Unidad4 matrices_algebra superior_rosa_depena

Matrices
UNIDAD 4
Prof. Rosa De Peña

1
Algebra Superior
Rosa De Peña & Tulio Mateo
Matrices
Unidad 4
Índice
4.1 Definición y notación…………………………………………………………………….......... 2
4.2 Orden y dimensión………………………………………………………………………..…..3
4.3 Matríz cuadrada y rectangular. Diagonal principal de una matríz cuadrada.
Traza de una matríz cuadrada…………………………………………………………..…. 3
4.4 Igualdad de matrices. Propiedades………………………………………………………..….4
4.5 Operaciones con matrices:……………………………………………………………………..6
4.5.1 Suma o adición de matrices………………………………………………………………....6
4.5.2 Diferencia o sustracción de matrices……………………………………………………….8
4.5.3 Multiplicación de un escalar por una matríz………………………………………………8
4.5.4 Multiplicación de matrices. Propiedades: Asociativa, distributiva con relación
a la adición, no cancelativa. Divisores de cero…………………………………………..9
4.5.5 Potencia entera positiva de una matriz cuadrada………………………………………. 11
4.6 Tipos especiales de matrices: Triangular superior, triangular inferior, diagonal,
escalar, unidad o matriz identidad, conmutativa, anticonmutativa, simétrica y
antisimétrica……………………………………………………………………………………..12
4.7 Matríz traspuesta. Propiedades de la matríz traspuesta…………………………………...13
4.8 Matríz inversa. Matrices inversibles…………………………………………………………..14
4.9 Dependencia lineal de las filas y columnas de una matríz………………………………..15
4.10 Rango o característica de una matríz..............................................................................16
4.11 Operaciones elementales en una matríz ……………………………………………..….16
4.12 Matrices equivalentes. Notación. Propiedades como relación de equivalencia….…….16
4.13 Matrices escalonadas.………………………………………………………………….……. 17
4.14 Matríz en la forma escalonada reducida…………………………………………………....17
4.15 Determinación del rango o característica de una matríz ……………………………..18
4.16 Cálculo de la inversa de una matríz cuadrada usando las operaciones
elementales de filas…………………………………………………………………………...19
4.17 Ecuaciones con matrices…………………………………………………………………….. 21
Practica Propuesta No. 1. Unidad 4…………………………………………………………..…. . 24
Practica Propuesta No. 2. Unidad 4 ……………………………………………………...……..27
Cuestionario Unidad 4……………………………………………………………………………… 34
Bibliografia Consultada..….............………………………………………………………...35

2
Algebra Superior Rosa De Peña & Tulio Mateo
Matrices
Unidad 4
MATRICES
Introducción
Por el uso creciente de las matemáticas en la ciencia y la tecnología, así como en otros campos del
saber humano, se hace necesario dedicar nuestra atención al estudio de las matrices, las cuales
constituyen herramientas eminentemente útiles por su valor estructural y operativo. Ellas se manejan
en la mayoría de las ciencias, y gran cantidad de las operaciones realizadas por las computadoras son
efectuadas tomando elementos a las matrices. La teoría de matrices, introducida en 1858 tiene hoy
aplicaciones en campos tan diversos como el control de inventarios en las fábricas; teoría cuántica en
física; análisis de costos en transportes y de otras industrias; problemas de estrategias en las
operaciones militares y análisis de datos, en sociología y psicología.
4. 1 Definición
Una matriz es un arreglo rectangular de elementos distribuidos en filas y columnas. Los elementos
pueden ser números reales, números complejos, funciones, etc., y se acostumbran a colocar entre
corchetes.
Notación
A las matrices, en general, se le acostumbra denotar por letras mayúsculas y sus elementos se suelen
designar con letras minúsculas seguidas de dos subíndices, indicando el primero en qué fila está el
elemento y el segundo en qué columna. Por ejemplo: a i j , donde la “i” señalará la fila y la “j” la
columna. De manera que, en general, una matriz se escribe así:
 








 









m m mn
n
n
a a a
a a a
a a a
A
...
. . ... .
. . ... .
. . ... .
...
...
1 2
21 22 2
11 12 1

3
Matrices
Unidad 4
Es bueno tener presente que una matriz no tiene valor numérico y que es solo una manera de ordenar
números.
A las filas y las columnas se les llama líneas, cuando no hay necesidad de distinguirlas.
El conjunto de matrices definen un espacio vectorial, pues con ellas podemos verificar todas las
propiedades que se satisfacen en los espacios vectoriales.
4.2 Orden o Dimensión
Si una matiz tiene “m” filas y “n” columnas, entonces decimos que la matriz es de orden "mxn".
Siempre se indicará el orden de una matriz escribiendo primero el número de filas y luego el número
de columnas de la matriz.
Otra notación usada para las matrices es:  ij mxn A  a
donde A es de orden mxn y sus elementos los ij a , deben variar “i” de “1”
a “m” y “j” de “1” a “n” .
4.3 Si en una matriz el número de filas es igual al número de columnas se dice que la matriz es
cuadrada. Cuando se tiene una matriz cuadrada mxm, decimos que su orden es m en lugar de decir
que su orden es mxm.
Así, la matriz B cuadrada 2x2: B = 



3 0
1 2
es una matriz cuadrada de orden dos.
En una matriz cuadrada de orden “n” se le llamará a los elementos:
ij a siendo i = j , es decir nn a , a ,..., a 11 22 , la Diagonal Principal.
ij a siendo i  j , es decir 1 2( 1) 1 , ,..., n n n a a a  , la Diagonal Secundaria.
Es decir, en la matriz:













2 0 3
0 4 5
1 2 3
A
La diagonal principal la forman los elementos 1,4,3 y la diagonal secundaria 3,4,2 .
La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada A se llama traza
de A. Es decir Traza de nn A  a  a  a ... a 11 22 33

4
Matrices
Unidad 4
Ejemplo.:
La traza de A es: 1 4 3 8 11 22 33 A  a  a  a    
Si el número de filas de una matriz es uno, dicha matriz se llama matriz de una fila o
vector fila.
Ejemplos:
A  2 8  3 B  1 0 1
A B son puntos del espacio, expresado en términos de sus coordenadas rectangulares.
Si el número de columnas de una matriz es uno, dicha matriz se llama matriz de una columna o
vector columna.
Ejemplos:





0
1
A











0
1
2
B











1
1
1
C
4.4 Igualdad de Matrices
Dos matrices A y B son iguales si se cumple que:
1) A tiene el mismo orden de B.
2) Cada elemento de A es igual al elemento correspondiente de B simbólicamente:
Dada las matrices  ij mxn A  a
y  ij mxn B  b
entonces:
  ij ij A  B a  b para todo ij .
Ejemplos:
a)  


 



 



1 3
2 0
0 3
2 1
0 3
2 1
b) Resuelva la siguiente ecuación.




