gaaaa

1. ESFERA
PROFESOR: JUAN CARLOS TORRES

2. SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
Definición.- Se denomina superficie de revolución a la superficie que se genera por la rotación de
una línea plana (recta o curva) alrededor de una recta coplanar denominado eje de giro.
360°
A
B
C
D
E
L
360°
A
B
C
D
E
L

3. SUPERFICIE GENERADA POR UN SEGMENTO
El área de la superficie generada por un segmento que gira una vuelta alrededor de un eje coplanar y
no secante al segmento; es igual al producto de las longitudes de la circunferencia con centro en el
eje, tangente en el punto medio del segmento y la proyección ortogonal del segmento sobre el eje.
360°
A
B
P
O
C
L
h
a
M
Q
( )
S.G. p
S = 2 a h

360°
A
B
P
O
C
L
h
a
M
Q

4. SUPERFICIE GENERADA POR UNA POLIGONAL REGULAR
TEOREMA DE ARQUÍMEDES.-
El área de la superficie generada por la rotación de una poligonal regular al girar 360° alrededor de un eje coplanar
que contiene al centro y no secante a la poligonal regular, es igual al producto de la longitudes de la circunferencia
de radio congruente al apotema de la poligonal regular y la proyección ortogonal de la poligonal sobre el eje.
p
a
A
B
O
Q
C
D
P
h
L
360°
p
a
A
B
O
Q
C
D
P
h
L
360°
( )
S.G. p
S = 2 a h


5. SUPERFICIE ESFÉRICA
Es aquella superficie generada por una semicircunferencia
al girar 360° en tono a su diámetro.
Circunferencia menor
Plano secante
360°
R
0
2R
Eje de giro
R
R
0
Plano
tangente
Circunferencia
Máxima
H
𝐴(𝑆𝐸) = 4𝜋𝑅2
ASE: Área de la Superficie Esférica.
Nota: Si el plano H es tangente a la superficie esférica
𝑂𝑇 ⊥ 𝐻

6. HUSO ESFÉRICO
Es la porción de superficie esférica comprendida entre dos
semicircunferencias máximas del mismo diámetro.
R
0
Eje de giro
0
R
Semicircunferencia
generadora 𝐴𝐻𝐸 =
𝜋𝑅2
𝛼°
90°
A HE: Área del Huso Esférico.
 : Medida del ángulo del huso o ángulo de giro

7. ZONA ESFÉRICA
Es la porción de superficie esférica comprendida entre dos circunferencias
determinadas por dos planos paralelos y secantes a la superficie esférica.
360°
R
0
Eje de giro
0
R
Arco
generador
h h
𝐴(𝑍𝐸) = 2𝜋𝑅ℎ
AZE : Área de la Zona Esférica

8. CASQUETE ESFÉRICO
Es la porción de superficie esférica que se determina
por un plano secante a ella.
360°
R
0
Eje de giro
R
B
A
h
Arco
generador
𝐴𝐶𝐸 = 2𝜋𝑅ℎ
𝐴𝐶𝐸 = 𝜋(𝐴𝐵)²
A CE : Área del Casquete Esférico

9. SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
Definición.- Se denomina sólido de revolución al sólido generado al girar una vuelta una
región plana alrededor de un eje coplanar y no secante a la región plana.
Eje de
giro
Sólido de
revolución
Región
plana
L
360°
Eje de
giro
Sólido de
revolución
Región
plana
L
360°

10. SÓLIDO GENERADO POR UNA REGIÓN TRIANGULAR
El volumen del sólido generado por una región triangular al girar una vuelta alrededor de un eje
coplanar que contiene sólo a un vértice; es igual, a un tercio del producto del área de la superficie
generada por el lado opuesto a dicho vértice y la longitud de la altura correspondiente a este lado.
H
A
B
C
L
360°
p
a
H
A
B
C
L
360°
p
a
( )
S.G. p
AC
1
V = S a
3

