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  1. 1. betsitazhsTaller elc Cálculo rMyriam Ceciiia Guerrero PavaNvckviret Flórcz BalretoMaxinriliarto Maclr,¿clo Fligrter:aMario Roa F{urtadoCarlos Alfolrso lt{ontealeEirt: ( Irr ¡-i-iSerie Cisnci¿s ¡!;rturale$ y Íviaternática; C7 - 161) . jcr Fei¡iero de 2010
  2. 2. IJniversidad de IbaguéFacultad de Ciencias Naturales y MatemáticasÁrea de MatemáticasTalleres de CáIculo rMyriam Cecilia Guerrero PavaNyckyiret Flórez BarretoMaximiliano Machado HigueraMario Roa HurtadoCarlos Alfonso Montealegre GarcíaFebrero 2o1oIbagué, Colombia
  3. 3. Contenido?:=:=c:cn ........6Tdlcr r: Línites y conünuidad de funciones polinómicas y racionalesObietir-oConceptos básicos ...........:........ ...,...........7F.iercicios propuestos. ..........7Cibergrafia. ..........................11Taller e: Derivada de funciones algebraicasObjetivo ..........12Conceptos básicos ..............12Ejercicio resuelto (Cálculo de la derivada: concepto del límite).. .................... 12Reglas de derivación................. .............13Ejercicio resuelto (aplicación de reglas de derivación)................ ....................14Ejercicios propuestos. ........14Cibergrafia. ........,................ 16Taller 3: Derivada de funciones compuestasObjetivo .........77Conceptos básicos .............. L7Ejercicios resueltos ............17Ejercicio propuestos .......... 18Cibergrafia. ........................2oTaller 4: Derivadas de orden superiory derivación implícitaObjetivos ........21Conceptos básicosEjercicios resueltos ".........22Ejercicios propuestos. ........23.........................25
  4. 4. laller 5: l)envadas de funcrones trascendentesObjetivos.... ............"........26Conceptos básicos ..............26F.i ercicios nronr r estos.a;h-.-.^fí. aaLrul¡arqrra. ......"..............JJ
  5. 5. Taller 6: Aplicaciones de la derivada teorema de Rolle y del valor medio. AnáIisisde curvasObjetivos ....."34Conceptos básicps(Teorema de Rolle y Teorema del valor medio) .......""""34Ejercicios resuelto (Teorema de Rolle).... .............35Ejercicio resuelto (Teorema del valor medio) .........36Análisis de curvas ......."""36 Criterio de la primera derivada..Criterio de concavidad............... ........."37Criterio de la segunda derivada... ....""37Ejercicio resuelto "....""""37Concaüdad """"""""""""4oEjercicio resuelto ......"""" 41Ejercicios propuestos. .-.""42Cibergrafía. ............""""""44Taller 7: Aplicaciones de la derivada (opümización)Objetivo """""45Conceptos básicos..,.... """45Ejercicio resuelto ......"""45Ejercicios propuestos. """"46Cibergrafia ""..""""""""52Bibliografía básica......... :................. ..."""53
  6. 6. I¡.riarn Cecilia Guerrero Pava. Matemática de la IJniversidad Nacional de Colombia.I:;.:-is:a en latemáticas Avanzadas de la Universidad Nacional. Docente de medio tiempo=:- =- ":=¿ de ]Iatemáticas de la Facultad de Ciencias Naturales I Matemáticas. Investigadora.:. :- ;;¡::PEC-EX1-clqiret Flórez Barreto. Licenciada en Matemáticas y Física de la Universidad delT:,-:na. Especialista en Docencia Universitaria de la Universidad Central de la Habana-Corporación Universitaria de Ibagué Coruniversitaria. Especialista en Matemáticas Avanzadasde la Universidad Central de las Villas-Corporación Universitaria de Ibagué Coruniversitaria.Candidata al título de Magister en Educación-línea didáctica de la Matemática, en laLniversidad del Tolima. Docente de tiempo completo en el área de Matemáticas.Coordinadora del área de Matemáticas y del grupo de investigación pecxnx.Maximiliano Machado Higuera. Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidaddel Tolima. Especialista en Estadística de la Universidad del Tolima. Candidato al título deMagister en Ingeniería de Control Industrial en la Universidad de lbagué. Actualmente, esdocente de tiempo completo en el área de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Naturales yMatemáticas de la Universidad de Ibagué e investigador del grupo PRoros.Mario Roa Hurtado. Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad Pedagógica vTecnológica de Colombia. Especialista en Computación para la Docencia de la UniversidadAntonio Nariño. Catedrático en el área de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Naturales yMatemáticas.Carlos Alfonso Montealegre García. Licenciado en Matemáticas y Física. AdministradorFinanciero. Especialista en Automatización Industrial de la Udiversidad de Ibagué. Decano dela Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas.
