Te envío un capítulo que trata de la Respuesta a carga dinámica General - integral de Duhamel, para sistemas amortiguados y no amortiguados, además una evaluación numérica de la respuesta dinámica. Espero que te sirva, saludos!

1. Capítulo 7
RESPUESTA A CARGA
DINAMICA GENERAL
7.1 INTEGRAL DE DUHAMEL
p(t)
p()
t
 d
(t-
Respuesta du(t)
Figura 7.1 Derivación de la integral de Duhamel (no amortiguado)
El procedimiento descrito en el Capítulo 6 para evaluar la respuesta de la estructura a impulsos de corta duración
sirve de base para evaluar la respuesta a carga dinámica general. Considerar la carga dinámica general p(t) de la
Figura 7.1, mas específicamente la intensidad de carga p() actuando en el tiempo t=. Esta carga que actúa
durante el intervalo corto de tiempo d produce un impulso de corta duración p()d sobre la estructura y la
ecuación 6.27 puede usarse para evaluar la respuesta de este impulso, se debe notar que aunque este
procedimiento es aproximado se vuelve exacto cuando la duración de la carga se aproxima a acero. Por tanto para
un intervalo de tiempo d, la respuesta producida por la carga p() es:
p( ) d
Para t > du(t )  sen n  (t   ) (7.1)
m n

2. Conceptos generales en el análisis dinámico 72
En esta expresión el término du(t) representa la respuesta diferencial al impulso diferencial y no la variación de u
durante el intervalo de tiempo dt.
El histograma de carga completo consiste de una sucesión de impulsos cortos, cada uno de ellos produce su
propia respuesta diferencial. La respuesta total a la carga arbitraria es la suma de todos los impulsos de duración
d, es decir:
t
 p  sen (t   )d
1
u(t )  (7.2)
m n
( ) n
0
esta es una expresión exacta llamada integral de Duhamel. Debido a que esta basada en el principio de
superposición solamente es aplicable a estructuras linealmente elásticas.
En la ecuación 7.2 se asume tácitamente que la carga se inicia en el tiempo t=0 cuando la estructura esta en
reposo; para condiciones iniciales distintas del reposo u (0)  0 y u (0)  0 se añade la respuesta en vibración

libre a la solución, entonces se tiene:

u ( 0) t
 p  sen
1
u (t )  sen n t  u (0) cos  n t  n (t   )d (7.3)
n m n
( )
0
usando la integral de Duhamel para un SDF no amortiguado la repuesta se determina asumiendo condiciones
iniciales en reposo para una fuerza p(t)=p0 y t>0, entonces la ecuación 7.2 es:
t t
p0 p  cos  n (t   )  p0
u(t ) 
m n 
sen n (t   )d  0
0
m n

 n
 
0 k
(1  cos  nt )
7.2 INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA NO AMORTIGUADO.
Si la función de carga es integrable, la respuesta dinámica de la estructura puede ser evaluada por integración
formal de la ecuación 7.2 ó 7.3; sin embargo en muchos casos la carga es conocida solo de datos experimentales,
y la respuesta debe ser evaluada por procesos numéricos. Para el análisis es práctico utilizar la identidad
trigonométrica sen( n t   n )  sen n t  cos  n  cos  n t  sen n para reformular la ecuación 7.2:
t t
 p
1 1
u (t )  sen n t p ( )  cos  n  d  cos  n t  sen n  d
m n m n
( )
0 0
ó
u (t )  A(t )  sen n t  B(t )  cos  n t (7.4)
donde:
t
p
1
A(t )   cos  n  d
m n
( )
0
(7.5)
t
 p  sen   d
1
B(t ) 
m n
( ) n
0

3. Conceptos generales en el análisis dinámico 73
7.3 INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA AMORTIGUADO.
El análisis para obtener la integral de Duhamel que expresa la respuesta de un sistema amortiguado a una carga
general es similar al análisis para un sistema no amortiguado, con la única variante que la respuesta en vibración
libre iniciada por un impulso diferencial p()·d esta sujeta a un decremento exponencial. De este modo
estableciendo u(0)=0 y u (0)  ( p ( ) d ) / m en la ecuación 4.15 da:

 p ( ) d 
du (t )  e  n (t  )  sen D (t   ) (7.6)
 m D
 

la respuesta de la carga total arbitraria es:
t
p e
1  n (t  )
u (t )  sen D (t   )d (7.7)
m D
( )
0
para una evaluación numérica de la respuesta del sistema amortiguado la ecuación 7.7 puede ser escrita en forma
similar a la ecuación 7.4:
u (t )  A(t )  sen D t  B(t )  cos  D t (7.8)
donde en este caso:
e  n
t

1
A(t )  p ( ) cos  D  d
m D e  nt
0
(7.9)
e  n
t
p
1
B(t )  sen D  d
m D e  nt
( )
0
Para la excitación dinámica debida a la aceleración del suelo, la fuerza p() toma el valor de:
p ( )  m  u g ( )
 (7.10)
7.4 EVALUACIÓN NUMÉRICA DE LA RESPUESTA DINÁMICA1
La solución analítica de la ecuación de movimiento para un sistema simple no es posible si la excitación (fuerza

aplicada p(t) o aceleración del suelo u g (t ) ) varía arbitrariamente con el tiempo, o si el sistema no es lineal.
Un método más general de solución consiste en el cálculo iterativo de la respuesta a través de una serie de
cálculos utilizando interpolación lineal, el cual es un procedimiento numérico altamente eficiente que puede ser
desarrollado para sistemas lineales.
La Figura 7.2 muestra una función de excitación en forma general, la cual es aproximada a través de una serie de
líneas rectas suficientemente cercanas, de tal forma que se asume una discrepancia muy pequeña, es decir, si el
intervalo de tiempo es muy pequeño la interpolación lineal es satisfactoria. La función de excitación para el
intervalo de tiempo t i  t  t i 1 está dada por:
p i
p ( )  p i   (7.11)
t i
1
Anil K. Chopra, pp 155-185 [ref. 12]

4. Conceptos generales en el análisis dinámico 74
donde:
pi  pi 1  pi (7.12)
y la variable de tiempo  varía de 0 a ti. Para simplificar algebraicamente se considera primero a un sistema sin
amortiguamiento. Para este caso la ecuación a ser resuelta es:
p i
m  u  k  u  pi 
  (7.13)
t i
p(t)
Real pi+1
pi
Interpolado: p()
ti
t
ti ti+1

Figura 7.2 Interpolación lineal
La respuesta u() para 0    t i es la suma de tres partes: (1) la vibración libre debido al desplazamiento inicial
ui y velocidad u i para =0. (2) la respuesta para la fuerza pi con condiciones iniciales de cero. (3) la respuesta

para (pi/ti)· con condiciones iniciales de cero. Adoptando las soluciones disponibles de los párrafos
precedentes para estos tres casos la respuesta total es:

ui pi p   sen n 
u ( )  u i  cos  n  sen n  1  cos  n   i 
 t    t


n k k  i n i 
y (7.14)

u ( ) 
ui pi p 1
 u i  sen n  cos  n  sen n  i (1  cos  n )
n n k k  n  t i
Evaluando estas ecuaciones para =ti proporciona el desplazamiento ui+1 y la velocidad u i 1 en el tiempo i+1:

1  cos( n  t i )  pi 1  n  t i  sen( n  t i )

ui pi
u i 1  u i cos( n  t i )  sen( n  t i ) 
n k k  n  t i
(7.15)
  p
u i 1
 u i sen( n  t i ) 
ui p
cos( n  t i )  i sen( n  t i )  i
1
1  cos( n  t i )
n n k k  n  t i

5. Conceptos generales en el análisis dinámico 75
Estas ecuaciones se pueden replantear después de sustituir la ecuación 7.12 como fórmulas recurrentes:
u i 1  A  u i  B  u i  C  pi  D  pi 1

(7.16)
u i 1  A  u i  B   u i  C   pi  D  pi 1
 
estas fórmulas también son aplicables para sistemas amortiguados, las cuales tienen sus respectivas expresiones
para los coeficientes A, B,..., D’; y éstas están dadas en la Tabla2 5.2.1 [ref .12] para sistemas subamortiguados;
cuyo título es: “Coeficientes para las fórmulas recurrentes (  < 1)”.
2
Anil K. Chopra, pp 159 [ref. 12]

