1. Managua, 23 de Septiembre 2013

2. RESOLVER ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE
RESOLVER ECUACIONES CUADRÁTICAS EN UNA VARIABLE
RESOLVER PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES
LINEALES Y CUADRÁTICAS

3. ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE
ECUACIONES CUADRÁTICAS EN UNA VARIABLE
APLICACIONES

4. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES
Las ecuaciones en general, son igualdades entre expresiones
algebraicas en las que intervienen una o más variables.
Las ecuaciones constituyen una importante herramienta en
el álgebra. Adquirir habilidad para resolverlas resulta de
suma importancia, por cuanto ello facilita la solución a
múltiples problemas que se presentan en las aplicaciones de
matemática.
Cuando las expresiones algebraicas de cada miembro de la
igualdad son polinomios las ecuaciones resultantes son
llamadas Ecuaciones Polinómicas.
Existen otras expresiones algebraicas que no son polinomios,
tales como las expresiones algebraicas racionales.

5. CONCEPTOS BASICOS
 Definición de Ecuación:
Ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas donde al
menos una de las expresiones involucran variables. Cada una de las
expresiones a cada lado de la igualdad recibe el nombre de miembro
de la ecuación.
Ejemplos
En una ecuación las variables reciben el nombre de incógnitas.
Solución de una ecuación.
La solución de una ecuación es cualquier número que al ser
sustituido en la incógnita de la ecuación hace que la igualdad sea
verdadera.

6. CONCEPTOS
Definición de Conjunto solución de una ecuación
S es el conjunto solución de una ecuación, entonces
todo elemento de S es una solución de la ecuación
dada.
Resolver una ecuación significa determinar su conjunto
solución utilizando reglas específicas, tales como
transponer números de un miembro a otro, pasar a
dividir o multiplicar números.

7. CONCEPTOS
GRADO DE UNA ECUACIÓN:
El grado de una ecuación en una variable es el mayor de los grados
de sus monomios.
Ejemplos.
3x4 + 5 = 3x3 – x ECUACION DE CUARTO GRADO
0.5 – 3y2 – y = 8 ECUACION DE SEGUNDO GRADO
 Una ecuación Polinomial de grado n en la variable x, tiene la forma
an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 +… + a2 x2 + a1 x + a0 = 0
Ejemplo: 3x5 +2x3 – x2 – x + 3 = 0 ES DE QUINTO GRADO
Teorema fundamental del Algebra: Todo polinomio de
grado n tiene a lo más n raíces.

8. ECUACIONES DE PRIMER GRADO O
LINEALES
Las ecuaciones polinómicas son de la forma:
a x + b = 0 con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que
al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa
expresión. Por ejemplo, son ecuaciones lineales
 2x + 1 = -2
x2 + 2x + 1 = x2 - 2
Para la ecuación ax + b = 0 , su conjunto solución
consta de un solo valor; x = - b / a

9. Ejemplo:
  1942
4
3
)1  xx
     
}32{,0323223
16
2
3
2319
2
3
193
2
3
194
4
3
2
4
3
1942
4
3









Sxxx
xxxxxx
xxxx

10. Ejemplo:
   
       7714
2
1
2
2
1
142
2
1
14219636931
633116
2
3
6
6
1
6
6)2,6.(..el
1
2
3
6
1
)2







 





 





Szzz
zzzzz
zz
zz
mcm
zz

11. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
• Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una
ecuación polinómicas donde el mayor exponente es igual a dos.
Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo
aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:
ax2 + bx + c = 0
• donde a es el coeficiente cuadrático, a ≠ 0 , b el coeficiente
lineal y c es el término independiente.
• Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en
xn es de la forma:
• con ax2n + bxn + c = 0 con n є N y a ≠ 0
• La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos
campos, ya que junto con las ecuaciones lineales, permiten
modelar un gran número de relaciones y leyes.

12. TIPOS DEECUACIONES CUADRÁTICAS
 La ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera:
1.- Completa: Tiene la forma canónica: ax2 + bx + c = 0 con a, b. c ≠ 0
Se resuelven por factorización, por el método de completar el cuadrado o
por fórmula general. La fórmula general se deduce más adelante.
2.- Incompleta pura:
Es de la forma: ax2 + c = 0 con a ,c ≠ 0.
Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos
raíces reales que difieren en el signo.
3.- Incompleta mixta:
Es de la forma: ax2 + bx = 0 con a,b ≠ 0. Se resuelve por
factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0.
No tiene solución en números imaginarios

13. SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACION DE
SEGUNDO GRADO
La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos
soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que
pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:
donde el símbolo "±" indica que los dos valores
y
son las soluciones de la ecuación cuadrática.

14. Naturaleza de las Raíces
 Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones
racionales del álgebra elemental.
En la formula general, la expresión b2 – 4ac se llama DISCRIMINANTE
y nos permite conocer la naturaleza de las soluciones de la ecuación:
Valor del Discriminante Naturaleza de las soluciones de
b2 – 4ac ax2 + bx + c = 0
Positivo Dos soluciones Reales y distintas
Cero Ambas soluciones Reales e iguales
Negativo Dos soluciones Complejas conjugadas

15. EJEMPLOS
Ejemplos: Resolver cada ecuación dada.
1) 8x2 – 2 = 0
2(4x2 – 1) = 0
2(2x + 1)(2x – 1) =0
(2x + 1) = 0 o (2x – 1) = 0 x = ± 1/ 2
Por lo tanto S={1/2,-1/2}

16. EJEMPLO:
























3
10
30
10
1713
}4.0,3{
4.0
10
4
10
1713
10
1713
10
28913
)5(2
)6)(5(41313
entonces,;6,13,5generalfórmulalaaplicarAl
06135)2
2
2
x
S
x
x
cba
xx

17. LENGUAJE COLOQUIAL Y SIMBÓLICO
El lenguaje coloquial o simbólico permite escribir un enunciado
verbal y pasarlo al simbólico. Esto se utiliza al resolver ecuaciones
presentadas en forma verbal. El siguiente cuadro presenta algunos
ejemplos de algunas expresiones en lenguaje coloquial expresadas
en lenguaje simbólico.
 Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico
 Un número par 2k
 La suma de tres números consecutivos y +(y + 1) + (y + 2)
 La mitad de un número x/2
 Un tercio de la diferencia de dos números (x – y ) / 3
 Dos números consecutivos pares 2x, 2x + 2
 Descomponer el 24 en dos partes x, 24 - x
 La diferencia de dos números es 24 x, x-24

18. Ejemplo 1:
En una reunión en una escuela hay el doble número de mujeres que de
hombres y el triple número de niños que de hombres y mujeres juntos.
Halle el número de hombres, mujeres y niños que hay en la reunión si el
total es de 156 personas.
Solución
 Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico
 Cantidad de hombres h
 Cantidad de mujeres es el doble del de hombres 2h
 Cant de niños es el triplo del no. de hombres y las mujeres juntos. 3( h + 2h )
Como en total hay 156 personas, entonces sumamos las tres expresiones
anteriores y obtenemos la siguiente ecuación:
Volviendo a la tabla anterior, podemos observar que hay 13 hombres, que hay
2h = 2∙13 = 26 mujeres y hay 3( h + 2h ) = 3(13 + 26) = 117 niños.
13
12
156
15612156632156)2(32  hhhhhhhhhh

19.  MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCION