Deducciones teóricas de los mecanismos de la transferencia de calor unidimencional. Sistemas termo-eléctricos, resistencias térmicas conductivas y convectivas, Problemas resueltos.

1. TRANSFERENCIA
DE CALOR

2. MECANISMOS DE
TRANSFERENCIA DEL CALOR.
1. CONDUCCIÓN-CONVECCIÓN
ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL

3. Definición
¿Qué es el calor?
O Forma de energía que se transmite a través del
límite de un sistema que está a una temperatura a
otro sistema a una temperatura más baja por virtud
de la diferencia de temperaturas entre los sistemas.
Es un proceso transitorio.
O Es una forma de energía que se transfiere a causa
de los gradientes de temperatura.

4. Clasificación
O Conducción.
O Convección.
O Radiación.

6. Calor por conducción
O El mecanismo de conducción se produce a escala
atómica o molecular con desplazamientos muy cortos de
las unidades transportadoras de energía.
O Cuando en un cuerpo existe un gradiente de
temperatura, la experiencia muestra que hay
transferencia hacia la región de baja temperatura. Se
dice que la energía se ha transferido por conducción y el
flujo de calor por unidad de área es proporcional al
gradiente normal de temperatura.
𝑞
𝐴
=
𝑑𝑇
𝑑𝑥

7. O El calor por conducción está regido por la ley de Fourier, la
cual se define como:
q = - KA
𝑑𝑇
𝑑𝑥
Donde;
q = es el flujo de calor, (W).
K = la constante positiva, llamada: conductividad térmica del
material, (W/m-OC).
A = el área perpendicular al flujo del calor, (m2)
dT/dx = es el gradiente de temperatura en la dirección del flujo
de calor, (OC/m)

8. Calor por convección
O Es bien conocido que una placa de metal caliente se enfriará
más rápidamente cuando se colocada delante de un ventilador
que cuando se expone al aire en calma; cabría sospechar que
el flujo de calor pude ser diferente si la placa se enfriara con
agua en vez de con aire.
O Se realiza entre una superficie sólida y un fluido (líquido o
gaseoso) por estar ambos a diferente temperatura.
O El estudio técnico de la convección se realiza a partir de un
coeficiente de transmisión de calor, denominado; coeficiente
de convección, a partir de la ecuación del enfriamiento de
Newton.

9. O Para expresar el efecto global de la convección, se utiliza la ley
de Newton del enfriamiento, definida como:
q = hA(Tp – T∞)
Donde;
q = flujo de calor transferido, (W).
h = coeficiente de convección, (W/m2-OC).
A = área de la superficie, (m2).
(Tp – T∞) = diferencia global de temperaturas entre la pared y el
flujo respectivamente, (OC).

10. Clasificación de las clases de
convección
Según el movimiento del flujo:
O Natural
O Forzada.
Según la posición relativa del fluido y la superficie:
O De flujo interior.
O De flujo exterior.
Según el régimen de circulación del fluido:
O En régimen laminar.
O En régimen de transición.
O En régimen turbulento.

11. Calor por radiación
O En contraposición a los mecanismos de la conducción y la
convección, donde la transferencia de energía involucra un
medio material, el calor pude ser transferirse a través de
zonas en las que exista un vacío perfecto. En este caso el
mecanismo es la radiación electromagnética.
O Las ondas electromagnéticas se propagan a la velocidad de la
luz y transportan energía, que de forma genérica, recibe el
nombre de energía radiante.
O Existe una clase de energía radiante que emite todos los
cuerpos, por estar a una temperatura T determinada,
denominada radiación térmica.

