Curso de Matemáticas Especiales sobre Continuidad y Derivabilidad

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C
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R
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S
O
D
e
p
a
r
t
a
m
e
n
t
o
d
e
M
a
t
e
m
á
t
i
c
a
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F
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n
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a
m
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t
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F
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a
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d
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C
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c
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M
.
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a
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b
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V
:
C
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b
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M
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S
P
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C
I
A
L
E
S
(
C
A
D
)

Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemáticas Especiales
2
1. Introducción
A finales del siglo XVI los problemas de movimiento eran el tema principal de la Física. La
gran cantidad de observaciones acumuladas impulsa a la ciencia hacia la investigación
cuantitativa de las formas de movimiento y las funciones, como imágenes abstractas de los
procesos de movimiento y éstos y su dependencia comienzan a ser objeto de cálculo.
Los viejos problemas de determinación de tangentes, áreas y volúmenes contribuyeron en gran
medida a impulsar los procedimientos de cálculo.
Con Newton y Leibnitz (siglo XVII) aparecen los conceptos de límite y derivada. Sin
embargo, hasta la segunda mitad del siglo XIX no se comprendió bien el significado de la
continuidad pues se pensaba que toda función continua debía de ser derivable en casi todos
los puntos y ni siquiera había acuerdo entre los matemáticos de entonces sobre el concepto de
función. Cauchy dio las primeras definiciones correctas de límite, de función continua y de
derivada y Bolzano hizo el primer estudio riguroso de las funciones continuas.
Objetivos
 Interpretar el significado de la continuidad de una función en un punto y en un intervalo,
y determinarla analíticamente y gráficamente.
 Comprender y utilizar la variación en un intervalo, variación media e instantánea para
interpretar situaciones de la vida cotidiana.
 Interpretar y usar las relaciones existentes entre los conceptos de continuidad y
derivabilidad.
 Determinar la derivada de una función utilizando las operaciones con derivadas y la
regla de la cadena.
 Resolver situaciones que impliquen la utilización de rectas tangentes y normales a una
curva y adquirir técnicas algebraicas y gráficas para su resolución.

3
2. Esquema
Continuidad de una función en un punto
Continuidad de una función en un
intervalo
Variación media
Variación instantánea
Derivada de una función en un punto
Interpretación
geométrica
Interpretación física
Derivadas laterales
Función derivada
Derivadas y
operaciones
Derivadas de funciones
notables
Reglas de derivación
Recta tangente y recta normal
Como indica el esquema del módulo, el módulo comienza con el concepto de
continuidad en un punto y en un intervalo.
Más tarde, se estudia la variación media e instantánea de una función para llegar al
concepto de la derivada de una función en un punto y su interpretación geométrica.

4
El estudio de las derivadas laterales se justifica con el fin de analizar la derivabilidad
de una función en un punto y la relación entre la derivabilidad y la continuidad de una
función.
Se introduce, a continuación, el concepto de función derivada, distinguiéndolo del
concepto de derivada de una función en un punto y reconociendo su relación con la pendiente
de la recta tangente en dicho punto (interpretación geométrica de la derivada).
Para poder calcular derivadas se introduce la regla de los cuatro pasos y con ella se
calculan las derivadas de la suma, diferencia, producto, cociente y composición de dos
funciones (regla de la cadena).
Por último, las reglas de derivación y el cálculo de la recta tangente y normal a una
curva en un punto constituyen la parte final del módulo.

5
3. Prueba de autoevaluación inicial
1.- Dada la función:
a) Es continua en 2


x .
b) Es discontinua en 0

x ..
c) Es continua en 2

x .
d) Es continua en R.
2.- La función anterior:
a) Es derivable en 2


x .
b) Es derivable en 0

x .
c) Es derivable en 2

x .
d) Es derivable en R.
3.- Existe recta tangente a la función de la pregunta primera en:
a) 2


x .
b) 0

x .
c) 2

x .
d) Todos los puntos.

6
4.- La ecuación de la recta tangente a la función:
2
1
)
(
x
x
x
f


En el punto de abscisa 3

x es:
a) 3

 x
y
b) 0
3 

 y
x
c)
2
3
3

 x
y
d) x
y 3

5.- La función:










3
,
4
3
1
3
,
2
)
( 2
x
x
x
a
x
x
f
Es continua en todos los puntos si:
a) 1

a
b) 3

a
c) 0

a
d) 1


a
6.- La función:






1
,
4
1
,
)
(
2
x
x
x
x
x
f
a) Es continua en R.
b) Es derivable en R
c) Es derivable en 
1

R .
d) Es continua en 1

x
7.- Para que la función:

7
















1
2
1
1
2
1
1
2
)
(
1
2
3
x
si
b
e
x
si
x
a
x
si
ax
x
x
f
x
Sea continua en 1


x y 1

x , a y b deben valer:
a) 2

a y 1


b .
b) 0

a y 0

b
c) 2

a y 0

b
d) 1

a y 2

b
8.- Si las tangentes a la curva de ecuación:
18
6
)
( 2
3



 mx
x
mx
x
f
En los puntos A(1,f(1)) y B(-2,f(-2)) son paralelas, m es igual a:
a) m = 0.
b) m = 4.
c) m = -1.
d) m = -2.
9.- Para que la derivada de la función
m
x
mx
x
f



2
1
)
(
2
En
2
1

x valga 1, m debe valer.
a) 2.
b) -2.
c) -1.
d) 3.
10.- La derivada de la función:
1
1
log
)
1
(
)
( 2
2
cos







x
x
x
x
e
x
f x

8
Es:
a)
1
1
1
1
1
2
1
2
)
(
2
2
2
cos











x
x
x
x
x
e
senx
x
f x
b)
1
1
1
1
1
2
1
2
)
(
2
2
2









 
x
x
x
x
x
e
x
f senx
c)
1
1
1
1
1
2
1
2
)
(
2
2
2
cos












x
x
x
x
x
e
senx
x
f x
d)
1
1
1
1
)
1
1
)(
1
(
2
)
(
2
2
cos













x
x
x
x
x
x
e
senx
x
f x

9
Soluciones a la prueba de Autoevaluación inicial
1  c
2  b
3  b
4  c
5  a
6  c
7  c
8  b
9 b
10 d

10
4. Contenidos conceptuales
Continuidad de una función en un punto
Consideremos la gráfica de la función f(x) = 2x2
En el punto de abscisa x = 2 se cumplen las siguientes condiciones:
1. Existe f(2) = 8.
2. Existe
2
)
(
lim

x
x
f
, pues existen los dos límites laterales y son
iguales:



2
8
)
(
lim
x
x
f
y 


2
8
)
(
lim
x
x
f
luego
2
8
)
(
lim


x
x
f
.
3. El valor del límite y el valor de la función en x= 2 coinciden, es 8.
Se dice entonces que la función es continua en x = 2. Generalizando,
Una función es continua en el punto x = a si cumple:
1. Existe f(a).
2. Existe
a
x
x
f

)
(
lim
.
3. Se cumple
a
x
a
f
x
f

 )
(
)
(
lim
.
Cuando alguna de estas condiciones no se cumpla, diremos que la función presenta una
discontinuidad en a.

11
La idea intuitiva de la continuidad es que las funciones continuas se pueden dibujar sin
levantar el lápiz del papel. También cuando a pequeñas variaciones de la variable x
corresponden pequeñas variaciones de la variable y.
En cambio, en el caso de la función:








2
,
1
2
,
3
4
)
(
x
x
x
x
x
f
La función está definida en x = 2 y en ese punto vale 5, es decir, f(2) = 5, pero no tiene
límite en x = 2, pues los límites laterales no son iguales:



2
3
)
(
lim
x
x
f
y 


2
5
)
(
lim
x
x
f
.
Por tanto es discontinua en dicho punto. Su representación gráfica nos lo confirma:
Continuidad de una función en un intervalo
Una función f es continua en un cierto intervalo (a,b) si lo es en todos los puntos del
intervalo. En el ejemplo anterior la función f es continua en el intervalo )
2
,
( y en el
intervalo )
,
2
(  .
Variación media
Dada una función y = f(x), llamamos variación media de la función entre x1 y x2,
siendo 1
x < x2, al valor )
(
)
( 1
2 x
f
x
f  .

12
Por ejemplo, si el espacio recorrido por un móvil viene dado por la expresión
5
3
)
( 2


 t
t
t
e , donde t es el tiempo en segundos, la representación gráfica es la parábola:
El espacio recorrido entre los segundos 4 y 8 es la variación del espacio en el intervalo
 
8
,
4 :
36
9
45
)
4
(
)
8
( 


 e
e .
Es decir, entre t = 4 y t = 8 el móvil ha recorrido 36 metros.
Para determinar la tasa de variación media de la función en un intervalo dividimos la
variación de la función por la longitud del intervalo considerado. En nuestro caso:
9
4
8
)
4
(
)
8
(




e
e
Vmedia
En el intervalo  
8
,
4 el espacio ha variado a razón de 9 metros por segundo.
Tasa de variación media o variación media de una función y = f(x) en un intervalo
 
b
a, es el cociente
a
b
a
f
b
f

 )
(
)
(
. Su valor coincide con el de la pendiente de la recta que pasa
por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

13
Variación instantánea
En la gráfica del ejemplo anterior se puede observar cómo varía el espacio en función
del tiempo, pero no se puede tener una información precisa de cómo está variando el espacio
en un instante determinado, por ejemplo t = 4. Para obtener esta información estudiaremos
cómo varía el espacio en intervalos que empiezan en t = 4 y tienen amplitudes que se hacen
más pequeñas, es decir, cuando su amplitud tiende a cero.
La tasa de variación media del intervalo  
6
,
4 es:
7
2
9
23
4
6
)
4
(
)
6
(






e
e
Vmedia
Que coincide con el valor de la pendiente de la recta secante a la curva que une los
puntos A(4,9) y B(6,23). En este intervalo el espacio ha tenido una variación media de 7
metros por segundo.
5
,
4 , la variación media es:
6
1
9
15
4
5
)
4
(
)
5
(






e
e
Vmedia .
5
,
4 , el espacio ha variado 6 metros por segundo. La recta secante que
une los puntos A(4,9) y C(5,15) tiene por pendiente 6, menor que las anteriores.
Para conocer la variación instantánea en t = 4 tenemos que calcular la variación media
correspondiente a un intervalo  
5
,
4 , siendo h infinitamente pequeño.
Las distintas tasas de variación media obtenidas corresponden a las pendientes de las
rectas secantes a la curva en los puntos determinados por los extremos de los distintos
b-a
f(b)-f(a)
X
Y
O
f(b)
b
f(a)
a

14
intervalos. Cuando la amplitud del intervalo tiende a 0, los puntos de corte de las secantes con
la curva se van aproximando y las rectas secantes se convierten en la recta tangente.
Así, la variación instantánea de una función f(x) en un punto a es el límite de la tasa
de variación media correspondiente al intervalo  
h
a
a 
, cuando h se hace infinitamente
pequeño. Su valor coincide con la pendiente de la recta tangente.
Derivada de una función en un punto
Dada una función y = f(x) y un punto a, se define la derivada de la función f(x) en el
punto x = a, y se designa )
(a
f  , como el límite:
0
)
(
)
(
lim
)
(





h
h
a
f
h
a
f
a
f
Como vemos, la derivada es el límite de la tasa de variación media de la función en
intervalos  
h
a
a 
, cuando h tiende a cero, es decir, la variación instantánea de f(x) en el
punto a.
e
t
A(4,9
)
B(6,23
)
C(5,15
)

15
Interpretación geométrica y física de la derivada de una función en un punto
Como el cociente
h
a
f
h
a
f )
(
)
( 

coincide con la pendiente de la recta secante a la
curva que pasa por (a, f(a)) y conforme va disminuyendo la amplitud del intervalo
considerado, los puntos de corte determinados por las distintas secantes se hacen cada vez más
cercanos, llegando en el límite a coincidir por lo que la secante se convierte en tangente:
f’(a) = tg 
X
Y
O a+h

a
f’(a) = tg 
X
Y
O
Recta tangente

a

16
Geométricamente, la derivada de una función f(x) en un punto x = a coincide con la
pendiente de la recta tangente en dicho punto. Coincide con la tangente del ángulo  que
forma la recta tangente con el semieje positivo OX.
Supongamos ahora que una partícula se mueve en línea recta y que el espacio recorrido
por ella al cabo de un tiempo x es e(x). La velocidad media de dicha partícula en un intervalo
de tiempo es, por definición, el espacio recorrido en ese intervalo de tiempo dividido por el
tiempo invertido. Así, la velocidad media entre los instantes a y a+h viene dada por el
cociente
h
a
e
h
a
e )
(
)
( 

Es decir, )
(a
e (derivada del espacio respecto al tiempo en el instante a).
Derivadas laterales de una función en un punto
Si el espacio, en metros, recorrido por un móvil en función del tiempo, en segundos,
viene determinado por la función t
t
t
f 3
8
)
( 2

 , ¿Cuánto vale la velocidad inicial?
Para obtener la velocidad inicial, hemos de calcular la derivada de f(t) en t = 0:
0
)
0
(
)
0
(
lim
)
0
(





h
h
f
h
f
f
Límite que no podemos calcular, porque la función no está definida a la izquierda del
cero (no tiene sentido considerar tiempo menor de cero). En cambio, sí podemos obtener el
límite lateral por la derecha en t = 0:
3
0
3
8
lim
0
3
8
lim
0
)
0
(
)
(
lim
2











 h
h
h
h
h
h
h
h
f
h
f
.
La velocidad inicial del móvil es de 3m/s.
Se llama derivada por la derecha de la función f(x) en el punto x = a, y se representa
por )
( 
 a
f , al límite:







a
x
a
x
a
f
x
f
a
f
)
(
)
(
lim
)
(
La derivada por la izquierda de la función f(x) en el punto x = a, y se representa por
)
( 
 a
f , al límite:

17







a
x
a
x
a
f
x
f
a
f
)
(
)
(
lim
)
( .
¿Existe la derivada de la función 4
)
( 
 x
x
f en x = 4?
La función se define de la siguiente manera:












4
4
4
4
4
)
(
x
si
x
x
si
x
x
x
f
Y su representación gráfica es la siguiente:
Como no existe recta tangente en dicho punto, no existe la derivada, es decir, la
función no es derivable en x = 4.
Calculamos sus derivadas laterales en x = 4:
1
4
4
0
4
lim
4
4
)
4
(
)
(
lim
)
4
( 














x
x
x
x
x
f
x
f
f
1
4
4
0
4
lim
4
4
)
4
(
)
(
lim
)
4
( 













x
x
x
x
x
f
x
f
f
Como )
4
(
)
4
( 



 f
f no existe )
4
(
f  .
La función f(x) es derivable en x = a cuando existen sus derivadas laterales en dicho
punto y son iguales.

18
Derivabilidad y continuidad
La gráfica de una función es la siguiente:
Se observa que en el punto x = 2 presenta un salto, no es continua. Tampoco es
derivable al no existir la tangente en dicho punto.
En x = 4 es continua y no es derivable; no existe la tangente en dicho punto.
En x = 7, la función es continua y es derivable; existe la tangente en dicho punto.
a
x
a
f
x
f

 )
(
)
(
lim
, o bien
a
x
a
f
x
f


 0
)
(
)
(
lim
Como:
a
x
a
x
a
x
a
f
x
f
a
x
a
f
x
f







 )
(
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
a
x
a
f
a
x
a
x
a
f
a
x
a
x
a
x
a
f
x
f













 0
0
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
Se deduce que la derivabilidad implica continuidad.
Si una función f(x) es derivable en x = a, entonces la función es continua en dicho
punto.
En cambio, la continuidad no implica derivabilidad como lo muestra el ejemplo
anterior, la función valor absoluto.
Si una función f(x) es continua en x = a, la función no tiene por qué ser derivable en
dicho punto.

19
Función derivada
Cuando una función es derivable en todos los puntos de un cierto dominio D, podemos
definir una nueva función )
(x
f  , llamada función derivada, que asocia a cada valor del
dominio D la derivada en dicho punto.
Por ejemplo, sea la función 1
2
3
)
(
3


 x
x
x
f . Aplicando la definición de derivada,
calculamos la derivada en el punto x = 1:
0
0
1
1
3
10
1
2
3
lim
1
1
)
1
(
)
(
lim
)
1
(
3












x
x
x
x
x
x
f
x
f
f
Resulta un límite indeterminado que resolvemos factorizando el numerador de la
fracción. Utilizando la regla de Ruffini para la raíz x = 1:
1/3 0 2 -7/3
1 1/3 1/3 7/3
1/3 1/3 7/3 0
1
3
)
3
7
3
1
3
1
(
lim
1
1
)
3
7
3
1
3
1
)(
1
(
lim
)
1
(
2
2












x
x
x
x
x
x
x
x
f
En general, para un valor x = a, resulta:
0
0
)
1
2
3
(
)
1
2
3
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
3
3
a
x
a
x
a
a
x
x
a
x
a
x
a
f
x
f
a
f














De nuevo aplicando la regla de Ruffini, resulta:
1/3 0 2 -a3
/3-2a
a a/3 a2
/3 a3
/3+2a
1/3 a/3 a2
/3+2 0
2
2
3
3
)
2
3
3
3
1
(
lim
)
2
3
3
3
1
)(
(
lim
)
( 2
2
2
2
2
2
















 a
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
f
Dándole valores a a y calculando los valores correspondientes de )
(a
f  se obtiene la tabla de
valores:

20
a 0 1 -1 2 -2
)
(a
f  2 3 3 6 6
Al representar estos puntos resulta una nueva función 2
)
( 2


 x
x
f
Regla de los cuatro pasos
Anteriormente, para calcular la derivada de f(x) en el punto x = a hemos utilizado la expresión:
0
)
(
)
(
lim
)
(





h
h
x
f
h
x
f
x
f
Vamos a obtener una regla que permita calcular la derivada de una función, utilizando
4 pasos:
1. Función incrementada: f(x+h)
2. Incremento de la función: f(x+h)-f(x)
3. Cociente incremental:
h
x
f
h
x
f )
(
)
( 

4. Límite del cociente incremental, cuando h tiende a cero:
0
)
(
)
(
lim



h
h
x
f
h
x
f
Este proceso se llama la regla de los cuatro pasos.
Así, para la fundición 2
)
( x
x
f  :
1. 2
)
(
)
( h
x
h
x
f 



21
2. 2
2
)
(
)
(
)
( x
h
x
x
f
h
x
f 




3.
h
x
h
x
h
x
f
h
x
f 2
2
)
(
)
(
)
( 




4.
0
)
(
)
(
lim
0
)
(
)
(
lim
)
(
2
2









h
h
x
h
x
h
h
x
f
h
x
f
x
f
Para calcular este límite se utiliza la fórmula del cuadrado de una suma:
2
2
)
( 2
2
h
xh
x
h
x 



Entonces:
0
2
2
lim
0
2
lim
0
2
lim
)
(
2
2
2 2













h
x
h
x
h
h
h
xh
h
h
x
h
xh
x
x
f
Análogamente, se obtiene que si 3
)
( x
x
f  entonces su derivada es 2
3
)
( x
x
f 
 , si 4
)
( x
x
f 
su derivada es 3
4
)
( x
x
f 
 , …, y la derivada de la función n
x
x
f 
)
( es 1
)
( 

 n
nx
x
f . Un
caso particular de esta fórmula es la derivada de la función: 1
)
( 
x
f , como 0
)
( x
x
f  , resulta
0
0
)
( 1



 
x
x
f .
Derivadas de operaciones con funciones
Utilizando de nuevo la regla de los cuatro pasos se demuestran (recomendamos al alumno que
lo haga como ejercicio) las siguientes derivadas:
1. Derivada de la suma (diferencia): La derivada de la suma (diferencia) de dos
funciones derivables es igual a la suma (diferencia) de sus derivadas:
)
(
)
(
)
( x
v
x
u
x
f 
  )
(
)
(
)
( x
v
x
u
x
f 




Por ejemplo, si 4
2
)
( x
x
x
f 
 , entonces 3
4
2
)
( x
x
x
f 

 .
Esto se puede generalizar para la suma o resta de un número finito de funciones:
)
(
)
(
)
(
)
( x
w
x
v
x
u
x
f 

  )
(
)
(
)
(
)
( x
w
x
v
x
u
x
f 





 .
Así, si 4
)
( 
x
f  1
1
1
1
)
( 



x
f  0
0
0
0
0
)
( 




 x
f . Generalizando, para
k
x
f 
)
( , con R
k  , 0
)
( 
 x
f .
2. Derivada del producto: La derivada del producto de dos funciones derivables es igual
a la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar más la primera
función sin derivar por la derivada de la segunda:

22
)
(
)
(
)
( x
v
x
u
x
f 
  )
(
)
(
)
(
)
(
)
( x
v
x
u
x
v
x
u
x
f 





 .
Así, si )
1
)(
(
)
( 2
4
5



 x
x
x
x
x
f , entonces
)
1
2
)(
(
)
1
)(
4
5
(
)
( 4
5
2
3
4







 x
x
x
x
x
x
x
x
f .
Si x
x
f 7
)
(  , entonces
7
1
7
0
)
( 




 x
x
f .
3. Derivada de un cociente: La derivada del cociente
)
(
)
(
x
v
x
u
de dos funciones derivables,
siendo 0
)
( 
x
v , es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar
menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, dividido todo por el
denominador al cuadrado:
)
(
)
(
)
(
x
v
x
u
x
f  
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 2
x
v
x
v
x
u
x
v
x
u
x
f





Si
x
x
x
x
f
4
)
(
2
5

  2
2
4
)
4
(
)
4
)(
(
)
4
)(
2
5
(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
f




 , operando resulta:
2
2
5
16
4
4
20
)
(
x
x
x
x
x
f



 .
Regla de la cadena
La regla de la cadena nos permite calcular la derivada de la composición de dos funciones. Es
una regla muy importante que continuamente se utiliza en el cálculo de derivadas pero que no
vamos a demostrar pues entendemos que excede el nivel de este curso de nivelación.
Si una función )
(u
f
y  es derivable respecto de u, y u es derivable respecto de x, entonces la
derivada de la función compuesta  
)
(x
u
f
y  respecto de x es igual al producto de la
derivada de f respecto de u por la derivada de u respecto de x:
 
)
(x
u
f
y   )
(
)
( x
u
u
f
y 




Por ejemplo, para calcular la derivada de la función compuesta 6
2
)
3
( x
x
y 
 , hacemos
x
x
x
u 3
)
( 2

 , 6
)
( u
u
f  entonces:
3
2
)
( 

 x
x
u y 5
6
)
( u
u
f 
 .
Aplicando la regla de la cadena y sustituyendo:
  )
3
2
(
)
3
(
6
)
( 5
2



 x
x
x
x
u
f .

23
Tabla de derivadas
Aplicando las propiedades anteriores y otras que no demostraremos, se calculan las derivadas
de las siguientes funciones:
Función simple Derivada Función
Compuesta
Derivada
k
y  0


y
x
y  1


y
)
(
)
( x
v
x
u
y 
 )
(
)
( x
v
x
u
y 




)
(x
u
k
y 
 )
(x
u
k
y 



)
(
)
( x
v
x
u
y 
 )
(
)
(
)
(
)
( x
v
x
u
x
v
x
u
y 






)
(
)
(
x
v
x
u
y 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
x
v
x
v
x
u
x
v
x
u
y







n
x
y  1


 n
nx
y )
(x
u
y n
 )
(
)
(
1
x
u
x
u
n
y n




 
x
y log

x
y
1


)
(
log x
u
y 
)
(
)
(
x
u
x
u
y



x
y a
log

e
x
y a
log
1



)
(
log x
u
y a

)
(
log
)
(
1
x
u
e
x
u
y a





x
e
y  x
e
y 
 )
(x
u
e
y  )
(
)
(
x
u
e
y x
u




x
a
y  a
a
y x
log


 )
(x
u
a
y  )
(
log
)
(
x
u
a
a
y x
u





senx
y  x
y cos

 ))
(
( x
u
sen
y  )
(
))
(
cos( x
u
x
u
y 



x
y cos
 senx
y 

 ))
(
cos( x
u
y  )
(
))
(
( x
u
x
u
sen
y 




tgx
y 
x
x
tg
y 2
2
cos
1
1 



))
(
( x
u
tg
y 
))
(
(
cos
)
(
2
x
u
x
u
y



gx
y cot

x
sen
x
g
y 2
2 1
)
cot
1
(






))
(
(
cot x
u
g
y 
))
(
(
)
(
2
x
u
sen
x
u
y




arcsenx
y 
2
1
1
x
y



))
(
( x
u
arcsen
y 
)
(
1
)
(
2
x
u
x
u
y




x
y arccos

2
1
1
x
y




))
(
arccos( x
u
y 
)
(
1
)
(
2
x
u
x
u
y






24
arctgx
y 
2
1
1
x
y



))
(
( x
u
arctg
y 
)
(
1
)
(
2
x
u
x
u
y




Recta tangente y normal
La ecuación de la recta que pasa por el punto )
,
( 1
1 y
x
A y tiene de pendiente m es:
)
( 1
1 x
x
m
y
y 


Y la de la recta normal en dicho punto es:
)
(
1
1
1 x
x
m
y
y 


 .
Como para el caso de la recta tangente la pendiente es )
( 1
x
f
m 
 , resulta:
)
)(
( 1
1
1 x
x
x
f
y
y 


 ; )
(
)
(
1
1
1
1 x
x
x
f
y
y 



 .
Por tanto, dada una función f(x), las ecuaciones de la recta tangente y normal en x = a son,
respectivamente:
)
)(
(
)
( a
x
a
f
a
f
y 


 ; )
(
)
(
1
)
( a
x
a
f
a
f
y 



 .
Dada la función 3
2
)
( 2
3



 x
x
x
x
f la ecuación de la recta tangente en x = 2 es:
)
2
)(
2
(
)
2
( 


 x
f
f
y  )
2
(
5
1 

 x
y .
Análogamente, la ecuación de la recta normal es:
)
(
5
1
1 a
x
y 


 .

