Capitulo ii

Operaciones Alimentarios con Ecuaciones no lineales
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Alberto Luis HUAMANI HUAMANI 1
CAPITULO II
SOLUCIÓN DE
ECUACIONES NO LINEALES
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Objetivos: Desarrollar ejercicios de funciones no lineales a través de varios métodos y
ejercicios aplicados a la ingeniería de alimentos.
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2.1 FUNCIONES NO LINEALES
Dada una función:
 xfy 
Figura 2.1. Método de Bisección
La solución puede darse por cualquiera de los métodos:
• Punto fijo
• Falsa
posición
• Bisección
• Secante
• Newton Rapson
• Etc.

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2.2 MÉTODO DE LA BISECCIÓN
El método de bisección, conocido también como de corte binario, de partición de
intervalos o de Bolzano, es un tipo de búsqueda incremental en el que el intervalo se
divide siempre a la mitad. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el
valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en
el punto medio del subintervalo, dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se
repite hasta obtener una mejor aproximación (Chapra, 2007). El método de de Bisección
tiene como base el teorema de valor intermedio, el cual a la letra dice:
Figura 2.2. Método de Bisección
Se basa en el Teorema de los Valores Intermedios, el cual establece que toda función
continua f en un intervalo cerrado [xa, xb], (f ϵ C [xa, xb]) toma todos los valores que se
hallan entre f (xa) y f (xb). Esto es, que todo valor entre f (xa) y f (xb) es la imagen de al
menos un valor en el intervalo [xa, xb].
0
2
1


 nn
m
xx
x (1.1)
El proceso se termina cuando se cumpla el criterio de convergencia (fxr)=0
Desventajas del método de la bisección
• Si y = f(x) tiene varias raíces, el procedimiento señalado es válido sólo para una
de ellas.
• El método no permite encontrar raíces de números imaginarios.
• Es necesario graficar preliminarmente la función y = f(x)
Diagrama de flujo

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Inicio
Ingresar:
xa,xb, tol,Max.iter
Calcular:
f(xa) y f(xb)
f(xa)*f(xb)<0
xr=(xa+xb)/2
fxr=f(xr)
No
Si
f(xa)*f(xr)<0 xb=xrxa=xr
error=|(xb-xa)/xb|
error < tol ó
abs(fxr) < tol
SiNo
Raiz:xr
iter> Max. iter
No converge
Fin
No
No
si
Figura 2.3. Diagrama de flujo del
método bisección
Procedimiento
Paso 1: Elija valores iniciales inferior,
xa, y superior, xb, que encierren
la raíz, de forma tal que la
función cambie de signo en el
intervalo. Esto se verifica
comprobando que
    0* ba xfxf .
Paso 2: Una aproximación de la raíz xr
se determina mediante:
2
ba
r
xx
x

 (1.2)
Paso 3: Realice las siguientes
evaluaciones para determinar
en qué subintervalo está la raíz:
a) Si     0* ra xfxf ,
entonces la raíz se
encuentra dentro del
subintervalo inferior o
izquierdo. Por lo tanto,
haga xb = xr y vuelva al
paso 2.
b) Si     0* ra xfxf ,
entonces la raíz se
encuentra dentro del
subintervalo superior o
derecho. Por lo tanto, haga
xb = xr y vuelva al paso 2.
c) Si     0* ra xfxf ,
xr=es la raiz; termina el
cálculo.
2.3 MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN
El método de la Falsa Posición se basa en una interpolación lineal entre dos valores de la
función problema que tienen signos diferentes. El método de la falsa posición converge
más rápido que el método de la Bisección. La aproximación a la raíz se toma como la
intersección de la línea que une los puntos (xn, f(xn)) y (xn+1, f(xn+1)) con el eje x.
Desventajas del método de la falsa posición

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Aunque el método de la falsa posición parecería ser siempre la mejor opción entre los
métodos cerrados, hay casos donde funciona de manera deficiente, hay ciertos casos
donde el método de bisección ofrece mejores resultados.
xn
xn+1
f(xn)
f(xn+1)
x*
Figura 2.4. Método de falsa posición
Diagrama de flujo

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Inicio
Ingresar:
f(x), xn, xn+1, tol, Max.iter
Iter=1
Calcular:
f(n)
f(xn+1)
Evaluar f(xr)
FinAbs(f(xr))≤tol
Si
No
f(n)*f(xn+1)<0
  
)()(
*
1
1
nn
nnn
n
xfxf
xxxf
xx





No
f(x*)*f(xn)<0
Xn+1=x*
Xn=x*
No
Si
Figura 2.5. Diagrama de flujo del
método falsa posición
Procedimiento
Usando triángulos semejantes, la
intersección de la línea recta con el eje de
las x se estima mediante:
 
 
   
 nn
nn
n
n
xx
xfxf
xx
xfxf







1
1)(
(1.3)
Cuando f(x)=0, x=x*, entonces la
ecuación de la recta es:
De donde derivamos la ecuacíon:
  
)()(
*
1
1
nn
nnn
n
xfxf
xxxf
xx





(1.4)
El algoritmo para hallar raíces es
entonces en esencia el mismo planteado
para el método de bisección, pero
reemplazando la fórmula para calcular la
aproximación a la raíz Xr.
   
   nn
nn
nnr
xfxf
xx
xfxx





1
1
(1.5)
2.4 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON O DE LA TANGENTE
El método de Newton es una técnica muy eficiente para resolver ecuaciones
numéricamente.
Si el valor inicial para la raíz es xi, entonces se puede trazar una tangente desde el punto
[xi, f(xi)] de la curva. Por lo común, el punto donde esta tangente cruza al eje x representa
una aproximación mejorada de la raíz.
El método de Newton-Raphson se deduce a partir de esta interpretación geométrica (un
método alternativo basado en la serie de Taylor. De la figura 2.6, se tiene que la primera
derivada en x es equivalente a la pendiente:
   
1
0
'



ii
i
i
xx
xf
xf (1.6)

=============================================================================
Figura 2.6. Método de Newton-Raphson
Reordenando la ecuación anterior
 i
i
ii
xf
xf
xx
'
)(
1  (1.7)
Deducción la fórmula de Newton-Raphson usando una serie de Taylor.
La expansión de la serie de Taylor se puede expresar como:
       ...
!2
)(''
')(
2
1
11 

 

iii
iiiii
xxxf
xxxfxfxf (1.8)
Truncando la serie de Taylor después del término de la primera derivada, se obtiene una
versión aproximada:
    iiiii xxxfxfxf   11 ')( (1.9)
En la intersección con el eje x, f(xi+1) debe ser igual a cero, o
    iiii xxxfxf  1'0 (1.10)
 i
i
ii
xf
xf
xx
'
)(
1  (1.11)
Desventajas del método de Newton-Raphson
Aunque en general el método de Newton-Raphson es muy eficiente, hay situaciones
donde se comporta de manera deficiente. Por ejemplo, en el caso especial de raíces
múltiples. Sin embargo, también cuando se trata de raíces simples, se encuentran
dificultades.

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Inicio
Calcular:
f(n)
f’(xn)
Abs(f(xn))≤tol
 
)('
1
n
n
nn
xf
xf
xx 
No
Xn=Xn+1
Si
Fin
Ingresar:
f(x),f’(x), xn, tol, Max.iter
Figura 2.7. Método de Newton-Raphson
2.5 MÉTODO NEWTON MEJORADO
Una de las condiciones para garantizar la convergencia del método de Newton es que
f´(x) tiene que ser diferente de cero. Si al ejecutar el método de Newton se observa que
f´(xn) se aproxima a cero, la rapidez del método disminuye y hay una posible raíz
múltiple. El método de raíz múltiple también es conocido como el método de Newton
mejorado, y básicamente su estructura es muy similar excepto de que se debe hallar la
segunda derivada. Si en lugar de considerar los dos primeros términos de la serie de
Taylor se consideran los tres primeros términos, se representa con Δxi a la diferencia entre
x i+1 y xi y se iguala a cero, se tiene:
   
 
  0''
2
'
2


 i
i
iii xf
x
xfxxf (1.12)
y sustituyendo Δxi por
 
 i
i
xf
xf
'
 (a partir de la fórmula de Newton-Raphson) queda:
   
 
 
  0''
'2
1
' 





 i
i
i
iii xf
xf
xf
xfxxf (1.13)
Despejando ΔXi se obtiene:

=============================================================================
 
 
 
 
 i
i
i
i
i
i
xf
xf
xf
xf
xf
x
''
'2
' 
 (1.14)
De la ecuación despejando el valor de x i+1:
 
 
 
 
 i
i
i
i
i
ii
xf
xf
xf
xf
xf
xx
''
'2
'
1

 (1.15)
2.6 MÉTODO DE LA SECANTE
Surge como una variación del método de Newton-Raphson, en lugar de tomar la tangente
se toma la secante. De manera que la derivada se aproxima por una diferencia finita
dividida hacia atras, basada en las estimaciones sucesivas, es decir, como en (figura 1.8)
Esta técnica es similar a la del método de Newton-Raphson (figura 1.9) en el sentido de
que una aproximación de la raíz se predice extrapolando una tangente de la función hasta
el eje x. Sin embargo, el método de la secante usa una diferencia dividida en lugar de una
derivada para estimar la pendiente (Chapra, 2007).
Figura 2.8. Método de la Secante
 
   
ii
ii
i
xx
xfxf
xf





1
1
' (1.16)
Esto puede sustituirse en la fórmula (1), quedando asi la formula de la secante:
 
   21
21
1






ii
ii
ii
xfxf
xx
xx (1.17)
En este caso para iniciar el proceso se requiere de dos aproximaciones iniciales, pero no
necesariamente deben ser un intervalo que incluya la raíz, este método no se clasifica
como un método cerrado.

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Sin embargo, existe una diferencia crítica entre método secante y de la falsa posición. Tal
diferencia estriba en la forma en que uno de los valores iniciales se reemplaza por la nueva
aproximación.
Criterio de convergencia. Se considera que se ha encontrado una respuesta satisfactoria
cuando el valor hallado para la variable faltante (x) cumple con alguno de los siguientes
criterios:
  toltolxf 
r
1-rr
x
x-x
ó
Siendo Xr, y Xr-1 los valores de las dos ultimas iteraciones y Tol es el nivel maximo de
error aceptado que se puede definir ya sea con base en el numero de cifras significativas
o en el numero de cifras decimales que se desea obtener. Otro criterio para terminar el
proceso es que se exceda el numero maximo de iteraciones propuesto, en cuyo caso lo
mas probable es que la solucion no este convergiendo hacia un valor determinado (cada
vez se aleja mas del valor estimado), por lo tanto, se debe probar con otra estrategia de
solucion o revisar muy bien lo calculos matematicos realizados para ver si no se estan
cometiendo errores en el proceso.
2.7 EJERCICIOS RESUELTOS EN EXCEL
a) Método grafico
Ejemplo: hallar x en la siguiente ecuación matemática x=(0,9-(0,4*x))
Solución
Hacemos y = f(x) = 0 y=(0,9-(0,4*x))/x
- Tabulamos y en función de x, luego se grafica y se observa el intercepto en eje x
La solución en la gráfica es cuando y = f(x)=0 x= 2,25
b) Solución iterativa método Falsa Posición
Determinar x (667.38/x)*(1-exp(-0.146843*x))-40

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c) Solución iterativa método Bisección
d) Solución iterativa método Newton Rapson

=============================================================================
e) Solución iterativa método secante
2.8 SOLUCION CON MATLAB
2.8.1 Programa usando archivo.m
Paso 1: Abrir la carpeta New Script
Paso 2: Digitación del código para el método bisección (caso con ingreso de función
matemática)
% Cálculo de ecuación matemática por el método de la bisección
% Alberto HUAMANI HUAMANI
disp(' METODO DE LA BISECCION ')
disp(' Metodos matemáticos en industrias alimentarias')
disp(' ')
f = input(' INGRESE LA FUNCION en x :','s');