12. O Consideraciones termodinámicas muestran que un radiador
térmico ideal o cuerpo negro, emitirá energía en forma
proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta del
cuerpo y directamente proporcional al área de su superficie.
Así;
qemitido = σAT4
O Donde σ es la constante de proporcionalidad y se denomina
constante de Stefan-Boltzman, y tiene un valor de en el sistema
internacional de: 5,669x10-8 W/(m2-OK4).
O Un problema simple de radiación se encuentra cuando, se tiene
una superficie T1 encerrada completamente en otra superficie
mayor que se mantiene a T2; el intercambio neto de radiación
en este caso puede calcularse como:
q = ε1σA1[(T1)4 – (T2)4]

13. Manejo de tablas
O Propiedades de los metales y no metales
O Distribuidas en 5 tablas, A-2 hasta A-3.
O Cada tabla consta de varias columnas:
1. Tipo de material
2. Propiedades a 20OC (densidad, calor específico,
conductividad térmica y difusividad térmica)
3. Conductividad térmica entre 100OC y 1200OC

15. Tablas de los no-metales (A-3)
Están compuestas de 6 columnas:
1. Sustancia (material)
2. Temperatura (OC)
3. Conductividad térmica.
4. Densidad.
5. Calor específico.
6. Difusividad térmica.
Hay tres (3) tablas para sustancias no-metálicas.

17. Ejercicios ilustrados.
Una cara de una placa de cobre de 3cm de espesor se
mantiene a 400OC y la otra se mantiene a 100OC. ¿Qué
cantidad de calor se transfiere a través de la placa?
3 cm
400OC
100OC

18. Primeramente escribimos la ecuación que rige el calor por
conducción:
q = - KA
𝑑𝑇
𝑑𝑥
Observamos que el problema no hace referencia al área de la placa,
asumimos un valor unitario (1 m2). Usando las tablas para metales,
A-2 (pág. 5) y buscamos cobre puro en las propiedades a 20OC,
hallamos el valor de “k” conductividad térmica:
k = 386 W/m-OC
El parámetro “dx”, representa el espesor de la placa, dx = 0,03 m; y
el otro parámetro “dT”, es la diferencia de temperaturas de la placa:
dT = (400OC – 100OC) = 300OC
A hora sustituyendo los valores:
q = - (386 W/m-OC) (1 m2)
300OC
0,03 m
= -3,86x106 W

19. O Supongamos que tenemos la misma placa de cobre,
cuyas dimensiones son de 50x75 cm, se mantiene a
300OC, sobre ella fluye una corriente de aire a 20OC
con un coeficiente de convección de 25 W/m2-OC.
Calcule la transferencia de calor al ambiente.
300OC 75cm
50cm
Aire

20. El calor solicitado es la sumatoria del calor por conducción más la
convección. Debemos volver a determinar el calor por conducción,
ahora con un área de 3750cm2 (0,375 m2), pero con el mismo
espesor (0,03 m) y un dT de 300OC.
q = - (386)(0,375)
300
0,03
= -1 ,4475x106 W
Ahora el calor por convección lo determinamos por la ecuación del
enfriamiento de Newton; donde Tp será 300OC y T∞ son los 20OC y
el valor de h, es 25 W/m2-OC. Sustituyendo:
q = hA(Tp – T∞) = (25 W/m2-OC)(0,375 m2)(300OC – 20OC)
q = 2,625x103 W
El calor total es la sumatoria de ambos:
qTotal = -1,444875 x106 W

21. Una corriente eléctrica pasa por un cable de 1mm de diámetro y
10 cm de largo. El cable se encuentra sumergido en agua liquida a
presión atmosférica y se incrementa la corriente interior hasta que
el agua hierve. En estas condiciones el coeficiente de convección
en el agua a 100OC, serán de 500 W/m2-OC. ¿Cuánta potencia
eléctrica se debe suministrar al cable para mantener su
temperatura a 114OC?
Solución
q = hA(Tp – T∞) = ?
Acable = πDL = π[(1x10-3m)(0,1m)] = 3,1416x10-4 m2
q = (500 W/m2-OC)(3,1416x10-4 m2)(114OC – 100OC)
q = 2,19912 W

22. Dos placas infinitas de 800OC y 300OC, intercambian calor por
radiación. Calcúlese el calor transferido entre ellas por unidad de
área.
Solución
q = ε1σA1[(T1)4 – (T2)4]= ?
Asumiendo que ε1 = 1 y que σ = 5,669x10-8 W/(m2-OK4); se pasa A1,
al lado izquierdo de la igualdad con las incógnitas:
𝑞
𝐴
= σ[(T1)4 – (T2)4]= ?
T1 = 800OC (1073OK) y T2 = 300OC (573OK)
𝑞
𝐴
= 5,669x10−8 W/(m2−OK4) (1073OK)4
−(573OK)4
𝒒
𝑨
= 69,034x103 W/m2

23. Una tubería horizontal de acero al carbono (1,5%) que tiene un
diámetro de 50cm se mantiene a una temperatura de 50OC, en un
reciento muy grande, donde el aire circundante y las paredes están a
20OC y con un coeficiente de convección, de 6,50 W/m2-OC. Si la
emisividad del acero es de 0,80. Calcúlese la pérdida de calor que la
tubería experimenta por unidad de longitud. Espesor de pared de
5mm.
Solución
O [q/L]Total = ?
Para calor por convección, A(tubería) = πDL, donde L = ?; entonces:
q = hA(Tp – T∞) = h(πDL)(Tp – T∞)
𝑞
𝐿
= h(πD)(Tp – T∞)
𝑞
𝐿
=(6,50 W/m2-OC)[π(0,5m)][50OC – 20OC] = 306,305 W/m
Para el calor por conducción, q = - K(πDL)
𝑑𝑇
𝑑𝑥
donde L = ?

24. 𝑞
𝐿
= - K(πD)
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= - (36 W/m-OC)[π(0,5m)]
30OC
0,005𝑚
𝑞
𝐿
= -339,292x103 W/m
Para el calor por radiación, ε = 0,80 y T1 = 323OK y T2 = 293OK
𝑞
𝐿
= ε1σ(πD)[(T1)4 – (T2)4] , entonces:
𝑞
𝐿
= 0,80[5,669x10-8 W/(m2-OK4)][π(0,5m)][(323OK)4 − (293OK)4
]
𝒒
𝑳
= 251,692W/m
Sumando los tres calores obtenidos:
[q/L]Total = -338,734003x103 W/m

25. 2. Conducción-convección en
estado estable, unidimensional
Resistencias térmicas para paredes
compuestas, cilindros y esferas

26. Resistencia Térmica
La resistencia térmica de un material representa la capacidad del
material de oponerse al flujo del calor. En el caso de materiales
homogéneos es la razón entre el espesor y la conductividad térmica del
material; en materiales no homogéneos la resistencia es el inverso de la
conductancia térmica.
Rterm =
𝒆
𝑲
*
Donde; “e” es el espesor (m) y “K” la conductividad térmica del
material (W/m-OC) por lo que las unidades de la resistencia térmica
serán (m2-OC/W).
(*): También llamada resistencia térmica por área.

27. Analogías Termo-eléctrica
Variables de Transferencia de
calor
1. Velocidad de transferencia de
calor (Q-punto)
2. Temperaturas (T)
3. Resistencia Térmica (Rth)
Variables de Electricidad
1. Intensidad de Corriente (I)
2. Tensión (V)
3. Resistencia eléctrica (R)

28. Calor en función a la resistencia
térmica
El flujo de calor que atraviesa un elemento, que dispone una
configuración de una o más resistencia térmicas, estará dada por la
expresión:
q =
Δ𝑇
Σ𝑅𝑡𝑒𝑟𝑚
Donde “ΔT” es la diferencia de las temperaturas involucradas (OC), en el
estudio y “ΣRterm” es la sumatoria de todas las resistencias térmicas
(OC/W) que hay en el sistema.

29. Resistencias térmicas según el
sistema en estudio
1. Paredes compuestas
Rterm =
𝑒
𝑘𝐴
Donde:
e = Espesor (m)
K = Conductividad térmica (W/m-OC)
A = Área perpendicular al flujo del calor (m2)

30. 2. Cilindros Compuestos
Rterm =
Ln 𝑟𝑒/𝑟𝑖
2𝜋𝐿𝐾
Donde:
re = radio externo del cilindro (m).
ri = radio interno del cilindro (m).
L = longitud del cilindro (m).
K = Conductividad térmica del material (W/m-OC)

31. ri
re
3. Esferas Compuestas
Rterm =
𝑟𝑒−𝑟𝑖
𝑟𝑒·𝑟𝑖
4𝜋𝐾
Donde:
re = radio externo de la esfera (m).
ri = radio interno de la esfera (m).
K = Conductividad térmica del material (W/m-OC)

32. Resistencia térmica, de la convección
O De igual forma que el calor por conducción tiene sus respectivas
resistencias térmicas, según el sistema en estudio, también la
convección tiene una resistencia térmica particular:
Rh =
1
ℎ𝐴
O Donde:
h = coeficiente de convección (W/m2-OC).
A = Área perpendicular al flujo de calor (m2).

