diapositivas con la definición y propiedades de la transformada de Laplace y la importancia y aplicación en algunas ingenierías

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO
POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO
MATEMÁTICA IV
Transformada de Laplace
Hendrick Paradela
ci. 23.748.380

2. Definición de transformada de Laplace
INTRODUCCIÓN:
con estas operaciones logramos transformar una función en otra. Por ejemplo, la
función f(x) = x2 se transforma, a su vez, en una función lineal y una familia de
funciones polinómicas cúbicas mediante las operaciones de diferenciación e
integración siguientes:
d 2
1
x = 2 x y ∫ x 2 dx = x 3 + c,
dx
3
Además, estas dos transformadas poseen la
propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación lineal de
funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para α y β
.
constantes.
d
[αf ( x) + βg ( x)] = αf ′( x) + βg ′( x)
dx
∫ [αf ( x) + βg ( x)]dx = α ∫ f ( x)dx + β ∫ g ( x)dx

3. Siempre que exista una derivada e integral. En este unidad se examinará un tipo
especial de transformada integral llamada transformada de Laplace. Además de
poseer la propiedad de linealidad, la transformada de Laplace tiene muchas otras
propiedades interesantes que la hacen muy útil para resolver problemas de
valores iniciales lineales.
TRANSFORMADA INTEGRAL: Si f ( x, y )
es una función de dos variables,
entonces una integral definida de f con respecto a una de las variables lleva a una
función de la otra variable. Por ejemplo, si se mantiene y constante, se ve que
∫
2
1
2 xy dx = 3 y . De manera similar una integral definida como
2
2
∫
b
a
K ( s, t ) f (t )dt
transforma una función f de variable t en una función F de la variable s. Se tiene
interés particular en una transformada integral, donde el intervalo de integración es
el intervalo ∞ acotado [ 0, ∞ )
no
. Si f(t) se define para t ≥ 0 entonces la integral
impropia ∫ K ( s, t ) f (t )dt se define como un límite:
0
∫
∞
0
b
K ( s, t ) f (t )dt = lím ∫ K ( s, t ) f (t )dt
a →∞ 0
(1)
Si existe el límite en (1) , entonces se dice que la integral existe o es
convergente; si no existe el límite, la integral no existe y es divergente. En
general, el límite en (1) existirá sólo para ciertos valores de la variable s.

4. La función
en (1) se llama núcleo de la transformada. La elección de
K ( s, t ) =como
e − st
el núcleo proporciona una transformada integral
especialmente importante llamada transformada de Laplace
K ( s, t )
DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Sea f una función definida para t ≥ 0 . Entonces se dice que la integral
∞
£ { f (t )} = ∫ e −st f (t )dt
0
(
2
)
Es la transformada de Laplace de f, siempre que converja la integral
Cuando la integral definitoria (2) converge, el resultado es una función de s. En
la descripción general emplearemos letras minúsculas para representar la
función que se va a transformar y la mayúscula correspondiente para denotar su
transformada de Laplace; por ejemplo,

5. Propiedades de la transformada de Laplace
Linealidad
Sean las funciones en el dominio del tiempo x1(t) y x2(t) y sus respectivas
transformadas de Laplace entonces
α1x1(t) + α2x2(t) ◦−→• α1X1(s) + α2X2(s), ROC: R1 ∩ R2
donde la ROC indicada representa la menor región de convergencia posible, puesto
que,
como el problema 4.7 lo muestra, la ROC de la combinación lineal puede ser mayor que
la de los términos por separado, puesto que algunos polos pueden desaparecer.
Esta propiedad puede demostrarse fácilmente utilizando la propiedad de linealidad de la
integral, junto con la observación de que la transformada total converge solo en aquella
región com´un a todos los términos, es decir, a su intersección.
Nótese que es posible, si no hay puntos comunes en las regiones de convergencia, que
no exista la transformada de Laplace de una combinación lineal.

6. Desplazamiento en el tiempo y en el dominio s
Con un análisis análogo al caso de la transformada de Fourier se puede
demostrar que si
x(t) ◦−→• X(s) con ROC R entonces
x(t − t0) ◦−→• e
−st0X(s), ROC: R
y
s0tx(t) ◦−→• X(s − s0), ROC: {s | s = r + s0, r ∈ R}
Es decir, la región de convergencia no es alterada cuando se desplaza la señal
en el
tiempo. Sin embargo, si de desplaza la señal en el dominio s entonces también
lo hace
su región de convergencia. Esto puede comprenderse considerando que en
X(s − s0) los
polos y ceros están desplazados en s0 con respecto a los de X(s), y por tanto
también se
desplaza su región de convergencia. Puesto que las ROC son bandas de
longitud vertical
infinita, este desplazamiento puede interpretarse como un corrimiento
horizontal de la
ROC determinada por Re{s0}.