  7. 7. Taller r: Límites v continuidad de funcionespolinómidas y racionalesObjeüro.-:-:r:: conocimientos y habiiidades para oalcular límites de funciones polinómicas. :¿¡:,:nales lo mismo que para aplicar las propiedades de los límites en el cálculo.Conceptos básicosE- l:nite de una función /(x), cuando x se aproxima (o tiende) a un valor a, sieriste. es un número real I. Se denota!¿f(x) = riCómo calcular límites?a. Construyendo una tabla de vaiores.b. Por sustitución directa.c. Mediante factorización.d. Mediante racionalización (usando productos notabies).Función /(x) es continua en un punto a , si cumple las condiciones siguientes:a. f (x) está definida para x = a, esto es /(a) exista. En otras palabras que x =pertenezca al dominio de la función.b. lim"-o /(x) Exista.c. lim,-o f Q): f (a)Nota: Cuando falla al menos una de las condiciones antes mencionadas,función no es continua en ese punto; por tanto, se dice que es discontinua en x =a.Ejercicios propuestosLímit es de funciones p olinó¡nicas g raciono,les.r. Determine el límite (si existe) elaborando una tabla de valores para f (x). (Tabla t)la
  8. 8. Tabia r. Tabla de valores para /(x)z. Determine el límite (si existe) por sustitución directa.Tabla z. Límite por sustitución directa3. Determine el límite (si existe) por factorización:i.rlimr-23 xz r.z limr-g(2x - 3) L.S limx-2+-4 -tu2 +L1.{ lllTl"+1-;t_;1.5!8xz -33x+14-- z--;7;;1;Iim1A !.-.-1.O llm 8 --:--x¿l 3x-__,40x¿ +73x+304.7 trmr_ 2-ffi^8^21.8 lim,-r---x-x-r.9 lim,-3ff2.Ll,ry¡{z*-4x+I)/2.2lir4(2x + 5)x-52.3. x--Iim----.--+-2 Y -li.6 )^¿+x - ó:lim;--; ^-. -L L¿X - -:"-72.9 2limv+2 lE,+xa -sxz +4lim----;----r-0 X-I/z.s3x f4lim-i!ázxz - z2.773x * 30ttttt=--;--------x-08X-JX-J2.85X-Xlim --;---a-x-I X-4Tabla 3. Límite Por factorización3.1Iimx+-Z2x3-x2-7x+6+BE2 3x3 -7xz -1Bx-Blim-x+4 76-xz3.36x3 - r9x2 +^lim -----------=-- .xu-Z X- I3.4x+-sx+4lim-------;- .va-lI-L A L3.5rxz -33x*143x2 +x-233.624x2 - 53x-=-----;-3X- ¿X -lirrloJ3.7,. 40x2+73x+3025 llmr,_:Tt:¡;=^83.83x2-x-2ttttt ---T-----ii-v+1 yL- X lim-;-x+3 9-I-3.9
  9. 9. .1()limx)-13.11 3.12x*3- x*71 x----,lim ------,9--;x-¡0 Lv+ | --1y--^a !Llim ^- .1 /x+ L--1Fx"-5x+o--¡-44. Determine el límite (si existe):Tabla ¿. Determinación de la existencia o no de límite.Conünuidad. puntuo/ g enro.cionales.5. Deterr,rine si la función f (x) :un inter-ualo de funciones polinórnicas g6. Dete.rmine si la función f (x) =T. Determine si la función f (x I =5 x2 + B es continua Para x = 1.5x3 -5x * lescontinuaparax:2.r=----------:-=;--=J U - f)z + 5 es continua par& X =1.3 l3xz -9x-6z[.1 lrmr-1 /- x+14.zlimr-effi ,. Í+I4.3ffm--1.;+1.177d-t4.4 lim,--nf.., JVTT-,tTxt4.S trmx-r--ff /4.,6limr--^#vL1:4.7 lrmr-{ffi -E=;_-t;4.8- lim,-t ffi 4.s tim.4ffiqvJ-?Y+84.1o lirn,.- -"^ :-^r- r-3x".. 6x2-JTx+T+e4.11 llmr-a --í;lr,i-,. nxt+7-3x4.L2 trmx+@-;l:;4.13 lim,r* *(x-2 4v-41-t4.14limx-*ffi 4.L5^)lllrla-o l.C,r+1/<-¿.4JR4.16lrm, --;;i;,F:l-,.t to lim l-- tv ¡ -r4.r8lim"- -ffi^ 4,-4.19 lll111 -.a. :t--;;--" rt^-5, ,lll_x-xa4.2o ltmx-*;l+yx-r,. ??x2 -26x34.2$ lirn,-*ffiaX t a-XA ,A ltrl].-F ¡v ¡-vL^-¿ -
  10. 10. 8. En los siguientes ejercicios, determine si la función es continua en el pindicado. Si no lo es, identifique el tipo de discontinuidad y de ser posible, redefifunción:q, 8.t f (x) = *es continua Para x : 7.;.,8.2 f (x) = #. es conünua Para I - - 1.tS.S /(x) = -*-fs continua P&ra x = 0.S.+ f (x) =ft"rcontinua Parax - - 1.1t8.S /(x) =;,#s continua Para r = 15.6 f (x) =7 es continua Pára x = 1. g.. Determine si la función f(x) es continua y esboce su gráfica:(x*2, six(3flx)=l*r-4, six>3(io),Determine si la función f(x) es continua y esboce su gráfica:e+7, six14f(x)=1,6, síx=4t3x-6, síx)4rr. Determine si la función f(x) e1 continua y esboce su gráfica:(!-x, six(1If(x)=17, sÍx:1x2-1, sí,x>Lrz. Determine si la función f(x) es continua y esboce su gráfica:¡-7, sixl-IfQ)=lx3 si-1<x<7t 1. sÍx)113. Determine si la función f(x) es continua y esboce su gráfica:¡1, six < -2lrf(x)={;x,sÍ-2<x14lL lt, síx>-4r¡
  11. 11. 14. Caleule, si existen, las asíntotas de las siguientes funciones:t+.t f(x)=fu "I:t".1 _arz *__ n, xz-2x+4.14.2 Ix):T 11 .¡¡t tt.-/t4.S f @)=g ,.i,,ri I , i)1xr4.4 Ix) =r-r_s+ frCibergrafiahttp : / /docentes.uacj.mx/sterraza/matematicas en movimiento Aimitpslim def.htmlhttp:/ /www.fisicanet.com.ar/matematica/mq limites.ohphttp: //es.wikipedia.org/wiki /Conünuidad lmatpm%Cq%Artica)http: //thales:cica.es/rd/Recursos/rdoZ/UnidadesDidacticas/qg-r-u-continuidad.htmlhttp://www.dspartamento.us.es/dmateuita/Docer-rcia/TMRP/Qontinuidad.htmhttlr://descartes.cnice.mec.es/materiales didacticos/Limites de funciones/intuitivo.htm-G >(t1 X< 2-{ ISqllo ó h^/€{o/¿zf > zX b /,r,/olo