=============================================================================
xa = input(' INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO: ');
xb= input(' INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO: ');
tol= input(' INGRESE EL PORCENTAJE DE ERROR: ');
f=inline(f);
i=1;
ea(1)=100; % Error absoluto al inicio es 100%
if f(xa)*f(xb)<0; % Comprobando que la raiz se encuentra en este intervalo
xa(1)=xa;
xb(1)=xb;
xr(1)=(xa(1)+xb(1))/2;
fprintf(' it xa xr xb error aproxn');
fprintf('%2dt %11.7f t %11.7f t %11.7fn', i,xa(i),xr(i),xb(i));
while abs(ea(i))>=tol,
if f(xa(i))*f(xr(i))<0 % Condicion de cumplimiento
xa(i+1)=xa(i);
xb(i+1)=xr(i); % Es la raiz(xr) si se cumple condicion
end
if f(xa(i))*f(xr(i))>0 % Condicion de cumplimiento
xa(i+1)=xr(i); % Es la raiz(xr) si se cumple condicion
xb(i+1)=xb(i);
end
xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))/2; % Valor intermedio para 2° iteracion
ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))/(xr(i+1))*100);% error absolute
fprintf('%2dt %11.7f t %11.7f t %11.7f t, %7.7fn', i+1,xa(i+1),xr(i+1),xb(i+1),
ea(i+1));
i=i+1;
end % Cerramos while
else
set(handles.respuesta,'string','No existe la raiz en el intervalo');
end
Paso 3: Guardar el archive como biseccion.m
Paso 4: Ejecutar haciendo click en la flecha verde
Paso 5: Ingresar la función, valor de x1, x2 y error
Luego de ejecutar se tiene el resultado
Resultado
METODO DE LA BISECCION
Metodos matemáticos en industrias alimentarias
INGRESE LA FUNCION en x :(667.38/x)*(1-exp(-0.146843*x))-40
INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO: 12
INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO: 16
INGRESE EL PORCENTAJE DE ERROR: 0.001

=============================================================================
it xa xr xb error aprox
1 12.0000000 14.0000000 16.0000000
2 14.0000000 15.0000000 16.0000000 , 6.667
3 14.0000000 14.5000000 15.0000000 , 3.448
4 14.5000000 14.7500000 15.0000000 , 1.695
5 14.7500000 14.8750000 15.0000000 , 0.840
6 14.7500000 14.8125000 14.8750000 , 0.422
7 14.7500000 14.7812500 14.8125000 , 0.211
8 14.7500000 14.7656250 14.7812500 , 0.106
9 14.7656250 14.7734375 14.7812500 , 0.053
10 14.7734375 14.7773438 14.7812500 , 0.026
11 14.7773438 14.7792969 14.7812500 , 0.013
12 14.7792969 14.7802734 14.7812500 , 0.007
13 14.7792969 14.7797852 14.7802734 , 0.003
14 14.7797852 14.7800293 14.7802734 , 0.002
15 14.7800293 14.7801514 14.7802734 , 0.001
>>
Metodo falsa posición
clc;
clear all;
% METODO DE FALSA POSICION
f = input('INGRESE LA FUNCION en x :','s');
xa=input('Valor de la cota inferior: ');
xb=input('Valor de la cota superior: ');
tol=input('Tolerancia de error : ');
max_iter=input('Numero de iteracciones: ');
f=inline(f);
% METODO ITERATIVO
iter = 0; %Inicio el contador de iteracciones
% Se imprimen los titulos generales
fprintf('n METODO DE FALSA POSICION...nn')
fprintf('Iter xa xr xb f(xa) f(xb) f(xr) Errorn');
% El criterio de convergencia se cumple cuando la función evaluada en la
% raiz sea menor que el error máximo aceptado.
while 1 % Iniciamos el proceso
fxa = f(xa); %Evaluamos la funcion en la cota inferior
fxb = f(xb); %evaluamos la funcion en la coa superior
xr = xb - (fxb*(xa-xb)) / (fxa - fxb); %Calculo el valor de la aproximacion
fxr= f(xr); %Evaluamos la funcion en la posible raiz
error = abs(fxr);
% Impresion de resultados en cada iteraccion
fprintf('%2.0ft%5.6ft%4.6ft%5.6ft%5.6ft%5.6ft%5.6ft%5.4en',iter,xa,xr,xb,fxa,fx
b,fxr,error)
if error <= tol %Si supero el error aceptado detengo el proceso
fprintf('Proceso concluido exitosamente con el nivel de error <= %12.2enn',tol)
break;% paramos el proceso

=============================================================================
end
if fxa*fxr < 0
xb=xr; %La raiz esta en el primer intervalo
else
xa=xr; %La raiz esta en el segundo intervalo
end
if (iter>max_iter) %Verifico si se excede el numero de iteracciones
fprintf('nNumero de iteracciones excedido...nn')
break;
end
iter=iter+1; %Incremento el numero de iteracciones
end
fprintf('nRaiz aproximada: %12.6f',xr);
fprintf(' Iteraciones: %5.0fn',iter);
Ejecución
INGRESE LA FUNCION en x :(667.38/x)*(1-exp(-0.146843*x))-40
Valor de la cota inferior: 12
Valor de la cota superior: 16
Tolerancia de error : 0.0001
Numero de iteracciones: 50
METODO DE FALSA POSICION...
Iter xa xr xb f(xa) f(xb) f(xr) Error
0 12.000000 14.911308 16.000000 6.066950-2.268754
-0.254277 2.5428e-001
1 12.000000 14.794198 14.911308 6.066950-0.254277
-0.027257 2.7257e-002
2 12.000000 14.781700 14.794198 6.066950-0.027257
-0.002908 2.9076e-003
3 12.000000 14.780368 14.781700 6.066950-0.002908
-0.000310 3.1000e-004
4 12.000000 14.780226 14.780368 6.066950-0.000310
-0.000033 3.3049e-005
Proceso concluido exitosamente con el nivel de error <= 1.00e-004
Raiz aproximada: 14.780226 Iteraciones: 4
2.8.2 Solucion Usando interfaz GUIDE
Método Biseccion
1. Abrir el Matlab
Abrir Guide y hacer el siguiente formulario (Como se indico en el capitulo I)

=============================================================================
a) Formulario
b) Programa
function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles)
f=get(handles.edit1,'string');
f=inline(f);
xai=str2double(get(handles.edit2,'string')); % valor de x1
xbi=str2double(get(handles.edit3,'string')); % valor de x2
tol=str2double(get(handles.edit4,'string')); % tolerancia
i=1;
ea(1)=100;
%%%%% METODOS BISECCION %%%%%%
if f(xai)*f(xbi)<0; % Comprobando que la raiz se encuentra en este intervalo
xa(1)=xai;
xb(1)=xbi;
xr(1)=(xa(1)+xb(1))/2;% Metodo Bisección
%Limpiar tabla antes de mostrar resultado
set(handles.tabla,'Data',{})
% Limpiar tabla, grafico en caso de que antes se haya graficado una funcion
hold off
cla
set(handles.edit5,'string','No hay raiz');
while abs(ea(i))>=tol;
if f(xa(i))*f(xr(i))<0 % Condicion de cumplimiento
xa(i+1)=xa(i);
xb(i+1)=xr(i); % Es la raiz(xr) si se cumple condicion
end
if f(xa(i))*f(xr(i))>0 % Condicion de cumplimiento
xa(i+1)=xr(i); % Es la raiz(xr) si se cumple condicion
xb(i+1)=xb(i);
end
xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))/2; % Valor intermedio para 2° iteracion

=============================================================================
ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))/(xr(i+1))*100);% error absoluto
% Mostrara datos en tabla
valores = {i xa(i+1) xb(i+1) xr(i+1) ea(i+1)};
temp=get(handles.tabla,'data');
valoresNuevos=[valores;temp];
set(handles.tabla,'Data',valoresNuevos)
i=i+1;
% Mostrando respuesta en textbox con formato coma flotante a 6 cifras decimales
respuesta=sprintf('%0.6f',xr(i));
set(handles.edit5,'string',xr(i));
%Grafica de la funcion
fplot(handles.axes1,f,[xai xbi]);
title('Metodo Biseccion ');
xlabel('Valores de x');
ylabel('Funcion de x (fx)')
legend('fx')
grid on;
hold on;
%handles.axes1=plot(xr(i),subs(f,respuesta),'r*');
%handles.axes1=plot(xr(i),subs(f,xr(i)),'r*');
else
zoom on
end
cla %limpiar tabla
%limpiar textboxs
set(handles.edit1,'string','');
close
c) Ejecución del programa y resultado
Ingresamos la función matemática: 3*x^2-10*x+5, valores de xa=1, xb=5 y
tol=0.00001; y aparece el siguiente:

=============================================================================
En la tabla se puede observar la variación de xa, xb, xr y el error; en cada iteración, hasta
que el error es constante, y a la vezen el grafico podemos apreciar el resultado, cuanco
fx= 0, es resultado de xr= 2,7206 (comparado con la tabla).
Método de la falsa posición o regula falsi
a) Formulario
b) Programa
function varargout = pushbutton1_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
f=inline(f);
xai=str2double(get(handles.edit2,'string')); % valor de x1
xbi=str2double(get(handles.edit3,'string')); % valor de x2
tol=str2double(get(handles.edit4,'string')); % error
i=1;
ea(1)=100;

=============================================================================
%%%%% Metodo falsa posicion %%%%%%
if f(xai)*f(xbi)<0; % Comprobando que la raiz se encuentra en este intervalo
xa(1)=xai;
xb(1)=xbi;
xf(1)= xb(1)-f(xb(1))*(xa(1) - xb(1))/(f(xa(1))-f(xb(1)));
% Limpiar tabla, grafico en caso de que antes se haya graficado una funcion
hold off
cla
set(handles.edit5,'string','No hay raiz');
while abs(ea(i))>=tol
if f(xa(i))*f(xf(i))<0 % Condicion de cumplimiento
xa(i+1)=xa(i);
xb(i+1)=xf(i); % Es la raiz(xr) si se cumple condicion
end
if f(xa(i))*f(xf(i))>0 % Condicion de cumplimiento
xa(i+1)=xf(i); % Es la raiz(xr) si se cumple condicion
xb(i+1)=xb(i);
end
xf(i+1)= xb(i+1)-f(xb(i+1))*(xa(i+1) - xb(i+1))/(f(xa(i+1))-f(xb(i+1)));
ea(i+1)=abs((xf(i+1)-xf(i))/(xf(i+1))*100);% error absoluto
valores = {i xa(i+1) xb(i+1) xf(i+1) ea(i+1)};
i=i+1;
% Mostrando respuesta en textbox con formato coma flotante a 6 cifras decimales
respuesta=sprintf('%0.6f',xf(i));
set(handles.edit5,'string',xf(i));
fplot(handles.axes1,f,[xai xbi]);
title('Metodo Biseccion ');
legend('fx')
grid on;
hold on;
% handles.axes1=plot(xf(i),respuesta,'r*');
else
zoom on
end

=============================================================================
cla %limpiar tabla
%limpiar textboxs
set(handles. edit5,'string','');
close
c) Ejecutar: hacer click en la flecha verde
Ingresamos la función matemática: 3*x^2-10*x+5, valores de xa=1, xb=5 y
tol=0.00001; y aparece el siguiente:
Hacer Click en calcular
En la tabla se puede observar la variación de xa, xb, xf y el error; en cada iteración, hasta
que el error es constante, y a la vezen el grafico podemos apreciar el resultado, cuanco
fx= 0, es resultado de xf= 2,7206 (comparado con la tabla).
Metodo Newton Rapson
a) Formulario

=============================================================================
Para Pop Up Menu, En string hacer doble click y escribir después de Seleccionar:
Seleccionar, Newton Rapson, Newton Rapson Mejorado en columna
Programa
x0=str2double(get(handles.edit2,'string'));
tol=str2double(get(handles.edit3,'string'));
i=1;
fx(i)=x0; % valor inicial de fx(i)
syms x; % syms declarar la variable x
ea(1)=100;
f1=subs(f,x,fx(i)); % Evaluacion numerica de f en funcion de x para fx
z=diff(f); % derivada de f
d=subs(z,x,fx(i)); % evaluacion de z
z2=diff(f,2); % calculo de la segunda derivada de f
d2=subs(z,x,fx(i)); % evaluacion de z
% Opciones de calculo
v=get(handles.seleccionar,'value');
switch v
case 2
fx(i+1)=fx(i)-f1/d; % Expresion de Newton
f1=subs(f,x,fx(i+1)); % Evalua f1
d=subs(z,x,fx(i+1)); % Evalua z
ea(i+1)=abs((fx(i+1)-fx(i))/fx(i+1)*100);% Error absoluto
i=i+1;
end
for j=1:i;
%mostrara datos en tabla
valores = {j-1,fx(j),ea(j)};

