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EXTENSIÓN MATURÍN
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METODOS DE APROXIMACIÓN
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DIFERENCIALES
Comentemos en primer lugar, que el método de Euler es muy interesante como punto de
partida en la resolución numérica de ecuaciones diferenciales ya que es muy simple y
permite comprender el resto de los métodos, pero a efectos prácticos se aplica en
contadas ocasiones, pues converge muy lentamente hacia la solución.
El valor de yk lo encontraremos del valor anterior yk−1. Por tanto, estamos ante un
método de un solo paso. Consiste en dividir el intervalo [t0, t0 + α] en N partes iguales,
EL METODO DE EULER
Si aplicamos la definició
n de derivada
deducimos que para h “suficientemente pequeño
Por tanto,
La igualdad nos sugiere el cálculo de los yk mediante la ley de recurrencia,
partiendo de y(0) = y0. La ley se conoce como el método de Euler.
METODOS DE TAYLOR DE ORDEN SUPERIOR
El método de Euler lo hemos deducido de la definición de derivada, pero también
puede obtenerse a partir del desarrollo de Taylor de orden n = 1 de la función y(t) en el punto
tk. Podemos encontrar un método que mejore la solución del problema , si el desarrollo de
Taylor se extiende hasta el orden n.
Si la función f (t, y) es “suficientemente regular”, entonces podemos calcular las
derivadas sucesivas de y(t). En efecto,
El método de Taylor de orden n consiste en calcular yk aplicando la fórmula siguiente:
Notemos que el método de Euler es un caso particular del método de Taylor, para n = 1.
Aplicar el método de Taylor de orden 2 para calcular el valor aproximado de y(1) del
problema de valores iníciales
Con un paso h = 0.1. En la Tabla 13.2, pueden verse los resultados de aplicar la fórmula de
orden dos.
EJEMPLOS
MÉTODO DE EULER MEJORADO
Con el objetivo de evitar los inconvenientes comentados en el método de Taylor,
fundamentalmente el tener que calcular las derivadas de f (t, y) de orden superior, presentamos
este nuevo método conocido con el nombre de Euler mejorado, que esta basado en las
formulas de integración numérica.
Si integramos la ecuación diferencial
y1 = f (t, y) , y(t0) = y0 ,
desde t0 hasta t1 = t0 + h, obtenemos
Podemos pensar que el error cometido disminuir 'a si la integral anterior por el promedio de
sus dos valores en los extremos del intervalo (método del trapecio). En este caso
El problema es encontrar el valor de y(t1). Ahora bien, podemos reemplazar y(t1) por el
valor aproximado aportado por el método de Euler, que representaremos por z1 = y0 + hf (t0,
y0). Finalmente tenemos
En general
donde
Este método se conoce con el nombre de método de Euler mejorado, predice primero y
corrige después una estimación de yk.
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO
ORDEN
El método anterior de Euler mejorado, es un caso particular de otro método más
general conocido con el nombre de Runge-Kutta. Consiste en obtener una aproximación
diferente de la integral definida,
Donde
Demostrar de forma rigurosa este método se encuentra fuera de los objetivos del
curso, por esta razón haremos un desarrollo intuitivo del mismo. En primer lugar,
necesitamos estimar los valores yk+1/2 e yk+1. Aplicando el método de Euler
con m1 = f (tk, yk). Para corregir esta estimación de yk+1/2, lo hacemos de la siguiente manera
Para predecir yk+1 hacemos uso de la ultima estimación de yk+1/2 y el método de
Euler
donde m3 = f (tk + h/2, yk + m2h/2). Por ultimo hacemos
El método de Runge-Kutta se obtiene sustituyendo cada una de estas estimaciones en
donde
Este método es capaz de conseguir precisiones altas sin tener que tomar el paso h tan
pequeño como para hacer excesiva la tarea de cálculo.