  12. 12. Taller e: Derivada de funciones algebraicasObjetivoUtilizar las reglas de derivación para encontrar ia derivada de funciones algebraicasAplicar las propiedades de ia derivada a problemas geométricos.Conceptos básicosSi y - f(r) definida endefine:un intervalo l entonces su derivada, denotada por,f(x), s?., . f(*+Ax)-f(r)I rx) = ofgl AXsiempre que el límite exista en interior de.I.Laderivada de/ : también se simboiizapor: y = # = t = d*yGeométricamente, la derivada se interpreta como la pendiente de la recttangente a la gráfica de la función en el punto (x, f (x))Ejercicio resuelto (CáIculo dela deriuo,do: concepto d.elbnite). f , rtsea/(.rJ = ;tnauar:r. l,a derivada de f para todo x > 0z. La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (4,|)3. Graficar la función.Desarrollo:t. f(x) = Iim4"-sETTr /tLx.lv-.1ryL A+li-.¡¡r¡¡^y+tl/x.",tx+ Axx-(x+ Ax)G-ltrTA¡- tih - rvx+Ar-rrr¡rrAy4llLX.. -M" 4*VxVx*Ax (Vr+Vn+Ax)&-u^x",tT,,qln (..8+ .G+ ax;-1 -1Xl¿tX)-1=-T¿x¿ytr G rE+ Jx I
  13. 13. Portanto f(x) =;i n"""Ado¡ > 0e. Como f(x)=¡¡ (penüente de la recta tangente) -+ m= - f entonces leecuación de la recta tangente es:y - := -* @-D -+ 16(y- :) = -x14 -+ x*t6v=723.t.61.41.210.80.6o.4y=1/raiz(x)iII0123456X o.2 o.5 1 4 6 9Y 2.2 L.4 2 o.5 o.4 o.3
  14. 14. . Kegla de la runclon roenuca: st / (fJ = f emonces I txJ = 1o Regla de las potencias: si f(x) : xft,n e Q entonces f (x) = nxT-L. Regladelasuma:sif(x) = u* udondeu: u(x)yv:u(x) entonces f(x) = 1t* v. Regla delproducto: si/(x) : Lr.1)entonces f(x) = uu + uu. Regla del cociente: si lentonces uv-uv
  15. 15. /-- ---Ejercicio resuelto (apticoción de reglas cte deriuación)r. En el siguiente ejemplo, se trata de recoger en una sola función el uso de las renunciadasSea /(x) : 4H.L, haitar/(x)DesarrolloComo./ es unacuando se debafunción racional, se aplica la regla para derivar un cocielderivar el numerador, este se deriva como un producto.Í("-2 jr + r).(¡a + B)l(9x2 - 2) - (3x2 - 5¡ * r)(xa + B).(sxz * 2)(9x2 - 2)zf(r) =[(3x2 - 5r + r).(x4 +B)+ (3¡2 -5x + t)(x4 +e)] (9x2 -2) - (:x2 - Sx+ t)(¡1 +g¡1(9x2 - 2)2[(3¡2 -5x+ 1).(¡4 +s)(:x2 -5x+ t)(x4 +g)] (gxz - z) - (¡xz - 5x+ 1)(xa +8)(18xl(9x2 - 2)2LGx2 - 5x + 1). (4x3) + (6x -S)-(xa ¡ B)l (exz - 2) - (3*2 -5x + 1)(xa + 8)(1Bx)Realizando las operaciones y simplificando se obtiene:f(x =f(x):L0Bx7 - 1.35x6 -18xs *50xa -Bx3 -360x2 -240x*80Ejercicios propuestost. Encuentre la derivada de cada función, utilizando ia definición.Tabla 5. Derivada de cada función, utilizando la definición.r.2t(x) =r. g?) = xz +,!r.r F(x) :2*Bx-5x/-lh(x): f7i4r.5 s(x) : "/x r.6r(x) :
  16. 16. z. Derive cada función, uülizando las reglas de derivación.Tabla 6. Derivada de cada función, utilizando las reglas de derivación.2.L f(x)= L1xz+9x-4 z.z g(x) = (?x - 3x + 5)(ra - Zx * 9)2.s h(t)=ffi2.4 m(z)= |zs- zz37(722 + z-B)2.5 n(x) = ;;fu 2.6 P(x)= t + 4 + 42.7 l(w) = Gw¿1w+8)te /(r) =EJ;- xr-12.1O glx) = ñi3. Demuestre que la funci(n no es derivabl e en x = lz
  17. 17. -4- -Qx b iF3.1 Íx):E+;G- A3.2 g(x):W-z^lF(i+r)33.3 nlx): _T.xZs.4 l(x)=#tffi3.5y:.J]-x33.6 !=x2e-x3.7 L-^8.8 g(r) : (5r - a)3.9 !=x4+3x2+6 3.1() yx j:a+b a-bg.11 y=lT+ll+LxB.r2 y=(1+4x3)(7+x)3.13 !=x(Zx -1)(3x+2) B.r4 y:(2x - 1-)(x - 6x * 3)3.15 ,1*¡ : ffi 3.16 Y(x) =3.r7 yG) : #/c.l-4lz3.r& /(s) = És.rg Y(x) = {7 + 74. Demuestre que la función h(x) = l2x - 1lSugerencía: Halie h() cuando Ax tiende a cero por la derecha y cuando titcero por la izquierda.S, En cada una de las funciones siguientes encuentre:a. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto dado.b. Los puntos sobre la gráfica en las que la iecta tangente es horizontal, esm:. 05.1 Y = ;A, P?21)l I
  18. 18. S.i. y - , +:, p(r,z)5.3 ! = 5x2-3¡- 10, p(2,4)5.4 y; (Zx3 -x* I)(x2 -+), p(0,4) 59 y=#,p(4,4)s.6 x2-y2-7,i@,-t)5.7 yry = L, p(-r,r)S.8 xz +. 3xy I yz = 5 , p(1,1)@ !=x3-2x2i4,p(2,4)Cibergrafrahtto :/ /www.decarcaixent.com/actividades/pates /derivadas /default.htmhttp://dieumsnh.qft¡.umich.mx/pRoBlEMARlo DlF/derivadas formulas.ht¡n
  19. 19. Taller 3: Derivada de firnciones compuestasObjetivoAplicar la regia de la cadena al cálculo de la derivada de funciones algebraicasConceptos básicos 1 . - ^--r-^^-:,,-+^ ,:ro.r rlnw. Si,fygsondosfuncionesrea}estalesqueeliangode/essubconjuntodeldominiog, entonces la función compuesta (f o g)se define por: (/ o g) (x) : f (g(x))* o y g(x) =x-zhallargof f og 9o9s(f(x)= g(h=*-2f (x-Z) = t,-yq(g(x) = g(x-Z)= (x-2)-2 = x-4Ejemplo: Si /(x) = i,Desarrollo: (g o f) (x) =(f o g) (x):(gos)(x):Regla de cadenrrSi y - (f o il@) entonces v : f (g(x)S@) Tambiénsiguiente forma: si u = g(x) entonces y = f (")"y g(x) =Ala expresi6n fr se le liama la derivada internase puede exPresar d{,entonc"t*=XdxaxlEjercicios resueltos;.";;;it"t la función Y = (x3 * 5x - 2)BSolución: Haciendo ú = x3 * 5x - 2 se tiene y =Luego,la derivada *= Bu(E" * 5); entonces yn clu ¡-.2 ¡ É 4=8u" Y l= 3x- -r 3,-du= B(x3 * 5x - Z)7 . (3x2Algunosreglas;:lit = Vix)1" derivanilo != n[f(t)]"-t f(x)La derivada también se puede expresar por:. Si u: f(x)setiene y--unyu= /(x)entoncesy:nLrtn-rr1z. Hallar la derivada de la función t(x) = lJV + 2)3I:1:
  20. 20. Desarrollo: ü(x) = (ri + Z)3Derivando t(x)= 3(xi ¡ 2).(:t-f nntonces, ü(r) = WEjercicios propuestosr. Derive cada una de las funciones siguientes:Tabla 7. Funciones ejercicio No r1.1 f(x) = (Br - 7;- }-A s(x) = (6x-7)3.(Bxz +9)2l.s sQ) = (r - ;)"r.4 r(z) : [(22 + t)to -.u 11tonÁ m(t) = [(t* i)- * ,] r.8 í(Y) = 3Y2J@(1 *-2)éa,ó lfr) =-r / t/4x_91.1o k(x) = +lx+ =,lx1.11 f (u) -- (u-t - 2u-2)-3"1..13 h(t¡ = ^f;T+rtL+4(t2 +l3i(t)= ffil--1.1S t(w) = Jw3 (9w + I)s +e x(w) - 3w-S)(7w+3)(w+2)3 (w-1)s#Z s(x) =l-x*.Jx*.lx,r.r8i(x) =r=r¡J x1.19 n(si1= +A JYL+ZY-71.2o n(y) = (y2 - g)JÑ.a.2r Y(x) =n^li+ta r;1.22 y(wl =r 1w+1t.zg y(u) = ",ll-1+lu+1,1r.24 y(t)t-5=-/r +2 3
  21. 21. /- --F*qr ro-) = (#) t.z6 ,=(4x3*6x-2)lr.27 y=FVR r.z811/=-1r-5Ir.29 y = dñ 1.3o y = Yss-h1.31 y -aa2 y=In(x+lÑ)bA y =;lÑ-Zln(x+12-4l€4 y = (senx- cosx),T71tqQ{r=V(1 +x)" 1.96 y:l(2x+1.)2+xr.g7 ,=(2x+1)s(3x+1)7 1.38 y =ffi1.89 y=l(x|+3x)a+xl-i sffi1.4o y = 4F+rz. En los siguientes ejercicios:a. Halle una ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función da<punto indicado.b. Determine los puntos sobre la gráfica en los cuales la recta tanghorizontal:2.Ltt2.32.42.52.62.72.82.9v-v-v-y=v-v.:v-v-v-(4x2-Bx*3)a , p(2,8r)(2x-I)10 , p(I,7). 1.c,(X+?) , p(7,32)62-D7 , p(O,-r)x17+S , p(2,6)x3 , P(1,1)2¿, Pl-I,-I)2x2+x, p(1,3))¡x" , plx,x¿)
  22. 22. 2.1O Y = 2r+12.Lr Y = fr.2.L2 Y: 7¿32.13 Y = 2, p(1,1), p(2,2)- x , p(2,2), p(-2,3)
  23. 23. a*arTaller 4: Derivadas de orden superior! . . , . l2 .y derivación implicitaObjetivos¡ Definir las derivadas sucesivas de una función (derivadas de orden superiorr. Adquirir habilidades para calcular derivadas de orden superior.o Distinguir entre forma explícita e implícita de una función.. Aplicar las reglas del cálculo de la derivada a funciones expresadas en fonimplícita.. Adquirir habilidades para calcular derivadas de funciones expresadasforma implícita.Conceptos básicosDeriuods d"e ord.en superiorAl derivar una función /, se obtiene otra función /; si esta, a su vez, se derivaobtiene ia segunda derivada de f (f") y así, sucesivamente. Por lo tanto, si 1/(x) entonces:dy# = f (*) es la primera derivada de /.,)#: f"(x) es ia segunda derivada de /.¿3^,ff=¡rzt (x) es la tercera derivada de /.Y así, sucesivamente. La n-ésima derivada de / se simboliza por,ffi =¡@) 6Ejemplo:Si /(x) : 4 x+ 0. Hallar ¡{t)7x7y calcular f@{-;)Solución:6 18f(r)=-i entonces f"(x) :i entoncest3 2.2------ :2304DeriuaciónirnplícitaLas expresiones y : 4x3 - 5x * 3. ó y = "{7t - z son ecuaciones que definenforma explícitaunafunción: y - f(x), o y : h(t) respectivamente.Por su parte, las ecuaciones 4x3-Sx-y - -3 ó y-7t+3 = [determinan en forma implícita las mismas funciones.¡{z)(D=-ft y f@?;)
  24. 24. L-na función / está definida implícitamente si, al sustituir / en lugar de y, seobtiene una identidad.Ejercicios resueltosr. I{uestre que la función g(s) = * esta definida implícitamente por la ecuación),s2-3y*1= o.Solución: Se sustituye ), por g(s) =+ (-Lr_rJr, - St,_LJ * 1 = 0 =+ s2 - 3 +3-s2 = 0 + 0 = 0paras +...?os+-r,6No siempre es fácil hallar una función a partir de una ecuación, pero se puedeencontrar su derivada sin conocer la función. Para ello, se procede a derivar cadamiembro de la ecuación, teniendo en cuenta que, al derivar la potencia y", se debeutilizar la regla de la caden u asitftln - ,nn-r ff v aplicar las reglas de deriraciónestudiadas anteriormente.z. Dada la ecuación x2 - 2xy I y, : ,a. Determine al menos una función implícita / deterrninada por la ecuación dada.b. Derive implícilamente Ia ecuación para hallar fc. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación en el punto(t,z).Solución:a. Para hallal /, se despeja y en funciónmiembro izquierdo se obtiene: (* - y)z = x+ f(x) : x * tli o f(x) : x - tlix; entonces, factorizando elx:!:TJi + y=x+lide
  25. 25. b.d (xz -2xy +y2 =x12x*2Ydy 1-Zx+2Y d"x 2v -2xc. Como la pendiente de la recta tangente a la curva es ?.?r : $ calculada enpunto (1, 2)7-2(1)+2(2) 3-m=ffi1m=j,entonceslaecuacióndeiare.ctatangenteeS:y-2=i("-t) + 2(y-Z)=3(x-I) = 2y-4=3x-3 =+ -3x2Y:1-Ejercicios propuestost. Para cada una de las siguientes funciones, calcule la segunda derivadaa. f (x) =ll{5o1?-nrxl :;tÁ.e.m(x): (3x * 4)a, g. y(x) : (x - 2)a. x2,^-!k.r(x) :,{Ñm.p(n) : xrlV4a. f(x) = x6 - 2x4 + 3x3e.h(x) = !6x+ -Bta. f(x): x6 - 2x4 + 3xsc. h(x) = 76x4 - BIn. q(x) : 72z. Sea f(x): i encuentre una fórmula para1 t ^f-.^carcule .r.", (1.)3. Encuentre todas ias derivadas diferentes de cerob. g(x) = x-2 * x-Id. t(x) =3"lT- gx a--?,f. k(r) =#h. y(x) : 4x3 - x2 + x1j.y=(3x2++12l.s(x) = *lnx+ 2x-2(.t*t)+2t,fr:t =á frfzt-2x):1+:xla n -esima derivada de f4. Encuentre todas las derivadas diferentes de cerob. g(r) : 7xz - 1)3d. .t(x) = Bx2 - 5x - 9b. g(x) : 7xz - 1)3d.s(x):Bx2-5x-9
