Caso de Estudio

1. Problema de las tres barras
mutuamente perpendiculares
Caso de Estudio
El presente trabajo es el sumario de diversos conceptos estudiados de la materia Estabilidad IIb (64.12)
correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.
Ing. Gabriel Pujol
Año de edición 2016

2. Problema de las tres barras mutuamente perpendiculares
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Tabla de contenido
CASO DE ESTUDIO 3
PROBLEMA INICIAL 3
SITUACIONES DE SEGUNDO ORDEN 3
RESOLUCIÓN 4
SOLICITACIONES EN LOS TRAMOS DE BARRA Y DEFORMACIONES RELEVANTES 4
DIMENSIONAMIENTO DE LA SECCIÓN CIRCULAR MACIZA DE IGUAL ÁREA QUE LA RECTANGULAR DE RELACIÓN DE LADOS
H=2B 4
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS RELEVANTES DE LAS SECCIONES RECTANGULAR MACIZA Y CIRCULAR MACIZA 5
DEFORMACIÓN POR FLEXIÓN DE LA BARRA CD 5
DEFORMACIÓN POR TORSIÓN DE LA BARRA CD 6
DEFORMACIÓN POR FLEXIÓN DE LA BARRA CB 7
DEFORMACIÓN POR FLEXIÓN DE LA BARRA AB 7
COMERCIALIZACIÓN DEL PROTOTIPO 8
BIBLIOGRAFÍA DE BASE (RECOMENDADA) 14

3. Problema de las tres barras mutuamente perpendiculares
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12

4. Problema de las tres barras mutuamente perpendiculares
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 3 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Caso de estudio
Problema inicial
El Departamento de Ingeniería y
Desarrollo de una PyME ha recibido el
pedido de la Oficina de Ventas para la
reingeniería de un elemento estructural
que comercializa.
El proyecto consiste en, manteniendo
las dimensiones y peso del elemento
estructural en cuestión (barra plegada
de sección rectangular de relación de
lados h =2 b), generar un prototipo que,
solicitado bajo las mismas condiciones
de carga, sufra una deformación de la
menos un 10% menor que la de la
estructura en cuestión.
Las alternativas que resultan factibles
de implementar son:
1. Reemplazar la barra de sección
rectangular plegada por una
barra de sección circular
maciza plegada.
2. Reemplazar sólo tramo CD por
una barra de sección circular
maciza soldada a una L de
sección rectangular (de
relación de lados h =2 b)
3. Reemplazar sólo tramo AB por una barra de sección circular maciza soldada a una L de sección
rectangular (de relación de lados h =2 b)
4. Reemplazar sólo tramo BC por una barra de sección circular maciza soldada a una L de sección
rectangular (de relación de lados h =2 b)
Situaciones de segundo orden
Posteriormente, y en función de la investigación realizada, se requiere que se evalúe y aconseje a la
gerencia de la empresa sobre las siguientes formas de comercialización:
1. Vender una partida de dicho producto a una compañía multinacional por 110 millones de pesos.
2. Poner en marcha una prueba de mercado antes de tomar una decisión, o bien,
3. Adelantar la campaña de marketing del nuevo producto con la finalidad de adelantarse a la
competencia, confiando en que el desarrollo del mismo culminará con éxito.
La utilización de secciones de distinta geometría implica un gasto adicional en soldadura y mecanizado de
500 mil pesos para cada partida.

5. Problema de las tres barras mutuamente perpendiculares
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 4 Estabilidad IIB – 64.12
Las pruebas de mercado del producto ascienden a 8 millones de pesos, existiendo un 60% de
probabilidades de que los resultados de las mismas sean favorables, en cuyo caso se estima que valor
del nuevo producto asciende a 40 millones de pesos para cada partida. En caso de un resultado
desfavorable pueden encontrase aplicaciones alternativas para el producto en uno de cada cinco casos, si
bien el valor del mismo se reduce a 20 millones de pesos para cada partida.
En caso de que el resultado de las pruebas de mercado sea favorable, la probabilidad de que el producto
tenga una buena acogida por parte de los clientes es tan solo del 60%. Si se opta por comercializar el
producto, los gastos de comercialización ascienden a 5 millones de pesos para cada partida.
La posibilidad de que se adopte la alternativa de adelantar la campaña de marketing del nuevo producto,
se estiman en una entre cuatro. Sin embargo, los resultados esperados si se hiciera esto con éxito son de
ciento 160 millones de pesos para cada partida.
En caso de resultado desfavorable de las pruebas de mercado como siempre, existe la posibilidad de
encontrar aplicaciones alternativas para el producto en uno de cada cinco casos, en cuyo caso el valor del
mismo será de 80 millones de pesos para cada partida.
Esta tercera alternativa requiere llevar a cabo las pruebas de mercado así como la comercialización del
producto, tanto sí el producto tiene éxito como si no.
Resolución
Solicitaciones en los Tramos de barra y deformaciones relevantes
Tramo Solicitación Deformación
Barra AB
Por flexión Relevante
Por corte No relevante
Barra BC
Por flexión Relevante
Por corte No relevante
Por compresión No relevante
Barra CD
Por flexión Relevante
Por corte No relevante
Por torsión Relevante
Dimensionamiento de la sección circular maciza de igual área que la
rectangular de relación de lados h=2b
Datos de la sección rectangular: b = 2,5 [cm]
Siendo ambas barras de igual área resulta:
 
