ingeniería de sistemas

2. LIMITES INDETERMINADOS E INFINITOS

3. TABLA DE CONTENIDO
• Límites indeterminados.
• Límites infinitos

4. Solución
lim
𝑋→2
𝑥 − 2
𝑥2 − 4
=
2 − 2
22 − 4
=
0
0
LIMITES INDETERMINADOS
Un límite indeterminado es aquel que al ser evaluado en el punto dado la solución es una indeterminación, a/0
está indeterminación se da cuando en el denominador el resultado es 0 y es una indeterminación debido que la
división por cero no es posible.
Ejemplo 1.
Halle: lim
𝑋→2
𝑥−2
𝑥2−4
Como vemos este límite es una indeterminación por que su resultado es 0/0

5. Para solución indeterminaciones en los limites, los que se debe es aplicar elementos algebraicos como la
factorización y la racionalización, los cuales van a permitir transformar la expresión o simplificarla, de tal forma
que al volver a evaluar el limite, la indeterminación ya no existe.
Solución al ejemplo anterior
lim
𝑋→2
𝑥 − 2
𝑥2 − 4
= lim
𝑋→2
𝑥−2
(𝑥+2)(𝑥−2)
Se factoriza el denominador
= lim
𝑋→2
1
𝑥+2
Se simplifica la expresión
=
1
2+2
se evalúa el límite
1
4
se halla el límite de la expresión

6. Ejemplo 2.
Halle el limite de la siguiente expresión lim
𝑋→𝑜
𝑥2−2𝑥
𝑥
Se plantea eliminar la indeterminación por factorización
lim
𝑋→𝑜
𝑥2
− 2𝑥
𝑥
= lim
𝑋→𝑜
𝑥(𝑥−2)
𝑥
factorizamos el numerador
= lim
𝑋→𝑜
𝑥 − 2 Se simplifica la expresión
= 0 - 2 Se evalúa el límite
= -2 se halla el resultado del limite
lim
𝑋→𝑜
𝑥2−2𝑥
𝑥
=
02 −2
0
=
−2
0
Se evalúa el limite y se obtiene indeterminación

7. Ejemplo 3.
Halle el limite de la siguiente expresión lim
𝑋→2
𝑥2−4
𝑥−2
Se plantea eliminar la indeterminación por factorización y racionalización
lim
𝑋→2
𝑥2
− 4
𝑥 − 2
= lim
𝑋→2
(𝑥−2)(𝑥+2)
𝑥−2
.
𝑥−2
𝑥−2
factorizamos el numerador y se racionaliza el denominador
= lim
𝑋→2
(𝑥−2)(𝑥+2) 𝑥−2
( 𝑥−2)2 Se multiplican los denominadores
= lim
𝑋→2
(𝑥−2)(𝑥+2) 𝑥−2
𝑥−2
Se simplifica el radical en el denominador
= lim
𝑋→2
(𝑥 + 2) 𝑥 − 2 Se simplifica la expresión x-2 en el numerador y el denominador
= (2 + 2) 2 − 2 se evalúa el limite
=4( 0) = 0 se halla el resultado del limite
lim
𝑋→2
𝑥2−4
𝑥−2
=
22 −4
2−2
=
4−4
2−2
=
0
0
=
0
0
Se evalúa el limite y se obtiene indeterminación

8. Ejemplo 4
Halle el limite de la siguiente expresión lim
𝑋→3
𝑥2−7𝑥+12
𝑥 −3
lim
𝑋→3
𝑥2−7𝑥+12
𝑥 −3
=
32−7(3)+12
3 −3
=
9−21+12
9
=
0
0
lim
𝑋→3
𝑥2−7𝑥+12
𝑥 −3
= lim
𝑋→3
(𝑥−4)(𝑥−3)
𝑥 −3
= lim
𝑋→3
𝑥 − 4
= 3 – 4
=- -1

9. LIMITES INFINITOS
Un límite es infinito cuándo la función crece o decrece infinitamente para un punto de la función
Ejemplo 5
Analizar la función 𝑓 𝑥 =
1
𝑥 −2
la cual se analiza para x= 2, de la que se obtiene la siguiente grafica
Grafica realizada con el programa graphmatica para Windows
Se observa como la función crece sin
limite cuando x tiene a 2 por la derecha y
como decrece sin limite cuando la función
tiene a 2 por la izquierda

10. En la función 𝑓 𝑥 =
1
𝑥 −2
se evalúan los limites laterales de
la función en el punto x= 2, de donde tenemos
lim
𝑥→2+
1
𝑥 − 2
= ∞, 𝑜 lim
𝑥→2−
1
𝑥 − 2
= − ∞
Lo que nos indica que este limite no tiene una solución real, por ello es un limite infinito
o indeterminado.

11. Ejemplo 6
Analizar la función 𝑓 𝑥 =
1
𝑥2−4
la cual se analiza para x= ±2, de la que se obtiene la siguiente grafica
Grafica realizada con el programa graphmatica para Windows
Se observa como la función crece o
decrece sin limite cuando x tiene a ± 2 por
la izquierda y/o por la derecha.

12. En la función 𝑓 𝑥 =
1
𝑥2−4
se evalúan los limites laterales de la
función en el punto x= ± 2, de donde tenemos
lim
𝑥→2
1
𝑥2 − 4
=
1
22−4
=
1
4−4
=
1
0
lim
𝑥→−2
1
𝑥2 − 4
=
1
(−2)2−4
=
1
4−4
=
1
0

13. BIBLIOGRAFIA
• Calculo; Jorge B. Thomas Jr; ISBN Ebook: 9786073201650,
• Calculo Diferencial, Jorge Luis Gil Sevilla; Ebook: 9786073219495
• Introducción al cálculo diferencial; Garcia, Gomez y Larios; Ebook: ISBN
9781449227180
• Cálculo diferencial e integral; Luna, Mena, Violeta; Ebook: ISBN 9781456217433
• Cálculo diferencial; Camacho, Alberto; Ebook: ISBN 9788499690971