  26. 26. e.p(x). = 3x4 - Zxs - Sxz + Íx2 +rz5. Para cada una de las siguientes ecuaciones:a. Calcule, de ser posible, una función implícita determinada por la ecuación.b. Determine la derivada de la función obtenida en el inciso "o"c. Hallela derivada implícita de la ecuación inicial.d. Compare el resultado del inciso "c" con el resultado dél inciso "b". Concluya/gr*,= -4 (7x + s)25.r xYz = ll6 ,A*-Y2 = 3u.? ++v2 =2é.+ zy*4xYlx2=7(1.9 ,+y3x+yxz *ys - 4¡{6 xzy * xyz = 25.7 xy3 + (x2 + Yz) = Ls.8 (xy)3 + xz +y2= t ----¡ v€ti{rcat resTrull -of o,@ -7xz + 48xy* 7yl = 25r -"t:*-toc¡rÑüof / s.to hxy * y2 = 2ry3-* prerfnb¡5 ertQb<"j, S.tt xs + xy * ys = 35 -* vorf cor el ver,,llado6-r4 x3+xzy*xy3=19 I/ítt x3 + xyz + r3ys :3 --/6.:14,>x2y*xYz=x*!| ?+j4*t,l /1rt-+).f
  27. 27. Punto dado.- . xz-g6.t y2=fr; (3,0)76:z x2 -!2 = 16; (4,0)6.g xy =4 ; (-4, -1)6.+ (x+y)3 =x3 +Y3; (0,0)
  28. 28. F 6.9, xi*y7- 9; (16,15)6.6 (x -yz)Q* xY) = 4 (2,1)6.2 x2+xy*y=7t(7,2)6.8 2=# ; (3,1)6.g xz + yz = 25; (2,3)6.to x2 Yz = 9; (-1,9)6,.11 x3 + xyz I x3ys = g (1,1)6.tz xzY + xYz = 72; (3,1)6.tg x3 y+xy3 -30; (1,3)6.rc ",lT+ xyz -5 ; (4,1)Q-tS"l7 - W - 2Y = 2; (r,-r)6.t7 xz * 2x2y*3xy- -1, (-r,3)6.t8 yz x + xzy - -2; (2,-1)Q19 x3 - Zxz Y + 3Y,Y2: 38 , (zB)http : / /es,wikipedia.o rg /wiki/ Funci% Cq % B q n impl% C g %AD citahttp :/ /www.sectormatematica.cl /seccion/derivacionhtmCibergrafiaInftp: //www.uauLOr.icita/implicita.html.t¡l{$--*--
  29. 29. Taller b: Derivadas de funciones trascendentesObjetivosAprender a desarrollar límites de ias funciones trigonométricas, en especiaseno y coseno.o Determinar si una función dada es continua, clasificarla y, de ser posiblrredefinirla.o Conocer, identificar y aplicar las derivadas específicas de las funcionetrigonornétricas, l1s logarítmicas y las exponenciales.Conceptos básicosRecuerde los conceptos sobre límites y continuidad estudiados en el Taller r.Antes de iniciar la solución de este taller haga un repaso de los conceptos de lafunciones trigonométricas. Estos los puede encontrar en los enlaces ¿ueb citados ¿final del taller.Para resolver estos ejercicios:a. Reemplace r por a, donde a es el acercamiento de x hacia el valor a.b. Si obtiene como respuesta una forma indeterminada, tenga en cuenta losiguientes límites:sen? cos?-L 7-cos0 tan?lim...-= L lim.:=1 lim-.-=0 lim...-=10+0 A 0-0 H 0-0 A 0-0 UEl ángulo 0 se expre5a en radianes.Ejercicios propuestosLftnites y eonür.rtliidad de funeiones tríg ono¡nétricas1. Encuentre el límite de cada una de las funciones dadas, en los ejerciciopropuestos en la tabia 8.Tabla 8. Límite de cada una de las funcionesI r.L lim¡-o# Sen=L.2 lim.-nl -.xnt.g limr-0ffiot.4 lim¡-o ry1l5xsenl:l1.5 lim,-e--Í i.,6 lim,,-6 (Y)
  30. 30. .. I-COS ¿Xl.q ilm--n --;-x.1.8 limx-osen4xtans2xz. compruebe que ias funeiones seno y coseno son continuas en 0.D erius.das de tas funciones trig onornétricasB. En los ejerciciorL la tabla 9 calcule la derivada de la función.Tabla 9. Derivada de la funciónAL3.2 !:x-icosx;17 s€flX¿3.4 g(t) - ltcost3.6 y= fi + Zcosxf (t)3.1o s(t)R/2x +(tsent +costt2Bsect;Bsect tant=lt +1Rl- +4t43.42Y = -cscx- senxiR/ cosx cotz xv =2xsenx+xzcosk;R/ 4xcosx + (2 - xzlsenx4. En los ejercicios de la tabla rO, encontrar la segunda derivadaTabia ro. Segunda derivadaS. En los ejercicios de la Tabla u, encontrar la derivada de la funciónlffi;t""e - coso; R/|cose * seno,:)3sen ; R{-i-3cosx3.5 Y=5*senxg.7 f (t) = t2 sent;R/ t(tcost * Zsent)g f (x) = :, + tdnxi Rf tanz xy =W; R /|secx(tanx 1 secx)3.r3 /(¡) : x¿ tanx iR/ x(xseczx * tanx)+.t f (x) : 3senx; R/ -3senxI.-....:
  31. 31. Tabla rr. Derivad.a de la funciónr -É61 y = cos(3x);R/ -3sen(3x)5.2 g(x) :3 tan(4x)R/-t2secz(4x)6-g y = sen(n x)z ;R/ 2n2 xcos(n x)z,54 h(x) = sen(2x)cos(2x);R / Zcos(4x)f (x)cotX=-¡ ,, SETLAR/(1. + coszX)sen3xv -4fy3;R/SsenX__cos3 X1,5.7 fG)=7senz(Zt);1IR/ ;sen(4t)/Lf (t) = 3sec?(nt - 7);6nsen(nt - 1Dt-"t cos3(zrt _ 1)5.9f y=^lT+lsen(zx)z;1*/,A * Zxcos(ZX)z10 y = senx6.i} h@) = secxzlz.12 y =,cos(I-2x)27s.tg s@) = secl)eyanQe¡ L4 glD)=-rá5.15 gG) = Scos2r t 5.16 h(t) : Zcotz (n t + Z)5.17 !=3x-Scos(rcx)z S.r8 y=senrli+lsenx6. En los ejercicios de la tabla 12, encontrar la ecuación de la recta tangente a ligráfica de/en el punto q-ue se indica.
  32. 32. Tabla rz. Ecuación de la recta tangente a la gráfica de/en el punto que se inüca- :É: G:; ;":;ñ;-c:7. En cada uno de los ejercicios de:1,?"" r3 derivar:a. Con respecto" ies una función de x)b. con respecto"u;óy y son funciones de t)fabla 13. Derivación con respecto^:U,es una función de x) y respecto a""tit t, son funciones de t)que se indicanRIY =2,-2n6f J@ -- turLTx en (i 1) ;&l y=4x+(1r-r)ff 4tr""osY = 1g.z ! = senxa.x=-il1- ^" - --.ÍJ,L- 4c,x=0En los ejercicios propuestos en la tabla 14 un punto se esdx ^^ n.rn /s- Calcule putulos valore8#"" i";;"to"tio" de modo qüe # es z cm/s"calcule frTabla 14. Gráfica de ia tunció" u"ryHalle ff en cadauno de los ejercicios de la tabla r5;; = cos(3r)nq-ffirG;enQ,zlll ,Ñ:zsett,;tx = t;i ;":;,nnvP) - 3ncosrx --..0b. -rsennYTL; - zrccosrxffi8.r Y =tanxic. x= 0cm 4cm ZcmRl-; --T9.
