Ejercicios de Limites

1. Ejercicios de Límites

2. Limite lateral o existencia de límite.
Calcular el límite lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 =
2𝑥 − 𝑥3
, 𝑥 < 1
3𝑥2
− 2, 𝑥 ≥ 1
Solución:
Como 𝑓 esta definida de manera distinta para 𝑥 < 1 que para 𝑥 ≥ 1
consideramos los siguientes limites laterales.
= lim
𝑥→1−
𝑓 𝑥 = lim(2𝑥 − 𝑥3)
𝑥→1−
= 2 − 1 = 1
= lim
𝑥→1+
𝑓 𝑥 = lim(3𝑥2 − 2)
𝑥→1+
= 3 − 2 = 1
Al ser iguales los limites concluimos que el límite de 𝑓 𝑥 cuando 𝑥 → 1 es
1

3. Límite de una función Algebraica de forma
indeterminada 0/0
Calcular el límite lim
𝑥→1
𝑥2+3−2
10−𝑥−3
Solución:
= lim
𝑥→1
𝑥2 + 3 − 2
10 − 𝑥 − 3
𝑥2 + 3 + 2
𝑥2 + 3 + 2
10 − 𝑥 + 3
10 − 𝑥 + 3
= lim
𝑥→1
( 𝑥2 + 3
2
− 2 2
( 10 − 𝑥 + 3
10 − 𝑥
2
− 3 2( 𝑥2 + 3 + 2
= lim
𝑥→1
(𝑥2
+ 3 − 4)( 10 − 𝑥 + 3
10 − 𝑥 − 9)( 𝑥2 + 3 + 2
= lim
𝑥→1
𝑥2
− 1)( 10 − 𝑥 + 3
1 − 𝑥)( 𝑥2 + 3 + 2
= lim
𝑥→1
𝑥 − 1)(𝑥 + 1)( 10 − 𝑥 + 3
−(𝑥 − 1)( 𝑥2 + 3 + 2
= lim
𝑥→1
𝑥 + 1)( 10 − 𝑥 + 3
−( 𝑥2 + 3 + 2
= −
1 + 1)( 10 − 1 + 3
1 + 3 + 2
= −
12
4
= −3

4. Límite de una función trigonométrica de forma
indeterminada
0
0
Calcular el límite lim
𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥2
Solución:
= lim
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥2 = lim
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥2
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
= lim
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠2
𝑥
)𝑥2(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛2
𝑥
)𝑥2(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
= lim
𝑥→0
1
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑥2
= lim
𝑥→0
1
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
2
= lim
𝑥→0
1
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
2
=
1
1 + 𝑐𝑜𝑠0
1 2
=
1
1 + 1
(1
=
1
2

5. Limites Infinitos.
Calcular el límite lim
𝑥→2
𝑥−4
(𝑥−2)2
Solución:
Como el numerador 𝑥 − 4 tiende a −2 ≠ 0 cuando 𝑥 → 2, y el denominador (𝑥 − 2)2
tiende a 0
cuando 𝑥 → 2
Según:
Sea 𝑔(𝑥) una función tal que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 𝑘 ≠ 0 y ℎ( )𝑥 una función tal que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
ℎ( )𝑥 = 0 entonces 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
= ∞
El límite es
lim
𝑥→2
𝑥 − 4
𝑥 − 2 2
= ∞
Si queremos ser más precisos acerca de si este límite es +∞ o −∞, observamos que
cuando 𝑥 se encuentra cerca de 2, el numerador se mantendrá (cerca de −2) con signo
negativo, mientras que el denominador estará cerca de 0 siempre con signo positivo, ya
que (𝑥 − 2)2≥ 0. Por tanto, podemos decir que:
lim
𝑥→2
𝑥 − 4
(𝑥 − 2)2
= −∞

6. Limite al Infinito.
Calcular el límite lim
𝑥→∞
2𝑥3+23𝑥2+3𝑥−12
7𝑥3−8𝑥+17
Solución:
= lim
𝑥→∞
2𝑥3 + 23𝑥2 + 3𝑥 − 12
7𝑥3 − 8𝑥 + 17
= lim
𝑥→∞
2𝑥3 + 23𝑥2 + 3𝑥 − 12
𝑥3
7𝑥3 − 8𝑥 + 17
𝑥3
= lim
𝑥→∞
2 +
23
𝑥
+
3
𝑥2 −
12
𝑥3
7 −
8
𝑥2 +
17
𝑥3
=
2
7