=============================================================================
end
% Mostrando de raiz en textbox con formato coma flotante a 6 cifras decimales
raiz=sprintf('%0.6f',fx(j));
set(handles.raiz,'string',raiz);
%end
hold off
fplot(handles.axes1,f,[0 fx(j)+1]);
grid on;
hold on;
handles.axes1=plot(fx(j),subs(f,raiz),'r*');
title('Metodo Newton Rapson');
legend('fx')
zoom on
case 3
fx(i+1)=fx(i)-(f1*d)/(d^2-(f1*d2)); % Expresion de Newton
f1=subs(f,x,fx(i+1)); % Evaluacion numerica de f en funcion de x para fx
d=subs(z,x,fx(i+1)); % Evalua z
d2=subs(z,x,fx(i+1)); % evaluacion de z
ea(i+1)=abs((fx(i+1)-fx(i))/fx(i+1)*100);% Error absoluto
i=i+1;
end
for j=1:i;
valores = {j-1,fx(j),ea(j)};
end
%Mostrando de raiz en textbox con formato coma flotante a 6 cifras decimales
raiz=sprintf('%0.6f',fx(j));
set(handles.raiz,'string',raiz);
hold off
fplot(handles.axes1,f,[0 fx(j)+1]);
grid on;
hold on;
handles.axes1=plot(fx(j),subs(f,raiz),'r*');
zoom on

=============================================================================
end
% hObject handle to pushbutton2 (see GCBO)
cla %limpiar tabla
%limpiar textboxs
set(handles.raiz,'string','');
set(handles.advertir,'string','');
Compilación
f(x)= (667.38/x)*(1-exp(-0.146843*x))-40
xi= 12; tol: 0.05
Metodo secante
Formulario

=============================================================================
Programa
x0=str2double(get(handles.edit2,'string'));%
syms x;
ea(1)=100;
%Limpiar tabla, grafico en caso de que antes se haya graficado una funcion
hold off
cla
set(handles.respuesta,'string','No hay raiz');
i=1;
while abs(ea)>tol;
x=x0;
g=eval(f);
x=x1;
gg=eval(f);
xi=x1-((gg*(x0-x1))/(g-gg));
ea=abs((xi-x1)/xi)*100;
x0=x1;
x1=xi;
valores = {i,x xi,ea};

=============================================================================
i=i+1;
end
%Mostrando respuesta en textbox con formato coma flotante a 6 cifras decimales
respuesta=sprintf('%0.6f',xi);
set(handles.respuesta,'string',respuesta);
hold off
fplot(handles.axes1,f,[0 xi+1]);
grid on;
hold on;
handles.axes1=plot(xi,subs(f,respuesta),'r*');
zoom on
cla %limpiar tabla
%limpiar textboxs
set(handles.respuesta,'string','');
SOLUCION_NUMERICA
Resultado
2.9 SOLUCIÓN CON Bisual Basic 6

=============================================================================
Desarrollar un programa para la resolución de la función matemática
1. Método de Bisección
Ejemplo; determinar x en la función matemática x=exp(-x)
y= f(x)=exp(-x) –x
Solución
a) Elaboración del formulario
b) Elaboración del programa
Private Sub Command1_Click()
X1 = Val(Text1)
X2 = Val(Text2)
tol = Val(Text5)
With List1
.AddItem Space(1) & "iter" & Space(4) & "x1" & Space(8) & "fx1" & Space(10)
& "x2" & Space(12) & "fx2" & Space(13) & "xp" & Space(14) & "fxp" &
Space(15)
End With
Do
funcion X1, fx1
funcion X2, fx2
iter = iter + 1
xb = (X1 + X2) / 2
funcion xb, fxb
If fxb * fx2 > 0 Then
X2 = xb
Else
X1 = xb
End If
If iter > 50 Then MsgBox "No converge antes de 50 iteraciones": End
List1.AddItem iter & Space(6 - iAux) & Round(X1, 2) & Space(6 - iAux) &
Round(fx1, 4) & Space(6 - iAux) & Round(X2, 2) & Space(6 - iAux) &

=============================================================================
Round(fx2, 6) & Space(6 - iAux) & Round(xb, 6) & Space(6 - iAux) &
Round(fxb, 5)
Loop While Abs(fxb) > tol
Text3 = Round(xb, 4)
Text4 = iter
End Sub
Sub funcion(x, fx)
fx = Exp(-x) - x
End Sub
Unload Me
End Sub
c) Compilación del programa
2. Método de Falsa posición:
Función matemática: X2
+3X-10
Solución
a) Elaboración del formulario

=============================================================================
b) Elaboración del programa
X1 = Val(Text1)
X1 = Val(Text2)
Do
funcion X1, fx1
funcion X2, fx2
iter = iter + 1
xf = X2 - fx2 * (X2 - X1) / (fx2 - fx1)
funcion xf, fxf
If fxf * fx2 > 0 Then
X2 = xf
Else
X1 = xf
End If
If iter > 100 Then MsgBox "No converge antes de 100 iteraciones": End
Loop While Abs(fxf) > 0.0001
Text3 = Round(xf, 6)
Text4 = iter
End Sub
Sub funcion(x, fx)
fx = x ^ 2 + 3 * x - 10
End Sub
Unload Me
End Sub
c) Compilación del programa

=============================================================================
3. Método Newton- Raphson
Desarrolle la siguiente función matemática 1032
 xx
Solución
1) Elaboración del formulario
2) Elaboración del programa
X1 = Val(Text1)
Do
funcion X1, fx1
derivada X1, gx1
Iter = Iter + 1
xt = X1 - fx1 / gx1
funcion xt, fxt
X1 = xt
Loop While Abs(fxt) > 0.0001
Text2 = xt

=============================================================================
Text3 = Iter
End Sub
Sub funcion(x, fx)
fx = x * x + 3 * x - 10
End Sub
Sub derivada(x, gx)
gx = 2 * x + 3
End Sub
Unload Me
End Sub
3) Compilación del programa
4. Método de secante
Desarrollar la siguiente función matemática 1032
 xx
Solución
1) Elaboración del formulario

=============================================================================
2) Elaboración del programa
X1 = Val(Text1)
X2 = Val(Text2)
Do
funcion X1, fx1
funcion X2, fx2
Iter = Iter + 1
xs = (X1 * fx2 - X2 * fx1) / (fx2 - fx1)
funcion xs, fxs
X2 = X1
X1 = xs
Loop While Abs(fxt) > 0.0001
Text3 = Round(xs, 3)
Text4 = Iter
End Sub
Sub funcion(x, fx)
fx = x * x + 3 * x - 10
End Sub
Unload Me
End Sub
3) Compilación

=============================================================================
2.10 EJERCICIOS APLICADOS EN INGENIERIA DE ALIMENTOS
1. Ejercicio 1: Aplicación coeficiente de friccion: La siguiente relación entre el factor
de fricción f y el número de Reynolds (Re) se cumple cuando hay flujo
turbulento de un fluido en un tubo liso.
)(Re74,14,0
1
fLn
f

a) Hallar f para Re=104
b) Construya una tabla y grafico de valores de f para Reynolds de 104
hasta 106
.
Solución
La función transformada es:
)(Re74,14,0
1
fLn
f

)(Re*74,14,01 fLnff 
Entonces la función a solucionar es:
)(Re*74,14,01)( fLnfffg 
Para fines de calculo cambiaamos f por x, en Matlab log = Ln
fx = -1 - (0,4 * x) + 1,74 * x * log(Re * (x ^ 0.5))

=============================================================================
g(f1)*g(f2)<0
Inicio
Ingresar:
f1,f2, tol,Re, Iter
Xr=(f1+f2)/2
Iter=iter+1
g(f1)*g(xr)≤ 0 f2=xrf1=xr
error=abs((f2-f1)/f2)
error≤ tol ó
|fxr|≤ tol
SiNo
Raiz:xr
Iter< max. Iter
No converge Fin
No
No
si
Si
No
Iter=0
si
No existe raíz en
este intervalo
Figura: Diagrama de flujo para calculo de f
Solución en Excel
Solución en Matlab

=============================================================================
Formulario
Programa
Para incorporar imagen
function Problema_1_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin)
% This function has no output args, see OutputFcn.
handles.output = hObject;
% Update handles structure
guidata(hObject, handles);
axes(handles.axes1)
background=imread('friccion.jpg');
axis off
imshow(background)
x0=str2double(get(handles.edit1,'string'));%
%Limpiar tabla, grafico en caso de que antes se haya graficado una funcion
hold off
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Re = [10000; 50000;100000; 200000; 300000; 400000; 500000; 700000;900000;10^6];
n=length(Re);
for k=1:n
i=0;% iteracion del metodo numerico
fxs=1;
while abs(fxs)>tol &(i<10);
fx0 = -1-(0.4*x0) + 1.74*x0*log(Re(k)*(x0^0.5));
fx1 = -1-(0.4*x1) + 1.74*x1*log(Re(k)*(x1^0.5));
xs=x1-((fx1*(x0-x1))/(fx0-fx1)); % algoritmo de metodo secante

=============================================================================
fxs = -1-(0.4*xs) + 1.74*xs*log(Re(k)*(xs^0.5));
ea=abs((xs-x1)/xs)*100;
x0=x1;
x1=xs;
i=i+1;
end
% CALCULOS
X(k) = xs;
f=X(k);
valores = {Re(k) f};
hold on;
axes(handles.axes2)
plot(Re(k),f,'b*')
legend ( 'Factor de friccion en funcion del Re' )
ylabel( 'Valor de f' )
xlabel( 'Re' )
grid on;
end
cla %limpiar tabla
%limpiar textboxs
close
Solucionario

=============================================================================
2. Desarrollar el programa que permita hallar el coeficiente de fricción











fg
e
Df 4Re
51.2
7.3
1
log2
4
1 ; 
k
vD
n
n
n
nnn
g 1
2
813
4
Re 









A
f
A
Q
v m
.

El comportamiento reológico de una mermelada de albaricoque puede describirse
mediante la ecuación de Herschel-Bulkley, presentando los siguientes datos:
Flujo másico: fm = 2.2 kg/s
Densidad de fluido:  = 1165 kg/m3
Índice reológico: n = 0.65
Coeficiente de consistencia del fluido: k = 4.43 Pa.sn
Rugosidad absoluta de la tubería: e = 0.00005
Diámetro de la tubería: D = 0.0343m
Longitud de la tubería: L = 200m
Solución
Flujo masico 2.2 kg/s
Densidad 1165 kg/m^3 v (m^3/s) = 2.043702228
Índice relogico n 0.65 A=e/(3.7D)= 0.00039398
coef de consistencia 4.43 pa.s^n B=2.51/ReG 0.01707327
Rugosidad absoluta 0.00005
Diametro de tuberia 0.0343 m 1+2*(4*f)^0.5*log(A+B/f^0.5)
AREA 0.000924015
ReG 147.0134344
tol 0.000001
ITER X1 X2 Xr F(X1) F(xr ) F(X1)*F(xr) ERROR
1 0.01 0.1 0.055 0.693327086 -0.599512506 -0.415658259

=============================================================================
2 0.01 0.0550 0.0325 0.693327086 -0.065212823 -0.045213816 69.23076923 TODAVIA NO
3 0.01 0.0325 0.02125 0.693327086 0.263153648 0.182451552 52.94117647 TODAVIA NO
4 0.02125 0.0325 0.026875 0.457777265 0.263153648 0.120465757 20.93023256 TODAVIA NO
5 0.026875 0.0325 0.0296875 0.356900384 0.263153648 0.093919638 9.473684211 TODAVIA NO
6 0.0296875 0.0325 0.03109375 0.309249068 0.263153648 0.08138002 4.522613065 TODAVIA NO
7 0.03109375 0.0325 0.031796875 0.286018404 0.263153648 0.075266786 2.211302211 TODAVIA NO
8 0.031796875 0.0325 0.032148438 0.274541601 0.263153648 0.072246624 1.093560146 TODAVIA NO
9 0.032148438 0.0325 0.032324219 0.268836675 0.263153648 0.070745352 0.543806647 TODAVIA NO
10 0.032324219 0.0325 0.032412109 0.265992443 0.263153648 0.069996882 0.271166014 TODAVIA NO
11 0.032412109 0.0325 0.032456055 0.264572368 0.263153648 0.069623184 0.135399428 TODAVIA NO
12 0.032456055 0.0325 0.032478027 0.263862839 0.263153648 0.069436469 0.067653913 TODAVIA NO
13 0.032478027 0.0325 0.032489014 0.263508201 0.263153648 0.069343144 0.033815518 TODAVIA NO
14 0.032489014 0.0325 0.032494507 0.263330914 0.263153648 0.06929649 0.016904901 TODAVIA NO
15 0.032494507 0.0325 0.032497253 0.263242278 0.263153648 0.069273166 0.008451736 TODAVIA NO
16 0.032497253 0.0325 0.032498627 0.263197962 0.263153648 0.069261504 0.004225689 TODAVIA NO
17 0.032498627 0.0325 0.032499313 0.263175805 0.263153648 0.069255673 0.0021128 SOLUCION
18 0.032499313 0.0325 0.032499657 0.263164726 0.263153648 0.069252758 0.001056389 SOLUCION
19 0.032499657 0.0325 0.032499828 0.263159187 0.263153648 0.0692513 0.000528192 SOLUCION
3. Ejercicio 3: Aplicación en destilación: Equilibrio liquido vapor y la determinación
de propiedades características de este estado como son la temperatura y
las composiciones.
Considere un líquido en equilibrio con su vapor. Si el líquido está formado por los
componentes 1,2,3,4; con los datos dados a continuación calcule la temperatura y la
composición del vapor en el equilibrio a la presión total de 75 psia.
Componente
Fraccion molar del
componente Xi
Presión del vapor del componente puro (psia)
150 K 200 K
1 0,10 25 200
2 0,54 14,7 60
3 0,30 4 14,7
4 0,06 0,5 5
Para resolver este problema se plantean las siguientes ecuaciones:
Para la presión de vapor:
 
1
0
T
B
ApLn i
ii  (1)
Donde i =1, 2, 3, 4 y T (K).
La presión total del sistema será:
 PiPT (2)

=============================================================================
Considerando que la mezcla de estos cuatro componentes, a las condiciones de presión y
temperatura dadas, obedecen las leyes de Raoult y de Dalton.
ii xpPT *
0
 (3)
Donde: pi0
= Presión de vapor de cada componente.
PT = presión total del sistema.
pi = Presión parcial de cada componente.
xi = Fracción mol de cada componente en el líquido.
De la ecuación de presión de vapor se tiene que
1,2,3,4iexp
1
0







T
B
Ap i
ii
Despejando piº de 1 y reemplazándola en 3 tenemos:






  T
B
AxPT i
ii exp*
Entonces despejando nos queda una ecuación la cual es función de la temperatura. La
ecuación es la siguiente:
  0exp* 





  T
B
AxPTTf i
ii (4)
Para obtener Ai y Bi realizamos el siguiente procedimiento:
Hacemos p1º, i = presión de vapor del componente i a T1 =150 K
p2º, i = presión de vapor del componente i a T2 = 200K
Entonces
  1,2,3,4i,
1
0

T
B
AipLn i
ii (5)
  1,2,3,4i,
2
0

T
B
AipLn i
ii (6)
Restando estas ecuaciones se tiene
11
,
,
21
0
2
0
1














TT
B
ip
ip
Ln i
De donde

=============================================================================
11
,
,
21
0
2
0
1
















TT
ip
ip
Ln
Bi
Reemplazando estos valores conocemos Bi y podemos obtener Ai de la ecuación (4).
Valores iniciales
Ahora para hallar un valor inicial de T para resolver la ecuación 4, se considera el
componente dominante de la mezcla que en este caso de acuerdo a los datos dados en la
tabla es el componente 2, y se usa PT en lugar de p2º en la ecuación 1 que es la de presión
de vapor. Es decir,
  2
2
T
B
APTLn 
De donde
  2
2
A
PTLn
B
T 
Con este resultado inicial y las consideraciones ya mencionadas, utilizamos el método de
Newton - Raphson para hallar la temperatura del sistema (temperatura de burbuja) en el
equilibrio.
Método de Newton – Raphson
 
 i
i
ii
xf
xf
xx
'
1 
Dónde: f’ (T) = - Σ xi exp ( Ai + Bi / T ) * ( - Bi / T2 )
  0exp* 





  T
B
AxPTTfY i
ii
Derivada de f
  











  2
*exp*''
T
B
T
B
AxTf ii
ii
Algoritmo Utilizado
Para encontrar una raíz de la ecuación f (xi+1) = 0, proporcionar la función f (xi) y su
derivada df(xi) y los datos:

=============================================================================
Datos: Valor inicial T, criterio de convergencia (tol) o error absoluto, criterio de exactitud
Resultados: La raíz aproximada T1 o un mensaje de falla.
PASO 1: Hacer i = 1
PASO 2: Mientras i< Maxit, repetir los pasos 3 a 7.
PASO 3: Hacer T1 = T – f /df
PASO 4: Si Abs(T1– T) < tol, entonces Imprimir T y Terminar. De otro modo Continuar.
PASO 5: Si Abs (f(x)) < tol, entonces Imprimir T y Terminar. De otro modo Continuar.
PASO 6: Hacer i = i + 1.
PASO 7: Hacer T = T1
PASO 8: IMPRIMIR mensaje de falla ‘’ EL MÉTODO NO CONVERGE A UNA RAÍZ
‘’ y terminar.
A) El programa utilizado en matlab en archivo.m es el siguiente:
Función que permite calcular la temperatura de equilibrio.
%METODO NEWTON RAPSON
clc
clear all
fprintf('METODOS NUMERICOS APLICADOS A INGENIERIAn');
fprintf('CALCULO DE TEMPERATURAS DE EQUILIBRIO n');
fprintf('INGENIERIA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS nn');
P1 = [25; 14.7; 4.0; 0.5]; % Presión de vapor del componente Puro (psia) a 150K
P2 = [200.0; 60.0; 14.7; 5.0]; % Presión de vapor del componente Puro (psia) a 200K
T1 = 150;% valor 1 de T
T2 = 200; % Valor 2 de T
B = log(P1./P2)/(1/T1-1/T2); % calculo de la constante B
A = log(P1)-B/T1 ; % Calculo de la constante A
X = [0.10; 0.54; 0.30; 0.06];% Composición del Liquido% mol
PT = 75; % composición del vapor en el equilibrio a la presión total de 75 psia
% METODOS NUMERICOS
i = 0;% iteracion cero
f =1;
tol = 0.000001;
T = B(2)/(log(PT)- A(2)); )% valor inicial de T por ser el mayor valor de x
fprintf (' T f(T) n', T, f )% impresion en texto de T y f
while (abs(f)>tol)&(i<10);% maxima iteracion menor de 10 (I<10)
f = PT-sum(X.*exp(A + B/T));% Funcion a resolver
df = sum(X.*exp(A+B/T).*(B/T^2));% derivada de la funcion
T1 = T-f/df; % Algoritmo de Newton
fprintf ('%10.2f %10.2en',T,f)% impresion de T y f en valores
T = T1; % Valor de la raiz o temperatura
i = i+1;
end
fprintf ('nn y(j) n')
for j = 1:i+1

=============================================================================
y(j) = (X(j)*exp(A(j) + B(j)/T))/PT;
fprintf ('%10.4f n', y(j));
end
Solucion
METODOS NUMERICOS APLICADOS A INGENIERIA
CALCULO DE TEMPERATURAS DE EQUILIBRIO
INGENIERIA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS
T f(T)
211.17 8.29e-01
211.67 -2.86e-03
211.67 -3.35e-08
y(j)
0.3761
0.5451
0.0729
0.0059
B) Usando una base de datos de P1, P2 y T en Excel
1. Primero creamos una carpeta
2. Segundo
Dentro de ello guardamos en archive de excel como DESTILADO, como Libro
de Excel 97- 2003
25 200 0.1
14.7 60 0.54
4 14.7 0.3
0.5 5 0.06
La primera coluna P1 segunda columna P2 y tercera columna T
3. Tercero
Confeccionar el programa como archive.m
clc
clear all
fprintf('METODOS NUMERICOS APLICADOS A INGENIERIAn');
fprintf('CALCULO DE TEMPERATURAS DE EQUILIBRIO n');
fprintf('INGENIERIA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS nn');
Y=xlsread('DESTILADO','Hoja1');% importación de datos de tabla libro1 de
Excel
P1=Y(:,1);% datos de columna 1 base de datos

=============================================================================
P2=Y(:,2);% datos de columna 2 base de datos
X=Y(:,3);% datos de columna 3 base de datos fracción molar
T1 = 150;% valor 1 de T
T2 = 200; % Valor 2 de T
PT = 75; % composición del vapor en el equilibrio a la presión total de 75 psia
f =1;
tol = 0.000001;
T = B(2)/(log(PT)- A(2));
fprintf (' T f(T) n', T, f )% impresion en texto de T y f
fprintf ('%10.2f %10.2en',T,f)% impresion de T y f en valores
i = i+1;
end
fprintf ('nn y(j) n')
for j = 1:i+1
y(j) = (X(j)*exp(A(j) + B(j)/T))/PT;
fprintf ('%10.4f n', y(j));
end
Resultados de copilacion
T f(T)
211.17 8.29e-001
211.67 -2.86e-003
211.67 -3.35e-008
y(j)
0.3761
0.5451
0.0729
0.0059
C) Programa en interfaz de GUIDE
Primero hacemos de formulario

=============================================================================
Programa
Y=xlsread('DESTILADO','Hoja1');% importación de datos de tabla libro1 de excel
T1=str2double(get(handles.edit1,'string'));
T2=str2double(get(handles.edit2,'string'));
PT=str2double(get(handles.edit3,'string'));
P1=Y(:,1);
P2=Y(:,2);
X=Y(:,3);
f =1;
tol = 0.000001;
T = B(2)/(log(PT)- A(2));
i = i+1;
end
for j = 1:i+1

=============================================================================
y(j) = (X(j)*exp(A(j) + B(j)/T))/PT;
valores = {T y(j)};
end
Segundo ingresamos los valores y obtenemos los resultados
4. Ejercicio 4: Aplicación en transferencia de calor:
En una de las etapas de elaboración de frutos en almíbar se utiliza una solución caliente
de azúcar de 40°Brix. Para realizar el calentamiento se introducen 1000 kg de dicha
disolución en un tanque cilíndrico agitado de 1 m de diámetro, perfectamente aislado,
provisto de un agitador tipo paleta de 30 cm de diámetro y que gira a 120 rpm. En el
tanque se halla sumergido un serpentín helicoidal formado por tubos de acero
inoxidable de 12 mm de diámetro interno, 1 mm de espesor de pared y 15 m de longitud
total. Por el interior del serpentín circula vapor saturado de agua a 3 atm, que
condensa, siendo su coeficiente de convección de calor 9300 W/(m2
°C). Si la solución
se encuentra inicialmente a 16°C; calcular:
a) Coeficiente global de transmisión de calor (Ue).
b) El tiempo que tarda la solución en alcanzar 60°C. (θ).
c) El caudal (m/θ) y cantidad de vapor (wv) necesario para llevar a cabo este
calentamiento.
d) La velocidad de elevación de temperatura de la disolución cuando se halla a
50°C.
Las propiedades del vapor, de Tablas de vapor saturado a 3 atm se obtienen:

=============================================================================
T = 132.9 °C
kgKJHw /2721 KgKJw /2163
kgKJhw /558
Propiedades de la solución de azúcar:
Conductividad térmica: 0,814 W/mºC
Calor específico = 2,85 KJ/kg ºC
Viscosidad: )/2850exp(107,3 7
Tx 
 Pa.s T(ºK)
Densidad: Tx 4
108,4191,1 
 g/cc T en ºC
Calentamiento de 16°C a 60°C, por tanto las propiedades de la disolución tomarán a una
temperatura media tm= 38°C.
Solución
Datos:
Producto:
Masa de producto = 100 kg
Conductividad térmica: 0,814 W/mºC
Calor específico = 2,85 KJ/kg ºC
Viscosidad: )/2850exp(107,3 7
Tx 
 Pa.s T(ºK)
Densidad: Tx 4
108,4191,1 
 g/cm3
T en ºC
Tanque:
Diámetro = 1m
N = 120 rpm
Diámetro paleta = 30 cm
Serpentín:
Diámetro interno = 12 mm
Diámetro externo = 14 mm
Longitud = 15 m
Vapor saturado:
Presión = 3 atm

=============================================================================
a) Calculo de viscosidad y densidad
Reemplazando valores se tiene
Viscosidad: Pa.s1053,3 3
 x
Densidad:
3
kg/m1173
b) Cálculo del coeficiente he para tanque agitado con calentamiento de vapor sistema
serpentín es:
14.03/1
62,02
..
87,0 




















w
pTe
k
CpND
k
Dh




14.03/1
62,02
*
.
*
.
*87,0* 




















w
p
T
e
k
CpND
D
k
h




Calculo de Re, Pr
      4
3
3122
1098,5
.1053,5
/117323,0.
Re x
sPax
mkgsmNDp
 



     4,12
.º./10814,0
.1053,3º/85,2.
Pr 3
3
 

CmsKJx
sPaxCkgKJ
k
Cp 
Reemplazando Re, Pr y otros en la ecuación general
 
   
14.0
3
3/162,04 .1053,3
4,121098,587,0*
1
º/814,0








w
e
sPax
x
m
CmW
h

Obteniéndose la siguiente ecuación:
  14,0
6,680

 weh  CmW 2
/
Como dato tenemos la viscosidad en función de la temperatura







 
)273(
2850
exp107,3 7
tw
xw
Para obtener he es preciso conocer tw, la temperatura en la pared del serpentín, para
calcular w, viscosidad de la disolución a la temperatura de la pared.

