ACERTIJO del Cálculo de Área y Perímetro de rompecabezas de una figura compuesta por triángulos equiláteros.

x
Perímetro = ?
Correo: jsnoyola@hotmail.com
BLOG de Didáctica de las Matemáticas y las Ciencias: http://didacticadelasmatematicasylasciencias.blogspot.mx/
Acertijo creado y diseñado por el
Mtro. Javier Solis Noyola
Acertijo del cálculo de Área y Perímetro de una figura geométrica por medio de la intuición y lógica deductiva
A partir de lado x(segmento en color rojo) de una de las piezas del rompecabezas que se integraron para conformar una figura geométrica, deberás obtener
el área total y su perímetro. Para ello, deberás establecer y justificar tu respuestas, por medio de procesos de los pensamientos intuitivos y deductivos.
Área total= ?

x
Solución y Explicación
La solución a este acertijo geométrico de cálculo de área y perímetro de una figura compuesta por un conjunto de piezas, implica procesos del pensamiento
matemático, divergentes y convergentes (creativos y lógicos); concretamente relacionados con la intuición y deducción-abstracción. El hecho de que
solamente se proporcione un dato, y este sea dado como un valor algebraico (x), no significa que, no pueda llegarse a una solución.
x
x x
x
Perímetro = ?
Área total= ?
Lo expuesto arriba, nos invita a pensar, primeramente, de
manera intuitiva, donde la imaginación e inteligencia
espacial, como procesos divergentes del pensamiento, nos
llevan proponer visualmente, la configuración de una figura
geométrica simple de triángulo equilátero, que da origen a
todo esta figura compuesta que plantea el cálculo de área y
perímetro (como pequeños triángulos equiláteros integrados).

Perímetro = 6x + 9x + 3x + 3x + 3x
Perímetro = 24x
Esta configuración de triángulo equilátero (tres lado iguales), facilita gráficamente, la abstracción de una relación matemática de la suma de términos del
valor de x, para obtener el perímetro de la figura compuesta, mediante el simbolismo matemático. Esto ya es una deducción , que implicó un razonamiento
lógico (convergente), pero facilitado por la inteligencia espacial y los procesos gráficos (icónicos o pictográficos).
x
x x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x x x x
x
x
x
x x x x x x x x x
6x
9x
3x
3x
Área total= ?
3x

A1= A2 = A3 = A4 = A5 = A6 = A7 = A8 = A9
Área total= A1+ A2 + A3+ A4+ A5 + A6+ A7 + A8+ A9
Ahora, con respecto al cálculo del Área total, de igual manera como en el cálculo del perímetro, inmediatamente se deduce que la suma de las Áreas de
todos los triángulos equiláteros (54 en total), nos lleva a encontrar el Área Total de la Figura Compuesta.
1
2
3
4
5
6
A1
A2
A3
A6
A4
A5
A7
A9
A8
Área total= ?

Si bien, la suma de las áreas de los 54 triángulos equiláteros que dan origen a esta figura compuesta nos lleva a concluir el Cálculo del Área Total de la
Figura Compuesta; no es tan simple de obtenerse simbólicamente en términos algebraicos de x. Es aquí, donde nuevamente procesos intuitivos y de lógica
deductiva; así como, del conocimiento de otras fórmulas matemáticas , nos llevarán a deducir y abstraer de una manera más compleja, la fórmula
matemática final que calcula el Área total de la figura compuesta.
x
x x
x
x x
x x x
𝒙
𝟐
𝒙
𝟐
x
𝒙
𝟐
h
Á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒕𝒓𝒊á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 =
𝑩𝒂𝒔𝒆 ∗ 𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂
𝟐
h
Base = 𝒙
𝟐
Altura = h
𝒙 𝟐 = 𝒉 𝟐 +
(
𝒙
𝟐
)2
𝒙 𝟐 = 𝒉 𝟐 + 𝒙 𝟐
𝟒
𝒙 𝟐 −
𝒙 𝟐
𝟒
= 𝒉 𝟐
𝟑𝒙 𝟐
𝟒
= 𝒉 𝟐
TEOREMA DE PITAGORAS
𝟑𝒙 𝟐
𝟒
= 𝒉 𝟐
𝟑𝒙 𝟐
𝟒
= 𝒉
𝟑
𝟐
𝒙 = 𝒉
x
El triángulo equilátero, se
divide en 2 triángulos
rectángulos. Con la idea de
trabajar un solo triángulo
rectángulo, para obtener la
Altura, la cual es común
para los triángulos
rectángulos que componen
al triángulo equilátero.

