Aplicaciones de programación lineal en marketing, manufactura, horarios y más

Investigación Operativa 1
Capítulo 3: Aplicaciones de
modelado de
programación lineal
Profesor: Wilmer Atoche Díaz

2
ÍNDICE
1. Aplicaciones en marketing.
2. Aplicaciones en manufactura.
3. Aplicaciones en programación de horarios de
empleados.
4. Aplicaciones en finanzas.
5. Aplicaciones en transporte.
6. Aplicaciones en transbordo.
7. Aplicaciones en mezcla de ingredientes.

3
1. Aplicaciones en Marketing
 Los modelos de programación lineal han sido
utilizados en el campo de la publicidad como auxiliar
en la toma de decisiones para seleccionar una
combinación de medios eficaces.
 Los problemas de selección de medios pueden
enfocarse desde dos perspectivas con PL.
• El objetivo puede ser maximizar la exposición a la
audiencia o minimizar los costos de la publicidad.

4
Medio Audiencia
alcanzada por
anuncio
Costo (intis por
anuncio)
Anuncios
máximos por
semana
Anuncio por TV (1 minuto) 5,000 800.00 12
Periódico diario (anuncio de
página completa)
8,500 925.00 5
Anuncio de radio (30 segundos,
horario estelar)
2,400 290.00 25
Anuncio de radio (1 minuto, por
la tarde)
2,800 380.00 20
Selección de medios
Win Big Gambling Club (1)
Número de jugadores potenciales alcanzados con el uso
de un anuncio en cada uno de los cuatro medios

5
 El club ha presupuestado I/.8,000.00 por semana para
la publicidad local.
 Los acuerdos contractuales requieren que por lo menos
se coloquen cinco anuncios de radio cada semana.
 La administración insiste en que se gasten no más de
I/.1,800.00 en publicidad por radio en la semana.
El objetivo de Win Big Gambling Club es maximizar la
cobertura de la audiencia

6
Sean:
X1 =número de anuncios de TV de 1 minuto contratados
cada semana
X2 =número de anuncios de página completa en
periódicos contratados cada semana
X3 =número de anuncios de radio de 30 segundos en
horario estelar contratados cada semana
X4 =número de anuncios de radio de 1 minuto en
horario vespertino contratados cada semana

7
Maximizar Z = 5,000X1 + 8,500X2 + 2,400X3 + 2,800X4 (cobertura de la
audiencia semanal)
Sujeta a
X1 ≤ 12 (máximo número de anuncios en TV)
X2 ≤ 5 (máximo número de anuncios en periódico)
X3 ≤ 25 (máximo número de anuncios de 30 segundos en radio)
X4 ≤ 20 (máximo número de anuncios de 1 minuto en radio)
800X1 + 925X2 + 290X3 + 380X4 ≤ 8,000 (presupuesto para publicidad)
X3 + X4 ≥ 5 (mínimo número de anuncios de radio contratados)
290X3 + 380X4 ≤ 1,800 (importe máximo gastado en radio)
Con X1 , X2 , X3 , X4 ≥ 0

8
Solución óptima
Se deben contratar 1.97 anuncios de TV (X1), 5
anuncios de periódico (X2), 6.2 anuncios de radio de
30 segundos (X3) y ningún anuncio de radio de 1
minuto (X4).
La audiencia semanal captada es de 67,240.3
jugadores.

9
Win Big Gambling Club – LINDO

Win Big Gambling Club – Winqsb
10

Win Big Gambling Club – Winqsb
11

12
Win Big Gambling Club – Solver

13
 La programación lineal también se ha aplicado a
problemas de investigación de marketing y en el área
de investigación de consumo.
 El ejemplo siguiente ilustra que los encuestadores
estadísticos pueden llegar a tomar decisiones
estratégicas con PL.
1. Aplicaciones en Marketing

14
MSA determina que debe satisfacer varios requerimientos para
obtener conclusiones estadísticamente válidas:
1. Encuestar a por lo menos 2,300 hogares de EEUU.
2. Encuestar a por lo menos 1,000 hogares cuyas cabezas tengan 30
años o menos.
3. Encuestar a por lo menos 600 hogares cuyas cabezas estén entre
31 y 50 años.
4. Garantizar que, por lo menos, 15% de los encuestados vivan en un
estado fronterizo con México.
5. Garantizar que no más de 20% de los encuestados de 51 años o
más vivan en un estado fronterizo con México.
MSA decide que todas las encuestas deberán llevarse a cabo en
persona.
Investigación de marketing
Management Sciences Associates (1)

15
Costos por persona encuesta según región y categoría
de edad (intis)
El objetivo de MSA es satisfacer los cinco requerimientos de
muestreo al mínimo costo posible.
Región Edad ≤ 30 Edad 31-50 Edad ≥51
Estado fronterizo con
México
7.50 6.80 5.50
Estado no fronterizo con
México
6.90 7.25 6.10