=============================================================================
Q
tm
tw
Tw
T
hi
he
Espesor del tubo
La velocidad de transmisión de calor, realizando el balance de energía es:
   mweewii ttAhTTAhQ 
Como se supone que la pared no ofrece resistencia a la transmisión de calor: Tw  tw
Por tanto, de la ecuación anterior queda:
eeii
weeii
w
AhAh
tAhTAh
t



eeii
emeii
w
hddh
hTdTdh
t 22
22



Reemplazando valores
      
    33
33
101410129300
3810149,13210129300





xhx
xhx
t
e
e
w
  14,07
))273/(2850exp(107,36,680

 twxhe
  
  14,0722
14,0722
))273/(2850exp(*107,3*6,680
))273/(2850exp(*107,3*6,680





twxddh
twxTdTdh
t
eii
meii
w
Reemplazamos valores y tenemos
140
140
273
2850
exp824541100203391
273
2850
exp82454110075098177
,
,
w
tw)(
(*,*,,
tw)(
(*,*,,
t 


















El cálculo de tw se realizará por iteraciones y luego se determina he
14,0
)273(
2850
exp(*824,5411









tw
he
c) Cálculo del coeficiente global : Ue

=============================================================================
)/(
111
eiiee ddhhU

d) Del balance energético en el sistema
Término de acumulación
d
dt
mCpA 
Término de entrada )( tTAUE ee 
T = temperatura del vapor condensante
t = temperatura de la solución en el tanque
 = tiempo
Igualando los dos términos )( tTAU
d
dt
mCp ee 

Ecuación diferencial en variables separables, que integrada con la condición límite:
 =0 t=to; conduce a la expresión
mCp
AU
tT
tT
Ln ee 







 0
Expresión que permite calcular, el tiempo de calentamiento para una determinada
temperatura o viceversa:
Tiempo: 








tT
tT
Ln
AU
Cpm
ee
0

Temperatura: 






Cpm
AU
tTTt ee
exp)( 0

LdA ee 
e) Caudal de vapor y cantidad de condensado
)( 0ttCp
m
w wv 


Masa de vapor
vv wM 
f) Velocidad de elevación de temperatura
)( tT
mCp
AU
d
dt ee



=============================================================================
 
)509,132(
º
85,21000
6597,0
3600
Cºm
101931 2
2
3





















Ckg
kJ
kg
m
h
s
s
kJ
x
d
dt

hC
d
dt
/º4,133

g) Temperatura a los 50 min
  




























Ckg
kJ
sm
Cs
kJ
x
t
º
85,2000kg1
30006597,0
ºm
101931
exp)169,132(9,132
2
2
3
Ct º3,102
Como se supone que se trabaja a presión atmosférica, si fuese agua no se tendría la
solución acuosa, sino que podría pasar a vapor. Sin embargo, al tratarse de una solución
azucarada, es posible que hierva a más de 100ºC, debido al aumento ebulloscopio que
producen los sólidos solubles.
a) Usando GUIDE
Crear una carpeta
Dentro de la carpeta debe estar la imagen en jpg
Formulario

=============================================================================
Programa
Para la imagen
guidata(hObject, handles);
axes(handles.axes1)
background=imread('tanque.jpg');
axis off
imshow(background)
% PROGRAMA DE SERPENTIN
m=str2double(get(handles.edit1,'string'));
Ti=str2double(get(handles.edit2,'string'));
Tf=str2double(get(handles.edit3,'string'));
k=str2double(get(handles.edit4,'string'));
Cp=str2double(get(handles.edit5,'string'));
Dt=str2double(get(handles.edit6,'string'));
N=str2double(get(handles.edit7,'string'));
Dp=str2double(get(handles.edit8,'string'));
di=str2double(get(handles.edit9,'string'));
de=str2double(get(handles.edit10,'string'));
L=str2double(get(handles.edit11,'string'));
P=str2double(get(handles.edit12,'string'));
T=str2double(get(handles.edit13,'string'));
Hw=str2double(get(handles.edit14,'string'));
hw=str2double(get(handles.edit15,'string'));
landa=str2double(get(handles.edit16,'string'));
hi=str2double(get(handles.edit17,'string'));
% Calculos previos
tm = (Ti + Tf) / 2;
visc = (3.7 * 10 ^ -7) * (exp(2850 / (273.15 + tm)));
den = 1191 - ((4.8 * 10 ^ -4) * tm) ;
Re = (Dp ^ 2 * (N / 60) * den) / visc;
Pr = (Cp * visc) / (k*10^-3);
b0 = (0.87 * (Re ^ 0.62) * (Pr ^ 0.333) * k) / Dt;
b1=b0*(visc^0.14);
a0=hi * di*T;
a1 = de* tm;
a2 = di* hi;
Ae=3.1416*de*L;
%METODOS NUMERICOS DE BISECCION
x1=50;
x2=150;
error=0.0001;
it=0;
fxr=1;

=============================================================================
while abs(fxr)>error
xr=(x1+x2)/2;
fx1= -x1+ (a0+a1*( b1*(3.7 * (10 ^ -7) * exp(2850 / (273.15 + x1)))^-0.14))/(a2+de*(
b1*(3.7 * (10 ^ -7) * exp(2850 / (273.15 + x1)))^-0.14));
fx2= -x2+ (a0+a1*( b1*(3.7 * (10 ^ -7) * exp(2850 / (273.15 + x2)))^-0.14))/(a2+de*(
b1*(3.7 * (10 ^ -7) * exp(2850 / (273.15 + x2)))^-0.14));
fxr= -xr+ (a0+a1*( b1*(3.7 * (10 ^ -7) * exp(2850 / (273.15 + xr)))^-0.14))/(a2+de*(
b1*(3.7 * (10 ^ -7) * exp(2850 / (273.15 + xr)))^-0.14));
if(fxr*fx2)>0;
x2=xr;
else
x1=xr;
end
it=it+1;
end
%Calculos
uw = (3.7 * 10 ^ -7) * (exp(2850 / (273.15 + xr)));
he=b1*(uw^-0.14);
Ue=hi*he*(di/de)/(hi*(di/de)+he);
tiem = (m * Cp / ((Ue*10^-3) * Ae)) * (log((T - Ti) / (T - Tf)));
wv = m * Cp * (Tf - Ti) * 3600 / (tiem * landa);
mv = (tiem / 60) * wv / 60;
%Grafico temperatura en funcion del tiempo
syms Z % el tiempo(min) es Z que va de 0 a 25 minutos, la temperatura t del producto
se estimacon la funcion t=T-(T-Ti)*exp(-Ue*Ae*60*Z/(m*Cp*1000)
axes(handles.axes2)
ezplot(T-(T-Ti)*exp(-Ue*Ae*60*Z/(m*Cp*1000)),[0,25])
title('CURVA DE CALENTAMIENTO');
xlabel('Tiempo (min)'),ylabel('Temperatura (ºC)')
grid
% Salida de resultados
set(handles.edit18,'string',visc);
set(handles.edit19,'string',den);
set(handles.edit20,'string',xr);
set(handles.edit21,'string',Re);
set(handles.edit22,'string',Pr);
set(handles.edit23,'string',he);
set(handles.edit24,'string',Ue);
set(handles.edit25,'string',tiem);
set(handles.edit26,'string',wv);
set(handles.edit27,'string',mv);
Solución
Ingresamos las variables de ingreso y obtenemos como resultado las variables esperadas

=============================================================================
5. Ejercicio aplicado 5: Calculo de difusividad del agua en secado de alimentos
A partir de los datos experimentales de humedad y tiempo de secado usando la ecuación
de Alvarez y Legües modificado determinar la difusividad efectiva del proceso, para los
15 términos de la serie.





 








tD
L
n
nXX
XX
ef
ne
e
.
4
)12(
exp
)12(
18
2
22
0
22
0


21
8

x






 tD
r
n
n
xx .exp
1
*
8
2
22
22








 tD
r
n
n
xxx .exp
1
* 2
22
21

Donde:
X = humedad de la muestra (g);
Def = difusividade efectiva del água (m2/s);
t = tempo (s);
n = número de terminos de la série;
L = dimensión característica (m).
Los datos experimentales estarán en archivo Excel
Formulario

=============================================================================
Programa
t=str2num(get(handles.edit1,'string'));% valores de t
M=str2num(get(handles.edit2,'string'));% valores de M
M0=str2double(get(handles.edit3,'string'));% Humedad inicial
Meq=str2double(get(handles.edit4,'string'));% Humedad de equilibrio
L=str2double(get(handles.edit5,'string')); % Espesor del alimento a secar
tol=str2double(get(handles.edit6,'string')); % Error
n=length(t);
%Limpiar tabla, grafico en caso de que antes se haya graficado
hold on
%Lectura de datos de tiempo t
for k=1:n
MR = (M(k) - Meq) / (M0 - Meq);
tiempo=t(k);
% METODOS NUMERICOS DE NEWTON RAPSON
x1 = 0.0000001;
it=0;
fxp=1;
while abs(fxp)>tol
fx1 = 0.810566 * exp(-9.869651 * x1 / L ^ 2) + 0.090063 * exp(-88.826855 *x1 / L ^
2) + 0.032423 * exp(-246.741264 * x1 / L ^ 2) + 0.016542 * exp(-483.612877 * x1 / L
^ 2) + 0.010007 * exp(-799.441695 * x1 / L ^ 2) + 0.006699 * exp(-1194.227718 * x1 /
L ^ 2) + 0.004796 * exp(-1667.970945 * x1 / L ^ 2) + 0.003603 * exp(-2220.671376 *
x1 / L ^ 2) + 0.002805 * exp(-2852.329012 * x1 / L ^ 2) + 0.002245 * exp(-
3562.943852 * x1 / L ^ 2)-MR;
gx1 = -(8 * exp(-9.869651 * x1 / L ^ 2)) / L ^ 2 - (8 * exp(-88.826855 *x1 / L ^ 2)) /
L ^ 2 - (8 * exp(-246.741264 * x1 / L ^ 2)) / L ^ 2 - (8 * exp(-483.612877 * x1 / L ^ 2))
/ L ^ 2 - (8 * exp(-799.441695 * x1 / L ^ 2)) / L ^ 2 - (8 * exp(-1194.227718 * x1 / L ^