x
El obtener la altura h del triángulo equilátero, hace que deduzcamos y podamos aplicar la fórmula del cálculo de área para cualquier tipo de triángulo. Y es
así que, mediante procesos algebraicos, se llega a la fórmula simbólica del cálculo de área del triángulo equilátero de origen.
x
𝒙
𝟐
h
Base =
𝒙
𝟐
Altura = h = 𝟑
𝟐
𝒙
x x
𝒙
𝟐
𝒙
𝟐
𝑩𝒂𝒔𝒆 ∗ 𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂
𝟐
Á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒕𝒓𝒊á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐
Equilátero
=
𝒙 ∗
𝟑
𝟐
𝒙
𝟐
h
x
𝒙∗
𝟑
𝟐
𝒙
𝟐
=
𝟑
𝟐
𝒙 𝟐
𝟐
=
𝟑
𝟒
𝒙 𝟐
𝟑
𝟒
𝒙 𝟐
Área de Triángulo Equilátero
h
Equilátero
Equilátero

Teniendo la fórmula concreta del cálculo de área del triángulo equilátero que da origen a la figura compuesta; ahora, mediante la integración o suma de las
áreas de los 54 triángulos equiláteros, se obtiene la fórmula simbólica para calcular el Área Total de toda la figura compuesta.
x
x x
x
𝟑
𝟒
𝒙 𝟐
A1
A2
A3
A6
A4
A5
A7
A9
A8
A1 = 𝟔 ∗
𝟑
𝟒
𝒙 𝟐
Área total= A1+ A2 + A3+ A4+ A5 + A6+ A7 + A8+ A9
Área Total = 𝟓𝟒 ∗
𝟑
𝟒
𝒙 𝟐
A1
Área de 6 triángulos Equiláteros
Área Total de los 54 triángulos Equiláteros
Equilátero

A estas fórmulas simbólicas expresadas algebraicamente en términos de la variable x, se les podrá sustituir cualquier valor numérico para obtener,
perímetros y áreas específicas. (ver caso en siguiente diapositiva con valor de x= 1 cm.)
Perímetro = ?
Área total= ?
Perímetro = 24x
𝟑
𝟒
𝒙 𝟐
x

Perímetro = 24 cm.
Área total= 23.3826… cm2
Perímetro = 24x = 24(1)= 24 cm.
𝟑
𝟒
𝒙 𝟐
𝟑
𝟒
(𝟏) 𝟐
𝟑
𝟒
(𝟏)
𝟑
𝟒
= 23.3826… cm2
x
Para x = 1 cm.

Presentación sobre el Análisis y propuesta didáctica para desarrollar
el Pensamiento Matemático.
https://es.slideshare.net/javiersolisp/anlisis-y-propuesta-didctica-para-
desarrollar-el-pensamiento-matemtico
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA hace
Análisis y propuesta didáctica para
desarrollar el Pensamiento Matemático.
Este contempla los modos de
representación mental (activo-icónico-
simbólico) y la teoría de los hemisferios
cerebrales. Para ello, se tomo como
base, un ejemplo de un problema
matemático de geometría, propuesto
por la Olimpiada Matemática de Nuevo
León, México. El problema destaca la
importancia de la Olimpiada de
Matemáticas, y se publica en la red
social de You Tube.

Propósitos de compartir esta actividad de aprendizaje del
Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA
Soy el Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA y me dedico a divulgar de forma independiente la
didáctica de la matemáticas, ciencias y la tecnología. Colaboró en diversas universidades
impartiendo clases de matemáticas, ciencias y tecnología. También me dedico a formación
docente en áreas de: Diseño de Ambientes de Aprendizaje, Didáctica de las Matemáticas y
las Ciencias, Educación Basada en Competencias, etc.
Los propósitos de compartir esta presentación, son:
• Divulgar la didáctica de las matemáticas, ciencia y tecnología, de una manera lúdica y
creativa, para tener una mejor comprensión de los conceptos matemáticos, científicos y
tecnológicos que se aplican en los diversos sistemas y entornos en los que como seres
humanos interactuamos.
• Ser material didáctico significativo para los padres de familia, docentes y los alumnos;
principalmente, los niños y adolescentes.

Blog Virtual de Divulgación
Didáctica de las Matemáticas y las Ciencias
Mtro. Javier Solis NoyolaDel Mtro. JAVIER SOLIS
Acceso a sitio en internet:
http://didacticadelasmatematicasylasciencias.blogspot.com/
Blog virtual de Divulgación de la Didáctica de las Matemáticas y las Ciencias. Este sitio en internet es un espacio de divulgación de la
didáctica de las matemáticas, en el que se accede a diversos Objetos de Aprendizaje (Acertijos, retos, rompecabezas, juegos, etc.) creados y
desarrollados por el Mtro. Javier Solis Noyola

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