 



 
 
7 3
3 5
2
3
x y u v
x y u v

5
Matrices
Unidad 4
Resolver la ecuación matricial planteada significa hallar los valores de x, y,u, v
que satisfacen la igualdad, con este propósito formamos dos sistemas:
1) a) x  y  3 2) a) 3u  v  5
b) x  y  7 b) u 2v  2
De 1 Sumando las ecuaciones a, b anteriores: De 2 Multiplicando a por 2:
2x 10 6u  2v 10
5
2
10
x   u 2v  2
Sustituyendo x en a :
y  x 3  53  2 7u 12
x=5
y=2
7
12
u 
De 2 Sustituyendo u en a tenemos:
5
7
12
3   



v
Despejando v:
7
1
7
35 36
7
36
5  

v   
7
12
u 
7
1
v  
Propiedades de la Igualdad de Matrices
a) A  A Propiedad Reflexiva
b) A  BB  A Propiedad Simétrica
c) Si A  BB  CA  C Propiedad Transitiva

6
Matrices
Unidad 4
4.5 Operaciones con Matrices.
4.5.1 Suma de Matrices
Si no se definen operaciones entre las matrices, éstas tendrían relativamente poco interés. Lo que las
hace útiles dentro de la ciencia y la tecnología es el hecho de que se pueden definir entre ellas las
operaciones suma y multiplicación. Veamos en primer lugar la suma de matrices.
Si  ij mxn A  a
y  ij mxn B  b
entonces se define:  ij ij mxn A B  a  b
para todo i, j.
Nota:
Obsérvese que para poder sumar dos matrices, éstas deben ser del mismo
orden.
Ejemplos:
a) Si 





1 3 4
2 1 0
A  



0 1 2
1 1 3
B 




 
1 4 6
3 2 3
A B
b) Si 




 

4
3
y
x y u v
A 




 

3
2 2
x y
x y u v
B 


 
 
7
2 3
x
x u v
A B
Si consideramos el conjunto de todas las matrices de orden "mxn", mxn R , entonces si:
mxn AR y mxn BR , se sigue que   mxn A B R , es decir que la suma de matrices es una
operación interna en mxn R .

7
Matrices
Unidad 4
Propiedades de la suma de matrices
1) Existe mxn mxn 0 R , tal que mxn mxn mxn mxn mxn A 0 0 A  A
La matriz mxn 0 es aquella cuyos elementos son todos iguales a cero, y a ella llamaremos Matriz Cero
o Matriz Nula. Se representará por n 0 . Si m = n.
La matriz cero es el elemento identidad para la suma de matrices.





0 0
0 0
02











0 0 0
0 0 0
0 0 0
03













0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
04
Si 




21 22
11 12
a a
a a
A luego, A
a a
a a
a a
a a
A  



 
 
 



 



 
0 0
0 0
0 0
0 0
0
21 22
11 12
21 22
11 12
2
2) En mxn R la suma de matrices es una operación conmutativa por ser los elementos de las matrices
números reales y por verificarse la conmutatividad de la suma de números reales. O sea:
mxn mxn mxn mxn A  B B A
3) En el conjunto mxn R , la suma de matrices es asociativa, es decir, mxn A, B,CR
entonces : A BC  ABC
4) Toda matriz mxn A , mxn R , tiene una inversa aditiva mxn  A , tal que:
  mxn mxn mxn A   A  0
La matriz mxn  A es aquella cuyos elementos son los de mxn A cambiados de signo, es decir los
inversos aditivos de los elementos de mxn A . A la matriz mxn  A también se le llama la negativa de
mxn A .

8
Matrices
Unidad 4
4.5.2 Diferencia de Matrices
Si mxn A, BR , entonces la diferencia entre A, B , que se denota por A B es una matriz
mxn CR , tal que C es la suma de la matriz A A y la opuesta de B , es decir:
C  A B  A B
Ejemplos: Dadas las matrices











6 5
0 4
1 2
A













0 1
3 1
2 1
B
Hallar a) A – B b) B – A











 
6 5
0 4
1 2
A B












0 1
3 1
2 1
=










6 5
0 4
1 2
+













0 1
3 1
2 1
=











6 4
3 5
3 1













 
0 1
3 1
2 1
B A










6 5
0 4
1 2
=












0 1
3 1
2 1
+












 
6 5
0 4
1 2
=












 
6 4
3 5
3 1
4.5.3 Multiplicación de una Matriz por un Escalar
Si A= [aij ]mxn y k R  k.A = [ kaij]mxn
Nota: El producto de una matriz por un número, es una matriz y no un número.
Si











6 5
0 4
1 2
A para k =3 entonces KA= 3











18 15
0 12
3 6
A

9
Matrices
Unidad 4
Propiedades de la Multiplicación de una Matriz por un Escalar
Sean A y B matrices de orden"mxn" y "k" ^ "t" escalares R , entonces se cumple :
1) kA es una matriz de orden "mxn"
2) ktA  ktA
3) kA B  kA kB
4) k tA  kAtA
5) 1.A  A
4.5.4 Multiplicación de dos Matrices
Si A es una matriz de orden mxp y B una matriz de orden pxn , entonces la matriz producto C = A.
B es de orden "mxn", en la cual el elemento ij c viene dado por la suma de los productos formados
multiplicando los elementos de la i-ésima fila de
  i i ip A a ,a ,...,a 1 2 por los elementos correspondientes de la j-ésima columna de
  j j pj B b ,b ,...,b 1 2
  i j i j ip pj
pj
j
j
ij i i ip a b a b a b
b
b
b
C a a a    




















 ...
.
.
.
... 1 1 2 2
2
1
1 2
Simbólicamente:
Dadas  ik mxp A  a y  kj pxn B  b
, se define C = A . B
donde  ij mxn C  c
y kj
p
k
ij ikb a C 

1
Debe tenerse en cuenta:
a) Sólo es posible multiplicar una matriz A, por una matriz B, si el número de columnas de A es
igual al número de filas de B. En ese caso se dice que A es conforme con B respecto de la
multiplicación.