16
Sean:
X1 = número de encuestados de 30 años o menos que
viven en un estado fronterizo.
X2 = número de encuestados de 31 a 50 años que
X3 = número de encuestados de 51 años o más que
X4 = número de encuestados de 30 años o menos que no
X5 = número de encuestados de 31 a 50 años que no
X6 = número de encuestados de 51 años o más que no

17
Minimizar = 7.5X1 + 6.8X2 + 5.5X3 + 6.9X4 + 7.25X5 + 6.1X6
(Minimizar los costos de las entrevistas)
Sujeta a
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 ≥ 2,300 (hogares totales)
X1 + X4 ≥ 1,000 (hogares cuyos miembros tengan 30 años o menos)
X2 + X5 ≥ 600 (hogares cuyos miembros tengan 31-50 años de edad
X1 + X2 + X3 ≥ 0.15(X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6) (estados
fronterizos)
X3 ≤ 0.2(X3 + X6) (límite en el grupo de edad de 51+ que viven en un
estado fronterizo)
Con X1, X2, X3, X4, X5, X6 ≥ 0

18
Solución óptima
Región Edad ≤ 30 Edad 31-50 Edad ≥ 51
Estado fronterizo con
México
0
(X1)
600
(X2)
140
(X3)
Estado no fronterizo con
México
1,000
(X4)
0
(X5)
560
(X6)
El costo total de las entrevistas es I/.15,166.00.

19
Management Sciences Associates – LINDO

20
Management Sciences Associates – Solver

21
2. Aplicaciones en Manufactura
 Un campo fértil para el uso de PL es la
planeación de la mezcla de producción que se
deben fabricar.
 Una compañía debe satisfacer un conjunto de
restricciones, que van desde cuestiones
financieras hasta demanda de ventas,
contratos de materiales y demandas de los
sindicatos.
 Su objetivo principal es generar la utilidad
máxima posible.

22
Cuatro variedades de corbatas son producidas:
• Una es una corbata de seda.
• Una de poliéster.
• Dos compuestas de poliéster y algodón.
Mezcla de producción
Fifth Avenue Industries (1)

23
Costo y disponibilidad mensual de los tres
materiales que se utilizan en el proceso de
producción
Material Costo (intis por
yarda)
Material disponible
por mes (yardas)
Seda 21 800
Poliéster 6 3,000
Algodón 9 1,600

24
Precio de venta; contrato y demanda mensual; y
requerimientos de material para cada tipo de corbata
Variedad de
corbata
Precio de
venta (intis
por corbata)
Contrato
mínimo
mensual
Demanda
mensual
Material requerido
por corbata (yardas)
Requerimiento de
material
Seda 6.70 6,000 7,000 0.125 100% seda
Poliéster 3.55 10,000 14,000 0.080 100% poliéster
Mezcla 1 de
poliéster y
algodón
4.31 13,000 16,000 0.100
50% poliéster -
50% algodón
Mezcla 2 de
poliéster y
algodón
4.81 6,000 8,500 0.100
30% poliéster -
70% algodón

25
Sean:
X1 = número de corbatas de seda producidas y vendidas
por mes
X2 = número de corbatas de poliéster producidas y
vendidas por mes
X3 = número de corbatas de mezcla 1 de poliéster-algodón
producidas y vendidas por mes.
X4 = número de corbatas de mezcla 2 de poliéster-algodón
producidas y vendidas por mes.
El objetivo de Fifth Avenue es maximizar su utilidad
mensual.

26
Cálculo de la utilidad por corbata
Utilidad = Precio de venta
– Costo por yarda X yardas por corbata
Corbata de seda = 6.70 – 21.00 x 0.125 = I/.4.08
Corbata de poliéster = 3.55 – 6.00 x 0.08 = I/.3.07
Corbata de mezcla 1 = 4.31 – (6.00 x 0.05 + 9.00 x 0.05)
= I/.3.56
Corbata de mezcla 2 = 4.81 – (6.00 x 0.03 + 9.00 x 0.07)
= I/.4.00

27
Maximizar Z = 4.075X1 + 3.07X2 + 3.56X3 + 4.00X4
(Maximizar la utilidad)
Sujeta a
0.125X1 ≤ 800 (yardas de seda)
0.08X2 + 0.05X3 + 0.03X4 ≤ 3,000 (yardas de poliéster)
0.05X3 + 0.07X4 ≤ 1,600 (yardas de algodón)
X1 ≥ 6,000 (contrato mínimo de corbatas de seda)
X1 ≤ 7,000 (demanda máxima de corbatas de seda)
X2 ≥ 10,000 (contrato mínimo de corbatas de poliéster)
X2 ≤ 14,000 (demanda máxima de corbatas de poliéster)
X3 ≥ 13,000 (contrato mínimo de corbatas de mezcla 1)
X3 ≤ 16,000 (demanda máxima de corbatas de mezcla 1)
X4 ≥ 6,000 (contrato mínimo de corbatas de mezcla 2)
X4 ≤ 8,500 (demanda máxima de corbatas de mezcla 2)
Con X1, X2, X3, X4 ≥ 0