25
5. Resumen teórico
Continuidad de una
función en un punto
 .
a
x
a
f
x
f

 )
(
)
(
lim
Continuidad de una
función en un intervalo
 Una función f es continua en un cierto intervalo
(a,b) si lo es en todos los puntos del intervalo.
Variación media  Variación media de la función f(x) entre x1 y x2,
siendo 1
x < x2, es el valor )
(
)
( 1
2 x
f
x
f  .
 Tasa de variación media de una función y = f(x) en
un intervalo  
b
a, es el cociente
a
b
a
f
b
f

 )
(
)
(
.
Variación instantánea  La variación instantánea de una función f(x) en un
punto a es el límite de la tasa de variación media
correspondiente al intervalo  
h
a
a 
, cuando h se
hace infinitamente pequeño. Su valor coincide con
la pendiente de la recta tangente.
Derivada de una función
en un punto

0
)
(
)
(
lim
)
(





h
h
a
f
h
a
f
a
f
Interpretación geométrica
de la derivada
 La derivada de una función f(x) en un punto x = a
coincide con la pendiente de la recta tangente en
dicho punto. Coincide con la tangente del ángulo
 que forma la recta tangente con el semieje
positivo OX.
Interpretación física de la
derivada
 La velocidad instantánea es la derivada del espacio
respecto al tiempo.
Derivadas laterales  Derivada por la derecha:







a
x
a
x
a
f
x
f
a
f
)
(
)
(
lim
)
(
 Derivada por la izquierda:







a
x
a
x
a
f
x
f
a
f
)
(
)
(
lim
)
(

26
Derivabilidad  La función f(x) es derivable en x = a cuando
existen sus derivadas laterales en dicho punto y
son iguales.
Derivabilidad y
continuidad
 Si una función f(x) es derivable en x = a, entonces
la función es continua en dicho punto.
 Si una función f(x) es continua en x = a, la función
no tiene por qué ser derivable en dicho punto.
Función derivada  Cuando una función es derivable en todos los
puntos de un cierto dominio D, la función derivada
asocia a cada valor del dominio D la derivada en
dicho punto.
Regla de los cuatro pasos  Para calcular la derivada de una función, se
utilizan 4 pasos:
1. Función incrementada: f(x+h)
2. Incremento de la función: f(x+h)-f(x)
3. Cociente incremental:
h
x
f
h
x
f )
(
)
( 

4. Límite del cociente incremental, cuando h
tiende a cero:
0
)
(
)
(
lim



h
h
a
f
h
a
f
Derivadas de operaciones
con funciones
 )
(
)
(
)
( x
v
x
u
x
f 
  )
(
)
(
)
( x
v
x
u
x
f 




 )
(
)
(
)
( x
v
x
u
x
f 
 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( x
v
x
u
x
v
x
u
x
f 







)
(
)
(
)
(
x
v
x
u
x
f  
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 2
x
v
x
v
x
u
x
v
x
u
x
f





Regla de la cadena   
)
(x
u
f
y   )
(
)
( x
u
u
f
y 




Rectas tangente y normal  Tangente: )
)(
(
)
( 1
1
1 x
x
x
f
x
f
y 


 ;
 Normal: )
(
)
(
1
)
( 1
1
1 x
x
x
f
x
f
y 





27
6. Actividades resueltas
1.1 Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
a)










0
1
2
0
2
)
(
2
x
si
x
x
si
x
x
f en el punto x = 0.
b)












2
1
2
5
)
(
x
si
x
x
si
x
x
f en el punto x = -2.
Solución
a) La función está definida en x = 0, 2
2
0
)
0
( 2



f . Para comprobar si tiene límite
en x = 0, hay que estudiar si existen los límites laterales y son iguales a 2:






0
1
1
0
2
)
(
lim
x
x
f





0
2
2
0
)
(
lim 2
x
x
f
Como los límites laterales son distintos, la función no tiene límite en x = 2 y, por tanto,
es discontinua en dicho punto.
b) 3
5
2
)
2
( 




f ; 






2
3
5
2
)
(
lim
x
x
f
; 





2
3
2
1
)
(
lim
x
x
f
Como los tres valores coinciden la función es continua en x = -2.
1.2 Calcula los siguientes límites:
a)
3
)
1
5
(
lim 3



x
x
x
b)
1
1
1
lim 2
3
4





x
x
x
x
x
c)
0
9
)
3
(
lim
2



x
x
x
Solución
a)
3
13
1
3
5
3
)
1
5
(
lim 3
3








x
x
x
.

28
b)
1
0
0
1
1
lim 2
3
4






x
x
x
x
x
. Para deshacer esta indeterminada debemos factorizar
los dos términos de la fracción y simplificar. Para ello aplicamos la regla de Ruffini
para x = 1:
Numerador:
1 0 0 0 -1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 0
Denominador:
1 -1 1 -1
1 1 0 1
1 0 1 0
1
2
2
4
1
1
lim
1
)
1
)(
1
(
)
1
)(
1
(
lim
1
1
1
lim 2
2
3
2
2
3
2
3
4





















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
c)
0
0
0
9
)
3
(
lim
2




x
x
x
. Para deshacer esta indeterminada operamos y
simplificamos:
0
6
)
6
(
lim
0
)
6
(
lim
0
9
6
9
lim
0
9
)
3
(
lim
2
2















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1.3 Estudia la continuidad de la función:
a)










3
4
2
3
1
)
(
2
x
si
x
x
si
x
x
f
b)












2
1
2
2
0
5
0
2
)
(
x
si
x
x
si
x
si
x
x
f
Solución:

29
a) Esta función viene definida por dos intervalos. Como en ambos la expresión es un
polinomio, la función es continua en el interior de ellos; entonces, el único punto a
estudiar es el extremo de dichos intervalos, es decir, el punto x = 3.
2
1
3
)
3
( 


f ; 




3
2
1
3
)
(
lim
x
x
f
; 





3
22
4
3
2
)
(
lim 2
x
x
f
Como no coinciden los tres valores, la función no es continua en x = 3. Por tanto, esta
función es continua en 
3

R .
b) En este caso nos encontramos con tres intervalos en los cuales la función viene
definida por un polinomio, con lo que es continua en el interior de los tres. Veamos
los extremos:
x = 0: 2
2
0
)
0
( 


f ; 




0
2
2
0
)
(
lim
x
x
f
; 


0
5
)
(
lim
x
x
f
No es
continua en x = 0.
x = 2: 5
1
2
2
)
2
( 



f ; 


2
5
)
(
lim
x
x
f
; 





2
5
1
2
2
)
(
lim
x
x
f
Es
continua en x = 2.
La función es continua en 
0

R .
5
4
3
2
)
( 2
2





x
x
x
x
x
f
¿Cómo evitar que sea discontinua en x = -1?
Solución:
Se trata de una función racional, luego es continua salvo en los puntos en que se anule
el denominador:
0
5
4 2


 x
x x = -1 y
4
5

x
La función es continua en








4
5
,
1
R .
Para evitar que sea discontinua en x = -1 basta con definir la función en este punto
igual al límite que toma en él:

30
1
0
0
5
4
3
2
lim
1
)
(
lim
2
2










x
x
x
x
x
x
x
f
Hay que factorizar y, como los dos
miembros de la fracción son polinomios de grado dos, utilizamos la fórmula de la
ecuación de segundo grado para hallar sus raíces:
Numerador: 1


x y
2
3

x .
Denominador: x = -1 y
4
5

x
1
9
5
)
4
5
(
4
)
2
3
(
2
lim
1
)
4
5
)(
1
(
4
)
2
3
)(
1
(
2
lim
1
5
4
3
2
lim
1
)
(
lim
2
2






















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
La función:
















1
9
5
1
5
4
3
2
)
(
2
2
x
si
x
si
x
x
x
x
x
f .
2.5 Se considera la función f(x) definida por:












2
2
0
3
0
)
(
2
x
si
ax
x
si
b
x
x
si
x
x
f
Calcula los valores de a y b para que f(x) sea continua en todos sus puntos.
Solución:
Continuidad en x = 0:
b
b
f 


 0
3
)
0
( ; 


0
0
)
(
lim
x
x
f
; 





0
0
3
)
(
lim
x
b
b
x
f
 0

b
Continuidad en x = 2:
a
a
f 4
4
)
2
( 

 ; 







2
6
6
2
3
)
(
lim
x
b
b
x
f
; 




2
4
2
)
(
lim 2
x
a
a
x
f
 6
4 
a 
2
3
4
6


a .

31
2.6 ¿Para qué valores de x es discontinua la siguiente f(x)?
2
5
3
4
6
2
)
( 2
2





x
x
x
x
x
f
Solución:
Se trata de una función racional, luego es continua salvo en los puntos en que se anule
el denominador:
0
2
5
3 2


 x
x x = 2 y
3
1


x
La función es continua en








3
1
,
2
R .
5
3
4
)
(
2
2




x
x
x
f .
Solución:
De nuevo nos encontramos con un cociente de polinomios, hay que estudiar los ceros
del denominador.
0
5
3 2


 x  9
5
2


x  4
2

x  2


x
La función es continua en 
 2


R .
2.8 Dada la función 3
5
)
( 
 x
x
f , halla la variación media en los intervalos:
a)  
4
,
1
b)  
0
,
5

c) ¿Con qué valor coincide siempre esa tasa?
Solución:
a) 5
3
8
23
1
4
)
1
(
)
4
(
)
(
)
(









f
f
a
b
a
f
b
f
Vm
b) 5
5
0
22
3
)
(
)
(







a
b
a
f
b
f
Vm
c) Al ser una función lineal, es constante y coincide con la pendiente de la recta.
3.9 Halla la tasa de variación media de la función 1
)
( 2

 x
x
f en:

32
a)  
2
,
3

b)  
4
,
0
c) ¿Es siempre constante?
Solución:
a) 5
1
10
5
2
3
)
3
(
)
2
(
)
(
)
(












f
f
a
b
a
f
b
f
Vm
b) 4
4
1
17
0
4
)
0
(
)
4
(
)
(
)
(









f
f
a
b
a
f
b
f
Vm
c) Como es una función cuadrática no es constante.
3.10 Una mancha circular de petróleo tiene un radio de 20 m. Calcula:
a) La variación que sufre su área si el radio aumenta en 6 m.
b) La tasa de variación media al pasar el radio de 20 a 25 metros.
c) La tasa de variación media al pasar el radio de 20 a 22 metros.
d) La tasa de variación instantánea.
Solución:
a) El área actual es 
 400
202
20 


A 2
m . Cuando el radio aumenta en 6m, el área
es 
 676
262
26 


A 2
m , por tanto la variación es 

 276
400
676 


V 2
m .
b) 



32
,
55
5
276
5
400
625
20
25
)
20
(
)
25
(







V
V
Vm .
c) 



42
2
84
2
400
484
20
22
)
20
(
)
22
(







V
V
Vm .
d) Hallamos la tasa de variación media cuando el radio aumenta en 0,1m:




1
,
40
1
,
0
01
,
4
1
,
0
400
01
,
404
20
1
,
20
)
20
(
)
1
,
20
(







V
V
Vm
Para un aumento de 0,01, resulta:




01
,
40
01
,
0
4001
,
0
01
,
0
400
4001
,
400
20
01
,
20
)
20
(
)
01
,
20
(







V
V
Vm .
Para un aumento de 0,001, resulta:




001
,
40
001
,
0
040001
,
0
001
,
0
400
040001
,
400
20
001
,
20
)
20
(
)
001
,
20
(







V
V
Vm .