10
Matrices
Unidad 4
b) La matriz productoC  AB tiene el mismo número de filas que A y el mismo número de
columnas de B.
c) A fin de obtener el elemento de la i-ésima fila y la j-ésima columna de AB multiplicamos los
elementos de la i-ésima fila de A por los elementos correspondientes de la j-ésima columna de B y
sumamos los productos obtenidos.
Ejemplos
a) Si 





1 0 3
2 3 1
A













4 1
1 0
3 2
B
a.1) Hallar
           
            



       
     



















1 3 0 1 3 4 1 2 0 0 3 1
2 3 3 1 1 4 2 2 3 0 1 1
4 1
1 0
3 2
1 0 3
2 3 1
AB






 



    
    

9 1
13 5
3 0 12 2 0 3
6 3 4 4 0 1
AB
Siendo la matriz A de orden 2x3, B de orden 3x2 la matriz que resulta al multiplicar AB
es de orden 2.
a.2) Hallar
             
           
              









      
   
     
 

















4 2 1 1 4 3 1 0 4 1 1 3
1 2 0 1 1 3 0 0 11 0 3
3 2 2 1 3 3 2 0 3 1 2 3
1 0 3
2 3 1
4 1
1 0
3 2
BA









 











  
  
  

9 12 1
2 3 1
8 9 3
8 1 12 0 4 3
2 0 3 0 1 0
6 2 9 0 3 6
BA
Siendo la matriz B de orden 3x2 , A de orden 2x3 la matriz que resulta al multiplicar BA
es de orden 3.

11
Matrices
Unidad 4
Propiedades de la Multiplicación de Matrices
a) AB C  AB  AC 1ra. Propiedad Distributiva
b) A BC  AC  BC 2da. Propiedad Distributiva
c) ABC  ABC Propiedad Asociativa
Sin embargo,
d) AB  BA En general no se cumple la propiedad conmutativa.
e) AB  0 Esto no implica necesariamente que A = 0 ó B = 0
f) AB  AC Esto no implica necesariamente que B = C
4.5.5 Potencia Entera Positiva de una Matriz Cuadrada
Sea   ij A  a
una matriz cuadrada de orden “n”, luego si queremos obtener una potencia entera
positiva de dicha matriz cuadrada, sólo tenemos que multiplicarla por si misma tantas veces como
lo indique la potencia.
Ejemplos: Sea









 

1 0 1
0 1 2
2 1 1
A , entonces
                    
                 
                  









      
      
         










 









 
 
1 2 0 0 11 1 1 0 1 1 0 11 0 2 11
0 2 1 0 2 1 0 1 11 2 0 0 1 1 2 2 1
2 2 1 0 11 2 1 1 1 1 0 2 1 1 2 11
1 0 1
0 1 2
2 1 1
1 0 1
0 1 2
2 1 1
2 A AA













3 1 2
2 1 4
5 3 1
2 A
A  A A  3 2












3 1 2
2 1 4
5 3 1









 
1 0 1
0 1 2
2 1 1














8 4 3
8 1 8
11 8 0
y así sucesivamente
A  I 0

12
Matrices
Unidad 4
4.6 Tipos Especiales de Matrices
Una matriz cuadrada A cuyos elementos  0 ij a para i  j se llama Matriz Triangular Superior.
Ejemplo:













44
33 34
22 23 24
11 12 13 14
0 0 0
0 0
0
a
a a
a a a
a a a a
A Los elementos debajo de la diagonal principal son cero.
Una matriz cuadrada A cuyos elementos  0 ij a para i  j se denomina Matriz Triangular Inferior.
Ejemplo:













41 42 43 44
31 32 33
21 22
11
0
0 0
0 0 0
a a a a
a a a
a a
a
A Los elementos encima de la diagonal principal son cero.
La matriz que es a la vez triangular superior e inferior se identifica como Matriz Diagonal.
En esta matriz tenemos  0 ij a siendo i = j
Ejemplos













44
33
22
11
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
a
a
a
a
D














0 0 0 5
0 0 3 0
0 4 0 0
6 0 0 0
H
Matriz Escalar es una matriz diagonal donde se verifica que a k ij  0  siendo k un escalar .
Ejemplo:













0 0 0 6
0 0 6 0
0 6 0 0
6 0 0 0
C

13
Matrices
Unidad 4
Matriz Unidad o Matriz Identidad es una matriz escalar donde el valor asignado a
k = 1
Se representa por “I”.





0 1
1 0
2 I











0 0 1
0 1 0
1 0 0
3 I













0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
4 I

















0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
5 I
La matriz unidad I es el elemento idéntico o neutro para la multiplicación de matrices.
Matrices Conmutativas y Anticonmutativas
Si A y B son dos matrices cuadradas y se verifica que AB  BA , entonces dichas matrices se llaman
Conmutativas. En las condiciones anteriores, si A y B son tales que
AB  BA, entonces las matrices A y B se llaman Anticonmutativas.
4.7 Matriz Traspuesta
La matriz traspuesta de una matriz A de orden mxn es la matriz t A , traspuesta de A, de orden nxm
obtenida intercambiando las filas por las columnas. Abreviadamente si:
 ij mxn A  a
, entonces  ji nxm
t A  a
Ejemplo
Si









 