11. SÓLIDO GENERADO POR UNA REGIÓN TRIANGULAR
TEOREMA DE ARQUÍMEDES.-
El volumen del sólido generado por un sector poligonal regular al girar una vuelta alrededor de un eje coplanar no secante
a la poligonal regular y que contiene al centro, es igual a los dos tercios del producto del área del círculo cuyo radio es
congruente al apotema de la poligonal regular y la longitud de la proyección ortogonal de la poligonal sobre el eje.
A
B
O
Q
C
D
P
h
L
p
a
360°
( )
2
S.G. p
2
V = a h
3

A
B
O
Q
C
D
P
h
L
p
a
360°

12. ESFERA
Es aquel sólido generado por un semicírculo al girar 360°,
en torno a su diámetro.
Circunferencia menor
Plano secante
360°
R
0
Eje de giro
R
Plano
tangente
Circunferencia
Máxima
H
R
0
Semicirculo
generadora
r
𝑉 =
4
3
𝜋𝑅3

13. CUÑA ESFÉRICA
Es aquella porción de esfera que está limitada por dos semicírculos esféricos
máximos que tienen el diámetro en común y por el huso esférico correspondiente.
R
0
Eje de giro
0
Semicirculo
generadora
R
R
𝑉𝐶𝐸 =
𝜋𝑅3
270°
𝛼°
VCE : Volumen de la cuña esférica.
𝛼 : Medida del ángulo de la cuña o ángulo de giro.

14. SECTOR ESFÉRICO
Es aquel sólido generado por un sector circular al girar 360°
en torno a un diámetro del círculo correspondiente, estando
el sector en un mismo semiplano respecto del eje de giro.
360°
R
0
Eje de giro
h R D
B
A
Sector Circular
generador
𝑉𝑆𝐸 =
2
3
𝜋𝑅2ℎ
VSE : Volumen del sector esférico
h : Longitud de la proyección ortogonal
del arco AB sobre el eje de giro.

15. ANILLO ESFÉRICO
Es el sólido generado por un segmento circular al girar 360°
entorno a un diámetro del círculo correspondiente, estando el
segmento circular en un mismo semiplano respecto del eje de giro.
360°
0
Eje de giro
h
B
A
0
Segmento Circular
generador
l
𝑉𝐴𝐵 =
1
6
𝜋𝓁2
ℎ
V AB : Volumen del anillo esférico.
h : Longitud de la proyección ortogonal
del arco AB sobre el eje de giro.
ℓ: Longitud de la cuerda AB.

16. SEGMENTO ESFÉRICO DE DOS BASES
Es la porción de esfera comprendida entre dos
planos paralelos entre si y secantes a la esfera.
h
2
r
1
r 𝑉(𝑆𝐸) =
𝜋ℎ3
6
+
)
𝜋ℎ(𝑟1
2
+ 𝑟2
2
2
VSE: Volumen del segmento esférico de dos bases.
h : Distancia entre los planos paralelos.

17. SEGMENTO ESFÉRICO DE UNA BASE
Es aquella porción de esfera determinada por un plano secante a ella.
R
h h
R
a
𝑉𝑆.𝐸. =
𝜋ℎ3
6
+
𝜋ℎ
2
𝑎2
𝑉𝑆.𝐸. =
𝜋ℎ2
3
3𝑅 − ℎ
V SE : Volumen del Segmento Esférico de una base

18. TEOREMA DE PAPPUS – GULDIN
Superficie de Revolución
El área de la superficie generada por una línea plana al girar 360° en torno
a una recta coplanar y no secante a dicha línea es igual al producto de las
longitudes de la línea y de la circunferencia que describe su centroide.
Eje de giro
360°
A
B
C
x
x
Corte de la Superficie
Generada
𝐴𝑆𝐺 = 2𝜋𝐿𝑋
A SG : Área de la superficie generada.
L : Longitud de la línea AB
C : Centroide de la línea AB
: Radio de la circunferencia descrita por el centroide.
X

19. SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
El volumen del sólido generado por una región plana al girar 360° en torno a
una recta coplanar y no secante a dicha región es igual al área de la región
multiplicada por la longitud de la circunferencia que describe su centroide
x
360°
A
C
x
Eje de giro
Corte del Solido
Generado
𝑉𝑆𝐺 = 2𝜋𝐴𝑋
VSG : Volumen del sólido generado.
A : Área de la región generadora.
C : Centroide de la región generadora.
X : Radio de la circunferencia descrita por el centroide.