2. Un sistema de coordenadas es un conjunto de
valores que permiten definir unívocamente la
posición de cualquier punto de un espacio
geométrico respecto de un punto
denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o
planos que confluyen en el origen y a partir de los
cuales se calculan las coordenadas de cualquier
punto, constituyen lo que se denomina sistema de
referencia.
Sistema de coordenadas
3. Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La primera
coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la
segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.
Las coordenadas polares son un sistema que definen la posición de un
punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia.
En muchos casos es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una
función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas
funciones en dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En
dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede
simplificarnos la vida.
4. Conversión de Coordenadas
La representación de un punto en el
plano o el espacio, se puede hacer
mediante diferentes sistemas de
coordenadas. En estos momentos nos
ocupan los sistemas de coordenadas
rectangulares y polares.
Es lógico pensar que existe una
equivalencia entre los diferentes sistemas,
en este caso nos ocuparemos de la
conversión del rectangular al polar y
viceversa.
.
5. Gráfica de una Ecuación Polar
La gráfica de una ecuación polar r =
f(θ) es el conjunto de puntos (x,y) para los
cuales x = r cos θ , y = r sen θ y r
= f (θ). En otros términos, la gráfica de
una ecuación polar es una gráfica en el
plano xy de todos los puntos cuyas
coordenadas polares satisfacen la
ecuación dada
Esto son algunos ejemplos
ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS
Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de
cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una
figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La
función para este gráfico es:
6. ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS
Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa
de tres pétalos. Analógicamente al gráfico de
la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es
parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en
su forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:
LA NEFROIDE DE FREETH
Esta es una curva muy reciente si
hablamos relativamente a las demás. Hay
curvas polares que tienen varios siglos de
existir, mientras que esta que trataremos
en este momento es bastante reciente,
pues fue desarrollada por el matemático
inglés T.J. Freeth, quien descubrió esta
curva en 1879. Un ejemplo se aprecia en
este gráfico:
7. ESPIRAL
Este gráfico tiene la forma de una espiral, tal como su nombre lo indica. La
espiral más simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre
sí misma. La forma de una espiral la vemos en una serpiente enrollada por
ejemplo.
El gráfico que se presenta a continuación es también conocido como Espiral
de Arquímedes, precisamente en honor Arquímedes, quien fue un notable
físico y matemático griego que al ser fascinado por la belleza de esta curva,
realizó un estudio profundo sobre sus propiedades matemáticas en su escrito
titulado Sobre las espirales, escrito en el siglo III antes de Cristo.
Para mostrar el gráfico que se forma, presentamos la siguiente función en
coordenadas polares que formará la espiral polar siguiente:
8. Interseccion de graficas de coordenadas polares
las coordenadas polares y observó una variedad de gráficas de las
mismas, el próximo paso consiste en extender las técnicas del cálculo al
caso de intersección de ecuaciones en dichas coordenadas polares, con el
propósito de buscar todos los puntos de dicha intersección.
Puesto que un punto puede representarse de formas diferentes en
coordenadas polares, debe tenerse especial cuidado al determinar los
puntos de intersección de dos gráficas polares, por lo que se sugiere
realizar el dibujo de las ecuaciones, inclusive cuando más adelante
calculemos el área de una región polar.
