Este documento describe un problema de dinámica en el que un bloque se deja caer desde una altura inicial y desliza a lo largo de un plano inclinado y horizontal antes de comprimir un resorte. Se calcula la máxima deformación del resorte considerando el balance de energía mecánica y el trabajo realizado por la fricción. La solución es que la máxima deformación del resorte es de 0,189 m o aproximadamente 0,192 m si se descuida la longitud recorrida dentro del bucle.

1. 1
2015 – febrero – 2ª semana – 1er ejercicio Dinámica
Un bloque de 600 g se suelta en la posición A
deslizando a lo largo del plano inclinado hasta B, a
continuación describe un bucle BCDEB,
deslizando después a lo largo del plano horizontal
BF y finalmente comprimiendo un resorte de
constante k = 500 N/m cuyo extremo libre está a
600 mm del punto B. Calcular la máxima
deformación del resorte, sabiendo que la altura h de A es 2,5 m, el radio del bucle BCDEB, r = 0,5
m y el coeficiente de rozamiento dinámico en el plano inclinado y horizontal es  = 0,3.
Supóngase que no hay rozamiento dentro del bucle BCDEB
El balance de energía mecánica entre los puntos extremos del movimiento es
∆𝐸 = 𝑊𝑟𝑜𝑧, 𝐸 − 𝐸0 = 𝑊𝑟𝑜𝑧
siendo
𝐸 =
1
2
𝑘𝑥2
la energía mecánica en el extremo final del movimiento, cuando el bloque se ha detenido al
comprimir el resorte la longitud x;
𝐸0 = 𝑚𝑔ℎ
corresponde a la energía mecánica en el momento inicial, cuando el bloque comienza su
descenso desde la altura h; el trabajo de rozamiento:
𝑊𝑟𝑜𝑧 = 𝑊𝐴𝐵 + 𝑊𝐵𝑥
contiene el término 𝑊𝐴𝐵 correspondiente al trabajo realizado en el plano inclinado AB y el término
𝑊𝐵𝑥 correspondiente al trabajo realizado en el plano horizontal entre los puntos B y el de máxima
compresión del resorte; cada término viene expresado mediante:
𝑊𝐴𝐵 = − 𝑚𝑔𝐿 𝐴𝐵 cos 45, 𝑊𝐵𝑥 = − 𝑚𝑔(𝐿 𝐵𝐹 + 𝑥)
Sustituyendo las expresiones anteriores en
𝐸 − 𝐸0 = 𝑊𝐴𝐵 + 𝑊𝐵𝑥
se obtiene
1
2
𝑘𝑥2
− 𝑚𝑔ℎ = − 𝑚𝑔𝐿 𝐴𝐵 cos45 −  𝑚𝑔(𝐿 𝐵𝐹 + 𝑥)
siendo
𝐿 𝐴𝐵 =
ℎ
𝑠𝑒𝑛 45
la longitud del plano inclinado AB.

2. 2
Tenemos la ecuación completa de segundo grado
1
2
𝑘𝑥2
− 𝑚𝑔ℎ = − 𝑚𝑔ℎ ctg 45 −  𝑚𝑔(𝐿 𝐵𝐹 + 𝑥)
cuya solución es
𝑥 = −
 𝑚𝑔
𝑘
+ √(
 𝑚𝑔
𝑘
)
2
+
2𝑚𝑔
𝑘
ℎ(1 −  ctg 45 − 
𝐿 𝐵𝐹
ℎ
)
𝑥 = 0,189 𝑚
Este resultado es exacto pero no difiere sensiblemente del que se obtiene si consideramos que la
longitud x es despreciable frente a LBF; en tal caso la expresión
1
2
𝑘𝑥2
− 𝑚𝑔ℎ = − 𝑚𝑔ℎ ctg 45 −  𝑚𝑔(𝐿 𝐵𝐹 + 𝑥)
se puede escribir de modo aproximado
1
2
𝑘𝑥2
− 𝑚𝑔ℎ = − 𝑚𝑔ℎ ctg 45 −  𝑚𝑔𝐿 𝐵𝐹
y resulta
𝑥 = √
2𝑚𝑔
𝑘
ℎ(1 −  ctg 45 − 
𝐿 𝐵𝐹
ℎ
)
𝑥 = 0,192 𝑚
En cualquier caso, la presencia del bucle es irrelevante puesto que la velocidad del bloque en
punto B tras descender por el plano inclinado es la misma que tiene en dicho punto después de
completar el bucle, siempre que en él no haya rozamiento.