6. Conceptos generales en el análisis dinámico 76
7.5 EJEMPLOS
Ejemplo 7.13 Integral de Duhamel para un sistema sin amortiguamiento
Calcular la respuesta dinámica del tanque de agua de la Figura 7.3, el cual está sujeto a una carga explosiva cuyo
histograma de fuerza se muestra en la misma figura.
histograma de carga
w=96.6 k p(t) p(t)
96.6 k
k=2700 k/ft
t
0.025 s 0.025 s
fs
Figura 7.3
Solución
Para la resolución de este problema se utiliza a continuación “Mathcad 2000”, el cual es un programa de
análisis matemático que hace más fácil la resolución de integrales de este tipo.
Cálculos adicionales
Gravedad [ft/s2]: g : 32.3
kg
Frecuencia natural:  n :
w

Periodo natural: Tn : 2 
n
Primera fase, para 0<t<0.025
El histograma de carga para esta fase está definido por la recta, de coordenadas [a,b] y [c,d], para la
evaluación de la carga en función del tiempo.
a : 0 b : 0
c : 0.025 d : 96.6
la ecuación de la recta resultante es:
d b
p ( x ) :    ( x  a)  b  3864.0  x
ca
Evaluación de A(t) y B(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:
t t
A(t ) : 
0
p ( x)  cos( n  x)dx B(t ) : p
0
( x)  sen ( n  x)dx
3
Ejemplo comparativo con: Joseph Penzien, pp 104-110 [ref. 13]

7. Conceptos generales en el análisis dinámico 77
La respuesta de desplazamiento es:
u (t ) :
32.3
w  n

A(t )  sen( n  t )  B(t )  cos( n  t ) 
La respuesta de fuerza elástica es:
f (t ) : k  u (t )
4
La respuesta de velocidad es:
v (t ) : d
dt
u (t ) 
Segunda fase, para 0.025<t<0.05
El histograma de carga para esta fase está definido por la recta, de coordenadas [e,g] y [h,i], para la evaluación
de la carga en función del tiempo.
e : 0 g : 96.6
h : 0.025 i : 0
la ecuación de la recta resultante es:
i  g 
p ( ) :    (  e)  g  3864.0    96.6
h e
las condiciones iniciales para esta fase son:
tiempo inicial [s]: tr : 0.025
desplazamiento inicial[ft]: u (tr )  3.27110 3
velocidad inicial [ft/s]: v (tr )  0.385
Evaluación de 5C(t) y D(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:
j j
C ( j ) : 
0
p ( )  cos( n   )d D( j ) : 0
p ( )  sen ( n   )d
La respuesta de desplazamiento es:
 32.3 
 
v (tr )
res ( j ) :  sen( n  j )  u (tr )  cos( n  j )   
 w     C ( j )  sen( n  j )  D( j )  cos( n  j )
n  n 
La respuesta de fuerza elástica es:
fuerza ( j ) : k  res ( j )
La respuesta de velocidad es:
vel ( j ) : d
dj
res ( j ) 
Tercera fase, para vibración libre t>0.05
las condiciones iniciales para esta fase son:
tiempo inicial [s]: to : 0.05
desplazamiento inicial[ft]: res (0.05tr )  0.017
velocidad inicial [ft/s]: vel (0.05tr )  0.563
4
ù(t)=v(t)
5
C(t)=C(j)

8. Conceptos generales en el análisis dinámico 78
La respuesta de desplazamiento para vibración libre es:
 vel (0.05tr ) 
reslib( s ) : 

  sen( n  s)  res (0.05tr )  cos( n  s)

 n 
La respuesta de fuerza elástica para la vibración libre es:
flib( s ) : k  reslib( s )
las graficas de respuesta en las tres fases son:
Respuesta de Fuerza Elástica
100
75
50
fueza elástica [k]
25
0
25
50
75
100
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
tiempo [s]
Respuesta máxima: Fuerza[k]=69.214 en un tiempo [s]=0.0772
Respuesta de Desplazamiento
0.04
0.03
0.02
desplazamiento [ft]
0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
tiempo [s]
Respuesta máxima: Desplazamiento[ft]=0.025635 en un tiempo [s]=0.0772

