Funciones

1. Prof. Carlos Mario Calle

2. JUSTIFICACIÓN
Las funciones exponenciales son
una de las familias
de funciones más importantes en
las matemáticas
por la gran cantidad de
aplicaciones que tienen..

3. Pre-prueba
A. Traza la gráfica las
siguientes de funciones
exponenciales
1
1. ( ) 2
2. ( ) 5
1
3. ( )
3
4. ( ) 3
5. ( )
x
x
x
x
x
f x
f x
f x
f x
f x e



 
  
 


B. Resuelve las siguientes
de ecuaciones exponenciales
3 6 3
1. 2 2x x 

4 2 4
2. 3 3x x  

1
3. 9 3x x

Funciones Exponenciales

4. Definición de una función exponencial
•La x puede asumir cualquier valor real por lo que
el dominio de las funciones exponenciales es el
conjunto de los números reales,  , .R   
•Como la los resultados al evaluar
las funciones exponenciales son números positivos
por lo tanto el alcance será,
0 y 1b b 
 0, .A  
•Sea un número real. A una
función de la forma ( ) x
f x b
.b
0 1b y b 
•Si la función será una función
constante, que no es exponencial.
( ) 1f x 1b 
Funciones Exponenciales

5. “Estas funciones se conocen como funciones
exponenciales porque el exponente es variable.”
Ejemplos de funciones exponenciales
1. ( ) 3
2. ( ) 4
2
3. ( )
3
4. ( ) 5
5. ( ) 10
x
x
x
x
x
f x
f x
f x
f x
f x 


 
  
 


Funciones Exponenciales

6. Ejemplos:
Traza la gráfica de las siguientes funciones
exponenciales.
1. ( ) 3
2. ( ) 2
1
3. ( )
2
2
4. ( )
3
5. ( ) 10
x
x
x
x
x
f x
f x
f x
f x
f x 


 
  
 
 
  
 

Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Gráficas de funciones exponenciales
Funciones Exponenciales

7. -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
x
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
x
1. ( ) 3x
f x 
x f(x)
0
1
2
1
2


1
3
9
1
3
1
9
Ejercicios
Observe el dominio y el alcance en la gráfica. Observe también que si los
valores de x tienden a menos infinito, los valores de la función
tienden a 0.
,x  
Funciones Exponenciales

8. -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
x
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
x
2. ( ) 2x
f x 
x f(x)
0
1
2
3
1
2


1
2
4
1
2
1
4
8
Ejercicios
Funciones Exponenciales

9. -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
x
1
3. ( )
2
x
f x
 
  
 
x f(x)
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
x
0
1
2
1
2


1
2
4
1
2
1
4
Ejercicios
Funciones Exponenciales

10. -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x f(x)
0
1
2
1
2


1
3
2
9
4
2
3
4
9
2
4. ( )
3
x
f x
 
  
 
Ejercicios
Funciones Exponenciales

11. 5. ( ) 10 x
f x 

x f(x)
0 1
10
100
1
10
1
100
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ejercicios
Funciones Exponenciales
1
2
1
2

12. Resumen de las propiedades de las funciones
exponenciales
1.Las funciones exponenciales pasan por el punto
(0,1).
2. Si b > 0 la función es creciente.
3. Si b < 0 la función es decreciente.
4. El eje de x es una asíntota horizontal.
5. El dominio es el conjunto de los números reales.
6. El alcance es el conjunto de números reales
positivos.
7. Las funciones exponenciales son uno a uno.
Funciones Exponenciales

13. Transformaciones de las funciones exponenciales
Al igual que las funciones estudiadas anteriormente
podemos transformar las funciones exponenciales
variando sus parámetros (números) para producir
traslaciones, reflexiones, estiramientos y
contracciones. Las funciones que resultan de estas
transformaciones se conocen como funciones de
forma exponencial. Veremos algunos ejemplos a
continuación.
Funciones Exponenciales

14. Traza la gráfica de las siguientes funciones.
1
1
2
1. ( ) 3 2
2. ( ) 2
1
3. ( ) 2
2
2
4. ( ) .5
3
5. ( ) 2 2
6. ( ) 2
x
x
x
x
x
x
f x
f x
f x
f x
f x
f x

 

 

 
  
 
 
  
 
  

Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Transformaciones de las funciones exponenciales
Solución
Funciones Exponenciales

15. -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1. ( ) 3 2x
f x  
x f(x)
0
1
2
1
2


3
5
11
1
2
3
1
2
9
( ) 3x
f x 
( ) 3 2x
f x  
Ejercicios
Funciones Exponenciales

16. -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2. ( ) 2x
f x 

x f(x)
0
1
2
3
1
2


1
2
4
1
2
1
4
1
8
Ejercicios
Funciones Exponenciales

17. -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x)
x
1
3. ( ) 2
2
x
f x
 