=============================================================================
2)) / L ^ 2 - (8 * exp(-1667.970945 * x1 / L ^ 2)) / L ^ 2 - (8 * exp(-2220.671376 * x1 /
L ^ 2)) / L ^ 2 - (8 * exp(-2852.329012 * x1 / L ^ 2)) / L ^ 2 - (8 * exp(-3562.943852 *
x1 / L ^ 2)) / L ^ 2;
xp = x1 -(fx1/gx1);
fxp = 0.810566 * exp(-9.869651 * xp / L ^ 2) + 0.090063 * exp(-88.826855 * xp / L ^
2) + 0.032423 * exp(-246.741264 * xp / L ^ 2) + 0.016542 * exp(-483.612877 * xp / L
^ 2) + 0.010007 * exp(-799.441695 * xp / L ^ 2) + 0.006699 * exp(-1194.227718 * xp /
L ^ 2) + 0.004796 * exp(-1667.970945 * xp / L ^ 2) + 0.003603 * exp(-2220.671376 *
xp / L ^ 2) + 0.002805 * exp(-2852.329012 * xp / L ^ 2) + 0.002245 * exp(-
3562.943852 * xp / L ^ 2)-MR;
x1 = xp;
it= it+1;
end
% CALCULOS
X(k) = xp;
Dt=X(k);
% CALCULO DE DIFUSIVIDAD
Dif = Dt/tiempo;
%DIFUSIVIDAD EFECTIVA PROMEDIO
SUMA=0;
SUMA = (SUMA + Dif)/(n-1);
% MOSTRARA DATOS EN TABLA
valores ={tiempo M(k) MR Dif};
hold on
%Mostrando respuesta en edit con formato coma flotante a 6 cifras decimales
respuesta=sprintf('%0.16f',SUMA);
set(handles.respuesta,'string',respuesta);
%Grafico de humedad en funcion del tiempo
axes(handles.axes1)
plot(tiempo,M(k),'r*')
title('CINETICA DE SECADO DE HUMEDAD');
xlabel('Tiempo (min)'),ylabel('Humedad (g agua/100 g ms)')
grid on;
hold on
%Grafico de razon de humedad
axes(handles.axes2)
plot(tiempo,MR,'b*')
title('RAZON DE HUMEDAD ');
xlabel('Tiempo (min)'),ylabel('MR')
grid on;
hold on

=============================================================================
%Grafico de Difusividad en funcion del tiempo
axes(handles.axes3)
plot(tiempo,Dif,'k*')
title('DIFUSIVIDAD ');
xlabel('Tiempo (min)'),ylabel('Difusividad (m2/s)')
grid on;
end
close
Solución
6. Aplicación de un modelo cinético de secado por lecho fluidizado de cubos de
papa.
A) fundamento: El paso del agua desde el centro húmedo hasta el seno del fluido
de secado implica dos resistencias: la resistencia a la transferencia de masa
desde el centro húmedo hasta la superficie de la partícula y la resistencia a la
transferencia de masa desde la superficie hasta el seno del fluido. En todo
momento, las condiciones del centro húmedo son idénticas a las condiciones
iniciales y las condiciones de la coraza lo son a las condiciones en el equilibrio
(Levenspiel, 1976).
La velocidad de transferencia de agua desde el centro húmedo hasta la
superficie de la partícula a través de la coraza seca está dada
aproximadamente por:

=============================================================================
.)4/1( 2
cte
dr
dC
kc
dt
dM
r 











 (1)
Donde: kc es el coeficiente de difusión efectivo del agua a través de la coraza,
M y C son la masa y la concentración volumétrica del agua en el material y r es
la posición de un punto de la partícula en coordenadas esféricas. Integrando la
ecuación (1) entre los límites Cs,Rc y Ci,R se tiene:
 






R
Rc
Ci
Cs
c dCk
r
dr
dt
dM
42 (2)
De donde:
)(
)(
4
CiCs
RcR
RRck
dt
dM c










(3)
la velocidad de transferencia de agua desde la superficie de la partícula
hasta el seno del fluido está dada por:
)(
4
1
2
CgCihc
dt
dM
R













(4)
Donde hc es el coeficiente de película.
De donde:
)(4 2
CgCihcR
dt
dM






  (5)
Combinando las ecuaciones (3) y (5) y eliminando Ci se obtiene:





 




















c
c
cc R
RR
k
R
h
CgCsR
dt
dM
)(1
)(4 2

(6)
Reordenando esta ecuación se obtiene una ecuación similar a las usadas en la
cinética de reacciones químicas heterogéneas sólido-fluido:



 









Rc
RcR
k
Rh
CgCshR
dt
dM
c
c
c
)(
)(1
)(4 2
 (7)
Por otro lado, la cantidad de agua a eliminar por unidad de volumen es:

=============================================================================
Vo
MeMo
Ch
)( 
 (8)
En el tiempo t cuando el volumen del centro húmedo es Vc:







3
4 3
Rc
ChChVcM

(9)
La disminución del radio húmedo correspondiente a una disminución en la
cantidad de agua a eliminar se obtiene de la derivada de la ecuación (9):
ChRc
dRc
dM 2
4 (10)
y dado que:













dRc
dM
dt
dM
dt
dRc
/ (11)
Sustituyendo las ecuaciones (7) y (10) en la (11) se obtiene:


























))((
)(
2
2
RcRR
kc
R
hc
Rc
Ch
CgCsR
dt
dR
(12)
en donde el radio R que considera el encogimiento de la partícula está
relacionado con las condiciones iniciales y de equilibrio por la ecuación:
R Ro Rc  Re (Re/ )
/
3 3 3
1 3
1 (13)
Separando variables e integrando la ecuación (12) entre Ro,0 y Rc, t se tiene:
 
 


 t Ro
Rc
dRc
R
RcRRkcRchcRc
dt
Ch
CgCs
0 2
2
)()/()/(
(14)
( )
(Re/ ) (Re/ )
Cs Cg t
Ch
Ro R
hc Ro
Ro Rc
kc
Ro R
kc Ro








1 2 2 13
2 2 2 2
3
(15)
Reacomodando la ecuación (15):
( ) (Re/ )
( )
( / ) ( / )
( )(Re/ )
( )
Cs Cg Ro t
Ch Ro R
hc kc
R Rc Ro Rc Ro
Ro R
 

 
  

1
1 1
2
3 2 2 2 2 3
(16)

=============================================================================
La cual es la expresión matemática del modelo propuesto y que adopta la forma
de una recta. Donde:
( ) (Re/ )
( )
Cs Cg Ro t
Ch Ro R
 

1 3
es la variable dependiente (17)
R Rc Ro Rc Ro
Ro R
2 2 2 2 3
2
  

( )(Re/ )
( )
es la variable independiente (18)
( / )1 kc es la pendiente (19)
( / )1 hc es la ordenada al origen (20)
La ecuación (16) puede interpretarse en términos de resistencias:
Resistencia total = Resistencia de la película + Resistencia de la coraza seca
Donde:
Resistencia total = variable dependiente.
Resistencia de la película = ordenada al origen.
Resistencia de la coraza seca = pendiente x variable independiente.
B) Calculo de los coeficientes de transferencia del modelo
Usando el método de mínimos cuadrados se calcularon los valores de la
pendiente y de la ordenada al origen de la recta de mejor ajuste a las parejas de
valores dados por las ecuaciones (18) y (17), evaluados a partir de los datos
experimentales. De los valores de la pendiente y de la ordenada al origen se
obtienen los valores de los coeficientes de transferencia kc y hc según las
ecuaciones:
hc = 2,946 (10)-4 (VR/C)1,051 e (-1955/T) (21)
kc = 1,884 (10)-6 e (-3610/T) (22)
Con coeficientes de correlación ajustados de 0,86 y 0,85 respectivamente.
hc=(2,946*10^4)*exp(-1954,87/Temp)*(VEL*Rad/CAM)^1,051 ;
hc = 2,946 (10)-4 (VR/C) 1,051 e (-1955/T)
VEL (m/s): velocidad del aire
CAM (m): altura de la cama del lecho a fluidizar
Temp (K): temperatura del aire
Rad (m): radio de la partícula

=============================================================================
C) Programa para la simulación de la cinética de secado y del encogimiento
de cubos de papa en un secador de lecho fluidizado.
Una vez estimados los valores de hc y kc se puede usar la ecuación (15) para
predecir el radio del centro húmedo Rc a cualquier tiempo t. Para despejar Rc de
dicha ecuación se utiliza el método numérico de aproximaciones sucesivas de
Newton de primer orden (Luthe y col., 1988):
(23)
Donde:
    t
RoC
CC
RR
R
R
RR
kc
RR
h
Rf
h
gs
cO
o
e
Co
c
C *
Re
1
2
11
)(
3
22
3
22



















 
















Rc=x
     tA
C
CC
xRBxRKRRHxf
h
gs
Oo ***)( 2222





 

Y















































R
R
R
kcR
R
hcR
R
xf c
c
C
o
e
2
2
23
11
1)('
Para todos los cálculos se toma como valor inicial Rc=Ro.
Rc (cm): radio del centro húmedo
R (cm),: radio de la partícula
M (g): peso total de la muestra
X (g de agua/g s.s.) : humedad en base seca para diferentes tiempos.
o (g/cm3): densidad de la muestra inicial
ss (g/cm3): densidad del sólido seco
Ro: radio equivalente inicial
Re (cm): radio en el equilibrio
Mo: peso inicial,
Me: peso en el equilibrio y
Mss (g): peso del sólido seco
hc (m/s): coeficientes estimados de transferencia en la película
kc (m2/s) coeficientes de difusión a través de la coraza calculados
Rangos de aplicación: El programa de simulación del proceso de secado de cubos de
papa por lecho fluidizado puede ser aplicado dentro de los siguientes rangos:
Rc Rc
F Rc
F Rc
actual anterior
anterior
anterior
 
( )
'( )

=============================================================================
Aristas de los cubos de papa 0,5 a 1,2 cm.
Radios equivalentes de los cubos 0,4 a 0,76 cm.
Temperatura del aire de secado 50º a 100º C.
Velocidad del aire de secado 4 a 8 m/s.
Altura del lecho a fluidizar 7 a 13 cm.
Datos de entrada: El programa requiere la siguiente información:
DO = Densidad inicial (g/cm3)
DSS = Densidad del sólido seco (g/cm3)
RO = Radio equivalente inicial (cm)
RE = Radio equivalente en el equilibrio (cm)
MO = Peso inicial (g)
ME = Peso en el equilibrio (g)
MSS = Peso del sólido seco (g)
XO = Humedad inicial (g de agua/g s.s.)
TEMP = Temperatura del aire de secado (ºC)
VEL = Velocidad del aire de secado (m/s)
CAM = Altura de la cama del lecho a fluidizar (m)
Salida: Para cada instante de tiempo se muestran los siguientes resultados:
Numero de iteraciones para alcanzar una exactitud de 0,0001
Tiempo (min)
Radio simulado de la partícula (cm)
Radio simulado del centro húmedo (cm)
Peso de la partícula (g)
Humedad de la partícula (g agua/g s.s.)
Elaboracion del programa
Formulario
Programa

=============================================================================
% "PROGRAMA DE SIMULACION DEL PROCESO DE SECADO"
% SOLO PUEDE SER APLICADO A CUBOS DE PAPA, SECADO EN LECHO
FLUIDIZADO,
% "CINETICAS DE SECADO"
% "======================================================"
t=str2num(get(handles.edit17,'string'));
DO =str2double(get(handles.edit1,'string'));%Densidad inicial (g/cm3) 1.06
DSS =str2double(get(handles.edit2,'string'));% Densidad del solido seco (g/cm3) 1.245
RO =str2double(get(handles.edit3,'string')); %Radio equivalente inicial (cm) 0.4
RE =str2double(get(handles.edit4,'string')); %Radio equivalente en el equilibrio (cm)
0.216
MO =str2double(get(handles.edit5,'string')); %Peso inicial (g) 301.3
ME =str2double(get(handles.edit6,'string')); %Peso en el equilibrio (g) 61.7
MSS =str2double(get(handles.edit7,'string')); %Peso del solido seco (g) 57.254
XO =str2double(get(handles.edit8,'string')); %Humedad inicial (g de agua/g s.s.) 4.26
CAM =str2double(get(handles.edit9,'string')); %Altura de la cama del lecho (m) 0.07
TEMP=str2double(get(handles.edit10,'string')); %Temperatura del aire de secado (C) 50
VEL =str2double(get(handles.edit11,'string')); %Velocidad del aire de secado (m/s) 4
n=length(t);
%n=19;
% CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA INTERNO Y
EXTERNO
RAD=RO/100;
TEMP=TEMP+273;
HC=.0002946*exp(-1954.87/TEMP)*(VEL*RAD/CAM)^1.051 ;
KC = 1.884*(10^-6)*exp(-3610/TEMP);
% CONVERSION DE UNIDADES DE LOS COEFICIENTES
HC=HC*6000;
KC=KC*360000;
% VARIABLES AUXILIARES PARA SIMPLIFICAR EXPRESIONES
CS=XO*DSS;
CH=DO*(MO-ME)/MO;
H=1/HC;
K=1/(2*KC);
J=CS/CH;
B=(RE/RO)^3;
A=1-B;
C=RE^3;
D=RE^2;
%Lectura de datos de tiempo t
%Limpiar tabla, grafico en caso de que antes se haya graficado
hold on
for k=1:n
tiempo=t(k);
% CALCULOS DE METODOS NUMERICOS DE NEWTON RAPSON