28
Solución óptima
La producción mensual es 6,400 corbatas de seda
(X1); 14,000 corbatas de poliéster (X2); 16,000
corbatas de mezcla 1 poliéster-algodón (X3); y
8,500 corbatas de mezcla 2 poliéster-algodón
(X4).
La utilidad mensual es de I/.160,020.

29
Mezcla de
producción
Fifth Avenue
Industries –
LINDO

30
Fifth Avenue Industries – Solver

31
 La programación de producción se parece al modelo
de mezcla de productos para cada periodo en el
futuro.
 El objetivo es maximizar la utilidad o minimizar el costo
total (producción más inventario) de realizar la tarea.
 Este tipo de problema se presta para ser resuelta con
PL porque es un problema que debe ser resuelto de
forma regular.
 Cuando se establece la función objetivo y las
restricciones de una compañía, los datos de entrada
son fáciles de cambiar cada mes para proporcionar un
programa actualizado.
2. Aplicaciones en Manufactura (1)

32
 Establecer un programación de producción de bajo
costo durante un periodo de semanas o meses es
difícil y un programa administrativo importante para la
mayoría de las plantas.
 El gerente de producción tiene que considerar
muchos factores:
• Capacidad de mano de obra,
• Costos de inventario y almacenaje,
• Limitaciones de espacio,
• Demanda de producto, y
• Relaciones laborales.
 Debido a que la mayoría de las compañías producen
más de un producto, el proceso de programación a
menudo es bastante complejo.
2. Aplicaciones en Manufactura (2)

33
Programación de producción
Greenberg Motors (1)
Modelo Enero Febrero Marzo Abril
GM3A 800 700 1,000 1,100
GM3B 1,000 1,200 1,400 1,400
Programa de pedidos para cuatro meses de motores
eléctricos
Costos de producción
I/.10.00 por motor GM3A
I/.6.00 por motor GM3B
Costos de almacenamiento
I/.0.18 por mes-motor GM3A
I/.0.13 por mes-motor GM3B
Un contrato de trabajo que entra en vigor el primero de
marzo elevará en 10% los costos de producción

34
Disponibilidad de mano de obra
Nivel de empleo mínimo de 2,240 horas
Nivel de empleo máximo de 2,560 horas
Requerimientos de mano de obra
1.3 horas de mano de obra por motor GM3A
0.9 horas de mano de obra por motor GM3B
Motores sobrantes a finales de abril
450 motores GM3A y 300 motores GM3B
Capacidad de almacenamiento
3,300 motores de uno u otro tipo en todo momento

35
Sean:
XAi = número de motores modelo GM3A producidos en el
mes i
XBi = número de motores modelo GM3B producidos en el
mes i
YAi = nivel de inventario disponible de motores GM3A al
final del mes i
YBi = nivel de inventario disponible de motores GM3B al
final del mes i
Donde i = 1, 2, 3, 4;
(1 = enero, 2 = febrero, 3 = marzo, 4 = abril)
El objetivo de Greenberg Motors es minimizar los costos
totales.

36
Minimizar Z = 10XA1 + 10XA2 + 11XA3 + 11XA4 + 6XB1 + 6XB2 +
6.60XB3 + 6.60XB4 + 0.18YA1 + 0.18YA2 + 0.18YA3 + 0.18YA4 +
0.13YB1 + 0.13YB2 + 0.13YB3 + 0.13YB4 (Minimizar los costos totales)
Sujeta a
YA1 = 0 + XA1 – 800 (Inventario final de enero para GM3A)
YB1 = 0 + XB1 – 1,000 (Inventario final de enero para GM3B)
YA2 = YA1 + XA2 – 700 (Inventario final de febrero para GM3A)
YB2 = YB1 + XB2 – 1,200 (Inventario final de febrero para GM3B)
YA3 = YA2 + XA3 – 1,000 (Inventario final de marzo para GM3A)
YB3 = YB2 + XB3 – 1,400 (Inventario final de marzo para GM3B)
YA4 = YA3 + XA4 – 1,100 (Inventario final de abril para GM3A)
YB4 = YB3 + XB4 – 1,400 (Inventario final de abril para GM3B)
…