    cm
cmb
bbFF cCirc
4
5,288
2
4
22
2
Re













6. Problema de las tres barras mutuamente perpendiculares
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 5 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Características Geométricas Relevantes de las Secciones Rectangular
Maciza y Circular Maciza
Momento de Inercia de la Sección rectangular maciza
En el caso resulta:
2412
2
12
4
3
3
h
h
h
hb
Jx 








 (Secciones A y B) y
 
612
2
12
433
bbbbh
Jx 



 (Secciones C y D)
Momento de Inercia de la Sección circular maciza
En este caso resulta:
64
4
d
Jx



Momento Polar equivalente de la Sección rectangular
maciza
En el caso resulta:

2
* bh
JT


Siendo  un coeficiente que depende de la relación (h/b) y que
se obtiene de tablas y reemplazando valores:
      4
3
*
88,17
37,4
5,25
cm
cmcm
JT 


Momento Polar de la Sección rectangular maciza
En el caso resulta:
    4
44
0 13,25
32
4
32
cm
cmD
J 





Deformación por Flexión de la barra CD
Por el Teorema II del área del diagrama de momentos
reducidos que dice: “Dado dos puntos A y B (ver esquema)
pertenecientes a una línea elástica, la ordenada de A respecto a
la tangente en B es igual al momento estático con respecto al
punto A del área de momentos reducidos comprendida entre A y
B.” (El momento estático recientemente mencionado puede
calcularse en forma muy simple multiplicando el área total del
diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B por
la distancia entre su centro de gravedad y el punto A), y dado

7. Problema de las tres barras mutuamente perpendiculares
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 6 Estabilidad IIB – 64.12
que la tangente a la elástica en B coincide con el eje no flexado de la viga, la flecha  resulta ser el
desplazamiento de A respecto a la tangente en B. Aplicando entonces, tenemos:
 Área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B resulta:
xx JE
LP
JE
LP
LA






2
2
1
2
1
 Distancia a su centro de gravedad: LdG 
3
2
xx
G
JE
LP
L
JE
LP
dA






32
3
1
3
2
2
1

Relación entre ambos desplazamientos será:
  
  
  
  
93,1
5,2
4
64
6
6
5,2
64
4
6
64
3
1
3
1
4
4
4
4
4
4
3
3
1 













cm
cm
cm
cm
bJ
J
JE
LP
JE
LP
K
RM
CM
CM
RM
x
x
x
x
C
R 



Lo que nos indica que el descenso del extremo libre resulta ser, para la sección rectangular maciza un
93% mayor que el descenso correspondiente a la sección circular maciza.
Deformación por Torsión de la barra CD
Cálculo de los ángulos de torsión específicos en ambas secciones y las relaciones entre ambos
Barra de sección circular maciza
El ángulo de torsión específico será:
 
  
















 
cm
rad
Q
cm
cm
KN
cmKNQ
DG
M
JG
M TT
C
4
4
2
3
4
0
105
4108
320032



Barra de sección rectangular maciza (h = 2b)
 
 













 
cm
rad
Q
cm
cm
KN
cmKNQ
JG
M
T
T
R
4
4
2
3
*
107
88,17108
100

Relación entre ambos ángulos de torsión específicos
  










41,1
88,17
1013,25
4
4
*
0
0
*
2
cm
cm
rad
J
J
JG
M
JG
M
K
TT
T
T
C
R


Dicha relación está indicando que para el problema planteado, a igualdad de momentos torsores y áreas,
para una relación (h/b = 2) el ángulo de torsión específico en la sección rectangular es aproximadamente