=============================================================================
x1=0.20;
it=0;
fxp=1;
error=0.0001;
while abs(fxp)>error
fx1= H*(RO-((C+A*x1^3)^(1/3)))+K*(((C+A*x1^3)^(1/3))^2-(C/RO)-
A*x1^2)-(CS/CH)*A*tiempo;
gx1=-A*(H*((x1^2)/((C+A*(x1)^3)^(1/3))^2)+2*K*(x1-
(x1^2/((C+A*(x1)^3)^(1/3)))));
xp = x1 -(fx1 / gx1);
fxp= H*(RO-((C+A*xp^3)^(1/3)))+K*(((C+A*xp^3)^(1/3))^2-(C/RO)-
A*xp^2)-(CS/CH)*A*tiempo;
x1 = xp;
it= it+1;
end
% TERMINO DE METODOS NUMERICOS
% CALCULOS DEL CONTADOR k
XR(k)=xp;
RR= XR(k);
% CALCULO DEL RADIO DE LA PARTICULA"
R=((C+A*(RR)^3)^(1/3));
% CALCULO DEL PESO
M=ME+(MO-ME)*((RR)/RO)^3;
%"CALCULO DE LA HUMEDAD BASE SECA
X=(M-MSS)/MSS;
valores ={tiempo xp R M X};
hold on
axes(handles.axes1)
plot(tiempo,X,'r*')
title('CINETICA DE SECADO');
xlabel('Tiempo (min)'),ylabel('Humedad base seca (g agua/100g ms)')
grid on;
hold on
%Grafico de peso en funcion del tiempo
axes(handles.axes2)
plot(tiempo,M,'b*')
xlabel('Tiempo (min)'),ylabel('Peso (g)')
grid on;
hold on
%Grafico de radio de particula en funcion del tiempo
axes(handles.axes3)
plot(tiempo,R,'k*')

=============================================================================
xlabel('Tiempo (min)'),ylabel('Radio de particula (m)')
grid on;
k=k+1;
end
close
Resultado
BIBLIOGRAFIA
Alamilla, B. L. 1990. Simulación de la operación de secado de vegetales basada en un
estudio de deshidratación por lecho fluidizado. Tesis de Maestría en Ciencias
(Alimentos). Escuela Nacional de Ciencias Biológicas, IPN, México, D. F.
Alamilla, L., Gutiérrez, G., Hernández, H. y Santiago, P. 1991. Estudio semifundamental
del secado de papa en lecho fluidizado. Tec. Aliment. 25(4):24-29.
Brown, G. G., Foust, A. S., Katz, D. V., Schneidewind, R., White, R. R., Wood, W. P.,
Brownell, L. E., Martin, J. J., Williams, G. B., banchero, J. T., and York, J. L.,
1965. Fluidización de sólidos. Cap. 20, En Operaciones Básicas de la Ingeniería
Química. p. 285-288. Ed. Marín, Barcelona.
De Baun, R. M. 1959. Response surface design for three factors at three levels.
Technometrics. 1(1):1-8.
Félix, A. B., Robles, R. R. y Santiago, P. T. 1989. Estudio de Ingeniería para la
deshidratación de papa por lecho fluidizado. Memorias de AMIDIQ.,México
Levenspiel, O., 1976. Solid-fluid reactions. Ch. 12, In Chemical Reaction Engineering.
2da. ed., p. 357-377. Wiley International Edition, N. Y.
7. Aplicación en mecánica de fluidos:

=============================================================================
Desarrollar un programa que calcule el caudal “Q”, el área transversal de la tubería
“A”, la velocidad de flujo “v”, el número de Reynolds generalizado “Reg”, el factor
de fricción “f”, y la pérdida de carga en la tubería “hf”, a partir de los datos de:
Flujo másico: fm=2,22 kg/s
Densidad del fluido: den=1165kg/m3
Indice reológico del fluido: n=0,65
Coeficiente de consistencia del fluido: m=4,43
Rugosidad absoluta de la tubería: e=0,000005
Diámetro de la tubería: D=0,0343m
Longitud del fluido: L=200m
Cuando un fluido no Newtoniano pasa por una tubería de sección circular bajo
cierto régimen, se genera una pérdida de carga debido a la fricción que puede ser
estimada de acuerdo a la ecuación de Darcy:
gD
vL
fhf
**2
* 2

Dónde:
hf: pérdida de carga
F: Factor de fricción(s/u)
L: longitud de la tubería
D; diámetro de la tubería
v: velocidad promedio del fluido dentro de la tubería
g: aceleración de la gravedad
Por otro lado, el factor de fricción “f” puede ser estimado mediante la ecuación de
Colebrook:









fgeDf 4Re
51.2
)/(7.3
1
log2
4
1
,

k
vD
n
n
n
nnn
g 1
2
813
4
Re 









La velocidad de flujo podemos estimar a través de:
A
f
A
Q
v m
.

Solución
Se realizarán los cálculos en el siguiente orden:
1. 
mf
Q 
A
Q
v 

=============================================================================
2.

k
vD
n
n
n
nnn
g 1
2
813
4
Re 









3.







fgeDf 4Re
51.2
)/(7.3
1
log2
4
1
se realizará por métodos numéricos
4.
gD
vL
fhf
**2
* 2

(a) Programa en archivo.m de matlab
Primero creamos el programa, introduciendo los datos del ejercicio, luego los cálculos
previos que debe hacer el programa para el cálculo de las constantes, luego aplicaremos
la solución por el método de falsa posición.
%PROBLEMA DE PERDIDA DE CARGA EN TRANSPORTE DE FLUIDO
%SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
%"METODO DE REGLA FALSA"
% Setiembre 2010
% Ingeniero Alberto HUAMANI HUAMANI
clear all
clc
flujom = 2.22;den = 1165;n = 0.65;k = 4.43;e = 0.000005;Diam = 0.0343;lon = 200;
%Calculos
Q =flujom/den;
Area =3.1416 * (Diam) ^ 2/ 4;
vel = Q / Area;
A = (4 * n / ((3 * n) + 1)) ^ n;
Reg = A * ((Diam ^ n) * (vel ^ (2 - n)) * den) / (k * 8 ^ (n - 1));
b1 = 1 / (3.7 * (Diam / e));
b2 = 2.51 / Reg;
% Crear la salida
disp(' ')
disp(' Alberto HUAMANI HUAMANI')
disp(' Ingeniería en Industrias Alimentarias')
disp(' Metodos matemáticos en industrias alimentarias')
disp(' ')
fprintf('n');
x1=0.001;
x2=0.1;
error=0.0001;
it=1;

=============================================================================
fxr=1;
while abs(fxr)>error
fx1=-1-2*(4*x1)^0.5*log(b1+b2*(4*x1)^-0.5);
fx2=-1-2*(4*x2)^0.5*log(b1+b2*(4*x2)^-0.5);
xr=x1-(fx1*(x2-x1)/(fx2-fx1));
fxr=-1-2*(4*xr)^0.5*log(b1+b2*(4*xr)^-0.5);
if(fxr*fx2)>0;
x2=xr;
else
x1=xr;
end
it=it+1;
hf = (xr * lon * (vel^2))/(2 * Diam * 9.81);
end
fprintf('n El coeficiente de fricción f es: %8.6f n',xr);
fprintf('n El número de iteraciones es: %4.0f n',it);
fprintf('n El caudal Q (m3/h) es: %8.4f n',Q);
fprintf('n La velocidad v(m/s) es: %8.6f n',vel);
fprintf('n El reynolds generalizado Reg es: %8.6f n',Reg);
fprintf('n La perdida de carga (m agua) es: %8.6f n',hf);
Compilación: ejecutamos el programa realizado
Alberto HUAMANI HUAMANI
Ingeniería en Industrias Alimentarias
Metodos matemáticos en industrias alimentarias
El coeficiente de fricción f es: 0.010160
El número de iteraciones es: 8
El caudal Q (m3/h) es: 0.0019
La velocidad v(m/s) es: 2.062281
El reynolds generalizado Reg es: 148.820555
La pérdida de carga (m agua) es: 12.841765
8. Ejercicio 7: Secado a bajas presiones y bajas temperaturas
El modelo del núcleo sin reaccionar, tomando en cuanta el encogimiento, fue aplicado
por Mercado y Gutiérrez (1995) al secado por lecho fluidizado de cubos de papa.
Los datos experimentales que se utilizan en la verificación del modelo se obtuvieron de
la literatura (Zazueta, 1994). Corresponden a los datos de 9 diferentes cinéticas de secado
de placas de puré de papa (Solanum tuberosum) de la variedad Alpha, deshidrata por el
método de secado a baja presión y baja temperatura. Los factores considerados son
presión en la cámara de secado (0.67, 1.00 y 1.33 kPa) y espesor de la placa (0.26, 0.52 y
0.78 mm). El área de cada placa es de 0.01904 m2.
Obtención de la ecuación integrada de velocidad de secado

=============================================================================
La ecuación que define la velocidad de transferencia de agua desde la superficie de la
placa hacia el aire, a través de la película gaseosa, es la siguiente:
 gsg
a
CCK
dt
dm
A







1
(1)
Dónde:
A = área de transferencia de agua (m2
)
ma = masa de agua (kg)
t = tiempo (s)
kg = coeficiente local de transferencia de masa en la película gaseosa (m/s)
Cs = concentración de agua en la superficie de la placa (kg/m3
)
Cg = concentración de agua en el seno del gas (kg/m3
)
La ecuación que describe el movimiento del agua desde el núcleo húmedo hacia la
superficie de la placa, a través de la capa de sólido seco, es:













dz
dC
D
dt
dm
A
i
a1
(2)
Donde:
A = área de transferencia de agua (m2
)
ma = masa de agua (kg)
t = tiempo (s)
Di = coeficiente interno de transferencia de masa (m2
/s)
C = concentración de agua en la capa de sólido seco (kg/m3
)
Si el secado es controlado por condiciones externas, la ecuación (1) será la que describa
el proceso. Si el sólido representa la mayor resistencia, la ecuación (2) tendrá un
significado más alto. Esto es un reflejo cercano a lo que sucede durante el proceso de
secado de muchos alimentos y materiales biológicos en general.
Se seleccionó el modelo exponencial para describir la difusividad efectiva en función del
tiempo debido a que es altamente significativo y a que su manejo dentro del simulador es
sencillo. Por lo anterior se supone que Di seguirá un comportamiento matemático análogo
al de Deff del tipo:
bt
i aeD 
(3)
Obtención de la ecuación integrada de velocidad de secado
La ecuación de velocidad de transferencia se convierte en:
Ck
dt
dm
A
g






1
(4)

=============================================================================
t
C
Ck
LL
h
cg
c  0 (5)
Que es el modelo que explica la disminución del espesor de la placa cuando la difusión
de agua a través de la película gaseosa controla la velocidad de secado.
c
ci
LL
CD
dt
dm
A 







1
(6)
 
b
e
CL
CL
LL
bt
he
c
c
12 0
0

 (7)
Donde:
Lo : el espesor inicial
Le :el espesor de la placa en equilibrio
Cc: la concentración de agua en el núcleo húmedo
Ch : la cantidad de agua a evaporar por unidad de volumen
Debe tomarse en cuenta que ambas resistencias actúan en serie y que ambas son lineales
respecto a la concentración de agua y sólidos. Por consiguiente, se pueden combinar
directamente las resistencias individuales de ambas etapas de acuerdo a:
 
i
cg
cg
D
LLk
CkA
dt
dm









1
(8)
El grupo adimensional kg(L-Lc)/Di es el número de Damkohjer (Da) para la capa de
sólido seco (Levenspiel, 1986).
i
a
D
LLk
D
cg )( 
 (9)
En este caso Da representa el cociente de la resistencia por difusión del líquido en el
interior de la capa de sólido seco y de la resistencia a la transferencia de agua de la película
gaseosa.
La solución representa el modelo del núcleo húmedo para placas planas que presentan
encogimiento, la cual describe la disminución en tamaño del núcleo húmedo a medida
que la placa se va secando, es decir, lc = f(t):
0
0
0
0
2)(
LbC
CkL
bC
Ck
LL
L
kL
h
cge
h
cg
c
gec
aa bt
LL
kgCc
bCh
ee 













(10)

=============================================================================
%Cálculo de simplificación: Ch, Le, Cc, alfa y beta
Di = a * exp(b * t);
alfa = b * Ch / (kg * Cc);
beta = Le * kg / Lo;
Din = mo / (Ar * Lo);
Ch = Din * (mo - me) / mo
Le = me / (de * Ar);
Dss = mss / (Ar * Le)
xo = (mo - mss) / mss;
Cc = Dss * xo:
p = exp(alfa * (lcv - Lo))
q = Di + beta * (Lo - lcv + 1 / alfa)
f = p * q - a - beta / alfa
Masa de agua con la variación del espesor
 
0
0
l
lmmm
m cee 
 (11)
Humedad en base húmeda es:
ss
ss
m
mm
X

 (12)
Programa para la simulación de la cinética de secado para placas de puré de papa
En la figura 1 se presenta el diagrama de flujo del programa que simula la cinética de
secado para placas de puré de papa.