37
…
YA4 = 450 (Motores GM3A sobrantes a finales de abril)
YB4 = 300 (Motores GM3B sobrantes a finales de abril)
YA1 + YB1 ≤ 3,300 (Capacidad de almacenamiento en enero)
YA2 + YB2 ≤ 3,300 (Capacidad de almacenamiento en febrero)
YA3 + YB3 ≤ 3,300 (Capacidad de almacenamiento en marzo)
YA4 + YB4 ≤ 3,300 (Capacidad de almacenamiento en abril)
1.3XA1 + 0.9XB1 ≥ 2,240 (Mano de obra mínima en enero)
1.3XA1 + 0.9XB1 ≤ 2,560 (Mano de obra máxima en enero)
1.3XA2 + 0.9XB2 ≥ 2,240 (Mano de obra mínima en febrero)
1.3XA2 + 0.9XB2 ≤ 2,560 (Mano de obra máxima en febrero)
1.3XA3 + 0.9XB3 ≥ 2,240 (Mano de obra mínima en marzo)
1.3XA3 + 0.9XB3 ≤ 2,560 (Mano de obra máxima en marzo)
1.3XA4 + 0.9XB4 ≥ 2,240 (Mano de obra mínima en abril)
1.3XA4 + 0.9XB4 ≤ 2,560 (Mano de obra máxima en abril)
Con XAi, XBi, YAi, YBi ≥ 0

38
El costo total en los cuatro meses es I/.76,301.62
Programa de
producción
Enero Febrero Marzo Abril
Producción de GM3A 1,276.9 1,138.5 842.3 792.3
Producción de GM3B 1,000 1,200 1,400 1,700
Inventario de GM3A 476.9 915.4 757.7 450
Inventario de GM3B 0 0 0 300
Horas de trabajo 2,560 2,560 2,355 2,560
Solución óptima

39
Greenberg Motors – LINDO (1)

40

41

42
Greenberg Motors – Solver

43
 Los problemas de asignación implican determinar la
asignación más eficiente de:
• Personas a trabajos,
• Máquinas a tareas,
• Patrullas policíacas a sectores de la ciudad,
• Personal de ventas a territorios.
 El objetivo podría ser:
• Minimizar los tiempos de recorridos o costos, o
• Maximizar la eficacia de las asignaciones.
3. Aplicaciones en programación de
horarios de empleados (1)

44
 Los problemas de asignación son únicos porque
• Tienen el coeficiente 1 asociado con cada variable en las
restricciones de PL;
• El lado derecho de cada restricción también siempre es igual
a 1.
 El uso de problemas de asignación da soluciones 0 o 1
para cada variable de la formulación.
horarios de empleados (2)

45
 La firma mantiene un gran equipo de jóvenes abogados.
 Iván, preocupado con la utilización eficaz de sus recursos de
personal, busca un medio objetivo para hacer las asignaciones
abogado-cliente.
 Buscando maximizar la eficiencia total de las nuevas
asignaciones de clientes, Iván elabora la tabla mostrada en la
siguiente diapositiva, en la cual evalúa la efectividad (en una
escala de 1 a 9) de cada abogado en cada caso nuevo.
Problema de asignación
Ivan and Ivan Law Firm (1)

46
Clasificaciones de eficacia de Iván
Abogado Caso
Divorcio
Caso
Fusión
Comercial
Caso
Desfalco
Caso
Exhibicionismo
Adams 6 2 8 5
Brooks 9 3 5 8
Carter 4 8 3 4
Darwin 6 7 6 4

47
Sean:
Xij = { 1 si el abogado i se asigna al caso j
0 de otra forma
Donde:
i = 1,2,3,4;
(1 = Adams, 2 = Brooks, 3 = Carter, 4 = Darwin)
j = 1,2,3,4;
(1 = divorcio, 2 = fusión comercial, 3 = desfalco, 4 = exhibicionismo)

48
Maximizar Z = 6X11 + 2X12 + 8X13 + 5X14 +
9X21 + 3X22 + 5X23 + 8X24 +
4X31 + 8X32 + 3X33 + 4X34 +
6X41 + 7X42 + 6X43 + 4X44
(Maximizar la eficiencia)
Sujeta a
X11 + X21 + X31 + X41 = 1 (divorcio)
X12 + X22 + X32 + X42 = 1 (fusión)
X13 + X23 + X33 + X43 = 1 (desfalco)
X14 + X24 + X34 + X44 = 1 (exhibicionismo)
X11 + X12 + X13 + X14 = 1 (Adams)
X21 + X22 + X23 + X24 = 1 (Brooks)
X31 + X32 + X33 + X34 = 1 (Carter)
X41 + X42 + X43 + X44 = 1 (Darwin)
Con Xij ≥ 0

49
Solución óptima
Las asignaciones son: Adams al caso de
desfalco (X13); Brooks al caso de
exhibicionismo (X24); Carter al caso de
fusión comercial (X32); y Darwin al caso de
divorcio (X41).
La eficacia total es 30.

