Este documento presenta varios conceptos clave relacionados con transformaciones lineales entre espacios vectoriales. Define una transformación lineal como una función entre espacios vectoriales que preserva las operaciones de suma y multiplicación por escalares. Explica conceptos como la imagen, el núcleo y el rango de una transformación lineal. Finalmente, discute cómo toda transformación lineal puede representarse mediante una matriz con respecto a bases dadas en los espacios vectoriales de entrada y salida.

1. Autor:
Gabriela Bello
CI.25056404

2. Sean V y W dos espacios vectoriales
posiblemente iguales.
Una transformación lineal o mapeo
lineal de V a W es una función
T : V → W tal que para todos los
vectores u y v de V y cualquier escalar
c:
a) T (u + v) = T (u) + T (v)
b) T (c u) = c T (u)
Una transformación lineal es una función
entre espacios vectoriales, es decir, el
objetivo es transformar un espacio
vectorial en otro.

3. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres
vectores y realizar un diagrama.
f : R3 M2
(x, y, z ) f (x, y, z) =
x+y-z x+3y+2z
2x+y-3z -3x+2y+3z
(1,0,1)
(-2,3,1)
(0,0,0)
f (1,3,2) =
f (3,5,1) =
f (0,0,0) =
V1
V2
V3
0 3
-1 0
0 9
-4 15
0 0
0 0
R3
(x, y, z )
M2
f (x, y, z ) =
f a b
c d

4. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres
vectores y realizar un diagrama.
f : P(2) R2
(a+bx+cx2 ) f (a+bx+cx2 ) = (a-b, 2c+a )
P(2)
(a+bx+cx2 )
R2
f (a+bx+cx2 ) = (y, z)
f
f (1-x) = (2,1)
f (3+x-2x2) = (2,-1)
f (0+0x+0x2) = (0,0)
(1-x)
(3+x-2x2)
(0+0x+0x2)
V1
V2
V3

5. Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres
vectores y realizar un diagrama.
f : R3 R2
(x, y, z ) f (x, y, z) = (2x+y+3z, -x+2y+4z)
R3 R2
f(x, y, z ) f (x, y, z ) = (a, b)
(1,3,2)
(3,5,1)
(0,0,0)
f (1,3,2) = (11, 13)
f (3,5,1) = (14, 11)
f (0,0,0) = (0,0)
V1
V2
V3

6. El Método de Gauss – Jordan o
también llamado eliminación
de Gauss – Jordan, es un
método por el cual pueden
resolverse sistemas de
ecuaciones lineales con n
números de variables,
encontrar matrices y matrices
inversas.

8. 0x+0y=1
0=10=1

10. El núcleo es un subespacio vectorial
perteneciente al espacio vectorial V, cuyo
vector correspondiente en el espacio vectorial
W es el vector cero.
.
.
.
.
.
. f
V W
v1
v5
v9
0wN
(f)
Sean:
V,W: Espacios Vectoriales
v1,v5,v9
0w
Vectores
N (f) = { v Є V | f (v) = 0w }

11. P(2)
(a+bx+cx2 )
R3
f (a+bx+cx2 ) = (a, b, c)
a = 0
a+ b+c = 0
b+c = 0
a = 0
b+c=0
b=-c
N f : { a+bx+cx2 / a=0 b= -c }
N f : { -cx+cx2/ c Є R }
N f : { c (-x+x2) / c Є R }
N f : { (-x+x2))}
1 0 0 0
2 1 1 0
0 1 1 0
Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba
la definición de núcleo.
f : R2 R3
(x, y) f (x, y) = (a, a+b+c, b+c)

12. Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈
L(V, W). La imagen de T se define como el conjunto de todos
los valores de la aplicación T:
im(T) := {ɯ ∈ W : ∃v ∈ V tal que ɯ = T(v)}.
1 Sea la matriz B determine el espacio nulo, la nulidad, el espacio
imagen, rango, espacio renglón y espacio columna de la matriz.

13. Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F
y sea T ∈ L(V, W). El rango de T se define como
la dimensión de la imagen de T:
r(T) = dim(im(T)).
Determine el rango y el espacio de los renglones de A.
1

14. Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y
sea T ∈ L(V, W). La nulidad de T se define como la
dimensión del núcleo de T:
nul(T) = dim(ker(T)).
Determine le rango y nulidad para las siguientes matrices
1

15. Si V y W tienen dimensión finita y uno tiene
elegidas bases en cada uno de los espacios,
entonces todo mapa lineal de V en W puede
representarse por una matriz. Recíprocamente,
toda matriz representa una transformación lineal.
Sea A una matriz de m x n . Entonces la transformación
matricial TA: R n R m definida por.
TA(x) = A x (para x en Rn)
es una transformación lineal.
Sea AT la matriz de transformación correspondiente a la
transformación lineal T. Entonces:
i. Im T = Im A = CAT
ii. P(T) = p(AT)
iii. Un T = NAT
iv. v(T) = v(AT

16. Sea T:Rn-Rm una transformación lineal. Suponga que C es
la matriz de transformación de T respecto a las bases
estándar Sn y Smen Rn y Rm, respectivamente. Sea A1 la
matriz de transición de B2 a base Sm en Rm. Si AT denota
la matriz de transformación de T respecto a las bases B1 y
B2, entonces.
AT = A2
-1 CA1
Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V =
n. sea T:V-W una transformación lineal y sea AT una
representación matricial de T respecto a las bases B1 en V y
B2 en W. Entonces:
i. p(T) =p(AT)
ii. V(A) = v(AT) iii. V(a) + p(T) = n

17. Se han visto mas detallado y con mas exactitud los teoremas y
propiedades que hilan todos los temas propuestos por este
trabajo y se ha llegado a la conclusión de que todos los temas
vistos con anterioridad son de suma importancia debido a que
están relacionados en cierta forma, en varios de estos se
necesita recurrir a las propiedades que se han visto en temas
anteriores.
Con esto podríamos decir que nos ha enseñado a tener un
amplio criterio de la utilidad de temas ya vistos en nuestra
carrera, ya que no podemos omitir las enseñanzas pasadas
porque estas nos forman las bases para comprender, analizar
y poner poner en practica los temas futuros.

18. http://esfm.egormaximenko.com/
https://es.slideshare.net/
https://www.matesfacil.com/
http://www.vitutor.com/
http://mate.dm.uba.ar/
http://profe-alexz.blogspot.com/

19. Gracias por
su
atención