  
 
x f(x)
0
1
2
3
1
2


1
1
2
4
2
1
4
8
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x)
x
Ejercicios
Funciones Exponenciales

18. -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x)
x-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x)
x
2
4. ( ) .5
3
x
f x
 
  
 
x f(x)
0
1
2
1
2
3



1
3
2
9
3
4
1
2
9
8
27
16
Ejercicios
Funciones Exponenciales

19. -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x)
x
1
5. ( ) 2 2x
f x  
  
x f(x)
0
1
2
1
2
3



9
4

17
8

3
5
2

4
6
Ejercicios
Funciones Exponenciales

20. x y
-2
-1
0
1
2
1/8
1/2
1/4
1
1/16
2
6. ( ) 2x
f x 

2 2
. ( 2) 2a f  
  
1 2
. ( 1) 2b f  
  
0 2
. (0) 2c f 
 
1 2
. (1) 2d f 
 
2 2
. (2) 2e f 
 
4
2
 4
1 1
162

3
3
1 1
2
82

 
2
2
1 1
2
42

 
1
1
1 1
2
22

 
0
2 1
3 2
. (3) 2f f 
  1
2 2
3 2
Ejercicios
Funciones Exponenciales

21. 2
( ) 2x
f x 

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x y
-2
-1
0
1
2
1/8
1/2
1/4
1
1/16
3
4
2
3
Ejercicios

22. RESOLVER ECUACIONES EXPONENCIALES IGUALANDO LAS BASES.
LAS FUNCIONES EXPONENCIALES SON FUNCIONES UNO A UNO, POR
LO TANTO SI Y SOLO SI X = Y .
ESTA PROPIEDAD NOS PERMITE RESOLVER ECUACIONES
EXPONENCIALES IGUALANDO LAS BASES. O SEA SI LAS BASES SON
IGUALES ENTONCES LOS EXPONENTES SON IGUALES.
x y
a a
Ejemplos:
Resuelve las siguientes ecuaciones.
3 8 2
1. 2 2x x 

4 6
2. 3 3x x 

1
3. 27 3x x

Solución
Solución
Solución
Funciones Exponenciales

23. 6 10 1
2 3
6.
3 2
x x 
   
   
   
2
4 2 1
7.
x
x
e
e

  
  
 
2 2
2 5
8. 4 2x x x 

4 2
21
4. 2
2
x
x

 
 
 
2 2
5. 16
64
x
x

 
  
 
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Funciones Exponenciales

24. 3 8 2
1. 2 2x x 

3 8 2x x  
3 2 8x x   
2 6x 
3x 
 C.S 3
Ejercicios
Verificación
  23833
22 

189
22 
22 
Funciones Exponenciales

25. 4 6
2. 3 3x x 

4 6x x  
4 6x x 
5 6x 
6
5
x 
6
C.S
5
 
  
 
Verificación
5
66
5
6
4
33







5
6
5
30
5
24
33


5
6
5
6
33


Ejercicios
Funciones Exponenciales

26. 1
3. 27 3x x

 3 1
3 3
x x

3 1x x 
2 1x 
1
2
x 
1
C.S
2
 
  
 
Verificación
1 1
1
2 2
27 3


3 3
2 2
3 3
 
31
3 223 3
Ejercicios
Funciones Exponenciales

27. 4 2
21
4. 2
2
x
x

 
 
 
 
4 21 2
2 2
x x 

4 2 2
2 2x x  

4 2 2x x   
5 4x  
4
5
x 
4
C.S
5
 
  
 
Ejercicios
Funciones Exponenciales

28. 2 2
5. 16
64
x
x

 
  
 
   
2
4 5
2 2
x x

2
4 5x x 
2
4 5 0x x 
 4 5 0x x  
0 4 5 0x x  
5
4
x  
5
C.S. = 0,
4
 
 
 
Ejercicios
Funciones Exponenciales

29. 6 10 1
2 3
6.
3 2
x x 
   
   
   
16 10 1
2 2
3 3
xx  
    
          
6 10 1x x   
7 11x  
11
7
x  
6 1 10x x   
11
C.S.=
7
 
 
 
Ejercicios
Funciones Exponenciales

30. 2
4 2 1
7.
x
x
e
e

  
  
 
4 2 2x x  
4 2 2x x  
 4 2 2x x   
4 2 2x x   
3 0x 
0x 
4 2 2x x   
4 2 2x x    
5 4x  
4
5
x 
4
C.S.= 0,
5
 