33. Representación de circuitos
termo-eléctricos

35. Ejercicios
La pared exterior de una casa puede aproximarse a una capa de
20cm de ladrillo corriente para fachada, seguida por una capa de
lana mineral y finalmente una capa de yeso de 4cm. ¿Qué espesor
de lana mineral debe añadirse para reducir en un 80% la pérdida de
calor, a través de la pared?

36. Solución
Primero debemos considerar la siguiente relación
𝑞 (𝑐𝑜𝑛 𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜)
𝑞 (sin 𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜)
= 0,20 =
Σ𝑅𝑡𝑒𝑟𝑚 (sin 𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜)
Σ𝑅𝑡𝑒𝑟𝑚 (𝑐𝑜𝑛 𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜)
Por tablas A.3 (pags 6 y 7) hallamos las conductividades térmicas del
ladrillo para fachada, el yeso y la lama mineral, respectivamente:
KL = 1, 32W/m- OC KY = 0,48W/m- OC Klm = 0,040W/m- OC
Determinamos las resistencias térmicas para el ladrillo y para el yeso:
RL =
𝑒
𝐾
=
0,20m
1, 32W/m− OC = 0,1515 m2-OC/W

37. Ahora la resistencia del yeso:
RY =
𝑒
𝐾
=
0,04m
0,48W/m− OC = 0,0833 m2-OC/W
De modo que la sumatoria de resistencias térmicas, sin aislante se:
Σ𝑅𝑡𝑒𝑟𝑚 (sin 𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜) = RL + RY = 0,2348 m2-OC/W
Por tanto; Σ𝑅𝑡𝑒𝑟𝑚 (con 𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜) =
0,2348 m2−OC/W
0,20
, así que:
Σ𝑅𝑡𝑒𝑟𝑚 (con 𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜) = 1,174 m2-OC/W
En otras palabras esto se puede escribir de esta forma:
1,174 m2-OC/W = Rlm + 0,2348 m2-OC/W; donde “Rlm” representa la
resistencia térmica de la lana mineral. Despejando y calculado Rlm,
tenemos:
Rlm = 0,9392 m2-OC/W

38. De la ecuación de la resistencia térmica del lana mineral, despejamos el
valor que corresponde al espesor “e”.
Rlm =
𝑒
𝑘
e = K·Rlm = (0,040W/m- OC)(0,9392m2- OC/W)
e = 0,037568 m (3,75 cm)

39. Considere una tubería que lleva una sustancia corrosiva a 600OC. La
tubería esta hecha en acero inoxidable, con 2cm de diámetro interno y
4cm como diámetro externo. Está recubierta por una capa de cloruro de
polivinilo de 3cm de espesor; la temperatura exterior es de 70OC, con un
coeficiente de convección de 51,43W/m2-OC. Calcúlese
a. La perdida de calor por unidad de longitud. (W/m)
b. La temperatura entre el tubo y el aislante. (OC)

40. ri
re
ra
Aislante e = 3cm
Tubo de acero
inoxidable
600OC
70OC; he = 51,43W/m2-OC
600OC
70OC
Tr = ?
Rtubr Raisl Rhe
q/L = ?