2 5
3 6
1 4
A 





4 6 5
1 3 2 t A
Propiedades de la Matriz Traspuesta
Sean At y Bt, respectivamente, las traspuestas de las matrices A y B, “k” un escalar cualquiera, entonces
vale que:
1) A  A
t t 
2)   t t t A B  A  B
3)   t t kA  kA
4)   t t t AB  B A

14
Matrices
Unidad 4
Matriz Simétrica
Una matriz cuadrada A tal que At =A se llama Matriz Simétrica. Por tanto, en una matriz cuadrada
  ij A  a
simétrica se verifica que ij ji a  a para todos los valores de “i” y de “j”.
Ejemplos:











 
3 5 6
2 4 5
1 2 3
A













1 0 1
4 3 0
2 4 1
B
A y B son matrices simétricas.
Matriz Antisimétrica (o hemisimétrica)
Es una matriz cuadrada A tal que A A t   . Por tanto en una matriz cuadrada A antisimétrica se
verifica ij ji a  a , para todo valor de “i” y de “j”.
Evidentemente que los elementos de la diagonal principal deben ser nulos .
Ejemplo:










 


2 4 0
1 0 4
0 1 2
A
4.8 Matriz Inversa. Matrices Inversibles
Se dice que una matriz cuadrada A es inversible si existe una matriz B con la cual se satisfaga la
relación AB  BA  I , donde I es la Matriz Unidad. En estas condiciones, la matriz B se llama la
inversa de A y se escribe 1 B  A (B es igual a la inversa de A ). Recíprocamente, la matriz A
es la inversa de B, y se puede escribir 1 A  B .
Importante:
No todas las matrices poseen inversa, pero si la tienen, es única.
Ejemplo
Hallar la inversa de 






1 1
2 3
A
Una manera de hallar la inversa, consiste en suponer una matriz desconocida de orden igual a la que
se conoce, donde cada elemento es una incógnita a determinar, que se obtiene realizando un
producto matricial y posteriormente una igualdad de matrices, considerando la matriz unidad de
orden igual a la matriz dada.

15
Matrices
Unidad 4
Sea B la matriz inversa a determinar, 2 I la matriz unidad a considerar.





c d
a b
B 




0 1
1 0
2 I
2 I AB  






1 1
2 3




c d
a b





0 1
1 0




 



 
 

0 1
2 3 2 3 1 0
a c b d
a c b d
Planteando la igualdad de matrices:
1) 2a 3c 1 3) 2b 3d  0
2) a  c  0 4) b  d 1
Resolviendo simultáneamente 1 y 2:
De 2) a = c Sustituyendo en 1) 2a – 3a = 1 a = -1 c = -1
Resolviendo simultáneamente 3 y 4:
Multiplicando 4) por –3 y sumando con 3): 2b 3d  0
3b  3d  3
 b  3
b = 3 ;
 
2
3
2 3
3
2
  
b
d
luego d = 2
Los valores determinados son los indicados a continuación a= -1, b=3, c= -1, d= 2
Entonces:
1
1 2
1 3   




 



 A
c d
a b
B siendo la matriz B la inversa de A
4.9 Dependencia Lineal de las Filas y las Columnas de una Matriz
Llamaremos combinación lineal de varias líneas (filas y columnas) de una matriz, a otra línea que
resulte de sumar sus elementos después de multiplicarlos por ciertos números llamados coeficientes;
con ello una línea (fila o columna) de una matriz se dice que es linealmente dependiente de otras
paralelas a élla cuando es una combinación lineal de éllas.
Por ejemplo, en la matriz A la tercera fila es linealmente dependiente de las dos primeras, pues
3 1 2 F  3F  2F

16
Matrices
Unidad 4











 


3 4 5 2
0 1 2 5
1 2 3 4
A
F1 = ( 1 -2 3 4) 3F1 = ( 3 - 6 9 12)
F2 = ( 0 1 -2 -5) 2F2 = ( 0 2 - 4 -10)
F3 = ( 3 - 4 5 2 ) 3F1 + 2F2 = ( 3 - 4 5 2 ) = F3
En cambio , diremos que varias líneas paralelas son linealmente independientes ( o que no existe
una relación lineal entre éllas) cuando ninguna se puede expresar como combinación lineal de las
otras. Por ejemplo en la matriz B:











 


0 4 5 2
0 1 2 5
1 2 3 4
B Sus tres filas son linealmente independientes
4.10 Rango o Característica de una Matriz
Viene dado por el máximo número de líneas (filas o columnas) linealmente independientes que
hay en una matriz. Si una línea de una matriz es combinación de otras paralelas a élla, al
suprimirla se obtiene otra matriz de igual característica.
4.11 Operaciones Elementales en Matrices
Son operaciones que se efectúan con las líneas (filas o columnas) de una matriz que no modifican
ni su orden ni su característica. Las tres operaciones elementales sobre líneas son:
1.- Intercambio de dos líneas (filas o columnas).
2.- Producto (o división) de todos los elementos de una línea por su escalar  0 .
3.- Suma de los elementos de una línea con los correspondientes de otra línea, luego de multiplicarlos
por un escalar . 0 .
4.12 Matrices Equivalentes
Dos matrices A y B se denominan equivalentes, A ~ B, si una de ellas se deduce de la otra como
consecuencia de de la aplicación de una o varias operaciones elementales de líneas. Las matrices
equivalentes tienen el mismo orden e igual característica.

