio o sus puntos extremos. También incluye ejercicios para que el lector aplique estas fórmulas.

1. Modulo 1
Prof. Guillermo A. Abarca Ávila

2. Distancia entre dos puntos
Formula general para sacar la distancia entre dos puntos

3. Ejemplo
• Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)

4. Ejercicios
• 1.- Calcular la distancia entre los puntos: A(2, 1) y B(-3, 2)
• 2.- Calcular el perimetro del triangulo formado por los puntos:
A(-3,6), B(6,5) y C(1,6).
• 3.- Determinar si el triangulo formado por los puntos A(0,0),
B(6,5) y C(1,6) es Isosceles, Escaleno o Equilatero.

5. • La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad,
es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad
o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se
simplifica al

6. Ejemplos
• Hallar la ecuación del circulo con centro en (-2,7) y radio 2
R=2
C= (h,k)
C= (-2,7)
Formula
(x-h)2 + (y-k)2 = r2
(x-(-2))2 + (y-7)2 = 22
(x+2)2 + (y-7)2 = 4

7. • Hallar la ecuación del circulo si uno de sus diámetros tiene
puntos extremos A (10,9) y B (4,-7)
A
B
Para encontrar el centro ocupamos la formula
punto medio y ocupamos los puntos dados A y B
Formula
Xm=X1 + X2 Ym= Y1 + Y2
2 2
(10+4 , 9+7)= (7,1) “centro”
2 2
Ahora encontremos el radio utilizando la formula distancia entre dos puntos
tomando el centro y un punto dado ya sea A o B
Formula
d = √ (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
r= √ (10-7)2 + (9-1)2
r= √ 32 + 82
r= √ 9 + 64 = √ 73
Sustituimos el centro y
el radio
(x-7)2 + ( y-1)2 = 73

8. Ejercicios
• Encontrar la ecuación de una circunferencia con centro en el
origen que pasa por el punto (5,3).
• Encontrar la ecuación de una circunferencia con centro en el
origen cuya longitud de diámetro es 4m.
• Encontrar la ecuación de una circunferencia con centro en el
origen que pasa por el punto (2,6).
• Encontrar la ecuación de una circunferencia con centro en el
origen cuya longitud de radio es de 6m.

9. Ejercicios
• Hallar la ecuación del circulo si es tangente al eje de y, y tiene
como centro en (-3,1)

10. Funciones circulares
• Las seis funciones circulares también llamadas funciones
trigonométricas son: seno, coseno, tangente, cotangente,
secante y cosecante. Denotadas respectivamente por: sen x,
cos x, tan x, cot x, sec x, y csc x.

11. • Encuéntrese el valor de cada uno de las seis funciones
trigonométricas, si el punto P(-3,-4) pertenece al
lado terminal del ángulo ilustrado a continuación.

12. • Solución.
• En la gráfica anterior, el triángulo rectángulo formado por la
perpendicular trazada desde P(-3, -4) al eje horizontal se llama
triángulo de referencia asociado al ángulo .
• Este tipo de triángulos se citarán a menudo cuando se trate de
hallar funciones trigonométricas de ángulos situados en
cualquier cuadrante. En general, el triángulo rectángulo
formado por la perpendicular de P ( x , y) al eje horizontal, el
eje horizontal y el radio a, se llama triángulo de referencia
asociado con el ángulo .

13. • En el triángulo , que es de referencia, la hipotenusa a es .
• Por tanto:
• Hay que hacer notar que el radio a, siempre se tomara como
positivo.