 
 
Ejercicios
Funciones Exponenciales

31. 2 2
2 5
8. 4 2x x x 

 
2
222 5
2 2
x x x 

2 2
2 4 5x x x  
2 2
2 4 5 0x x x   
2
4 5 0x x  
  5 1 0x x  
5 0 1 0x x   
5 1x x  
 C.S. 5,1 
Ejercicios
Funciones Exponenciales

32. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES
LAS FUNCIONES EXPONENCIALES TIENEN MUCHAS
APLICACIONES EN CIENCIAS, MATEMÁTICAS, COMERCIO Y
EN OTRAS DISCIPLINAS. VEREMOS AQUÍ ALGUNAS DE
ESAS APLICACIONES.
1
es la cantidad acumulada o valor futuro
es el principal de la inversión
es la tasa de interés anual
es el número de periódos de tiempo por año
es el número años
ntr
A P
m
A
P
r
n
t
 
  
 
1. Fórmula de interés compuesto
Funciones Exponenciales

33. 2. Fórmula de interés continuo
es la cantidad acumulada o valor futuro
es el principal de la inversión
es el interés anual
es el número de años de la inversión
itA Pe
A
P
i
t

3. Fórmula de crecimiento y decaimiento exponencial
  0
0
es la cantidad acumulada luego de un tiempo t
es la cantidad inicial
es la constante de crecimiento o decaimiento,
es el tiempo
Si 0 hay crecimiento o aumento en el valor de ,
ktA t A e
A
A
k
t
k A


si 0 elvalor de decae o decrece.k A
Funciones Exponenciales

34. 4. Fórmula de enfriamiento de Newton
   0
0
, 0
es la temperatura del objeto en un tiempo t
es la temperatura del medioambiente
es la temperatura inicial del objeto
es el tiempo
es una constante negativa
ktu t T u T e k
u
T
u
t
k
   
5. Fórmula de crecimiento logístico
 
 
1
es la población en un tiempo t
, , son constantes, 0, 0
es el tiempo en años
es la capacidad de crecimiento pues lim
t
c
P t
btae
P
a b c c b
t
c P t c



 

Funciones Exponenciales

35. Resuelve el ejercicio.
1) Una muestra de 700 gramos de plomo 210 decae a polonio 210 de acuerdo a la
siguiente función, A(t) = 700e-0.032t, donde t es el tiempo en años. Encuentra la
cantidad de plomo 210 en la muestra luego de 60 años. (redondea a gramos)
A) 103g B) 64g C) 4775g D) 75g
2) Una muestra de 900 gramos de plomo 210 decae a polonio 210 de acuerdo a la
siguiente función, A(t) = 900e-0.032t, donde t es el tiempo en años. Encuentra la
cantidad de plomo 210 en la muestra luego de 100 años. (redondea a gramos)
A) 37g B) 56g C) 22,079 g D) 27g
3) Desde 1950, el crecimiento de la población mundial en millones de personas puede
ser aproximada por la función exponencial A(t) = 2600e0.018t, donde t es el número de
años desde 1950. Estima la población en el año 2003 al millón más cercano.
A) 6,629 millones B) 6,872 millones
C) 6,750 millones D) 36,152,864 millones
4) Desde 1950, el crecimiento de la población mundial en millones de personas puede
ser aproximada por la función exponencial A(t) = 2600e0.018t, donde t es el número de
años desde 1950. Estima la población en el año 2015 al millón más cercano.
A) 8,228 millones B) 8,529 millones C) 8,377 millones D) 313,486,458 millones
Funciones Exponenciales

36. Encuentra el valor futuro de un principal P invertido durante m años a una tasa
de interés nominal anual r y compuesto como se indica. Redondea a dos lugares
decimales.
5) P = $1,000, m = 10, r = 7% compuesto anual
A) $1,967.15 B) $1,838.46 C) $2,104.85 D) $967.15
6) P = $1,000, m = 4, r = 9% compuesto semianual
A) $422.1 B) $1,411.58 C) $1,360.86 D) $1,422.10
7) P = $480, m = 2, r = 17% compuesto trimestralmente
A) $189.65 B) $642.35 C) $669.65 D) $657.07
8) P = $12,000, m = 8, r = 8% compuesto trimestralmente
A) $22,171.07 B) $22,211.16 C) $10,614.49 D) $22,614.49
Encuentra el valor presente de una cantidad A compuesto a una tasa de interés r por t
años. Redondea a centavos.
9) A = $5,600, t = 3, r = 8% compuesto anual
A) $7,938.32 B) $1,154.54 C) $4,445.46 D) $4,801.10
10) A = $10,500, t = 3, r = 4% compuesto semianual
A) $8,889.96 B) $9,707.84 C) $1,165.54 D) $9,334.46
Funciones Exponenciales

