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1. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T. 1
COMBINACIONES LINEALES
TEMA 2.4 * 2º BCT

2. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T. 2
COMBINACIONES LINEALES
• Un vector v del espacio vectorial (V, +, .) es combinación lineal de los
vectores v1, v2, … , vn de V si puede expresarse de la forma:
• v= α.v1 + β.v2 + λ.v3 + … + μ.vn , con α, β, λ, …, μ є R
• Propiedades
• Cualquier vector v є V es combinación lineal de si mismo.
• v= 1.v, con 1 є R
• El vector nulo 0 є V es combinación lineal de cualquier vector v y de su
opuesto, -v.
• 0= λ .v + λ .(-v) , para Vλ є R
• El vector nulo 0 є V es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores
v1, v2 , v3 , … vn, de V.
• 0= 0.v1 + 0.v2 + 0.v3 + … + 0.vn , con 0 є R

3. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T. 3
Ejemplo
• Sea el vector v=( 0, 13, 6) y los vectores v1=(1, 2, 3) y v2=(-4, 5, -6).
• ¿Es v combinación lineal de v1 y v2?.
• Solución
• v=λ.v1+μ.v2
• (0, 13, 6)= λ.(1, 2, 3)+μ.(-4, 5, -6)
• (0, 13, 6)= (λ.1, λ.2, λ.3)+(μ.(-4), μ.5, μ.(-6))
• 0 = λ.1 – 4 μ
• 13 = λ.2 + μ.5
• 6 = λ.3 – 6.μ
• Resolviendo el sistema: λ = 4 , μ = 1
• Para dichos valores de los escalares λ y μ, el vector v es combinación
lineal de v1 y v2.

4. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T. 4
SISTEMA GENERADOR
• Dado un espacio vectorial siempre es posible encontrar
una serie de vectores a partir de la cual, mediante
combinaciones lineales, podemos obtener cualquier
vector perteneciente a dicho espacio vectorial.
• Un conjunto S=(x1, x2, ….xn) de vectores de un espacio
vectorial V, es un sistema generador de dicho espacio
si cualquier vector v del mismo se puede expresar como
combinación lineal de los vectores de S.
• v= α.x1 + β.x2 + λ.x3 + … + μ.xn , con α, β, λ, …, μ є R

5. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T. 5
Ejemplos
• ¿Es x1=(1,0,0),x2=(0,0,1),x3=(0,1,0) un sistema generador de R3
?.
• Solución
• Tomamos un vector cualquiera v=(a,b,c)
• v=λ.x1+μ.x2 + k.x3
• (a, b, c)= λ.(1, 0, 0)+μ.(0, 0, 1) + k.(0,1,0)
• (a, b, c)= (λ, 0, 0)+(0, 0, μ) + (0, k, 0)
• (a, b, c) = (λ, k, μ)  λ = a, k = b, μ = c
• Vemos que siempre habrá tres números reales, λ, μ y k, para los cuales
cualquier vector v es combinación lineal de los vectores x1, x2 y x3.
• Luego es un sistema generador.
• ¿Es Q(x)=x, R(x)=x2
, S(x)=x3
un sistema generador del espacio vectorial de
los polinomios de grado igual o menor que 3?.
• Solución
• Tomamos un polinomio cualquiera P(x) = 3.x3
– 2
• 3.x3
– 2 = λ.x3
+ μ.x2
+ k.x  λ = 3 , μ = 0, k = 0
• Vemos que no es un sistema generador. (No genera el término indep.)

6. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T. 6
DEPENDENCIA LINEAL
• Se dice que n vectores, x1, x2, ….xn , de un espacio vectorial V, son
linealmente dependientes cuando alguno de ellos es combinación lineal
de los demás.
• Al conjunto S=(x1, x2, ….xn) formado por dichos vectores se le denomina
conjunto ligado o linealmente dependiente.
• Asimismo un conjunto S=(x1, x2, ….xn) de vectores es libre o linealmente
independiente cuando ninguno de ellos es combinación lineal de los
demás.
• EJEMPLO
• x1= (1, 2, 3), x2 = (4, 5, 6), x3 = (5, 7, 9)
• El conjunto S=(x1, x2,x3) es un conjunto ligado o linealmente dependiente,
pues x3 = x1 + x2
• El tercer vector es combinación lineal de los dos primeros.
• También se dice que depende linealmente de los dos primeros.
• x3 = α.x1 + β.x2 , con α=1, β=1 / α, β є R

7. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T. 7
TEOREMAS DE LA DEPENDENCIA
• TEOREMA 1
• Un conjunto S=(x1, x2, ….xn) de vectores de V es linealmente
dependiente si, y sólo si, existen λ1, λ2, ... λn , є R, no todos nulos, tales
que:
• λ1.x1 + λ2.x2 + λ3.x3 + … + λn.xn = 0
• TEOREMA 2
• Un conjunto S=(x1, x2, ….xn) de vectores de V es linealmente
independiente si, y sólo si, para cualquiera λ1, λ2, ... λn , є R, tales que λ1.x1
+ λ2.x2 + λ3.x3 + … + λn.xn = 0, se cumple:
• λ1= λ2 = ... = λn = 0
• PROPIEDAD
• Sea S=(x1, x2, ….xn) un conjunto linealmente independiente. Si se cumple
que:
• v = λ1.x1 + λ2.x2 + λ3.x3 + … + λn.xn
• v = k1.x1 + k2.x2 + k3.x3 + … + kn.xn
• Entonces: λ1= k1 , λ2 = k2 , λ3 = k3 , … , λn = kn

8. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T. 8
• EJEMPLO 1
• x1= (1, 2, 3), x2 = (4, 5, 6), x3 = (7,8, 9), x4= (2, 4, 6)
• Miramos si son linealmente dependientes:
• λ1.x1 + λ2.x2 + λ3.x3 + λ4.x4 = 0
• Vemos que: 2.x1 + 0.x2 + 0.x3 + (- 1).x4 = 0
• Para λ1 = 2, λ2=0, λ3 =0 y λ4 = (-1)
• Luego el conjunto S=(x1, x2,x3) es un conjunto ligado o linealmente
dependiente.
• EJEMPLO 2
• x1= (1, 0, 0), x2 = (0, 1, 0), x3 = (0, 0, 1)
• Miramos si son linealmente independientes:
• λ1.x1 + λ2.x2 + λ3.x3 = 0
• λ1.(1,0,0)+ λ2.(0,1,0)+ λ3.(0,0,1)= 0
• (λ1,0,0)+ (0,λ2,0)+ (0,0,λ3)= 0
• (λ1,λ2,λ3)= 0  (λ1,λ2,λ3)= (0,0,0)  λ1 = 0, λ2 = 0 , λ3 = 0
• Vemos que todos los coeficientes escalares son ceros.
• Luego el conjunto S=(x1, x2,x3) es un conjunto linealmente independiente.