=============================================================================
INICIO
kg, a, b
A, Lo, mo
me, De, mss
Do = mo/ALo ; Ch = Do(mo - me)/mo
Le = me/DeA ; Dss = mss/ALe
Xo = (mo - mss)/mss ; Cc = DssXo
i = 1 , 100
t
t = -1 Fín
Di = a exp (bt)
Obtención de la raíz lc ,
del modelo (ecuación 10)
m = me + (mo - me)lc/Lo
X = (m - mss)/mss
t , X
Parámetros de
simulación
(propuestos)
Dimensiones y
masas de la placa
Cálculo de
Ch, Le y Cc
Sí
No
Método de
Newton de
2° orden
Figura 1: Diagrama de flujo del programa que simula la cinética de secado
para placas de puré de papa.
Los parámetros de simulación son el coeficiente local de transferencia de masa en la
película gaseosa (kg) y los parámetros a y b que definen el coeficiente interno de
transferencia de masa (Di) como función exponencial del tiempo.
Los valores experimentales que se requieren son:
A: el área;
Lo : el espesor inicial;
mo : la masa inicial de agua en la placa;
me: la masa de agua en equilibrio;
pe= la densidad en el equilibrio;
mss: la masa de sólido seco.
Se requiere calcular:
Ch : la cantidad de agua a evaporar por unidad de volumen
Le :el espesor de la placa en equilibrio
Cc: la concentración de agua en el núcleo húmedo

=============================================================================
Para calcular el espesor del núcleo húmedo (Lc) a cualquier tiempo (k), recurrimos al
método numérico de aproximaciones sucesivas de Newton de segundo orden.
)(''
)('2
)(
)('
)(
o
o
o
o
o
c
c
c
c
c
coc
lf
lf
lf
lf
lf
ll


(13)
 
 
0
2
0
0
0
LbC
CkL
a
bC
Ck
LL
L
kL
aeeLf
h
cge
h
cg
c
gebtCk
LLbC
c
cg
ch














(14)
 
0
2
0
1
LbC
CkL
aLLDipLf
h
cge
cc 














 


 aqpLf c * : función matemática
cg
h
Ck
bC

0L
kL ge
  tbaDi *60*exp
  0*exp Lxp   








1
* 0 xLDiq
 


 aqpLf c * : %la funcion matematica
Dónde:
F’(lc) y F’’(lc) son la primera y segunda derivadas de F(lc), respectivamente.
Formulario

=============================================================================
Programa
kg=str2double(get(handles.edit1,'string'));
a=str2double(get(handles.edit2,'string'));
b=str2double(get(handles.edit3,'string'));
Ar=str2double(get(handles.edit4,'string'));
Lo=str2double(get(handles.edit5,'string'));
mo=str2double(get(handles.edit6,'string'));
me=str2double(get(handles.edit7,'string'));
mss=str2double(get(handles.edit8,'string'));
de=str2double(get(handles.edit9,'string'));
t=str2num(get(handles.edit10,'string')); % para varios valores
n=length(t);
%Calculus: Ch, Le, Cc, alfa y beta
Din = mo/(Ar*Lo);
Ch = Din*(mo-me)/mo;
Le = me/(de*Ar);
Dss = mss/(Ar * Le);
xo = (mo - mss)/mss;
Cc = Dss*xo;
alfa = b*Ch/(kg * Cc);
beta = Le*kg / Lo;
%Cálculo del contenido de humedad en función del tiempo
for k=1:n
% t(k)*60; % conversión de tiempo de min a s
Di = a*exp(b*t(k)*60);% Calculo de Di y conversión min a s
tiempo = t(k);
%METODO DE NEWTON RAPHSON DE SEGUNDO ORDEN
lcv = Lo; %Aproximación inicial de la raíz

=============================================================================
e=0.000001;
ea=1000;
it=0; % iteracion
while ea>e
p = exp(alfa*(lcv-Lo));
q = Di + beta*(Lo-lcv+1/alfa);
f = p*q-a-beta/alfa; % funcion
DF = p*(alfa*q-beta); % derivada de funcion
DDF = p*(alfa^2*q-2*alfa*beta); % segunda derivada de funcion
% lcn = lcv-f/(DF-f*DDF/(2*DF));
lcn=lcv-(f*DF)/((DF^2)-(f*DDF)); % algoritmo de Newton
ea= abs(((lcn-lcv)/lcv)*100);
lcv = lcn;
it=it+1;
end
%CALCULO DE HUMEDAD EN CADA TIEMPO
lc(k)=lcn;
Lc=lc(k);
m = me+(mo-me)*Lc/Lo;% Calculo de masa seca en cada tiempo
X= (m-mss)/mss; % Humedad en cada tiempo
% CALCULO DEL ENCOGIMIENTO DEL ESPESOR EN CADA TIEMPO
lc(k) = lcn;
L(k) = Le+(1-Le/Lo)*lc(k);
Dam = kg*(L(k)-lcn)/Di;
rpg(k) = 1/(1+Dam);
rcss(k) = Dam/(1+Dam);
valores ={tiempo m X L(k) };
hold on
axes(handles.axes1)
plot(tiempo,X,'r*')
xlabel('Tiempo (min)'),ylabel('Humedad (g agua/ 100g ms)')
grid on;
hold on
% Variacion de masa de agua
axes(handles.axes2)
plot(tiempo,m,'b*')
xlabel('Tiempo (min)'),ylabel('Masa de agua (g)')
grid on;
hold on
% Grafico de variacion de espesor
axes(handles.axes3)

=============================================================================
plot(tiempo,L(k),'g*')
xlabel('Tiempo (min)'),ylabel('espesor de nucleo (m)')
grid on;
k=k+1;
end
close
Ejecucion del programa
2.10.1 Ejercicios propuestos
1. Problema: Transporte de un fluido no Newtoniano: Se desea calcular la
velocidad y caudal másico con el que circula un puré de manzana que se transporta
a través de una tubería de 15 cm de diámetro interno, a una temperatura de 20ºC. la
distancia total que debe recorrer el puré es de 300 m, existiendo entre los puntos de
salida y llegada una caída de presión de 250 kPa, estando el punto de llegada a 5 m
por encima del punto de salida. A la temperatura de trabajo, el puré sigue la ley de
potencia, con un índice de consistencia de 2,4 Pa.sn
y un índice de comportamiento
al flujo de 0,44, siendo su densidad de 1200 kg/m3
.
Solución
El número de Reynold crítico correspondiente a este flujo se obtiene de la ecuación:
 

















n
nCrítico
n
n
n
1
2
2
2
1
31
6464
Re
Las pérdidas de energía mecánica se obtienen al aplicar la ecuación de Bernoulli entre los
puntos de entrada y salida es:

=============================================================================
z
P
Ef 

 

Se asume una velocidad a partir del cual se evalúa el valor del módulo de Reynolds
generalizado
n
n
n
n
G v
n
n
k
d 
 






 2
1
31
4
8
Re

n
n
n
n
n
k
d
C 






 
31
4
8 1

n
G vC 
 2
*Re
Calculamos el factor de fricción
G
f
Re
16

n
vC
f 
 2
*
16
A partir de f y velocidad de circulación, se determina la velocidad
2/1
4fL
2







f
m
Ed
v
 







n
f
m
vC
Ed
v
2
2
*
16
*L*4
2
 
 16*L*4
**2 2
2
n
f
m
vCEd
v


La función matemática a iterar para determinar velocidad es:
 
 
0
16*L*4
*2
)( 22
 nf
v
CEd
vvf
Calculo de flujo de circulación
2. Problema de transferencia de calor por convección: Se desean calentar 12000
kg/h salsa de tomate desde 18°C hasta 75°C, utilizando un intercambiador de calor
de tubos concéntricos. El tomate circula por el interior de un tubo de acero inoxidable

=============================================================================
AISI 304 de 2 pulgadas estandar, mientras que por el exterior condensa vapor de agua
saturado a 105 °C. Si se pueden despreciar las resistencias que a la transmisión de
calor ofrece la película de condensado y la pared del tubo, calcular la longitud que
debe tener el intercambiador para llevar a cabo el citado calentamiento. Problema
14.1 Barboza Canovas
Datos: Propiedades del tomate triturado, en el intervalo de temperatura de operación:
calor específico 3,98 KJ/Kg°C, Conductividad térmica 0,5 W/m°C, Densidad 1033
Kg/m3
. La viscosidad varía con la temperatura según la expresión
)/4000exp(1075,1 4
Tx 
 mPas, en la que T es la temperatura absoluta.
Dimensiones del tubo de acero de 2”: diámetro interno 5,25 cm. Diámetro externo 6,03
cm.
Supóngase que el coeficiente global de transmisión de calor varía linealmente con la
temperatura.
De las Tablas de vapor saturado de agua para tv=105ºC, calor latente de vaporización es:
kgkJCv /2242105 
El calor de condensación de vapor es cedido al tomate para aumentar su temperatura
desde 18ºC hasta 75ºC.
   esffvc ttCpww 
    CCkgkJhkg
kg
kJ
wc º1875º/98,3/12002242 





hkgwc /2,1214
Según el enunciado del problema se puede despreciar la resistencia que la capa de
condensado y la pared ofrecen a la transmisión de calor, por lo que: U=hi

=============================================================================
Como el coeficiente global de transmisión de calor varia linealmente con la temperatura:
U = a+bt, el caudal de calor que atraviesa la sección lateral del tubo metálico será:
   mtcmtc TUdLTUAQ  
 










21
12
2112
TU
TU
Ln
TUTU
TU mtc
11 hU  CtTT cv º87181051 
22 hU  CtTT sv º30751052 
Para el cálculo de los coeficientes individuales de transmisión de calor, se utilizará la
ecuación de Sieder-Tate:
   
14,0
33,08,0
PrRe
027,0







wd
k
h


Calculo de la densidad de flujo de la corriente de tomate:
2
1
4
d
w
G


  sm
kg
s
h
m
hkg
G
.
8,1539
3600
1
10*25,5*
/12000*4
2222



La temperatura en la pared metálica coincidirá con la de condensación de vapor, ya que
no existe resistencia de la pared metálica y de la capa de condensado: Tw=tv=105ºC.
Para el cálculo de Re, Pr, hi y h2, es preciso conocer los valores de la viscosidad a las
temperaturas correspondientes. Para ello se utilizará la expresión:
)/4000exp(1075,1 4
Tx 

En la tabla siguiente se hallan recogidos los valores de Re, Pr y μ calculados a partir de
las ecuaciones anteriores:
Puede observarse que la entrada Re1=496, por lo que para el cálculo de h1 se debe utilizar
una expresión para flujo laminar:

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