17
Matrices
Unidad 4
4.13 Matrices Escalonadas
Una matriz está en la forma escalonada si se cumplen las condiciones siguientes:
1) Todas las filas que consisten únicamente de ceros (si existen) aparecen en la parte de abajo de
la matriz.
2) El primer número distinto de cero (si empezamos por la izquierda) en cualquier fila que no
consista únicamente de cero es igual a la unidad.
3) Si dos filas sucesivas no consisten únicamente de ceros, entonces el primer uno en la fila inferior
está más a la derecha que el primer uno de la fila superior.
Ejemplos de matrices en la forma escalonada:











0 0 1
0 1 5
1 2 3
A













0 0 0 1
0 1 2 8
1 1 6 4
B 




0 1
1 2
C 




0 0 1 2
1 0 2 5
D
4.14 Matriz en la Forma Escalonada Reducida
Una matriz está en la forma escalonada reducida si se verifican las tres condiciones requeridas para
tener una matriz escalonada y además se cumple que:
“Cualquier columna que contenga el primer uno de una fila tendrá ceros en los demás lugares”.
La diferencia entre las dos formas es clara. En la forma escalonada todos los números que están abajo
del primer uno de una fila son cero. En la forma escalonada reducida todos los números que están arriba
y abajo del primer uno de una fila son cero. Así, la forma escalonada reducida es más exclusiva. Esto
es, cualquier matriz en forma escalonada reducida está en forma escalada pero no inversamente.
Ejemplo
Reduzca la siguiente matriz a la forma escalonada y escalonada reducida:
3
2
1
3 4 3
2 2 2
2 6 0
F
F
F
A














Para formar la matriz escalonada realizamos en la matriz A las operaciones elementales siguientes:
 











 


3 4 3
0 4 2
1 3 0
2
1
3
1 2
1
F
F F
F
;  









 
 

0 5 3
2
0 1 1
1 3 0
3
4
1
1 3
2
1
F F
F
F
;











 

2
0 0 1
2
0 1 1
1 3 0
5 2 3
2
1
F F
F
F

18
Matrices
Unidad 4









 
0 0 1
2
0 1 1
1 3 0
2 3
2
1
F
F
F
Esta matriz está escalonada
 









 
 
0 0 1
0 1 0
1 3 0
2
1
3
3 2
1
F
F F
F
;









 
0 0 1
0 1 0
3 1 0 0
3
2
2 1
F
F
F F
Esta matriz está en la forma escalonada reducida.
4.15 Determinación del Rango o Característica de una Matriz
El rango o característica de una matriz podemos obtenerlo expresando dicha matriz en su forma
escalonada mediante las operaciones elementales (matrices equivalentes). En ésta, el rango viene
dado por el número de filas que no consista únicamente de ceros, lo cual se corresponde con el
número de filas linealmente independiente de la matriz.
Ejemplos
Determine la característica en cada caso aplicando operaciones elementales.
1)










  


1 2 6 7
2 4 3 5
1 2 1 4
A Para A escalonamos la matriz:














 
0 0 5 3
0 0 10 6
1 2 1 4
1 3
1 3 2
1
F F
F F F
F
;












 0 0 0 0
0 0 10 6
1 2 1 4
2 2 3
2
1
F F
F
F
 













0 0 0 0
10
0 0 1 6
1 2 1 4
10
1
3
2
1
F
F
F
Como la última fila es cero, entonces el rango de A es dos.
Por tanto, r(A) = 2

19
Matrices
Unidad 4
2)











1 3 4 5
2 3 5 1
1 2 3 2
B Para B escalonamos la matriz:












0 1 1 3
0 1 1 3
1 2 3 2
2
3 1
1 2
1
F F
F F
F
;










 0 0 0 0
0 1 1 3
1 2 3 2
2 3
2
1
F F
F
F
Como la última fila es cero, entonces el rango de B es dos (2)
4.16 Cálculo de la Inversa de una Matriz Cuadrada A aplicando las
Operaciones Elementales de Filas
Procedimento:
1) Escribir la matriz aumentada A I  Utilizar las operaciones elementales para reducir la matriz A
a su forma escalonada reducida.
2) Decidir si la matriz A es invertible:
a) Si A puede ser reducida a la matriz identidad I, entonces la inversa de  1  A A es la
matriz que está a la derecha de la barra vertical.
b) Si al aplicar las operaciones por filas se obtiene alguna fila de ceros a la izquierda de la
barra vertical, la matriz A no es invertible.
Ejemplo
Hallar la inversa de A, si :











1 2 4
1 3 3
1 2 3
A
Escribimos la matriz A y la matriz identidad de orden tres I3 , por ser A de orden tres.










1 2 4 0 0 1
1 3 3 0 1 0
1 2 3 1 0 0
3
2
1
F
F
F
;

20
Matrices
Unidad 4










     
     


1 1 2 2 4 3 0 1 0 0 1 0
1 1 3 2 3 3 0 1 1 0 0 0
1 2 3 1 0 0
3 1
2 1
1
F F
F F
F












0 0 1 1 0 1
0 1 0 1 1 0
1 2 3 1 0 0
3
2
1
F
F
F
;












         
0 0 1 1 0 1
0 1 0 1 1 0
2 0 1 2 2 0 3 2 1 2 0 0 0
3
2
2 1
F
F
F F













0 0 1 1 0 1
0 1 0 1 1 0
1 0 3 3 2 0
3
2
1
F
F
F












         
0 0 1 1 0 1
0 1 0 1 1 0
3 0 1 0 0 3 0 3 3 0 2 3 0
3
2
3 1
F
F
F F












 
0 0 1 1 0 1
0 1 0 1 1 0
1 0 0 6 2 3
3
2
1
F
F
F
La matriz inversa es:












 
 
1 0 1
1 1 0
6 2 3
1 A

21
Matrices
Unidad 4
4.17 Ecuaciones con matrices.
a) En la ecuación matricial: A+X = B
donde A y B son matrices del mismo orden, podemos hallar la solución y dicha solución es
única si :
X = B + (-A)
X es una matriz de igual orden que los sumandos A, B.
b) Si la ecuación matricial es de la forma: AX= B
donde A y B existen, entonces X existe siempre que exista la inversa de la matriz A y
esté definido el producto de A B 1 .
A AX A B 1 1 
En éste caso: X A B 1 
Ejemplos.
Resuelva las ecuaciones matriciales propuestas.
A) Hallar X en: 



  



7 3
2 0
6 7
2 4
X
Consideremos 




c d
a b
X Reemplazando X en la ecuación matricial conocida tenemos:




 



 



7 3
2 0
6 7
2 4
c d
a b
 



 



 
 
 



7 3
2 0
6 7
2 4
c d
a b
Igualando los términos semejantes:
2-a = 2  a = 2-2 = 0
4-b = 0  b = 4
6-c =7  c = 6-7 = -1
7- d = 3  d = 7-3 = 4
Por lo que : 