37. 11) A = $6,500, t = 8, r = 13% compuesto trimestral
A) $2,445.04 B) $2,411.69 C) $2,335.78 D) $4,164.22
12) A = $10,000, t = 4, r = 18% compuesto mensual
A) $4,893.62 B) $2,500.00 C) $8,363.87 D) $11,956.18
Resuelve el ejercicio.
13) La media vida del silicón-32 es 710 años. Si tenemos una muestra de 30 gramos. ¿Qué
cantidad habrá luego 300 años?
A) 22.383 B) 0 C) 29.134 D) 1.604
14) La media vida del silicón-32 es 710 años. Si tenemos una muestra de 40 gramos. ¿ Qué
cantidad habrá luego 300 años?
A) 29.845 B)0 C) 38.845 D)2.138
15) Un tronco fosilizado contiene un 28% de la cantidad normal de
carbono-14. ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida del
carbono 14.
A) 26,873 B)2649 C) 34,489 D) 10,266
16) Un tronco fosilizado contiene un 30% de la cantidad normal de
carbono- 14. ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida del
carbono-14.
A) 27,429 B)2876 C) 34,262 D)9709

38. 17) Un tronco fosilizado contiene un 13% de la cantidad normal de
carbono-14. ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida del
carbono 14.
A) 20,685 B) 1123 C) 36,015 D) 16,453
18) Un termómetro con una lectura de 11°C se ubica en un salón con una temperatura
constante de 20°C. Si el termómetro tiene una lectura de 17°C luego de 6 minutos,
encuentra la lectura del termómetro luego de estar en el salón durante 10 minutos.
A) 7.91°C B) 18.56°C C) 21.44°C D) 20°C
19) Un termómetro con una lectura de 13°C se ubica en un salón con una temperatura
constante de 20°C. Si el termómetro tiene una lectura de 18°C luego de 6 minutos,
encuentra la lectura del termómetro luego de estar en el salón durante 9 minutos.
A) 11.350C B) 18.93°C C) 21.07°C D) 20°C
20) Un carnicero guarda una carne cuya temperatura es de 98°F colocándola en una
nevera con una temperatura constante de 35°F. Si la temperatura de la carne bajó a 91°F
en 5 minutos, ¿ Cuánto tiempo le tomará a la carne alcanzar una temperatura de 52°F?
Ley de enfriamiento de Newton:
U = T + (U0 – T)ekt : T = Ta + (T0 - Ta)ekt.
A) 18 minutos B) 56 minutos C) 3 minutos D) 16 minutos

39. 21) La ecuación de crecimiento logístico P(t) =
modela la población de cierto tipo de bacterias en un plato de cultivo luego de t horas.
¿Cuánto tardará en que el número de bacterias sea de 620?
A) 2.86 horas B) 11.77 horas C) 8.61 horas D) 6.02 horas
0.348t
 e301
930
22) La ecuación de crecimiento logístico P(t) =
representa la población de una especie introducida en un nuevo territorio luego de t
años. Encuentra la población luego de 20 años de introducida la especie.
A) 178 B) 102 C) 240 D) 113
0.189t
 e591
240

40. Resuelve el ejercicio. Redondea a tres lugares.
23) Encuentra la tasa de interés anual que se requiere para duplicar una
inversión en 4 años.
A) 18.921% B) 17.329% C)9.46% D)31.607%
24) Encuentra el tiempo que se requiere para duplicar una inversión si la tasa de
interés es de 5.25% compuesto continuo.
A) 14.114 años B) 20.926 años C) 6.601 años D) 13.203 años
25) Encuentra el tiempo que se requiere para triplicar una inversión si la tasa de
interés es de 7.25% compuesto continuo.
A) 16.362 años B) 9.561 años C)7.577años D) 15.153 años

41. Post-prueba
A. Traza la gráfica las
siguientes de funciones
exponenciales
1
1. ( ) 2
2. ( ) 5
1
3. ( )
3
4. ( ) 3
5. ( )
x
x
x
x
x
f x
f x
f x
f x
f x e



 
  
 


B. Resuelve las siguientes
de ecuaciones exponenciales
3 6 3
1. 2 2x x 

4 2 4
2. 3 3x x  

1
3. 9 3x x

Funciones Exponenciales

42. -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
x
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
x
1. ( ) 2x
A f x 
x f(x)
0
1
2
3
1
2