50
Ivan and Ivan Law Firm – LINDO

51
Problema de
asignación
Ivan and Ivan
Law Firm –
LINDO

52
Ivan and Ivan Law Firm – Solver

53
 Los problemas de planeación del trabajo abordan las
necesidades de personal durante un periodo específico.
 Son especialmente útiles cuando los administradores
tienen cierta flexibilidad al asignar trabajadores a tareas
que requieren superposición o talentos intercambiables.
horarios de empleados

54
Planeación del trabajo
Hong Kong Bank (1)
Periodo Número de cajeras
9 a.m. – 10 a.m. 10
10 a.m. – 11 a.m. 12
11 a.m. – Mediodía 14
Mediodía – 1 p.m. 16
1 p.m. – 2 p.m. 18
2 p.m. – 3 p.m. 17
3 p.m. – 4 p.m. 15
4 p.m. – 5 p.m. 10
Requerimiento de cajeras durante el día

55
Hong Kong Bank (2)
Cajeras de tiempo completo (35 horas semanales)
Horario de trabajo: 9 a.m. – 5 p.m.
Disponibilidad: 12 cajeras
Refrigerio: 11 a.m. – Mediodía (mitad); Mediodía – 1
p.m. (mitad)
Jornada diaria: 7 horas
Remuneración: I/.100.00 por día
Cajeras de tiempo parcial (20 horas semanales)
Horario de trabajo: 9 a.m. – 5 p.m.
Jornada diaria: 4 horas
Remuneración: I/.8.00 por hora

56
Hong Kong Bank (3)
Política corporativa
Horas de jornada parcial diaria como máximo 50% del
requerimiento total diario
Horario de almuerzo
11 a.m. a 1 p.m.

57
Hong Kong Bank (4)
Sean:
Y = número de cajeras a tiempo completo
X1 = número de cajeras de tiempo parcial que entran a
las 9 a.m. y salen a la 1 p.m.
X4 = número de cajeras de tiempo parcial que entran al
mediodía y salen a la 4 p.m.
X5 = número de cajeras de tiempo parcial que entran a la
1 p.m. y salen a la 5 p.m.
El objetivo de Hong Kong Bank es minimizar los costos
totales de personal.

58
Hong Kong Bank (5)
Minimizar Z = 100Y + 32X1 + 32X2 + 32X3 + 32X4 + 32X5
(Minimizar el costo total del personal)
Sujeta a
Y + X1 ≥ 10 (requerimiento de 9 a.m. a 10 a.m.)
Y + X1 + X2 ≥ 12 (requerimiento de 10 a.m. a 11 a.m.)
0.5Y + X1 + X2 + X3 ≥ 14 (requerimiento de 11 a.m. a mediodía)
0.5Y + X1 + X2 + X3 + X4 ≥ 16 (requerimiento de mediodía a 1
p.m.)
Y + X2 + X3 + X4 + X5 ≥ 18 (requerimiento de 1 p.m. a 2 p.m.)
Y + X3 + X4 + X5 ≥ 17 (requerimiento de 2 p.m. a 3 p.m.)
Y + X4 + X5 ≥ 15 (requerimiento de 3 p.m. a 4 p.m.)
Y + X5 ≥ 10 (requerimiento de 4 p.m. a 5 p.m.)
…

59
Hong Kong Bank (6)
…
Y ≤ 12 (disponibilidad de cajeras de tiempo completo)
4X1 + 4X2 + 4X3 + 4X4 + 4X5 ≤ 0.50(112) (horas de empleados de
tiempo parcial no pueden exceder de 50% del total de horas
requeridas)
Con Y, X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0

60
Hong Kong Bank (7)
Solución óptima
Hay varias soluciones óptimas, una de las cuales es
emplear 10 cajeras de tiempo completo (Y), 2
cajeras de tiempo parcial que entren a las 10 a.m.
(X2), 7 cajeras de tiempo parcial que entren a las
11 a.m. (X3), y 5 cajeras de tiempo parcial que
entren a mediodía (X4). Ningún empleado de
tiempo parcial entraría a las 9. a.m. (X1) o a la 1
p.m. (X5).
El costo total del personal por día es I/.1,448.00.