  33. 33. Tabla 15. Valores d" #9.t y = arc t"n|; R/ #a1v19.2 ! = 1a7"ctani; Kl e+A/g.s y = erc cos2x; R/ # ! = arc cot! + arc tun|;4Pt-., {4 + rr19.qt. --1 19.5 y = qrc s€ft7 ; Kl-= x+ I lx+ r)tx K.o !: arcton4 , n/áat t=--7Á.2 y:V1 -xt! xcircsenx;Rf arc senx/i.?.8v-x(arc senx)z - Zx i ztlGarc sen xR/ (arc senx2g.g y= xarccos2x -:l@; R/ arc cosZxD eriu o.da d.elas fr.taciones lo g aríttnicasro. En los ejercicios de la tabla 16, halle la derivada de la función:Tabla 16. Derivada de la funciónto.i g(x) =lnx2;2Rl-/to.z y = (lnx)a;4(Inñ3R/ ,-io.s y = tn@ip--t) ;[2x2 - r]rr , _j_"t [x@z - ]LO.4xf (x = In(--; ¡r -), - x2 + 1r lL - x21D / _:_____:_"r [x@z + r)]úo.u gG) =lnt(1,- Zlnt)Rl >--F-:-lo.6 y : In(lnxz);2Rl _ (xlnt¿21ñro.7 y=InlT; x-rfto.s f (x):^(ry),10.9-F u,=#*h@+Jrr+t)
  34. 34. a/W+4)1Rl--=l-x"11. En los ejercicios propuestos en ia tabla 17, encuentre una ecuación para la rrtangente a la gráfica de f(x) en el punto indicadoTabla r7. Ecuación para la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto indicadtlrr.z f(x) - 4-x2- lni:$+|)t ""PQ,4)tr.gf(x) = ln|ffi; - 127;..sf@) = x3lnx; enP(1,0)R/Y: x-trr.6 f (x) = ) x tn(xz); en P(-7,0)rz. En los ejercicios de la tabla 18, hane frTabla r8. Valor a" #pew- 30-1,.i,"étenP(n ¡*,t*[]>, Rl y :ts,,/,)/"/+13. Usar la derivación implícita para encontrar la ecuación de la recta tangentegráficaen el Puntó dado.Tabla 19. Ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto dado¡rSI!!-*t:..t f (x) = 3x2- InxienP(1,3)R/Y=5x72rr.4f (x) : sen(Zx) - tn(xz); enP(1,0).yiá.L xz- 3tnY * Y = 10;dv ZxvR / dx = 7j --2rz¡t
  35. 35. t3r , t*.x"+ y- f = In(xz +y2); enP(1,0); I i + In(xy) : 2; enP(e¡)R/Y=x-LDeriusda de lafunción erytonencio,l14. Encuentre la derivada de los ejercicios planteados en la tabla zozo. Eiercicios de derivada.
  36. 36. t4:í Y = e¿x;,--, * ¡ ,rr*14.2 Y: eG;e,lvRl- (ztlx)/t4,3 y= (e-, + e)"iR/3(e-t + et)z(et - "-t)/ t+.qY =ln(l + e");2e2pl-", (t + ezr)r4.5 ! = 6V;-Z(ex - e-Dt-"t (¿x * e-x)z14.6y-(senx*cosx)eRf 2e* cosx/r4.7 1!=e-^14.8l: x2e-,l+.g-3g(t) = sFr.4.ro1* exy = tn(G)| 4.4Ly -- Ine*15. En los ejercicios propuestos en la tabla 21, encuentre la ecuación de la rectatangente a la función en el punto dado.te a la funció.n en el punto dado.abla zt. Ecuación de la21. Ecuacron de la recta tangente a la nrliclo-rl erlllt f (r) = sl-i enP(1,!);R/Y=2-*(s., y = ln(e"); en P(-2,4);R/ -4(x + L)rt5.3!=xzet-R/y=,2xe + e* ; en P (I, e); tS.+ f (x): e-Inx; enP(7,0);YIRly= (;)- q)
  37. 37. 16. En los ejercicios de la tabla zz, ha[e fi por derivación implícitaaTabla ,r. ? Por derivación imPiícitad.x -*x2-!2=!0ir7. En los ejercicios de la tabla 23, encontrar la ecuación de la recta tangenttfunción en el Punto dadoTablaz3.Ecuacióndelarectatangentealafunciónenelpuntodado.tZ.z t + lnxY = ¿x-t; en P(!,R/Y=z-x18. Encontrar la segUnda derivada de la función dada, en los ejercicios de ia tabl Tabla 24. Segunda derivada de una función dadars: g(x) =li + e* lnxIt6.t xet - 10r * 3Y - 0;Rl(Lo - eY) l@et + t)ffiW Wx = Li enP(0,1);-----" R/ Y=1-(e+1)r@-ff¡r) - (3 + Zx)e-rx ; R/ 3(6X + 5)e-"{t*[=-,-
  38. 38. Taller 6: Aplicaciones de la derivada: Teorema---n"Ueyhel valor medio. Análisis de cllrvasObjetivosr Determinar los extremos (relativos y ab.solutos) de una función. Analizar los intervalos sobre los cuales una función es creciente o decrec..Aplicarelcriteriodelaprimeraderivadaparadeterminarlosextremosrfunción.. Aplicar el criterio de la segunda derivada para determinar extremos tfunciónConceptos básicosTeorerna de Rolle y Teorems del uolor meüoEn la Figura t, ," pi"ae apreciar la gráfica de una función que esintervalo ce*ado .lo,bl, f (a) = f (b) = o. Además, f(x) existe (notodoslos puntos del intervalo (ab)Figura t. Teorema de RolleEste resultado se establece con toda generalidad en el llamado Teorema ci una función de variable real que satisface las siguientes propiedades:fes continua en el intervalo cerrado [ab]les derivable en el intervalo abierto (ab). f(a) = f(b)Entonces, existe por lo menos un punto c e (ab) tal que f (c) = gEl siguiente teorema es una generalización det teorema de Rolle y se coel nornbre delTeoretna delValor Mediopara derivadas:continurtiene pirSeaaoI
  39. 39. Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades:. {es continua en el intervalo cerrado [a,b].. I es derivable en el intervalo abierto (a, b).Entonces, existe por lo menos un punto c E (a, b) tal que:ffO:f#En la figura 2, se muestra la gráfica de una función que satisface las hipótesis delT.V.M._**-i*_a.-**ilr*.*$*];_*TFigura z. Hipótesis del r.v.trlEl término t# es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa porlos puntos A y B. Geométricamente, el teorema afirma que: Existe un punto P sobre lacurva de abscisa c e (a,b) tal que la recta tangente a la curva en P cuya pendientef (c), es paralela a la recta secante .48.Ejercicio resuelto (Teorerna de Rolle)r. VerifiqueelteoremadeRolleparalafunción f (x) = cosx,enelintervalo ln,5r).Se puede ver que f (n) = -1= f (5n). También se ve que cosr es diferenciable entodo x e (r,5r).De acuerdo con el teorema debe existir un c e. (r,5r) tal que - sen x = 0.Como puede observarse esta ecuación tiene tres soluciones en el abiertoindicado: 2r,3n y 4r.
  40. 40. ./Ej ercieio resuelto (T eor erna del u alor ¡nedio)r. Verificar el teorema del r.alor medio para la ftinción f (x) =2x3 - Bx* 1, en elcerrado [1,3].fr1) - -q) - /f(3) = 3rf(c) = tg6c2-B=l.BEc=t{TDe estos dos valores el irnico que se encuentra en el intenaio es el positivotrc=* l*."Análisis de curvasSea / definida sobre un intervalo / que contiene a c/( c ) Es el mínimo relativo de / en 1 si /( c)/( c ) Es el máximo relativo de / en / si /( c)Los mínimos y máximos de una funciónextremos o simplernente extremos, de la función enFuncíón cr eciente y de cr eciente. Una función / es creciente sobre un intervalo 1 si para cualesquier dosnúmeros xt Y x2, en /, y si 11 < x2 implica f (x) < f l.¡z). Una función / es decreciente sobre un intervalo 1 si para cualquie dosnúmeros xt Y xz, en 1, y si x, < x2 implica f (x) > f (xz)Criterio p ara lasfunciones crecientes g decrecientesSea/trnifunción que es continua en el intervalo cerrado [a,b) y derivable en elintervalo abierto (a, b).. Si f(x) > 0 paratodox en (a,b), entonces/ es creciente en [a,b].. si f(x) < 0 para todo x en (a,b), entonces / es decreciente en [a, b].. Si f(x) = 0 paratodo x en (a,b), entonces/ esconstante en [c,b].< f(x) para toda x en 1> f(x) para toda x en 1en un intenalo son los valoresel inten¡alo.
