Definición e investigación acerca de los Fractales y un ejemplo en lenguaje de programacion en JAVA. Triangulo de Sierpinsky

1. Hugo Rivera
AutómatasII
Fractal
Un fractal es un objetogeométricocuyaestructurabásica,fragmentadaoirregular,se repite a
diferentesescalas.1 El términofue propuestoporel matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y
derivadel latín fractus,que significaquebradoofracturado. Muchas estructurasnaturalesson
de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su
dimensión métrica fractal es un número no entero.
Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien
conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de
determinarloquehoydenominamos dimensión fractal fueronestablecidasaprincipiosdelsiglo
XX en el seno de la teoría de la medida.
Los ejemplos clásicos
Para encontrarlosprimerosejemplosde fractalesdebemosremontarnosafinalesdel sigloXIX:
en1872 apareciólafunciónde Weierstrass,cuyografohoyendíaconsideraríamosfractal,como
ejemplo de función continua pero no diferenciable en ningún punto.
Sucesivos pasos de la construcción de la Curva de Koch
Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades similares pero una definición más
geométrica.Dichosejemplospodíanconstruirsepartiendode unafigurainicial(semilla),alaque
se aplicabanuna serie de construccionesgeométricassencillas.Laserie de figurasobtenidasse
aproximaba a una figura límite que correspondía a lo que hoy llamamos conjunto fractal. Así,
en1904, Helge vonKoch definióunacurvaconpropiedadessimilaresalade Weierstrass:el copo
de nieve de Koch. En1915, Waclaw Sierpinski construyó su triángulo y, un año después,
su alfombra.
Construcción de la alfombra de Sierpinski:
Paso 1 (semilla) Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5
Estos conjuntos mostraban las limitaciones del análisis clásico, pero eran vistos como objetos
artificiales,una"galeríade monstruos",comolosdenominó Poincaré.Pocosmatemáticosvieron
la necesidad de estudiar estos objetos en sí mismos.4
En 1919 surge una herramienta básica en la descripción y medida de estos conjuntos:
la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.

2. Hugo Rivera
AutómatasII
Código-Triangulo de Sierpinsky
import java.awt.BorderLayout;
import java.awt.Color;
import java.awt.Dimension;
import java.awt.Graphics;
import java.awt.Graphics2D;
import java.awt.Point;
import java.awt.Rectangle;
import javax.swing.JFrame;
import javax.swing.JPanel;
public class Sierpinsky extends JPanel {
int nivel;
public Sierpinsky(int n) {
nivel = n;
setPreferredSize(new Dimension(800, 800));
}
public void paintComponent(Graphics g) {
Graphics2D g2d = (Graphics2D) g;
Dimension tam = getSize();
g2d.setColor(Color.BLACK);
g2d.fill(new Rectangle(0, 0, tam.width, tam.height));
g2d.setColor(Color.BLUE);
int x1, y1, x2, y2, x3, y3;
x1 = 700;
y1 = 700;
x2 = 30;
y2 = 700;
x3 = 365;
y3 = 120;
trazaTriangulo(g2d,
new Point(x1, y1), new Point(x2, y2), new Point(x3, y3),
nivel);
}
public static void trazaTriangulo(Graphics2D objGrafico,
Point p1,
Point p2,
Point p3,
int i) {
int dx1 = (p2.x + p1.x) / 2;
int dy1 = (p2.y + p1.y) / 2;

3. Hugo Rivera
AutómatasII
int dx2 = (p3.x + p2.x) / 2;
int dy2 = (p3.y + p2.y) / 2;
int dx3 = (p1.x + p3.x) / 2;
int dy3 = (p1.y + p3.y) / 2;
if (i <= 0) {
objGrafico.drawLine(p1.x, p1.y, p2.x, p2.y);
objGrafico.drawLine(p2.x, p2.y, p3.x, p3.y);
objGrafico.drawLine(p3.x, p3.y, p1.x, p1.y);
} else {
trazaTriangulo(objGrafico, new Point((p1.x), (p1.y)),
new Point(dx1, dy1),
new Point(dx3, dy3),
i - 1);
trazaTriangulo(objGrafico, new Point((p2.x), (p2.y)),
new Point(dx2, dy2),
new Point(dx1, dy1),
i - 1);
trazaTriangulo(objGrafico, new Point((p3.x), (p3.y)),
new Point(dx3, dy3),
new Point(dx2, dy2),
i - 1);
}
}
public static void uso() {
System.err.println("Programa para trazar ...");
System.err.println("Uso: java XYZ <nivel>");
System.err.println("nivel es un entero no negativo,");
System.err.println("indica el nivel de construccion.");
}
public static void main(String[] args) {
if (args.length == 1) {
try {
int niv = Integer.parseInt(args[0]);
JFrame frame = new JFrame("Sierpinsky");
frame.getContentPane().add(new Sierpinsky(niv),
BorderLayout.CENTER);
frame.setDefaultCloseOperation(JFrame.EXIT_ON_CLOSE);
frame.pack();
frame.setVisible(true);
} catch (NumberFormatException nfe) {
uso();
}
} else {
uso();

4. Hugo Rivera
AutómatasII
}
}
}
===========================================================================
public class Principal {
/**
* metodo principal que corre el triangulo
*
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
String[] a = new String[1];
//aqui se le da el tamañoo del triangulo
a[0] = "5";
//se llama al metodo pincipal de la clase sierpinsky
Sierpinsky.main(a);
}
}