33
Por tanto, la tasa de variación instantánea es 
40 .
4 2

 x
y , calcula la tasa de variación media correspondiente
a los intervalos:
a)  
5
,
2
b)  
5
2
,
2 
c)  
02
2
,
2 
d)  
002
2
,
2 
e) ¿Hacia qué valor tiende la sucesión de valores obtenidos?
f) ¿Cuál es la tasa de variación instantánea en 2

x ?
Solución:
a) 28
3
17
101
2
5
)
2
(
)
5
(
)
(
)
(









f
f
a
b
a
f
b
f
Vm
b) 18
5
0
17
26
2
5
2
)
2
(
)
5
2
(
)
(
)
(












f
f
a
b
a
f
b
f
Vm
c) 08
6
1
02
0
17
3216
7
1
2
02
2
)
2
(
)
5
,
02
2
(
)
(
)
(














f
f
a
b
a
f
b
f
Vm
d) 008
6
1
002
0
17
032016
7
1
2
002
2
)
2
(
)
002
2
(
)
(
)
(














f
f
a
b
a
f
b
f
Vm
e) Tiende a 16.
f) La tasa de variación instantánea en 2

x es, entonces, 16.
5.12 Una empresa ha comprobado que la demanda de artículos de un producto, en
función del precio, viene dada por la expresión 2
3
700
)
( x
x
d 
 . Calcula:
a) La variación de la demanda si el precio pasa de 5 a 10 euros por unidad. ¿La
variación es positiva o negativa?
b) La variación media correspondiente a los intervalos  
10
,
5 ,  
7
,
5 ,  
1
5
,
5  y  
01
5
,
5  .
c) La variación instantánea en x = 5.
Solución:
a) 225
)
5
.
3
700
(
)
10
.
3
700
(
)
5
(
)
10
( 2
2






 d
d . Es una variación negativa.
b) Para el intervalo  
10
,
5 :

34
45
5
75
300
5
10
)
5
(
)
10
(






 d
d
Para el intervalo  
7
,
5 :
36
2
75
147
5
7
)
5
(
)
7
(






 d
d
1
5
,
5  :
3
0
3
1
0
75
03
8
7
5
1
5
)
5
(
)
1
5
(











 d
d
01
,
5
,
5 :
03
0
3
01
0
75
3003
5
7
5
01
5
)
5
(
)
01
5
(











 d
d
c) Observando la sucesión de valores obtenidos, se deduce que la variación
instantánea en 5

x es -30. Lo comprobamos con la definición de derivada:
0
)
75
700
(
)
)
5
(
3
700
(
lim
0
)
5
(
)
5
(
lim
)
5
(
2












h
h
h
h
h
d
h
d
d
0
30
)
3
30
(
lim
0
3
30
75
75
lim
2











h
h
h
h
h
h
2
)
( 2

 x
x
f y el punto 1

x
a) Calcula el valor del cociente incremental
h
f
h
f )
1
(
)
1
( 

para 1

h , 5
,
0

h ,
2
,
0

h y 01
,
0

h .
b) ¿Cuál es el valor de )
1
(
f  .
Solución:
a) 6
6
12
1
)
1
(
)
2
(
1
)
1
(
)
1
1
(
)
1
(
)
1
(









 f
f
f
f
h
f
h
f
5
5
,
0
6
5
,
8
5
,
0
)
1
(
)
5
,
1
(
5
,
0
)
1
(
)
5
,
0
1
(
)
1
(
)
1
(









 f
f
f
f
h
f
h
f
4
,
4
2
,
0
6
88
,
6
2
,
0
)
1
(
)
2
,
1
(
2
,
0
)
1
(
)
2
,
0
1
(
)
1
(
)
1
(









 f
f
f
f
h
f
h
f
02
,
4
01
,
0
6
0402
,
6
01
,
0
)
1
(
)
01
,
1
(
01
,
0
)
1
(
)
01
,
0
1
(
)
1
(
)
1
(









 f
f
f
f
h
f
h
f

35
b) El valor de )
1
(
f  es 4.
)
( 2


 x
x
x
f :
a) Calcula )
2
(
f  mediante límites.
b) Dibuja la recta tangente a esta parábola en el punto 2

x y otra recta cuya
pendiente sea )
2
(
f  , ¿Cómo son ambas rectas?
Solución:
a)
0
)
1
(
)
3
)
2
(
)
2
((
lim
0
)
2
(
)
2
(
lim
)
2
(
2














h
h
h
h
h
h
f
h
f
f
0
3
)
3
(
lim
0
3
lim
0
1
3
2
4
4
lim
2
2















h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
.
b) Ambas rectas son paralelas.
3
)
( 2

 x
x
f y el punto 1

x :
a) Completa el siguiente cuadro:
x 2 1,5 1,1 1,01
1
)
1
(
)
(


x
f
x
f
b) ¿Cuál es la pendiente de la tangente a la curva en 1

x ?
Solución:
a)
x 2 1,5 1,1 1,01
1
)
1
(
)
(


x
f
x
f
9
1
2
)
1
(
)
2
(


 f
f
5
,
7
1
5
,
1
)
1
(
)
5
,
1
(


 f
f
3
,
6
1
1
,
1
)
1
(
)
1
,
1
(


 f
f
03
,
6
1
01
,
1
)
1
(
)
01
,
1
(


 f
f
b) La pendiente de la recta tangente a la curva en 1

x es la derivada, )
1
(
f  , es decir

36
6
1
1
)
1
(
)
(
lim
)
1
(






x
x
f
x
f
f .
6.16 Dada la función polinómica de segundo grado c
bx
ax
y 

 2
, halla a, b y c si
se sabe que la gráfica de esta función pasa por los puntos (1,2) y (2,6) y que la tangente
a la curva en (2,6) es la recta de ecuación: 8
7 
 x
y .
Solución:
Como pasa por (1,2): c
b
a 


2 .
Como pasa por (2,6): c
b
a 

 2
4
6 .
Como la pendiente de la recta tangente es 7

m (coeficiente de x en la ecuación
explícita) debe ser 7
)
2
( 

y :
0
)
2
4
(
)
2
(
)
2
(
lim
0
)
2
(
)
2
(
lim
)
2
(
2















h
h
c
b
a
c
b
h
a
h
h
h
y
h
y
y
0
)
2
4
(
)
2
(
)
4
4
(
lim
2











h
h
c
b
a
c
b
h
a
h
h
0
4
lim
0
2
4
)
2
(
)
4
4
(
lim
2
2















h
h
bh
ah
ah
h
h
c
b
a
c
hb
b
ha
ah
a
b
a
b
a
ah
h





 4
)
4
(
0
lim
.
Por tanto: 7
4 
 b
a
Se obtiene el siguiente sistema:













7
4
6
4
2
b
a
c
b
a
c
b
a
Las soluciones son:
3
4

a ,
3
5

b y 1


c .

37
7.17 Halla la derivada por la derecha y la derivada por la izquierda de la función








1
,
3
1
,
)
(
x
x
x
x
x
f , en 1

x .
Solución:
1
0
lim
0
2
)
3
1
(
lim
0
)
1
(
)
1
(
lim

















h
h
h
h
h
h
h
h
f
h
f
.



















0
1
1
lim
0
1
lim
0
2
)
1
(
lim
0
)
1
(
)
1
(
lim
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
f
h
f
7.18 ¿Es la función 2
)
( 
 x
x
f derivable en 2

x ?
Solución:
Obtenemos la derivada por la derecha y por la izquierda en este punto.