  41. 41. Criterio de la Primera derivadaS"u r""punto lrítico de una función I que es continua en un intenalo abierto 1 quecontiene a c. Si / es derivable en el intenalo, excepto posiblemente en c entoncesf ( c) puede clasificarse así:. si f(x) cambia de negativa a positiva en c entonces / tiene un mínimorelativo en (c, f(c)). Si /(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces / tiene un máximorelativo en (c,/( c)).. si /(¡) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos iados de centonces/(c)noesniunmínimoreiativoniunmáximorelativo.Criterio de Concavidadsea / una función cuya segunda derivad.a existe en un intervalo abierto /. Si f"(x) > 0 para todo x en 1, entonces Ja gráfica de / es cóncava hacia arribaen/. Si f"(x) < 0 para todo x en 1, entonces ia gráfica de / es cóncava hacia abajoenIpunto de Inftexión: se dice que (c, f (c)) es un punto de inflexión de ia gráfica de /si f"(c) = 0 6 f" no existe enx = c criterio de la segunda d,erivada para determinar qué puntos sonmáximos y cuáles son mínimos.SiF,,(x)<0laFuncióntieneunmáxinrore}ativoolocal. Si F,,(x) > 0 la Función tiene un mínimo relaüvo o local.Ejercicio resuelto: Construcción de gráfieas defuncionesPaia la construcción de las gráficas de funciones eS necesario tener en cuenta lossiguientes asPectos:sea:F(x)= x3*x2-x-L
  42. 42. Se caleulan los ceros de la función, es decir, los puntos de corte de /(x) con eleie x Para esto, sehace /(x) = 0 Factorizando /(x) se tiene:xz(x+1)-(x*1)=g(x+7)(x2-1)=0(x+l)=O ó (x2-11=gx=:-1 6 x=*LLos puntos de corte con los ejes son: x=1 y x= -1. Ahora se toma laecuación inicial y se calcuia la primera derivada de la función:F(x)= x3+xz-x-JF(x)= 3x2+2x-1Haciendo F(x) = 0 setiene 3xz +2x - L = 0Utilizando la ecuación cuadrática =-#_2+JT4X =---- b_2+JG-/ o-2+4-)J-/-) 1x =-:- = -=-663-2- 4 -63- 3-l^- G 6Por tanto, los números críticos de la función son:,: I )- x2 = -1Buscamos los valores de y (las imágenes) en la ftinción inicial para determinarmáximos y mínimos con los números críticos hallados= x3 +x2 -x-L1)= (-1)3 +(-D2 -(-1)-1=0, ,l .3 ,1rZ ,1 -32)= (¡) .(¡) -G) -t=;F(x)r(-t1r [;Jtl1l
  43. 43. Por tanto se tiene que los puntos críticos son: i-r,o) V Ci, - filPara nuestro ejemploderivada se tiene:F" (x) = F" (-1) - -4F" (xz): r" (|) = ++en particular, aplicando el criterio de la segundaEntonces F(x) tiene un máximo enEntonces F(x) üene un máximo enx=-I1.JCreehniento o decreeüniento de F(x)Ubicamos en la recta real ios números críticos y determinamos los intervalos que seforman. Tomamos un representante en cada intervalo, remplazándolo en la primeraderivada de la función. Se debe tener en cuenta:. Si F(x) > 0lafuncióncrece. Si F(x) < 0lafuncióndecreceF(x)= 3x2+2x-1.NÍrmeros Críticos: -1,]n-l 1/3(-*, -1) (-1,1./3) (1/3,a)Del intervalo (-*, -1) tomamos F(-Z) = 3(-2)2 + 2(-2) - 1F(-z) = 7 Lafunción crece.Del intervalo (-7,1/3) tomamos F(0) = 3(0)2 + 2(0) - 1-F(0): -L Lafunción decrece.Del intenalo (l/3,m) tomamos F(1) = 3(1)2 + 2(1) - 1F(1) : 4 l¿ función ct"ece.^hora hallamos F"(x).Para encontrar el(los) posible(s) punto(s) de inflexión,hacenos F"(x) = gF"(x)=6x*2F"(x) = g6x*2=0Entonces. el número crítico de la segunda derivada es r =_1T
  44. 44. Para hallar el punto de inflexión inicialmente se debe reemplazar el númerocrítico de ia segunda derivada en la función inicialF(x)= x3+x2-x-L/-1 ¡-13 , (-1 /-i n _-16trl-l = l-3/- T/ *T/ -T/--Tobteniendo el punto (+,#)Para que este punto sea de inflexión, se debe analizar la concavidad.ConcavidadUbicamos en la recta real el número crítico, en este caso, hallando F"(x) quedetermina los intervalos que se forman. Elegimos un representante en cada intenaloy 1o remplazamos en la segunda derivada de la función.. Si F"{x) > 0la Función es Cóncava hacia arriba. Si F"(x) < 0la Función es Cóncava hacia abajoF"(x):6xtZ(-cn,-1/3) - r/3 (-t1s,*1Del intervalo (-*,-7/3) tomamos FF"(-1) = 6(- t) - 2FF"(-I) = -4 Cóncavahacia abajoDel intervalo (-tl3,oo) tomamos FF"(1) : 6(1) + ZFF" (1) = B Cóncava hacia arríba.-tFigura 3. Gráfíca ConcauidadPor 1o anterior, poclemos afirmar que el punto (+ #),es un punto de inflexión._r*;a ".-_----/.; ,/:l,illtll
  45. 45. Ejercicio resueltor. Análisis para la función f f (xx) = xx3Solución:Hallamos los ceros de la función xx3 = 0Primera derivada de la función: .f f(xx) =Puntos Críticos: f f (xx) = O 3xxz = 0xx=03XX-I xx=0MáximosyMínimos ff(0) = 0 Punto (00)f f (xx) Crece o Decrece(-*,0) oDel intervalo (-m, 0) tomamos f f (-I) : 3(-1)2Dei intervalo ( 0, oo) tomamos f f (1) = 3(1)2 : 3:ff"(xx) = 0*6xx=0Punto (0,0)(0,-)= 3: CreceCrecexx=0Segunda Derivada de la función:Puntos Críticos: f f"(xx) = 0Punto de Inflexión //(0) = 6ConcavidadDel intervalo (--,0)abajoDel intervalo ( 0, -)arribaGraficamos(-*,0) otomamos f f"(-1) -- 6(-,1) = -6tomamos f f"(L) = 6(7) :6(0,*)Cóncava haciaCóncava hacia
  46. 46. tsx3ñxFigura 4. Gr áfica Ej ercicio 7Ejereicios propuestos1. Verifique si cada una de las funciones dadas, saüsfáce las hipótesis del Teoremade Rolle:a. ff(xx) = xx2 -Zxx -3 en[0,2]b. f f (xx) = xx3 - xx en [-1,1]c. ff(xx)=xrc4 -2xx2 +1 enl-Z,Zf ,d. f f (xx) = sintx * cosxt en [0,n]2. Calcule explícitamente todos los valores de c que cumplan con el Teorema delvalor medio:a. f f (xx) = xx2 - 3xx en [t,+]b. ff(xx) = 2xx2 + xx + 1en [-2,3]c. ff(xx) = 3xx * S en [1,3]d. ff(xx) = xx - 7 en [0,+]3. Trazar la gráfica de las siguientes funciones, hallando: puntos cúticos, máximosy mínimos, dónde crece o decrece la función, puntos de inflexión y concavidada. ff (xx)=xx3 -6xx2 -9xx +54 * $tx) = X{- 6X3-g**54-3