41. Solución
Lo primero es identificar todos los radios involucrados (ver la figura) ri =
0,01 m; re = 0,02 m y ra = re + e = (0,02 + 0,03)m = 0,05m
Luego se dibuja el circuito termo-.eléctrico y se identifican las resistencias
existentes, y los nodos de temperaturas. Hay tres resistencias, dos
conductivas y una por convección.
Iniciemos con las conductivas, primero necesitamos las conductividades
térmicas del acero inoxidable y el cloruro de polivinilo. Tablas A.2 y A.3.
K1 = 19 W/m-OC y K2 = 0,09W/m-OC
Identificamos las resistencias:
Rtubr = R1 =
Ln 𝑟𝑒/𝑟𝑖
2𝜋𝐾
=
Ln 0,02/0,01
2𝜋(19 W/m−OC)
= 5,8062x10-3 m-OC/W
Raisl = R2 =
Ln 𝑟𝑎/𝑟𝑒
2𝜋𝐾
=
Ln 0,05/0,02
2𝜋(0,09 W/m−OC)
= 1,6003 m-OC/W

42. Continuamos con el cálculo, ahora sigue la resistencia por convección
externa “Rhe”, entonces:
Rhe =
1
ℎ𝐴
=
1
(51,43W/m2−OC)(2π·0,05m)
= 61,8918x10-3 m-OC/W
Entonces la ΣRterm = Rturb + Raisl + Rhe = 1,667998 m-OC/W
Por lo tanto, el calor por unidad de longitud será:
q =
Δ𝑇
ΣRterm
=
(600OC – 70OC)
1,667998 m−OC/W
= 317,7461 W/m
Seguimos con la otra incógnita, la temperatura entre el tubo de acero y el
aislante, “Tr”. Conocemos el calor total; observemos el circuito térmico,
si nos vamos al nodo de la izquierda (600OC) contando hacia la derecha
hay una sola resistencia para llegar al nodo de “Tr” y desde el nodo de la
derecha (70OC) hasta el nodo de “Tr” hay dos resistencias.

43. Veamos el diagrama del circuito:
317,7461 W/m =
600OC −𝑇𝑟
Rtubr
Tr = 598,155OC
O bien
317,7461 W/m =
Tr − 70OC
Raisl +𝑅ℎ𝑒
Tr = 598,154OC
600OC
70OC
Tr = ?
Rtubr Raisl Rhe
q/L = 317,7461 W/m

44. Consideremos el mismo problema anterior, los mismos datos térmicos y
los mismo materiales, pero cambiemos la configuración por una esfera.
¿El calor será el mismo?, de ser diferente ¿A que se deberá?.
ri
re
ra
Aislante e = 3cm
Esfera de acero
inoxidable
600OC
70OC; he = 51,43W/m2-OC

45. Del problema anterior ya tenemos los radios involucrados como son:
ri = 0,01 m; re = 0,02 m y ra = 0,05m; también poseemos las
conductividades térmicas, para el acero inoxidable y el cloruro de
polivinilo, respectivamente: K1 = 19 W/m-OC y K2 = 0,09W/m-OC.
Solamente el áreas es distinta; A = [4πr2]. Calculando las resistencias:
Rtubr =
𝑟𝑒−𝑟𝑖
𝑟𝑒·𝑟𝑖
4𝜋𝐾1
=
0,02𝑚 −0,01𝑚
0,02𝑚·0,01𝑚
4π[19 W/m−OC]
= 0,2094 OC/W
Raisl =
𝑟𝑎−𝑟𝑒
𝑟𝑎·𝑟𝑒
4𝜋𝐾2
=
0,05𝑚 −0,02𝑚
0,05𝑚·0,02𝑚
4π[0,09W/m−OC]
= 26,5258 OC/W
Con un área de A = 4π[ra2] = 4π 0,05𝑚 2 = 0,031416m2
Rhe =
1
ℎ𝐴
=
1
(51,43W/m2−OC)(0,031416m2 )
= 0,6189 OC/W

46. Entonces la ΣRterm = Rturb + Raisl + Rhe = 27,3541 OC/W
Por lo tanto, el calor por unidad de longitud será:
q =
Δ𝑇
ΣRterm
=
(600OC – 70OC)
27,3541 OC/W
= 19,3755 W
La temperatura Tr, se puede calcular como:
19,3755 W =
600OC −𝑇𝑟
Rtubr
Tr = 595,942 OC
600OC
70OC
Tr = ?
Rtubr Raisl Rhe
q = 19,3755 W

47. Sencillo,
No!