9. Conceptos generales en el análisis dinámico 79
Ejemplo 7.26 Integral de Duhamel para un sistema con amortiguamiento
Calcular la respuesta dinámica del tanque de agua de la Figura 7.4 que tiene una razón de amortiguamiento
=5%, el cual está sujeto a una carga explosiva cuyo histograma de fuerza se muestra en la misma figura.
histograma de carga
w=96.6 k p(t) p(t)
96.6 k
k=2700 k/ft
t
0.025 s 0.025 s
fs
Figura 7.4
Solución
Cálculos adicionales
Gravedad [ft/s2]: g : 32.3
kg
Frecuencia natural:  n :
w

Periodo natural: Tn : 2 
n
Razón de amortiguamiento:  : 0.05
Frecuencia de amortiguamiento:  D :  n  1   2
Primera fase, para 0<t<0.025
El histograma de carga para esta fase está definido por la recta, de coordenadas [a,b] y [c,d], para la
evaluación de la carga en función del tiempo.
a : 0 b : 0
c : 0.025 d : 96.6
la ecuación de la recta resultante es:
d b
p ( x ) :    ( x  a)  b  3864.0  x
ca
Evaluación de A(t) y B(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:
t e   n  x t e   n  x
A(t ) : 0
p ( x) 
e   n t
 cos( D  x)dx B(t ) : 0
p ( x) 
e   n t
 sen( D  x)dx
6
Ejemplo comparativo con: Joseph Penzien, pp 104-110 [ref. 13]

10. Conceptos generales en el análisis dinámico 80
La respuesta de desplazamiento es:
u (t ) :
32.3
w  D

A(t )  sen( D  t )  B(t )  cos( D  t ) 
La respuesta de fuerza elástica es:
f (t ) : k  u (t )
7
La respuesta de velocidad es:
v (t ) : d
dt
u (t ) 
Segunda fase, para 0.025<t<0.05
El histograma de carga para esta fase está definido por la recta, de coordenadas [e,g] y [h,i], para la evaluación
de la carga en función del tiempo.
e : 0 g : 96.6
h : 0.025 i : 0
la ecuación de la recta resultante es:
i  g 
p ( ) :    (  e)  g  3864.0    96.6
h e
las condiciones iniciales para esta fase son:
tiempo inicial [s]: tr : 0.025
desplazamiento inicial[ft]: u (tr )  3.21110 3
velocidad inicial [ft/s]: v (tr )  0.376
Evaluación de 8C(t) y D(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:
j e   n  j e   n 
C ( j ) : 
0
p ( ) 
e   n  j
cos( D   )d D( j ) : 
0
p ( ) 
e   n  j
sen( D  )d
La respuesta de desplazamiento es:
  v (tr )     n  u (tr )   32.3
res ( j ) : e   n  j u (tr ) cos( D  j )  
D
 sen ( D  j )  
 C ( j ) sen ( D  j )  D( j ) cos( D  j ) 

 
 
  w  D

La respuesta de fuerza elástica es:
fuerza ( j ) : k  res ( j )
La respuesta de velocidad es:
vel ( j ) : d
dj
res ( j ) 
Tercera fase, para vibración libre t>0.05
las condiciones iniciales para esta fase son:
tiempo inicial [s]: to : 0.05
desplazamiento inicial[ft]: res (0.05tr )  0.017
velocidad inicial [ft/s]: vel (0.05tr )  0.52
7
ù(t)=v(t)
8
C(t)=C(j)

11. Conceptos generales en el análisis dinámico 81
La respuesta de desplazamiento para vibración libre es:
 vel (0.05tr )     n  res (0.05tr ) 
reslib( s ) : e   n s  res (0.05tr )  cos( D  s)   sen ( D  s) 

 D 

La respuesta de fuerza elástica para la vibración libre es:
flib( s ) : k  reslib( s )
las graficas de respuesta en las tres fases son:
Respuesta de Fuerza Elástica
100
75
50
fueza elástica [K]
25
0
25
50
75
100
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
tiempo [s]
Respuesta máxima: Fuerza[k]=64.1402 en un tiempo [s]=0.0758
Respuesta de Desplazamiento
0.03
0.0225
0.015
desplazamiento [ft]
0.0075
0
0.0075
0.015
0.0225
0.03
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
tiempo [s]
Respuesta máxima: Desplazamiento[ft]=0.023756 en un tiempo [s]=0.075