  47. 47. b. ff(xx):xx3*xx-1 --o f¡Y) = Xc. f f (xx): xx3 *3xx2 -9xx-*- F¿r) d. ff (xx):2xx3 -6xx*4 ¿x- i,e. ff(xx) = xx2 - 4xx - 1f. ff(xx)=2xx3 -2xx2 -1.6xx1-1?-ff(xx) = -# xx¿+xx -6,3f f (xx) :;h r Fi,ff(xx)=JÑl--2ff(xx) = fu.1II lxx) : *?-f f (xx) =Hrn. f f (xx) = (-Z * xx)-zn. ff(xx)=xx2*6xx*9o. ff(xx) = 3xx4 *2xx3P f f (xx): xx3 -3xx2 +3q f f (xx):7xx3 -Bxxzr. ff(xx) : rin - 4xx3s. f f (xx) :Zsinxi;-i:i en l},2nnlt. ff(xx) = 3cos2xx en f1,rrlu.ff(xx)=(-1 +xl4w. f f (xx): 3 sinxx .t [O,f]Y ff(xx) = 1225 - 49xxzz. f f (xx): B cos (+.r)en l-2tm,Zrn)+,,4 -, ,| 1 --tl"^r-l| ,-g.h.i.j.k.l.htrp:,i iu-rlrv.xtec.es /-fgonzalz/erafi cas.htm=r&idProblema=rq
  48. 48. Taller 7: Aplicaciones de la derivada: optimizaciónObjetivoAplicar el criterio de la primera derivada para determinar los valores máximosmínimos que optimizan una función.Conceptos básicosEstrategias para resoiver problemas de optimizaciln:. Asignar símbolos a todas ias magnitudes a determinar.. Escribir una ecuación primaria (ecuación a optimizar) para la magnitud (ovariable) que va a ser maximizada o minimizada.. Reducir la ecuación primaria a una ecuación con una sola variableindependiente. Eso puede exigir el uso de una . o más ecuación(es)secundaria(s) que relacionen las variables independientes de la ecuaciónprimaria.¡ Determinar el dominio de la ecuación primaria. Esto es, hallar los valores quetienen sentido para el problema planteado.o Determinar el valor máximo o mínimo mediante derivadas.Bjercicio resueltoAytlicoción de tnó-xbnos A ¡nínitnosr. Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área que pueda inscribirse en uncírcuio de radio 4 cm.Figura 5. RectánguloEn estos problemas es necesario recordar conceptos básicos de Geometría,Fundamentos de Matemáticas, entre otros. Para este ¡iroblema en particular,debemos tener en cuenta el área del rectángulo dada por:Á = X.I (Base por altura)Ecuación del Círculo x2+y2=v2x2 +y2 - 16
  49. 49. *2 - tA-r,2L _ Lv )t;. *,.f -v1o )A1 reemplazar el valor de x en la ecuación de área A : x. Y se tendrá:¿ =,[t*F . tDerivando se obtiene: A =:G6 - nz¡t¡Zy) +^,2n, _ -! *ñ--^176- YHaciendo A= 0 setiene: -2y+ 16 = 0;porlotanto: y = ^lBPara hallar ei valor de x: x : J tO-O- y2; entonces x : ,18.Estas son las dimensiones del rectángulo de mayor áreaEjercicios proPuestost. El perímetro de un cuadrilátero es de 20 m. iCuál debe ser el largo y el anchoque dé ei área máxima?2. Ér, un áliláüld escaleno de base 12 cm y altura 6 cm, hallar el área de1 ma1orrectángulo inscrito cuya base coincida con la base del triángulo. B. Se desea construir una caja de base cuadrada 1abierta por la parte superior Paraello, se utilizará una lámina metálica cuadrada de rzo cm de lado con uncuadrado pequeño en cada esquina, con los bordes doblados hacia arribaDetermine la longitud de los lados para obtener una caja de volumen rnáximo4. Desde lo alto de un edificio de 16o pies de altura, se arroja una pelota haciaarriba, con una velocidad iniciai de 64 pies por segundoa. iCuándo alcanzala altura máxima?b. iCuál es la altura máxima?c. iCuándo llega al Piso?d. iCon qué relocidad llega al piso?e. éCuál es su aceleración al momento t = 2 segundos?S. Un rectángulo tiene un perímetro de r4o m éCuál es el largo y el ancho que dan elárea máxima?6. La suma del perímetro de un cuadrado y un triángulo equilátero es 40 cm Hailarlas dimensionei de ambos para que el área total sea mínima.7. Halle las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrita en unasemicircunferencia de radio ro cmt6-y216-yz
  50. 50. t 8. Entre todos los rectángulos de perímetro dado, encontrar el que tiene áreamáxima.-9. Entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa dada, hallar el que tengaárea máxima.10. Se tiene un alambre de iongitud I y se desea diüdirlo en dos trozos para forrnarcon cada uno de ellos, un triángulo equilátero. Determine qué longitud debetener cada trozo para que la suma de las áreas de los dos triángulos sea mínima.1t.t De una lámina cuadrada de cartón de iado I se debe cortar, en cada esquina, uncuadrado, de modo tal que, con el cartón resultante, doblado convenientemente,se pueda construir una caja sin tapa. Determine la longitud que debe tener eIlado del cuadrado de las esquinas, para que la capacidad de la caja sea máxima.tz. Una ventana está formada por un rectángulo rematado con un semicírculo en iaparte superior. Si el marco ha de tener una longitod p, determinar susdimensiones para que la superficie de la ventana sea máxima.19. Dos rectas se cortan perpendicularmente. Por cada una, avanzan, de manerasimultánea, dos móviles con velocidades vty u¡. Se dirigen al punto de corte delas rectas partiendo de unas distancias ay b, respectivamente. Hallar el instanteen que la distancia entre los móviles es mínima.14. Con una cartulina de B x 5 metros se desea construir una caja sin tapa, devolumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja.15. Un rectángulo esta acotado por los ejes y por la gráfiea de y = (6 - x) I z ZQtélongitud debe tener el rectángulo para que su área sea máxima?16. iQué puntos de la gráficay = 4 - xz están más cerca del punto (0,2)?Nofa: La distancia entre dos puntos (x,y), (x6, y6) es:d:ffi17. L-n rectángulo está limitado por el eje x y por el semicírculo y : J25-GiCuál es la longitud y el ancho del rectángulo que hace mínima su área?r8. Dos postes de rz y z8 metros de altura, distan 30 metros entre sí. Se necesitaconectarlos mediante un cable atado al suelo en algún punto, localizado entre los

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