 




1 4
0 4
c d
a b
X

22
Matrices
Unidad 4
B) 





 



4 5
3 2
7 3
5 2
X
Consideremos 




c d
a b
X Reemplazando X en la ecuación matricial conocida tenemos:






 







4 5
3 2
7 3
5 2
c d
a b
Efectuando el producto de matrices:






 



 
 
4 5
3 2
5 7 2 3
5 7 2 3
c d c d
a b a b
Igualando los términos semejantes tenemos las ecuaciones:
5a+7b = 3  2a+3b = -2
5c+7d = 4  2c+3d = -5
Resolviendo simultáneamente las parejas de ecuaciones, hallamos a,b,c,d.
De este modo: 5a+7b = 3  Multiplicando por 2: 10 a +14b = 6
2a+3b = -2  Multiplicando por -5:-10 a - 15b = -10
--------------------
-b = - 4
Por lo que : b= 4
Reemplazando en : 2a+3b = -2  2 a + 3(4) = - 2
2 a + 12 = -2
Luego 2 a = -2 -12 = -14  a = - 7
2
14
  , a = -7
De este modo: 5c+7d = 4  Multiplicando por 2: 10 c +14d = 8
2c+3 d =-5  Multiplicando por -5:-10 c – 15d = - 25
--------------------
- d = - 17
Por lo que : d= 17
Reemplazando en : 2c+ 3d = -5  2 c + 3( 17) = - 5

23
Matrices
Unidad 4
2 c + 51 = -5
Luego 2 c = - 5 - 51 = -56  c = - 28
2
56
  , c = - 28
Por lo que la Matriz X es: 





 




28 17
7 4
c d
a b
X

24
Matrices
Unidad 4
AUTONOMA DE SANTO DOMINGO
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230
PRACTICA PROPUESTA No. 1 . UNIDAD 4
Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares
Matricula ________________ Nombres-Apellidos ______________________________________
Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega_____________________
I. A partir de las matrices conocidas, determine si es posible la operación planteada.
Justifique su respuesta.



 

1 4 5
2 3 1
A









 

5 5
1 4
2 3
B 





2 1
3 4
C












2 3 6
2 3 1
5 4 0
D






1 5 6
3 0 4
E 





1 7 6
1 0 2
F
1) A D  2) 2D 6A  3) AB  4C 
4) BA  3D  5) 2A -3B – 5F = 6) FB=
7) BF= 8) C  4AB  2 9)  3 C
10) trCAB  trDC  11) Compruebe si:   t t t BA  A B
12) La matriz X si: X B A C t 2  3 
13) Halle M a partir de: 2 3 0 x AM 
II.
1) Busque el valor de K en: 3A K  4E
2) Determine la matriz N siendo 2F 3E  N igual a la matriz cero de orden 2x3
3) Encuentre X de modo que: 2X  3A5E  4F

25
Matrices
Unidad 4
III. Forme la matriz A de orden 4 cuyos elementos correspondan a lo que se indica:
a ii
= 4 para i = 1, 2, 3, 4
a12 + a 21 = 3 a12 = -6
a13 – a 31 = 7 a13 = 8
a14 ( a 41 ) = -1 a14 = 5
a24 + a 42 = - 3 a24 = 9
a34 – a43 = 7 a34 = -7
a23(a32 ) = 12 a23 = - 3
IV. A partir de











2 2 1
2 1 2
1 2 2
W compruebe si se verifica que: 4 5 0 2 W  W  I 
V. Halle X en cada caso.
a) I tr 2X
3 2
5 4
3 1
2 4
3 4
1 2
3 4
4 2
5 1
1 1 3
2 6 5
4 6  



 












 

















b) X
t







 
















 



3 1
2 4
3 4
1 2
3 4
0 2
5 1
1 1 3
2 0 5
3
1 6
4 5
2
2
c)










1 2 4
1 3 3
1 2 3










1 3 4
1 4 3
1 3 3











3
2
4
X
d)





















5
4
6
8 19 28
8 20 27
7 17 24
X

26
Matrices
Unidad 4
VI. En cada matriz complete lo que se solicita. Obtenga la inversa mediante la
realización de operaciones elementales
Matriz Dada Matriz / I Matriz
Escalonada
Matriz Inversa Rango
1)





7 8
2 4
A
2)










 



3 2 1
2 1 3
1 1 1
B
3)











3 5 6
1 2 3
2 4 5
C
4)










 

2 1 3
5 2 6
1 1 3
D

27
Algebra Superior
Matrices
Unidad 4
AUTONOMA DE SANTO DOMINGO
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230
PRACTICA PROPUESTA No. 2 . UNIDAD 4 Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares
Matricula ________________ Nombres-Apellidos ______________________________________
Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega_____________________
Encierre en un círculo la expresión que haga cierto lo que se plantea en cada caso.
1. ¿Cómo se indica el orden de una matriz? Escribiendo el número de:
a) Filas b) Columnas x el de filas c) Filas x el de columnas d) Filas entre columnas
2. Una matriz es cuadrada cuando: a)Todos sus elementos son pares b) Sus elementos son cuadrados de números
c) Número de filas es igual al de columnas d) a y b son correctas
3. La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada se identifica como: a) Matriz Traspuesta b) Matriz escalar c) Matriz nula d) Traza
4. Cuando realizamos Intercambio de líneas, producto de un escalar por una línea de una matriz y/o adición de líneas nos referimos a: a) Propiedades de las matrices b) Operaciones elementales entre matrices
c) Característica de una matriz d) Equivalencia de matrices
5. Al multiplicar una matriz cuadrada por su inversa obtenemos: a) Una matriz escalonada b) Una matriz nula c) La matriz unidad d) El rango de una matriz
6. Es un arreglo rectangular de elementos distribuidos en filas y columnas: a) Igualdad de matrices b) Traspuesta c) Notación d) Una matriz
7. ¿ Cuál es la traspuesta de la matriz 퐴=[ 1−43625]?
a) [− −143−6−2−5] b) [ −1−3−24−6−5] c) [ 132−465] d) [ 165−432]