1
2
4
1
2
1
4
8
Respuestas de la pre y post- prueba
Funciones Exponenciales

43. x f(x)
0
1
2
1
2


1
1
5
1
25
5
25
2. ( ) 5x
A f x 
                  



















y
x
Funciones Exponenciales

44. 1
3. ( )
3
x
A f x
 
   
 
x f(x)
                  


















y
x
0
1
2
1
2


1
3
9
1
3
1
9
Funciones Exponenciales

45.         









x f(x)
0
1
2
1
3

1
3
1
9
9
1
3
1
4. ( ) 3x
A f x 
 
Funciones Exponenciales

46.                   



















y
x
x f(x)
0
1
2
1
2


1
1
e
2
1
e
e
2
e
5. ( ) , 2.71x
A f x e e  
Funciones Exponenciales

47. 3 6 3
1. 2 2x x
B  
 
3
2
x 
4 2 4
2. 3 3x x
B   
 
1
3. 9 3x x
B 
 
2
5
x  
1x 
Funciones Exponenciales

49. DEFINICIÓN
  1y0,  bbbxf x
La función f definida por:
Se llama función exponencial con base b.

50. GRÁFICA
  2x
xf 
x 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3 8
x
f(x)
-2 -1 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8

51. GRÁFICA
 
2
1
x
xf 






x (½)x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 ½
2 ¼
x
f(x)
-2 -1 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
-3

52. EN GENERAL:
  x
bxf 
21
21Si xx
bbxx  21
21Si xx
bbxx 
 
   

,0fRan
RfDom
Si b > 1
x
f(x)
x
f(x)
Si 0 < b < 1

53. FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL:
Es la función exponencial cuya base es igual a
“e”, donde e = 2.71828…
x ex
-2 0.14
-1 0.37
0 1
1 2.72
2 7.39
3 20.01
x
f(x)
-2 -1 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8

54.  ¿A qué exponente debe elevarse 10 para
producir los números:
a. 1000 ?
b. 0,001 ?
c. -1000 ?
d. 50 ?
PREGUNTA DE REFLEXIÓN
Función Logarítmica: Introducción

55. y = log x significa 10y = x
LOGARITMO COMÚN (EN BASE 10)
Ejemplos:
log 1=
log 0,01 =
log 10 =
0, Porque 100=1
-2, Porque 10-2=0,01
½ , Porque 101/2 = 10

56. y = ln x significa ey = x
LOGARITMO NATURAL COMÚN (BASE E)
Ejemplos:
ln 1=
ln 10 =
ln ek =
0, Porque e0=1
2,3025… Porque e2,3025…=10
k , Porque ek = k

57. y = loga x significa ay = x
LOGARITMO EN BASE “A”
 donde a: base
y: exponente

58. FORMA
EXPONENCIAL LOGARÍTMICA
•32 = 9
•4-3 = 1/64
•(1/5)-2 = 25
•103 = 1000
•e0 = 1
•log3 9 = 2
•log4 (1/64) = -3
•log1/5 25 = -2
•log 1000 = 3
•ln 1 = 0

59. La función logaritmo de base a, donde a > 0 y
a  1, se define como:
FUNCIÓN LOGARITMO
f(x) = logax
Observación:
1. Si x1  x2 , entonces loga x1  loga x2
2. Si loga x1= loga x2, entonces x1= x2

60. 1/2 1 2 4
2
1
1/2
0
-1
-2
y = 2x
y = log 2x
x y
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
.
.
.
.
GRÁFICAS DE Y = 2X, Y = LOG2 X

61. GRÁFICAS DE Y = EX, Y = LNX
              










x
y
              










x
y

62. .1/2 1 2 4
2
1
1/2
0
-1
-2
y = (1/2)x
y = log1/2x
x y
1/4 2
1/2 1
1 0
2 -1
4 -2
.
.
.
GRÁFICA DE Y = LOG1/2 X

63. 1 b
b
1
y = bx
y = log bx
De la gráfica:
loga1 = 0
logaa = 1
loga0 no definido
logax < 0 si x<1
logax > 0 si x>1
Es creciente
GRÁFICA DE Y = LOGAX PARA A >1

64. FUNCIÓN EXPONENCIAL
1. Graficar: y = e-x
2. Graficar: y = ex+2
3. Graficar: y = ex + 3
t
eP 05.0
000,100
4. La población proyectada P de una ciudad
está dada por:
Donde t es el número de años después
de 1990. Pronosticar la población para el
año 2010.

65. FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Graficar las siguientes funciones, indicando su
dominio y rango:
1. y = ln(x-3)
2. y = ln(-x)
3. y = ln(x+1) – 2
4. y = -ln(x+3) + 1