2
),
2
(
2
,
2
2
)
(
x
x
x
x
x
x
f
1
0
lim
0
0
)
2
2
(
lim
0
)
2
(
)
2
(
lim
)
2
( 
















h
h
h
h
h
h
h
h
f
h
f
f .
1
0
lim
0
0
)
2
2
(
lim
0
)
2
(
)
2
(
lim
)
2
( 



















h
h
h
h
h
h
h
h
f
h
f
f .
No es derivable pues las derivadas laterales no coinciden.
8.19 Estudia la continuidad y derivabilidad de








1
1
,
7
3
)
(
x
x
x
x
x
f en el punto
1

x .
Solución:
Estudiamos primero la continuidad. Esta función en el único punto en el que puede ser
discontinua es el punto 1, en el que la función cambia su expresión analítica.
Veámoslo:






1
1
)
(
lim
1
)
(
lim
x
x
x
x
f
; 







1
4
)
7
3
(
lim
1
)
(
lim
x
x
x
x
f
.

38
Como los límites laterales no coinciden, la función no es continua en 1

x y, al no ser
continua, no es derivable en este punto.
Estudiamos, entonces, la derivabilidad en el resto de los puntos.
Sea x < 1, 7
3
)
( 

 x
x
f . Por tanto:
3
0
3
lim
0
)
7
3
(
)
7
3
3
(
lim
0
)
(
)
(
lim
)
( 





















h
h
h
h
h
x
h
x
h
h
x
f
h
x
f
x
f
3
0
3
lim
0
)
7
3
(
)
7
3
3
(
lim
0
)
(
)
(
lim
)
( 





















h
h
h
h
h
x
h
x
h
h
x
f
h
x
f
x
f
La función es derivable.
Sea x > 1, x
x
f 
)
( . Entonces:
1
0
lim
0
)
(
)
(
lim
0
)
(
)
(
lim
)
( 















h
h
h
h
h
x
h
x
h
h
x
f
h
x
f
x
f .
1
0
lim
0
)
(
)
(
lim
0
)
(
)
(
lim
)
( 















h
h
h
h
h
x
h
x
h
h
x
f
h
x
f
x
f .
La función es derivable.
La función es derivable en 
1

R y su función derivada es:








1
,
1
1
,
3
)
(
x
x
x
f .
8.20 Estudia la continuidad y derivabilidad de 2
)
( 2

 x
x
f .
Solución:
La función 2
2
)
( 2
2



 x
x
x
f , como es un polinomio, es continua y derivable en
todo R.
8.21 Estudia la derivabilidad de












2
2
0
3
0
)
(
2
x
si
ax
x
si
b
x
x
si
x
x
f en los puntos 0

x y
2

x .
Solución:

39
Para que sea derivable debe ser continua en 0

x y 2

x .
En 0

x :







0
)
3
(
lim
0
)
(
lim
x
b
b
x
x
x
f
; 






0
0
)
(
lim
0
)
(
lim
x
x
x
x
f
, luego:
0

b .
En 2

x :






2
4
)
(
lim
2
)
(
lim 2
x
a
ax
x
x
f
; 








2
6
6
)
3
(
lim
2
)
(
lim
x
b
b
x
x
x
f
,
luego: 6
4 
a y
2
3
4
6


a .
Por tanto esta función para ser continua en 0

x y 2

x debería estar definida de la
siguiente forma:













2
2
3
2
0
3
0
)
(
2
x
si
x
x
si
x
x
si
x
x
f .
Estudiamos a continuación la derivabilidad en estos puntos.
En 0

x :
3
0
3
lim
0
0
)
3
(
lim
0
)
0
(
)
0
(
lim
)
0
( 














h
h
h
h
h
h
h
h
f
h
f
f .
1
0
lim
0
0
)
(
lim
0
)
0
(
)
0
(
lim
)
0
( 

















h
h
h
h
h
h
h
h
f
h
f
f .
No es derivable en 0

x .
En 2

x :


















0
0
3
lim
0
6
)
)
2
(
2
3
(
lim
0
)
2
(
)
2
(
lim
)
2
(
2
h
h
h
h
h
h
f
h
f
f .
La función tampoco es derivable en 2

x .
3
)
( x
x
f  , halla las funciones )
(x
f  , )
(x
f 
 y )
(x
f 

 .
Solución:

40















0
3
3
6
3
lim
0
3
)
(
3
lim
0
)
(
)
(
lim
)
(
2
2
2
2
2
h
h
x
h
xh
x
h
h
x
h
x
h
h
x
f
h
x
f
x
f
x
h
h
h
xh
6
0
3
6
lim
2



 .
6
0
6
6
6
lim
0
6
)
(
6
lim
0
)
(
)
(
lim
)
( 
















h
h
x
h
x
h
h
x
h
x
h
h
x
f
h
x
f
x
f
0
0
0
lim
0
6
6
lim
0
)
(
)
(
lim
)
( 
















h
h
h
h
h
x
f
h
x
f
x
f .
4
)
( 2


 x
x
x
f , resuelve la ecuación 0
)
( 
 x
f .
Solución:















0
)
3
4
(
3
)
(
4
)
(
lim
0
)
(
)
(
lim
)
(
2
2
h
h
x
x
h
x
h
x
h
h
x
f
h
x
f
x
f















0
4
2
lim
0
)
3
4
3
4
4
2
(
lim
2
2
2
2
h
h
h
xh
h
h
h
x
x
h
x
xh
h
x
4
2
0
)
4
2
(
lim





 x
h
x
h
.
Por tanto, 4
2
0
)
( 


 x
x
f  2

x .
9.24 Deduce, utilizando la definición de derivada, la función derivada de:
a) x
x
f 
)
( .
b) 2
)
( 2


 x
x
x
f
Solución:
a) Empleamos la regla de los cuatro pasos:
1. h
x
h
x
f 

 )
(
2. x
h
x
x
f
h
x
f 



 )
(
)
(
3.
h
x
h
x
h
x
f
h
x
f 



 )
(
)
(

41
4.
0
lim
)
(





h
h
x
h
x
x
f
Para calcular este límite in determinado, como aparecen radicales, multiplicamos
el numerador y el denominador por el conjugado del numerador
0
)
(
)
)(
(
lim
0
lim
)
(














h
x
h
x
h
x
h
x
x
h
x
h
h
x
h
x
x
f
0
)
(
lim
0
)
(
)
(
)
(
lim
2
2











h
x
h
x
h
h
h
x
h
x
h
x
h
x
0
2
1
)
(
1
lim





h
x
x
h
x .
b) Empleamos, de nuevo, la regla de los cuatro pasos:
1. 2
)
(
)
(
)
( 2





 h
x
h
x
h
x
f
2. h
xh
h
x
x
h
x
h
x
x
f
h
x
f 











 2
)
2
(
2
)
(
)
(
)
(
)
( 2
2
2
3.
h
h
xh
h
h
x
f
h
x
f 



 2
)
(
)
( 2
4.
0
0
0
2
lim
)
(
2






h
h
h
xh
h
x
f
Para calcular este límite indeterminado operamos sacando factor común h:
0
1
2
)
1
2
(
lim
0
)
1
2
(
lim
0
2
lim
)
(
2















h
x
x
h
h
h
x
h
h
h
h
h
xh
h
x
f
11.25 Calcula, utilizando las reglas de derivación, la derivada de las siguientes
funciones:
a) 2
1
1
)
( 


x
x
x
f
b) 2
6
2
)
( x
x
x
f 


42
c) x
x
x
x
f 3
2
2
)
( 4
3



d)
4
2
1
)
( 3
4

sen
x
x
x
f 



e) senx
x
x
x
f 

 3
cos
)
(
Solución:
a) 2
2
1
1
)
( 2
1
1








x
x
x
x
x
f 
x
x
x
x
x
x
f
2
1
1
)
2
1
(
1
)
( 2
2
3
2










.
b) 2
2
1
2
6
2
6
2
)
( x
x
x
x
x
f 




 x
x
x
x
x
x
f 12
1
12
)
2
1
(
2
)
( 2
3








.
c) 2
1
4
1
4
3
1
4
3
3
2
2
3
2
2
)
( x
x
x
x
x
x
x
f 




 
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
3
4
2
3
3
4
2
3
1
2
1
3
2
4
1
2
3
1
)
(
4
3
4 3
4
3 2
2
1
4
3
4
3
2













.
d)
4
2
4
2
1
)
( 3
4
3
4


sen
x
x
sen
x
x
x
f 






 

2
5
2
5
6
4
6
)
4
(
)
( x
x
x
x
x
f 





 
.
e) senx
x
x
x
f 

 3
cos
)
(  x
x
senx
x
x
senx
x
f cos
3
cos
)
3
(
)
( 4
4









 
.
11.26 Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a) )
5
7
)(
2
(
)
( 2
x
x
x
x
f 



b) 3
3
2
)
(
x
x
x
f



c) x
x
x
x
f 

 4
3
)
(
Solución:
a) Se aplica la derivada de un producto de funciones:


















 )
5
)(
2
(
)
5
7
)(
1
2
(
)
5
7
)(
2
(
)
5
7
(
)
2
(
)
( 2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
17
24
15
10
5
5
7
19
10 2
2
2










 x
x
x
x
x
x .
b) Utilizando la fórmula de la derivada de un cociente:
4
6
2
3
6
2
3
2
3
3
3
3
6
2
9
18
6
9
)
2
(
9
3
)
3
(
)
3
)(
2
(
)
3
(
)
2
(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
















 .