28
Algebra Superior
Matrices
Unidad 4
8. Una matriz cuadrada A tal que 퐴푡=퐴 se llama matriz: a) Traspuesta b) Unidad c) Escalar d) Simétrica
9. El producto de dos matrices de orden 2x3 y 3x3 produce una matriz de orden: a) 2x3 b) 2x2 c) 3x2 d) 3x3
10. El producto de dos matrices de orden 3x3 y 2x3 produce una matriz de orden: a) 2x3 b) No es posible c) 3x2 d) 3x3
11. El producto de dos matrices de orden 2x3 y 2x3 produce una matriz de orden: a) 2x3 b) 3x2 c) 3x3 d) No es posible
12. Dos matrices A, B se denominan equivalentes si una de ellas se deduce de la otra como consecuencia de : a) La aplicación de una o varias operaciones elementales entre líneas b) La adición de un escalar a sus líneas c) Matriz escalonada d) Ninguna de las anteriores
13. ¿Cuál es la traspuesta de la matriz 퐴=[ 236158]?
a) [ 283625] b) [ −2−1−3−5−6−8] c) [ 158236] d) [ 213568]
14. Para escalonar una matriz las operaciones a realizar pueden ser: a) Producto (o división) de todos los elementos de una línea por su escalar. b) Adición o sustracción de filas . c) Intercambio de dos líneas (filas o columnas). d) Todas las anteriores son correctas.
15. Una matriz diagonal donde se verifica que 푎푖푗=0 푠푖 푖≠푗, 푎푖푖=푘 siendo k un escalar es una matriz: a) Escalonada b) Anti simétrica c) Simétrica d) Escalar
16. Una matriz diagonal donde se verifica que 푎푖푗=0 푠푖 푖≠푗, 푎푖푖=푘 siendo k un escalar es una matriz: a) Unidad b) Anti simétrica c) Simétrica d) Escalonada
17. Es un arreglo rectangular de elementos distribuidos en filas y columnas. a) Suma de matrices b) Matriz traspuesta c) Rango o característica de una matriz d) Matriz
18. Si A es de orden PxN y B de orden NxP, entonces la matriz C es de orden P en la operación matricial de: a) Multiplicación b) Adición c) Diferencia d) b y c son correctas

29
Algebra Superior
Matrices
Unidad 4
19. Si A es una matriz de orden PxN, B es una matriz de orden NxQ entonces la matriz
C = AxB es de orden: a) PxN b) NxQ c) PxQ d) a y b son correctas
20. Si A es una matriz de orden PxN, B es una matriz de orden NxQ entonces la operación matricial a realizar es: a) Multiplicación b) Adición c) Diferencia d) b y c son correctas
21. Para que dos matrices A y B sean iguales se debe cumplir que: a) A tiene el mismo orden de B. b) A y B deben ser iguales. c) Cada elemento de A debe ser igual al elemento de B simbólicamente.
d) a y c son correctas.
22. La propiedad simétrica de las matrices indica que: a) A=A b)[A=B] ^[B=C] → [A=C] c)[A=B] ]↔[B=A] d)[A=B]
23. La propiedad distributiva de la multiplicación de matrices establece que:
a) (A+B)C = AC + BC b)A(B+C) = AB + AC c) A(BC) = (AB)C d)a y b son correctas
24. La matriz que a la vez es triangular superior e inferior se identifica como Matriz:
a) Escalar. b) Idéntica. c) Diagonal. d) Traspuesta.
25. La matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal principal son igual a cero es la matriz :
a) Diagonal superior. b) Diagonal inferior. c) Diagonal. d) Inversa.
26. ¿Cuándo una matriz es cuadrada?
a) Si el número de filas es igual al número de columnas
b) Si la suma de los elementos de la diagonal principal es 2
c) Si el resultado de cualquier operación matricial es igual a 4
d) Si el número de columnas difiere del número de filas
27. Siendo 퐴=[ 423156] 퐵=[ 123024] entonces A+B =?
a) [ 301176] b) [ 1710546] 푐) [ 5461710] d) [ −300−1−3−2]
28. Si una matriz tiene cuatro filas y dos columnas su orden es:
a) mxn b) 2x4 c) 4x3 d) 4x2
29. ¿Cuál de las siguientes matrices esta escalonada?
a) [ 723057136] b) [ 123057136] c) [ 123017016] d) [ 123015001]

30
Algebra Superior
Matrices
Unidad 4
푎) [ 123015005] b) [ 123057136] c) [ 123017001] d) [ 123001017]
푎) [ 2215] b) [ 1201] c) [ 1205] d) [ 0512]
푎)[ 160104] b) [ 1201] c) [ 1205] d) [ 0512]
33. Una matriz diagonal es:
a) Una matriz cuadrada cuyos elementos son cero
b) Es aquella que viene dada por el máximo número de filas o columnas
c) Es una matriz escalar donde k = 1
d) Una matriz cuadrada cuyos elementos 푎푖푗=0 y 푎푖푖=푘
34. La traza de la matriz [ 1710546] es:
a) 7 b) 8 c) 11 d) Ninguna de las anteriores
a) 15 b) 7 c) No es posible d) 11
a) 17 b) 15 c) 14 d) 18
37. El orden de la matriz dada [ 246248842 866] es:
a) 4x3 b) 4x4 c) 3x4 d) Todas son correctas
a) 4x3 b) No posee c) 3x4 d) Todas son correctas
a) 4x3 b) 4 c) 3 d) Todas son incorrectas

