1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCI´ON
Facultad Polit´ecnica
´Algebra
Primer Examen Final
Nombre y apellido:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Profesor/a:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fecha: 24.06.11
Todos los pasos empleados en los ejercicios te´oricos deben estar justificados mediante
resultados demostrados en clase.
En los ejercicios pr´acticos, se eval´ua el resultado final y el proceso.
Tema PC TP
I 20
II 10
III 20
IV 25
V 10
VI 15
Total 100
Tema 1: Dadas las funciones f (x) =
1
2
1 + x
1 − x
, g (x) =
1
2
1 − x
x + 1
, todas definidas sobre su m´aximo dominio
de definici´on y codominio igual a R.
(a) (5pts) Hallar t = (f + g) : D (t) −→ R.
(b) (5pts) Determinar el m´aximo dominio de definici´on de t (x).
(c) (5pts) Encontrar el rango de la funci´on t (x)
(d) (5pts) ¿Es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva la funci´on t (x)?
Tema 2: (10pts) Hallar todas las ra´ıces reales del siguiente polinomio p (x) = x5
− x4
− 3x3
+ 3x2
− 4x + 4
Tema 3: Los restos de un polinomio de grado tres entre los binomios x + 3, x − 3, x + 2, son −40, 8, −12,
respectivamente. Hallar el polinomio, sabiendo que 2 es una ra´ız de dicho polinomio. Sugerencia:
(a) (5pts) Usar el teorema del resto para hacer un sistema de ecuaciones lineales.
(b) (15pts) Aplicar el m´etodo de Gauss para resolver el sistema de ecuaciones lineales.
Tema 4:
a) (5pts) ¿Cu´antos n´umeros distintos de tres cifras sin repetir podemos formar con los siguientes d´ıgitos impares
1, 3, 5, 7?
b) (10pts) Demostrar por inducci´on que 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ... + (3n − 2) =
n (3n − 1)
2
c) (10pts) Demostrar que el conjunto vac´ıo es ´unico.
Tema 5:
a) (5pts) Construir la matriz cuadrada de orden 4, A = (aij) definida por:
(aij) =



(−1)
i+j
(i − j) . . . si i < j
(−1)
i
. . . si i = j
0 . . . si j < i
b) (5pts) Hallar |A|
Tema 6: (15pts) Hallar todas las ra´ıces c´ubicas de
i35
− i−35
2i