43
c) Al aplicar la fórmula de la derivada de un producto resulta:













 )
(
)
(
)
(
)
( 4
3
4
3
4
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
4
3
2
1
4
1
3
1 4
3
4 3
3
3 2
4
4
3
2
1
3
4
3
4
3
2 














.
11.27 Utilizando las reglas de derivación, calcula la derivada de las siguientes
funciones:
a) x
x
x
f 6
)
(
log
)
( 3 

b) x
x
x
x
f 
 )
log(
)
( 2
Solución:
a) x
x
x
f 6
)
(
log
)
( 3 
  6
log
6
log
)
( 3



 x
x
e
x
f .
b) Antes de derivar, simplificamos, utilizando las propiedades de los logaritmos:
x
x
x
x
x
x
x
f 


 )
log(
2
)
log(
)
( 2
 3
)
log(
2
1
1
2
)
log(
2
)
( 





 x
x
x
x
x
f .
11.28 ¿Pueden existir dos funciones distintas f(x) y g(x) que tengan la misma
derivada?
Solución:
Sí, si se diferencien únicamente en una constante.
Por ejemplo: 2
2
)
( x
x
f  y 1
2
)
( 2

 x
x
g , en ambos casos, al ser la derivada de una
constante nula, se obtiene como derivada la función x
x
h 4
)
(  .
11.29 Utilizando las reglas de derivación, calcula la derivada de las siguientes
funciones:
a)
1
)
( 2


x
x
x
f
b) 2
cos
2
)
( x
x
sen
x
f 

c) x
tg
x
tg
x
f 2
4
4
1
)
( 

Solución:

44
a)
1
)
( 2


x
x
x
f  2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
1
(
1
)
1
(
)
2
(
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f .
b) 2
cos
2
)
( x
x
sen
x
f 
  






 )
(cos
)
2
(
cos
)
2
(
)
( 2
2
x
x
sen
x
x
sen
x
f
x
sen
xsenx
x
x
senx
x
x
sen
x
x 2
2
cos
2
cos
2
)
(
)
2
(
)
2
(
cos
2
cos
2 2
2
2
2








 .
c) x
tg
x
tg
x
f 2
4
4
1
)
( 
 
)
2
)(
1
(
)
1
(
2
)
1
(
4
4
1
)
( 3
2
2
2
3
tgx
x
tg
x
tg
x
tg
tgx
x
tg
x
tg
x
f 






 .
12.30 Calcula la derivada de y respecto de x, en las siguientes funciones:
a) 7
5
4 2


 u
u
y , 3
7
2


 x
x
u
b)
3
2
7
3



u
u
y , 3
5 
 x
u
Solución:
a) Aplicando la regla de la cadena:
u
u
u
y 



 5
8 , como x
x
u 7
2 

 , sustituyendo resulta:















 35
10
168
392
56
48
112
16
)
7
2
(
5
)
7
2
)(
3
7
(
8 2
2
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
35
262
168
16 2
3



 x
x
x
b) Análogamente:
1
3
3
)
3
2
(
7
3
2
7 





 u
u
u
u
y  )
2
3
(
)
3
2
)(
1
(
7 2
2
3
u
u
u
u
u
y 






 
.
3
5 
 x
u  5


u .
Sustituyendo en y :


















 

5
2
5
)
3
5
(
3
(
)
3
)
3
5
(
2
)
3
5
((
7
)
2
3
(
)
3
2
)(
1
(
7 2
2
3
2
2
3
x
x
x
u
u
u
u
u
y
2
3
2
2
2
3
)
3
)
3
5
(
2
)
3
5
((
70
)
3
5
(
105
)
5
2
5
)
3
5
(
3
(
)
3
)
3
5
(
2
)
3
5
((
7

















 
x
x
x
x
x
x .
12.31 Calcula la derivada de la función 3
2
)
5
( 
 x
y .
a) Utilizando la regla de la cadena.
b) Sin utilizar la regla de la cadena

45
Solución:
a) Sea 3
u
y  , 5
2

 x
u . Aplicando la regla de la cadena.
x
x
x
x
x
x
x
x
u
u
y 150
60
6
)
2
)(
25
10
(
3
)
5
(
)
5
(
3
3 3
5
2
4
2
2
2
2












 .
b) 125
75
15
)
5
( 2
4
6
3
2





 x
x
x
x
y  x
x
x
y 150
60
6 3
5


 .
12.32 Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a) )
5
log(
)
( 2
x
x
x
f 

b) x
x
x
x
f 
 )
log(
)
( 2
c) )
2
(
log
)
( 
 x
x
x
f
Solución:
a) )
5
log(
)
( 2
x
x
x
f 
 
x
x
x
x
f
5
5
2
)
( 2



 .
b) x
x
x
x
x
x
x
f 


 )
log(
2
)
log(
)
( 2
 1
)
log(
2
1
2
)
log(
2
)
( 




 x
x
x
f .
c) ))
2
log(
(log
2
1
)
2
(
log
)
( 



 x
x
x
x
x
f 
)
2
1
1
(
2
1
)
)
2
log(
(log
2
1
)
(








x
x
x
x
x
f .
12.33 Calcula el valor de la derivada de la función
)
2
cos(
)
2
(






x
x
sen
e
e
y en el punto
2
3

x .
Solución:
Con la regla de la cadena, se calcula la función derivada:














)
2
(
)
2
cos(
)
2
cos(
)
2
( 



x
sen
e
x
e
y
x
x
sen
de donde:
  1
0
1
)
2
(
)
2
cos(
)
2
3
( 1
0
)
2
cos(
)
2
(








 e
e
sen
e
e
y sen


 

.
12.34 Derivada y simplifica la función
x
x
y
cos
1
cos
1
log


 .

46
Solución:
Utilizando las propiedades de los logaritmos:
 
)
cos
1
log(
)
cos
1
log(
2
1
x
x
y 



Derivando:













)
cos
1
(
2
cos
cos
)
cos
1
cos
1
(
2
1
2
x
x
senx
senx
x
senx
senx
x
senx
x
senx
y
senx
x
senx 1
)
cos
1
2
(
2
1
2




 .
12.35 Calcula las funciones derivadas de las funciones, simplificando su expresión
cuando se pueda:
a) 3
3
1
)
(
x
x
x
f

 para 0

x .
b) )
4
log(
3
1
)
( x
x
g  para 0

x .
c) senx
x
x
h 
 cos
)
( para R
x  .
Solución:
a) 4
6
2
3
3
6
3
)
3
1
(
)
3
(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
f







b)
x
x
x
g
3
1
4
4
3
1
)
( 



c) x
x
sen
x
x
x
senx
senx
x
h 2
cos
cos
cos
cos
)
( 2
2









12.36 Deriva x
e
x
senx
y 2
)
cos
log( 

Solución:
x
x
e
tgx
e
x
senx
y 2
2
)
log(
)
cos
log( 



Aplicando las reglas de derivación:
x
x
e
x
senx
e
x
tgx
y 2
2
2
2
cos
1
2
cos
1
1







47
6
)
( 2


 x
x
x
f , calcula las ecuaciones de la recta tangente
y normal en los puntos de abscisas 0

x y 1


x
Solución:
Primero se calcula la función derivada de 3
6
)
( 2


 x
x
x
f :
6
2
)
( 

 x
x
f
Para 0

x : 6
)
0
( 


y
Por otro lado, la ordenada es 3
)
0
( 

y ; por tanto, la ecuación de la tangente es:
x
y 6
3 

 .
La de la recta normal es:
x
y
6
1
3 

13.38 Halla la ecuación de la recta tangente a 2
1
1
x
y

 en 1

x .
Solución:
Calculamos la función derivada de 2
1
1
x
y

 :
2
2
)
1
(
2
x
x
y




Para 1

x :
2
1
4
2
)
1
( 




y
Por otro lado, la ordenada es
2
1
)
1
( 
y , luego la ecuación de la tangente es:
)
1
(
2
1
2
1



 x
y .
13.39 Halla las tangentes a la curva x
x
y 2
3

 , paralelas a la recta x
y  .
Solución:
Como la recta x
y  tiene de pendiente 1

m , hay que calcular los puntos de la curva
cuya derivada valga 1.
Calculamos la función derivada y la igualamos a 1:
1
2
3 2



 x
y implica 1


x
Para 1
1 
x : 1
)
1
( 

f , )
1
,
1
(
1 
P

48
Para 1
2 

x : 1
)
1
( 

f , )
1
,
1
(
2 
P
Las ecuaciones de las tangentes son:
)
1
(
1
1 

 x
y , es decir, 2

 x
y
)
1
(
1
1 

 x
y , es decir, 2

 x
y

49
7. Actividades propuestas
1. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
a)











1
2
1
)
(
2
x
si
x
x
si
x
x
b)









3
2
1
3
7
)
(
x
si
x
x
si
x
2. Calcula los siguientes límites:
a)
1
)
1
3
(
lim 4



x
x
x
b)
2
4
8
lim 2
3




x
x
x
c)
1
1
lim 2
2



x
x
x
x
3. Estudia la continuidad de la función:
a)















3
2
2
3
3
2
3
1
)
(
2
x
si
x
x
si
x
si
x
x
f
b)