31
Algebra Superior
Matrices
Unidad 4
40. El orden de la matriz [ 123456989] es:
a) 4 b) 3x3 c) 3 d) b y c son correctas
41. Dos matrices son iguales si:
a) A tiene el mismo orden de B b) Su determinante es cero c) Cada elemento de A es igual al correspondiente de B d) a y c son correctas
42. Cuando nos referimos a la traspuesta entre matrices respecto al producto se cumple: a) (퐴퐵)푡= 퐴푡퐵푡 b) (퐴퐵)푡=(퐵퐴)푡 c) (퐴퐵)푡= 퐵푡퐴푡 d) Ninguna de las anteriores
43. Por qué la suma de matrices es una operación conmutativa? Por ser: a) Números reales los sumandos b) Una función
c) Espacio Vectorial d) Ninguna de las anteriores
44. Dos matrices A, B son iguales si y solo si: a) A es la opuesta de B b) Cada elemento de A es igual al correspondiente de B c) A es diferente de B
d) Cada elemento de A es igual al opuesto que le corresponde en B.
45. El producto de una matriz por un escalar es: a) Un escalar b) Una matriz c) Una función d) Una ecuación
46. La matriz que es simultáneamente triangular superior e inferior se identifica como matriz: a) Traspuesta b) Diagonal c) Inversa d) a y b son correctas
47. La matriz Identidad es una matriz: a) Diagonal b) Cuya traza es uno c) Es una matriz escalar donde k es uno d) ay b son correctas
48. El resultado de sumar las matrices [ 3214]+[ 2468] es: a) [ 4823] b) [ 68732] c) [ 56712] d) [ 18282616]
49. El resultado de multiplicar las matrices [ 3214]+[ 2468] es: a) [ 4823] b) [ 68732] c) [ 56712] d) [ 18282616]
50. Si decimos que en dos matrices [A=B] y [ B=A] estamos indicando que se cumple la propiedad: a) Reflexiva b) Transitiva c) Simétrica d) Ninguna de las anteriores
51. De acuerdo a la matriz dada: [ 24812] Cuál es la traza? a) 12 b) -14 c) 14 d) -12
52. El rango de la matriz [ 133143266] es:
a) Dos b) Tres c) Uno d) Ninguna de las anteriores

32
Algebra Superior
Matrices
Unidad 4
53. El rango de la matriz [ 133143134] es:
a) Dos b) Tres c) Uno d) Ninguna de las anteriores
54. El producto de las matrices [ 2332][ 3223] es: a) [ 13121213] b) [ 12131312] c) [ 12121212] d) [ 12131213]
55. Sumar las matrices [ 2453] y [ 1−25−6] es: a) [ 120−3] b) [ 3210−3] c) [ 2−825−18] d) [ 22−2820−28]
56. Multiplicar las matrices [ 2453] y [ 1−25−6] es: a) [ 120−3] b) [ 3210−3] c) [ 2−825−18] d) [ 22−2820−28]
57. De acuerdo a las operaciones de matrices 퐴푡+퐵푡 es igual a: a) 퐴푡+퐵 b) A+B c) (퐴+퐵)푡 d) (퐴푡+퐵푡)푡
58. Es una propiedad de la matriz traspuesta: a) A(B+C) = AB +AC b) AB = 0 c) (퐴푡)푡 d) (퐴퐵)푡= 퐴푡 퐵푡
59. Es una propiedad de la matriz traspuesta: a) A(B+C) = AB +AC b) (퐴퐵)푡= 퐵푡 퐴푡 c) AB = 0 d) (퐴퐵)푡= 퐴푡 퐵푡
60. Es un arreglo rectangular de elementos que se obtiene intercambiando filas por columnas: a) Igualdad de matrices b) Traspuesta c) Notación d) Una matriz unidad
61.El producto de dos matrices de orden 2x3 y 3x2 produce una matriz de orden: a) 2x3 b) 2x2 c) 3x2 d) 3x3
62. La matriz cuyos elementos por encima de la diagonal principal son igual a cero es la matriz :
a)Diagonal superior. b) Diagonal inferior. c) Diagonal. d) Inversa.
63. ¿Cuál de las siguientes matrices no está escalonada?
푎)[ 723057136] b) [ 153017001] c) [ 1−2301−7001] d) [ 123015001]
푎) [ 123015001] b) [ 123057136] c) [ 1−2−3010001] d) [ 123011001]

33
Algebra Superior
Matrices
Unidad 4
푎) [ 2215] b) [ 1201] c) [ 1−201] d) [ 1501]
푎)[ 160104] b) [ 1201] c) [ 1101] d) [ 1−101]

34
Algebra Superior
Matrices
Unidad 4
Cuestionario No. 4
Después de leer cada pregunta planteada, indique correctamente la respuesta que corresponde a cada una.
1. ¿Qué es una matriz?
2. ¿Cuándo decimos que dos matrices son equivalentes?
3. ¿Qué característica requieren dos o más matrices para efectuar entre ellas la adición y /o sustracción?
4. Enumere las operaciones elementales que podemos efectuar en matrices.
5. ¿Cuándo decimos que una matriz es simétrica de otra?
6. ¿Qué característica requieren dos matrices A,B para efectuar entre ellas un producto.
7. Siendo A,B matrices que se pueden multiplicar, si AB difiere de BA a que nos referimos?
8. Defina rango de una matriz.
9. Siendo A,B dos matrices, ¿cuándo decimos que B es la inversa de A ?
10. Podemos decir que todas las matrices poseen inversa?
11. Ponga un ejemplo acerca del uso de matrices.

35
Algebra Superior
Matrices
Unidad 4
Bibliografía Consultada
Poole, David (2006). Algebra Lineal. Una introducción moderna. (Segunda edición).
Mexico: Thomson Learning Iberoamerica.
Grossman, Stanley I. ( 1996). Algebra Lineal. (Quinta edición). Mexico: MacGraw-Hill Interamericana.
Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (1999). Algebra y Trigonometria. ( Segunda edición actualizada). Colombia: McGraw-Hill. Interamericana S. A.
Féliz Lebreault, Rubén. (2007). Algebra y Análisis Matricial. (Primera edición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD. Serie Multitexto.
Báez Veras, José Justo; De Peña Olivares, Rosa Cristina.(2010). Manual de Prácticas (Décima edición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD.
Notas de Cátedra de:
Mateo, Tulio; De Peña, Rosa. (2007). Curso de Algebra Superior.
Navarro Peña, Tomás Darío. (2008).Apuntes de Algebra Superior.
Direcciones Electrónicas:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/matrices/index.htm
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/matrices_jgrb/matrices_intro.htm
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/matrices/index.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)

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