8. Problema de las tres barras mutuamente perpendiculares
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 7 Curso: Ing. Gabriel Pujol
un 41% superior a la correspondiente a la sección circular, y como el descenso de la sección A debida a
la torsión de la barra CD resulta ser:
2K
L
L
L
C
R
A
A
A
C
R









Por lo que el descenso vertical de la sección A debida a la torsión de la barra CD de sección rectangular
maciza resultará ser un 41% superior al de la sección circular maciza.
Sección recomendable para el tramo CD: Circular maciza.
Deformación por Flexión de la barra CB
Por el Teorema I del área del diagrama de momentos
reducidos que dice: “El ángulo  comprendido entre dos
tangentes en dos puntos cualesquiera A y B (ver esquema)
de la línea elástica, es igual al área total del trozo
correspondiente del diagrama de momentos reducidos.”, por
lo tanto:
xJE
LP



2
2
1

Relación entre ambas rotaciones será:
  
  
  
  
483,0
5
4
64
24
24
5
64
4
24
64
3
1
3
1
4
4
4
4
4
4
3
3
3 













cm
cm
cm
cm
hJ
J
JE
LP
JE
LP
K
RM
CM
CM
RM
x
x
x
x
C
R 



Lo que nos indica que la rotación del extremo superior resulta ser, para la sección rectangular maciza un
48% del correspondiente a la sección circular maciza, y como el descenso de la sección A debida a la
flexión de la barra CB resulta ser:
3K
L
L
L
C
R
A
A
A
C
R









Por lo que el descenso vertical de la sección A debida a la flexión de la barra CB de sección rectangular
maciza resultará ser un 48% del de la sección circular maciza.
Sección recomendable para el tramo CD: Rectangular
maciza.
Deformación por Flexión de la barra AB
Por el Teorema II del área del diagrama de momentos
reducidos que dice: “Dado dos puntos A y B (ver esquema)
pertenecientes a una línea elástica, la ordenada de A
respecto a la tangente en B es igual al momento estático con
respecto al punto A del área de momentos reducidos
comprendida entre A y B.” (El momento estático

9. Problema de las tres barras mutuamente perpendiculares
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 8 Estabilidad IIB – 64.12
recientemente mencionado puede calcularse en forma muy simple multiplicando el área total del diagrama
de momentos reducidos comprendida entre A y B por la distancia entre su centro de gravedad y el punto
A), y dado que la tangente a la elástica en B coincide con el eje no flexado de la viga, la flecha  resulta
ser el desplazamiento de A respecto a la tangente en B. Aplicando entonces, tenemos:
 Área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B resulta:
xx JE
LP
JE
LP
LA






2
2
1
2
1
 Distancia a su centro de gravedad: LdG 
3
2
xx
G
JE
LP
L
JE
LP
dA






32
3
1
3
2
2
1

Relación entre ambos desplazamientos será:
  
  
  
  
483,0
5
4
64
24
24
5
64
4
24
64
3
1
3
1
4
4
4
4
4
4
3
3
1 













cm
cm
cm
cm
hJ
J
JE
LP
JE
LP
K
RM
CM
CM
RM
x
x
x
x
CM
RM 



Lo que nos indica que el descenso del extremo libre resulta ser,
para la sección rectangular maciza un 48% del correspondiente a
la sección circular maciza para las secciones A y B, mientras que
para las secciones C y D será:
Sección recomendable para el tramo CB: Rectangular maciza.
El prototipo a construir será: barra CD de sección circular
maciza, barras CB y BA de sección rectangular maciza.
Comercialización del Prototipo
Paso 1 - Enumeramos las diferentes alternativas de decisión.
 Vender dicho producto a una gran compañía
multinacional.
 Adelantar la campaña de marketing del nuevo producto.
 Poner en marcha una prueba de mercado.
Paso 2 - Enumeramos para cada una de las alternativas de decisión, los estados de la naturaleza
asociados a la misma.