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Métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales

  • 1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPÙLAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA CIENCIA Y TECNOLOGÍA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” EXTENSIÓN MATURÍN Br. Javier Montilla Profesor: Manuel Maturín, Julio del 2021 METODOS DE APROXIMACIÓN NUMERICA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
  • 2. Comentemos en primer lugar, que el método de Euler es muy interesante como punto de partida en la resolución numérica de ecuaciones diferenciales ya que es muy simple y permite comprender el resto de los métodos, pero a efectos prácticos se aplica en contadas ocasiones, pues converge muy lentamente hacia la solución. El valor de yk lo encontraremos del valor anterior yk−1. Por tanto, estamos ante un método de un solo paso. Consiste en dividir el intervalo [t0, t0 + α] en N partes iguales, EL METODO DE EULER Si aplicamos la definició n de derivada deducimos que para h “suficientemente pequeño
  • 3. Por tanto, La igualdad nos sugiere el cálculo de los yk mediante la ley de recurrencia, partiendo de y(0) = y0. La ley se conoce como el método de Euler.
  • 4. METODOS DE TAYLOR DE ORDEN SUPERIOR El método de Euler lo hemos deducido de la definición de derivada, pero también puede obtenerse a partir del desarrollo de Taylor de orden n = 1 de la función y(t) en el punto tk. Podemos encontrar un método que mejore la solución del problema , si el desarrollo de Taylor se extiende hasta el orden n. Si la función f (t, y) es “suficientemente regular”, entonces podemos calcular las derivadas sucesivas de y(t). En efecto, El método de Taylor de orden n consiste en calcular yk aplicando la fórmula siguiente:
  • 5. Notemos que el método de Euler es un caso particular del método de Taylor, para n = 1. Aplicar el método de Taylor de orden 2 para calcular el valor aproximado de y(1) del problema de valores iníciales Con un paso h = 0.1. En la Tabla 13.2, pueden verse los resultados de aplicar la fórmula de orden dos. EJEMPLOS
  • 6. MÉTODO DE EULER MEJORADO Con el objetivo de evitar los inconvenientes comentados en el método de Taylor, fundamentalmente el tener que calcular las derivadas de f (t, y) de orden superior, presentamos este nuevo método conocido con el nombre de Euler mejorado, que esta basado en las formulas de integración numérica. Si integramos la ecuación diferencial y1 = f (t, y) , y(t0) = y0 , desde t0 hasta t1 = t0 + h, obtenemos Podemos pensar que el error cometido disminuir 'a si la integral anterior por el promedio de sus dos valores en los extremos del intervalo (método del trapecio). En este caso
  • 7. El problema es encontrar el valor de y(t1). Ahora bien, podemos reemplazar y(t1) por el valor aproximado aportado por el método de Euler, que representaremos por z1 = y0 + hf (t0, y0). Finalmente tenemos En general donde Este método se conoce con el nombre de método de Euler mejorado, predice primero y corrige después una estimación de yk.
  • 8. MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN El método anterior de Euler mejorado, es un caso particular de otro método más general conocido con el nombre de Runge-Kutta. Consiste en obtener una aproximación diferente de la integral definida, Donde Demostrar de forma rigurosa este método se encuentra fuera de los objetivos del curso, por esta razón haremos un desarrollo intuitivo del mismo. En primer lugar, necesitamos estimar los valores yk+1/2 e yk+1. Aplicando el método de Euler con m1 = f (tk, yk). Para corregir esta estimación de yk+1/2, lo hacemos de la siguiente manera
  • 9. Para predecir yk+1 hacemos uso de la ultima estimación de yk+1/2 y el método de Euler donde m3 = f (tk + h/2, yk + m2h/2). Por ultimo hacemos El método de Runge-Kutta se obtiene sustituyendo cada una de estas estimaciones en donde Este método es capaz de conseguir precisiones altas sin tener que tomar el paso h tan pequeño como para hacer excesiva la tarea de cálculo.