2
1
2
1
2
5
1
2
)
(
2
x
si
x
x
si
x
x
si
x
f
4. Estudia la continuidad de la función
9
27
)
( 2
3



x
x
x
f en 3

x .
5. Se considera la función f(x) definida por:

50













1
1
1
1
)
(
x
si
x
x
si
k
x
f
Calcula k para que f(x) sea continua en todos sus puntos.
6. ¿Para qué valores de x es discontinua la siguiente f(x)?
x
x
x
x
x
x
f
2
5
4
)
( 2
3
2




 .
7. Estudia la continuidad de la función:
6
3
9
)
(
2




x
x
x
f .
8. Dada la función 2
2 2

 x
y , calcula la tasa de variación media correspondiente a
los intervalos:
a)  
5
,
1
b)  
5
2
,
1 
c)  
02
1
,
1 
d) ¿Hacia qué valor tiende la sucesión de valores obtenidos?
e) ¿Cuál es la tasa de variación instantánea en 1

x ?.
3
4
)
( 2


 x
x
x
f . Calcula:
a) La variación que sufre en el intervalo  
10
,
1 .
b) La tasa de variación media en el intervalo  
1
,
1 .
c) La tasa de variación media en el intervalo  
01
1
,
1  .
d) La tasa de variación instantánea en 1

x .
2


 x
y , calcula la tasa de variación media correspondiente a
los intervalos:
a)  
5
,
2

51
b)  
5
2
,
2 
c)  
02
2
,
2 
d) ¿Hacia qué valor tiende la sucesión de valores obtenidos?
e) ¿Cuál es la tasa de variación instantánea en 2

x ?
11. Una empresa ha comprobado que la venta de artículos de un producto, en función
del precio, viene dada por la expresión 2
1000
)
( x
x
v 
 . Calcula:
a) La variación de la demanda si el precio pasa de 5 a 10 euros por unidad. ¿La
variación es positiva o negativa?
b) La variación media correspondiente a los intervalos  
10
,
5 ,  
7
,
5 ,  
1
5
,
5  y  
01
5
,
5  .
c) La variación instantánea en x = 5.
4
)
( 2

 x
x
f y el punto 0:
a) Calcula el valor del cociente incremental
h
f
h
f )
0
(
)
0
( 

para 1

h , 5
,
0

h ,
2
,
0

h y 01
,
0

h .
b) ¿Cuál es el valor de )
0
(
f  .
3
)
( 2


 x
x
x
f :
a) Calcula )
1
(
f  mediante límites.
b) ¿Qué significado tiene )
1
(
f  ?
c) Dibuja la recta tangente a esta parábola en el punto 1

x y otra recta cuya
pendiente sea )
1
(
f  , ¿Cómo son ambas rectas?.
3
)
( x
x
f 
 y el punto 1

x :
a) Completa el siguiente cuadro:
x 1 0,5 0,1 0,01
1
)
1
(
)
(


x
f
x
f

52
b) ¿Cuál es la pendiente de la tangente a la curva en 1

x ?
15. Dada la función polinómica de segundo grado c
bx
ax
y 

 2
, halla a, b y c si se
sabe que la gráfica de esta función pasa por los puntos (1,1) y (0,-2) y que la tangente a
la curva en (2,6) es la recta de ecuación: 4

 x
y .
16. Halla la derivada por la derecha y la derivada por la izquierda de la función









0
,
2
0
,
7
3
)
(
x
x
x
x
x
f , en 0

x .
17. ¿Es la función 4
)
( 
 x
x
f derivable en 4

x ?
18. Estudia la continuidad y derivabilidad de








1
1
,
7
3
)
(
x
x
x
x
x
f en el punto
1

x .
19. Estudia la continuidad y derivabilidad de 4
)
( 2

 x
x
f .
20. Estudia la derivabilidad de












1
1
0
0
)
(
2
2
x
si
ax
x
si
b
x
x
si
x
x
f en los puntos 0

x y
1

x .
8
)
( 2


 x
x
x
f , halla las funciones )
(x
f  , )
(x
f 
 y )
(x
f 

 .
5
3
)
( 2


 x
x
x
f , resuelve la ecuación 0
)
( 
 x
f .
23. Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a) )
3
2
(
4
)
( 2
x
x
x
x
f 




53
b)
1
3
2
)
(



x
x
x
f
c) x
e
x
x
f 

2
2
)
(
d) x
x
senx
x
f
4
cos
4
)
(




24. Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a) 2
)
(
x
e
x
f
x

b) x
e
x
f 
)
(
c) x
e
x
x
f )
2
(
)
( 2


25. Utilizando las reglas de derivación, calcula la derivada de las siguientes funciones:
a) x
x
e
x
e
x
f 
 )
log(
)
(
b)
x
x
x
x
f
1
)
log(
)
( 4
2


c)
2
)
( 2


x
e
x
f
senx
d) 2
cos
2
)
( x
ar
x
tg
x
f 

e) x
sen
e
x
f arctgx 2
)
( 

26. Calcula la derivada de y respecto de x, en las siguientes funciones:
a) u
y  , 8
3
2


 x
x
u
b)
3
2


u
u
y ,
4
1


x
u
27. Calcula la derivada de la función 4
)
1
2
( 
 x
y .
a) Utilizando la regla de la cadena
b) Sin utilizar la regla de la cadena
28. Derivada y simplifica las siguientes funciones:

54
a)
senx
senx
x
f



1
1
log
)
(
b) )
1
(
)
(
x
x
tg
x
f 

c)
a
x
arcsen
x
a
x
f 

 2
2
)
(
d) x
e
x
f 
)
(
29. Halla la ecuación de la recta tangente a
1
1
2
2




x
x
x
y en 2

x .
30. Halla la ecuación de las rectas tangentes a senx
y  en 0

x y 

x .
31. Halla las tangentes a la curva
2
3
2
2


 x
x
y , paralelas a la recta 1
2 
 x
y .

55
8. Bibliografía
“Matemáticas. Álgebra-Cálculo-Geometría-Probabilidad” Serie Schaum. ED.
McGrauw-Hill.
“Matemáticas. 3º ESO. Ed. Edelvives.
“Matemáticas. 4º ESO. Opción B. Ed. MCGraw-Hill.
“Matemáticas. 4º ESO. Opción A. Ed. SM.
“Problemas de Matemáticas Especiales”(1989) Cuadernos de la UNED, nº 80.
“Problemas de Matemáticas Especiales”(1995). Mª E. Ballvé y otros. Ed. Sanz y
Torres. Madrid
www.maristasleon.com/MATEMATICAS/4eso/mat4eso.htm
www.juntadeandalucia.es/averroes/iesbajoguadalquivir/mat/cuartob/mates4esob.htm

56
9. Prueba de autoevaluación final
1.- Dada la función:
a) Es discontinua en x=0.
b) Es discontinua en x=5.
c) Es discontinua en x=2.
d) Es continua en R.
2.- La función anterior:
a) Es derivable en x=2.
b) No es derivable en x=5.
c) No es derivable en x=0.
d) Es derivable en R.
3.- Existe recta tangente a la función de la pregunta primera en:
a) x=4.
b) x=5.
c) x=3.
d) Todos los puntos.
4.- La ecuación de la recta tangente a la función:
1
3
)
( 2



x
x
x
x
f

57
En el punto de abscisa 1

x es:
a) x
y 
b) 0
2 

 y
x
c)
2
3

 x
y
d) 1

y
5.- La función:








3
,
3
3
,
)
(
2
x
x
x
ax
x
f
Es continua en todos los puntos si:
a) 9
/
1

a
b) 3

a
c) 3
/
1

a
d) 0

a
6.- La función:








1
,
1
,
)
(
3
x
x
x
x
x
f
a) Es continua en R.
b) Es derivable en R
c) Es derivable en 
1

R .
d) Es discontinua en 1


x
7.- Para que la función:














1
1
1
2
1
1
)
( 2
2
x
si
b
x
x
si
x
a
x
si
ax
x
f
Sea continua en 1


x y 1

x , a y b deben valer:

58
a) 1

a y 1


b .
b) 0

a y 1


b
c) 2

a y 0

b
d) 1

a y 2
/
1


b
8.- Si las tangentes a la curva de ecuación: 18
)
1
(
)
( 2
3




 x
m
mx
mx
x
f
En los puntos A(1,f(1)) y B(2,f(2)) son paralelas, m es igual a:
a) m = 1.
b) m = 4.
c) m = -1.
d) m = 0.
9.- Para que la derivada de la función
2
2
)
(
m
x
x
mx
x
f



En 0

x valga 1, m debe valer.
a) 2.
b) -1.
c) 1.
d) 3.
10.- La derivada de la función:
1
1
log
cos
)
(
2





x
x
x
e
x
f x
sen
Es:
a)
x
x
x
sen
e
x
x
f x
sen






1
1
cos
2
cos
)
(
b) x
x
x
sen
e
x
x
f x
sen
2
cos
cos
)
( 





59
c)
x
x
x
x
sen
e
x
f x






1
1
cos
2
)
(
2
cos
d)
x
x
x
sen
e
x
f x
sen





1
1
cos
2
)
(

60
Soluciones a la Prueba de Autoevaluación final
1  c
2  b
3  c
4  d
5  a
6  a
7  c
8  d
9  c
10 a

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