7. Conjugación
Para x(t) ◦−→• X(s) con ROC R se cumple
x∗(t) ◦−→• X∗(s∗), ROC: R
y por lo tanto X(s) = X∗ (s∗) si x(t) es real.
Consecuencia directa de este hecho es que si p es un polo complejo con parte
imaginaria diferente de cero, entonces p∗ también lo es

8. Escalamiento en el tiempo
Si L {x(t)} = X(s) con ROC R entonces para a ∈ IR
es decir, al igual que con la serie de Fourier, una compresión en el
tiempo equivale a
una dilatación en el dominio s, donde sin embargo ahora la dilatación
ocurre en el plano
complejo. Nótese que los limites de la ROC cambian. Si para x(t) estos
limites eran r1 y
r2, entonces para x(at) estos serian r1/a y r2/a.
Para el caso en particular a = −1 se tiene entonces
x(−t) ◦−→• X (−s), ROC: {s | s = −r, r ∈ R}
que equivale a una rotación de 180◦ del plano s como dominio de definición de
X(s),modificándose la posición de los polos y por tanto también la ROC.

9. Convolución
Si x1(t) ◦−→• X1(s), ROC: R1
x2(t) ◦−→• X2(s), ROC: R2
Entonces: x1(t) ∗ x2(t) ◦−→• X1(s)X2(s), ROC: R1 ∩ R2
donde la región de convergencia puede ser mayor a la indicada si en el
producto los polos
que determinan los limites de las ROC individuales se cancelan

10. Diferenciación en el tiempo y en el dominio s
Si x(t) ◦−→• X(s) con ROC R entonces
d/dtx(t) ◦−→• sX(s), ROC: R
Donde si X(s) tiene un polo de primer orden en s = 0 entonces la ROC
puede ser mayor.
Esta propiedad se puede aplicar recursivamente para llegar a
dn/dtnx(t) ◦−→• snX(s), ROC: R
A demas
−tx(t) ◦−→•d/dsX(s), ROC: R.

11. Importancia y aplicación de la transformada de
la place en la ingeniería
la transformada de Laplace se aplica en la ingeniería de diferentes formas
entre
entre las cuales podemos mencionar varias de ellas tales como: El control de
procesos que lo
podemos aplicar por ejemplo en: El ámbito domestico (para controlar
temperaturas, humedad, en edificios),
en la transportación ( para controlar que autos o aviones se muevan de un
lugar a otro de forma
segura y exacta), en la industria (para controlar un sin numero de variables en
los procesos

12. En el caso de la ingeniería química
En ingeniería química tienen especial importancia en el control de procesos. En
control de procesos es necesario obtener las funciones de transferencia de
los distintos elementos de un lazo de control, estas funciones de
transferencia se expresan en el dominio de Laplace porque es mucho más
fácil operar en este dominio y predecir cómo se va a comportar el elemento
en cuestión.
Otra aplicación podría darse en el estudio de la cinética de reacciones
complejas, donde pueden existir sistemas de ecuaciones diferenciales
fácilmente resolubles por Laplace.

13. EN EL CASO DE LA INGENIERA ELECTRONICA
Una transformada de Laplace te sirve para resolver fácilmente un aecuacion
diferencial.
Resolver ecuaciones diferenciales, en electrónica es fundamental ya que
todos los elementos que se utilizan en electricidad, responden conforme
este tipo de ecuaciones, fíjate que para resolver cualquier tipo de circuito
eléctrico en CA tienes que plantear ecuaciones diferenciales y luego
resolverlas.
Así mismo en el estudio de transitorios es fundamental, ya que tienes que
estudiar en este caso cual es la respuesta a un escalón de tensión, en un
circuito dado, en general toda la física se puede explicar en términos de
ecuaciones diferenciales.

14. conclusión
En conclusión esta presentación tiene el fin de dar a entender un poco
el uso y la realización de la transformada de Laplace así como
también su importancia y aplicación tanto en la ingeniería como en
la vida cotidiana.