61
Planeación del
trabajo
Hong Kong Bank –
LINDO

62
Hong Kong Bank – Solver

63
 La selección de carteras o inversiones específicas de
entre una amplia variedad de alternativas es un
problema frecuente enfrentado por:
• Gerentes de bancos,
• Fondos mutuos,
• Servicios de inversión, y
• Compañías de seguros.
 El objetivo global del gerente es maximizar la
devolución esperada de la inversión
• Dado un conjunto de restricciones de riesgo, políticas o
legales.
4. Aplicaciones en finanzas

64
ICT tiene de I/.5’000,000 disponibles para
inversión inmediata y desea hacer dos cosas:
1. Maximizar el interés que se devenga sobre las
inversiones realizadas durante los siguientes seis
meses, y
2. Satisfacer los requerimientos de diversificación que
estableció la junta de directores.
Selección de cartera
International City Trust (1)

65
Además, la junta especifica que:
 Por lo menos 55% de los fondos invertidos deben ser en acciones en oro
y préstamos para construcción, y que
 No menos de 15% se debe invertir en crédito comercial.
Inversión Interés
devengado (%)
Inversión máxima
(millones de intis)
Crédito comercial 7 1.00
Bonos corporativos 11 2.50
Acciones en oro 19 1.50
Préstamos para construcción 15 1.80
Posibilidades de inversión

66
Sean:
X1 = monto de intis invertidos en crédito comercial
X2 = monto de intis invertidos en bonos corporativos
X3 = monto de intis invertidos en acciones en oro
X4 = monto de intis invertidos en préstamos para construcción

67
Maximizar Z = 0.07X1 + 0.11X2 + 0.19X3 + 0.15X4
(Maximizar el monto de intis de interés devengado)
Sujeta a
X1 ≤ 1’000,000 (inversión máxima en crédito comercial)
X2 ≤ 2’500,000 (inversión máxima en bonos corporativos)
X3 ≤ 1’500,000 (inversión máxima en acciones en oro)
X4 ≤ 1’800,000 (inversión máxima en préstamos para
construcción)
X3 + X4 ≥ 0.55(X1+X2+X3+X4) (fondos en acciones y préstamos)
X1 ≥ 0.15(X1+X2+X3+X4) (fondos en crédito comercial)
X1 + X2 + X3 + X4 ≤ 5’000,000 (capital disponible para invertir)
Con X1, X2, X3, X4 ≥ 0

68
Solución óptima
Se deben invertir I/.750,000.00 en crédito
comercial (X1), I/.950,000.00 en bonos
corporativos (X2), I/.1’500,000.00 en acciones en
oro (X3), y I/.1’800,000.00 en préstamos para
construcción (X4).
El interés total devengado es I/.712,000.00.

69
Selección de
cartera
International
City Trust –
LINDO

70
International City Trust – Solver

71
 El problema de transporte o envío implica
determinar la cantidad de artículos o productos que
deben ser transportados de varios orígenes a
varios destinos.
 El objetivo en general es minimizar los costos y
distancias de envío totales.
 Las restricciones en este tipo de problema se
relacionan con las capacidades en cada origen y
los requerimientos en cada destino.
5. Aplicaciones en Transporte

72
 La firma cuenta con plantas de ensamble en dos
ciudades: Nueva Orleans y Omaha.
 Sus tres almacenes principales están ubicados cerca de
los grandes mercados de Nueva York, Chicago, y Los
Angeles.
 Los requerimientos de ventas y la capacidad de
producción de cada ciudad son:
Problema de envío
The Top Speed Bicycle Co. (1)
Ciudad Demanda Capacidad
Nueva York 10,000 NA
Chicago 8,000 NA
Los Angeles 15,000 NA
Nueva Orleans NA 20,000
Omaha NA 15,000

73
La figura representa la red del problema
Nueva Orleans
Omaha
Nueva York
Chicago
Los Ángeles
Origen
Destino
Problema de envío

74
De
A Nueva Orleans Omaha
Nueva York 2.00 3.00
Chicago 3.00 1.00
Los Ángeles 5.00 4.00
La compañía desea desarrollar un programa de envíos que
minimice sus costos de transporte anuales.
El costo de envío de una bicicleta desde cada fábrica hasta cada
almacén difiere. Estos costos en intis son:
Problema de envío

75
Sean:
X11 = número de bicicletas enviadas de Nueva Orleans a
Nueva York
Chicago
Los Angeles
X21 = número de bicicletas enviadas de Omaha a Nueva
York
X22 = número de bicicletas enviadas de Omaha a
Chicago
X23 = número de bicicletas enviadas de Omaha a Los
Angeles
Problema de envío

76
Minimizar Z = 2X11 + 3X12 + 5X13 + 3X21 + 1X22 + 4X23
(Minimizar los costos totales de envío)
Sujeta a
X11 + X21 = 10,000 (Demanda de Nueva York)
X12 + X22 = 8,000 (Demanda de Chicago)
X13 + X23 = 15,000 (Demanda de Los Angeles)
X11 + X12 + X13 ≤ 20,000 (Existencias en Nueva
Orleans)
X21 + X22 + X23 ≤ 15,000 (Existencias en Omaha)
Con Xij ≥ 0
Problema de envío

77
Solución óptima
El costo total de envío es I/.96,000.00.
De
A Nueva Orleans Omaha
Nueva York 10,000 0
Chicago 0 8,000
Los Angeles 8,000 7,000
Problema de envío