10. Problema de las tres barras mutuamente perpendiculares
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 9 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Conocido el resultado de las pruebas de mercado, sea éste favorable o desfavorable, debe decidir si
comercializa o no el producto.
Si el resultado de las pruebas de mercado es favorable y toma la decisión de comercializar el nuevo
producto, los estados posibles de la naturaleza son, que el nuevo producto tenga buena acogida por parte
de los clientes (tenga Éxito), o contrariamente que el producto no tenga una buena acogida (Fracaso).
Por su parte, si el resultado de las pruebas de mercado es desfavorable y toma la decisión de
comercializar el nuevo producto, los estados posibles de la naturaleza son, que encuentre aplicaciones
alternativas para el producto, o contrariamente que no las encuentre (No alternativas).
Paso 3 - Explicitamos el árbol de decisión
Paso 4 - Asignamos las probabilidades a priori de cada uno de los estados de la naturaleza.

11. Problema de las tres barras mutuamente perpendiculares
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 10 Estabilidad IIB – 64.12
Paso 5 - Calculamos el beneficio de cada una de las ramas del árbol.

12. Problema de las tres barras mutuamente perpendiculares
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 11 Curso: Ing. Gabriel Pujol
El beneficio de cada rama lo obtiene restando al valor del producto en cada rama, los gastos de 8 millones
de pesos de las pruebas de mercado, los gastos de 5 pesos de euros de la comercialización y los 500 mil
pesos del mecanizado.
Paso 6 - Resolvemos el árbol de decisión de derecha a izquierda. Dado que la etapa final es probabilista
debemos aplicar el criterio de la esperanza matemática con el objetivo de determinar el beneficio
esperado de cada alternativa de decisión.
((160 – 8 – 5 – 0,5) x 0,6) + ((- 8 – 5 – 0,5) x 0,4) = 82,5 millones de pesos
((80 – 8 – 5) x 0,2) + ((- 8 – 5) x 0,8) = 2,5 millones de pesos
((40 – 8 – 5) x 0,6) + ((- 8 – 5) x 0,4) = 10,5 millones de pesos
((20 – 8 – 5) x 0,2) + ((- 8 – 5) x 0,8) = - 9,5 millones de pesos
En caso de realizar las pruebas de mercado y no comercializar el nuevo producto, incurre en un gasto de
8 millones de pesos de las pruebas de mercado y los 500 mil pesos del mecanizado.
Paso 7 - Resolvemos la etapa anterior. Si es probabilista apliquamos el criterio del valor esperado, por el
contrario, si es determinista y dado que los valores calculados son beneficios esperados, debemos elegir
la alternativa cuyo beneficio sea mayor.
(82,5 x 0,25) + ((- 8,5) x 0,75) = 14,25 millones de pesos
(2,5 x 0,25) + ((- 8,5) x 0,75) = - 5,75 millones de pesos

13. Problema de las tres barras mutuamente perpendiculares
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 12 Estabilidad IIB – 64.12
Paso 8 - Resolvemos la etapa anterior. Dado que se trata de una etapa probabilista debemos aplicar el
criterio de la esperanza matemática con el objetivo de determinar el beneficio esperado de cada
alternativa de decisión.

14. Problema de las tres barras mutuamente perpendiculares
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 13 Curso: Ing. Gabriel Pujol
(14,25 x 0,6) + ((- 5,75) x 0,4) = 6,25 millones de pesos
(10,5 x 0,6) + ((- 8,5) x 0,4) = 2,9 millones de pesos
Finalmente resolviendo la última etapa, elijemos la alternativa cuyo beneficio sea mayor dado que la etapa
es determinista y los valores calculados beneficios esperados.
La decisión que debe tomar el gerente de la empresa es la de vender el nuevo producto a una gran
compañía multinacional, esperando con ello obtener un beneficio de 110 millones de pesos.

15. Problema de las tres barras mutuamente perpendiculares
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 14 Estabilidad IIB – 64.12
Bibliografía de Base (recomendada)
 Estabilidad II - E. Fliess
 Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
 Problemas de resistencia de materiales - M. Ferrer Ballester y otros
 Curso superior de resistencia de materiales - F. Seely / J. Smith(Título original de la obra:
"Advanced Mechanics of Materials")
 El acero en la construcción (Título original de la obra: "Stahl im hochbau")
 Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
 Mecánica de materiales - F. Beer y otros
 Mecánica de materiales - R. C. Hibbeler
 Problemas de resistencia de materiales - I. Miroliubov y otros
 Problemas de resistencia de materiales - A. Volmir
 Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
 Resistencia de materiales - V. Feodosiev
 Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
 Resistencia de materiales - S. Timoshenko
 Breve aproximación a la Técnica de Árbol de Decisiones - Calancha Zuniga, Niefar Abgar
 Problemas resueltos de Teoría de Decisión – Federico Garriga Garzón