78
Problema de
envío
The Top
Speed Bicycle
Co. –
LINDO

79
Problema de envío
The Top Speed Bicycle Co. – Solver

80
 El problema de transporte es un caso especial del problema
de transbordo o centros de distribución.
 Si los artículos se transportan desde el origen a través de un
punto intermedio
• llamado punto de transbordo
antes de llegar a su destino final
• Entonces el problema es llamado problema de transbordo.
 Por ejemplo, una compañía podría fabricar un producto en
varias plantas para ser enviado a varios centros de
distribución regionales
• Desde estos centros los artículos son enviados a tiendas de venta al
menudeo que son destinos finales.
6. Aplicaciones en Transbordo

81
La figura representa la red del problema
Centros de distribución
Frosty Machines (1)
Toronto
Detroit
Chicago
Búfalo
Nueva York
Filadelfia
San Luis
Origen Transbordo
Destino

82
A
De
Chicago Búfalo Nueva
York
Filadelfia San
Luis
Existen-
cias
Toronto 4.00 7.00 NA NA NA 800
Detroit 5.00 7.00 NA NA NA 700
Chicago NA NA 6.00 4.00 5.00
Búfalo NA NA 2.00 3.00 4.00
Demanda 450 350 300
Frosty Machines (2)
El costo de envío de una máquina desde cada planta hasta cada
centro de distribución difiere. Estos costos en intis son:

83
 La meta es minimizar los costos de transporte asociados con el
envío de suficientes barredoras de nieve para satisfacer las
demandas en los tres destinos sin que se excedan las
existencias de cada fábrica.
 Por lo tanto, se tienen restricciones de existencias y demandas
similares al problema de transporte.
 Como no se producen unidades en Chicago o Búfalo, cualquier
cantidad enviada desde estos puntos de transbordo deben haber
arribado de Toronto o Detroit.
 Por consiguiente, Chicago y Búfalo tendrán una restricción que
indique esta situación.
Frosty Machines (3)

84
Minimizar el costo, considerando que:
1. El número de máquinas enviadas desde Toronto no es más de
800.
2. El número de máquinas enviadas desde Detroit no es más de
700.
3. El número de máquinas enviadas a Nueva York es 450.
4. El número de máquinas enviadas a Filadelfia es 350.
5. El número de máquinas enviadas a San Luis es 300.
6. El número de máquinas enviadas desde Chicago es igual al
número de máquinas enviadas a Chicago.
7. El número de máquinas enviadas desde Búfalo es igual al
número de máquinas enviadas a Búfalo.
Frosty Machines (4)

85
Frosty Machines (5)
Sean:
X11 = número de máquinas enviadas de Toronto a Chicago
X12 = número de máquinas enviadas de Toronto a Búfalo
X21 = número de máquinas enviadas de Detroit a Chicago
X22 = número de máquinas enviadas de Detroit a Búfalo
Y11 = número de máquinas enviadas de Chicago a Nueva York
Y12 = número de máquinas enviadas de Chicago a Filadelfia
Y13 = número de máquinas enviadas de Chicago a San Luis
X21 = número de máquinas enviadas de Búfalo a Nueva York
X22 = número de máquinas enviadas de Búfalo a Filadelfia
X23 = número de máquinas enviadas de Búfalo a San Luis

86
Frosty Machines (6)
Minimizar Z = 4X11 + 7X12 + 5X21 + 7X22 + 6Y11 + 4Y12
+ 5Y13 + 2Y21 + 3Y22 + 4Y23 (Minimizar los costos
totales de envío)
Sujeta a
X11 + X12 ≤ 800 (Existencias en Toronto)
X21 + X22 ≤ 700 (Existencias en Detroit)
Y11 + Y21 = 450 (Demanda en Nueva York)
Y12 + Y22 = 350 (Demanda en Filadelfia)
Y13 + Y23 = 300 (Demanda en San Luis)
X11 + X21 = Y11 + Y12 + Y13 (Envío a través de Chicago)
X12 + X22 = Y21 + Y22 + Y23 (Envío a través de Búfalo)
Con X11, X12, X21, X22, Y11, Y12, Y13, Y21, Y22, Y23 ≥ 0

87
Frosty Machines (7)
Solución óptima
Se deberán enviar:
• 650 unidades de Toronto a Chicago
• 150 unidades de Toronto a Búfalo
• 300 unidades de Detroit a Búfalo
• 350 unidades de Chicago a Filadelfia
• 300 unidades de Chicago a San Luis
• 450 unidades de Búfalo a Nueva York.
El costo total es I/.9,550.00.

88
Centros de
distribución
Frosty Machines –
LINDO

89
Frosty Machines – Solver

90
7. Aplicaciones en mezcla de
ingredientes
 El problema de dieta, una de las principales aplicaciones
de PL, originalmente fue utilizado por hospitales para
determinar la dieta más económica para pacientes.
 Conocido en aplicaciones agrícolas como problema de
mezcla de alimentos, el problema de dieta implica
especificar un alimento o combinación de ingredientes
alimenticios que satisfaga los requerimientos
nutricionales a un nivel de costo mínimo.

91
 El requerimiento diario mínimo de un adulto (ración
diaria recomendada en Estados Unidos) es:
• 3 unidades de proteínas;
• 2 unidades de riboflavina;
• 1 unidad de fósforo; y
• 0.425 unidades de magnesio.
 Whole Food desea elegir la mezcla de granos que
satisfaga la ración de 2 onzas a un costo mínimo.
Problema de dieta
The Whole Food Nutrition Center (1)
Grano Costo por
libra
(centavos)
Proteína
(unidades /
libra)
Riboflavina
(unidades /
libra)
Fósforo
(unidades /
libra)
Magnesio
(unidades /
libra)
A 33 22 16 8 5
B 47 28 14 7 0
C 38 21 25 9 6

92
Minimizar Z = 0.33XA + 0.47XB + 0.38XC
(minimizar el costo total de mezclar una porción de cereal)
Sujeta a
22XA + 28XB + 21XC ≥ 3 (unidades de proteína)
16XA + 14XB + 25XC ≥ 2 (unidades de riboflavina)
8XA + 7XB + 9XC ≥ 1 (unidades de fósforo)
5XA + 0XB + 6XC ≥ 0.425 (unidades de magnesio)
XA + XB + XC = 0.125 (mezcla total es de 0.125 libras)
Con XA, XB, XC ≥ 0
Problema de dieta
Sean:
XA = cantidad de libras del grano A en una ración de 2 onzas de
cereal
XB = cantidad de libras del grano B en una ración de 2 onzas de
cereal
XC = cantidad de libras del grano C en una ración de 2 onzas de
cereal

93
Solución óptima
En cada ración de 2 onzas de cereal debe haber 0.025
libras de grano A (XA), 0.050 libras de grano B (XB), y 0.050
libras de grano C (XC).
El costo por ración es I/.0.05.
Problema de dieta

94
Problema de
dieta
The Whole
Food
Nutrition
Center –
LINDO

95
Problema de dieta
The Whole Food Nutrition Center – Solver

96
 Los problemas de mezcla de alimentos y de dieta son casos
especiales de una clase más general de problemas de PL conocidos
como problemas de mezclado o de ingredientes.
 Los problemas de mezclado surgen cuando se debe decidir con
respecto a la mezcla de dos o más recursos para producir uno o
más productos.
 Los recursos, en este caso, contienen uno o más ingredientes
esenciales que deben ser mezclados de modo que cada producto
final contenga porcentajes específicos de cada ingrediente.
7. Aplicaciones en mezcla de
ingredientes
Problema de mezclado o de ingredientes

97
Problema de mezclado
Low Knock Oil Company (1)
Demanda semanal mínima
Gasolina regular: 25,000 barriles
Gasolina económica: 32,000 barriles
Tipo de petróleo
crudo
Ingrediente A
(%)
Ingrediente B
(%)
Costo (intis
por barril)
X100 35 55 30.00
X220 60 25 34.80
La producción de dos tipos de gasolina (regular y económica) es a través de la
refinación de una mezcla de dos tipos de crudos (X100 y X200).
Composición de la mezcla
Por lo menos 45% de cada barril de tipo regular debe ser de ingrediente A
Como máximo, cada barril de tipo económico deberá contener 50% de
ingrediente B.

98
Sean:
X1 = barriles de crudo X100 mezclado para producir la gasolina
regular
económica
regular
económica

99
Minimizar Z = 30X1 + 30X2 + 34.8X3 + 34.8X4
(minimizar el costo de compra de crudo)
Sujeta a
X1 + X3 ≥ 25,000 (demanda de gasolina regular)
X2 + X4 ≥ 32,000 (demanda de gasolina económica)
0.35X1 + 0.60X3 ≥ 0.45X1 + 0.45X3 (relación entre gasolina regular
y el ingrediente A)
0.55X2 + 0.25X4 ≤ 0.50X2 + 0.50X4 (relación entre gasolina
económica y el ingrediente B)
Con X1, X2, X3 , X4 ≥ 0

100
Solución óptima
Se mezclarán 15,000 barriles de X100 en gasolina regular (X1),
26,666.67 barriles de X100 en la gasolina económica (X2), 10,000
barriles de X220 en la gasolina regular (X3) y 5,333.33 barriles de
X220 en la gasolina económica (X4).
El costo total de la mezcla es I/.1’783,60.00.

101
Problema de
mezclado
Low Knock Oil
Company –
LINDO

102
Low Knock Oil Company - Solver

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