Ecuaciones pendientes de Flexion

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL P.P. PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSION BARINAS
Participante: TSU. José Luis Peralta
C.I. 8.511.711
Esc: 42

2. MÉTODO DE LA DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS
El profesor de estructuras Hardy Cross inventó un método iterativo para resolver las
ecuaciones de equilibrio en función de los desplazamientos y rotaciones de las ecuaciones
pendiente deflexión y facilitar el análisis de estructuras con varios grados de libertad.
Debido a que este método es una solución a las ecuaciones del método de pendiente
deflexión, tiene las mismas limitaciones de este:
Se desprecian las deformaciones axiales de los elementos
Se desprecian las deformaciones por cortante
Estructuras construidas con materiales elásticos y que no salgan de este rango
Deformaciones pequeñas
Adicionalmente el método tiene sus propias limitaciones:
Solo trabaja con las ecuaciones de equilibrio rotacional en los nudos
No da una solución directa cuando están involucrados grados de libertad traslacionales
Se limita a determinar cómo es la distribución de los momentos en los elementos que llegan
a un nudo
No plantea ecuaciones de compatibilidad de deformaciones para grados de libertad
traslacionales
Sin embargo todas estas limitaciones el método revolucionó el análisis de estructuras en el
año 1930.
Sin embargo se realiza un repasemos un poco los pasos a seguir en el método de la rigidez
utilizando las ecuaciones pendiente deflexión:
1. Planteamiento de ecuaciones de equilibrio en los grados de libertad libres
2. Planteamiento de las ecuaciones pendiente deflexión: corresponden a expresar los
momentos de extremo de los elementos en función de unos momentos de
empotramiento perfecto y de los giros y desplazamientos de cada extremo del
elemento. La formulación de estas ecuaciones se hace partiendo de asumir el
elemento empotrado en sus dos extremos y de ir soltando cada grado de libertad y
corrigiendo estos momentos por estos posibles movimientos.
3. Se reemplazan las ecuaciones de pendiente deflexión en las ecuaciones de equilibrio
y se resuelve para los giros y desplazamientos.
4. Se encuentran los momentos de extremo en función de los giros y desplazamientos
hallados.

3. El método de solución iterativa de un sistema de ecuaciones: se asume que todas las
incógnitas menos una son iguales a cero, entonces se encuentra el valor de esta incógnita en
una de las ecuaciones. Este valor se reemplaza en las otras ecuaciones y se encuentra el
valor de las otras incógnitas cuando todas menos ella y la primera son iguales a cero. Los
valores encontrados representan una primera solución al sistema de ecuaciones planteado.
Estos valores vuelven a reemplazarse en la primera ecuación para encontrar un nuevo valor
de la primera incógnita, con el cual se vuelven a encontrar las otras incógnitas. En este
proceso iterativo los resultados cada vez van difiriendo en menor cantidad lo que nos indica
que nos acercamos a la respuesta que satisface todas las ecuaciones.
Teniendo presente este método iterativo podemos observar que él parte de asumir que todas
las incógnitas son cero menos una, en nuestro sistema esto indica que partiendo de
elementos empotrados en sus extremos, liberamos un solo grado de libertad de toda la
estructura, por ejemplo para una viga de dos luces sin considerar posibles desplazamientos
relativos, podríamos liberar el giro en b, θb, y encontramos el valor de ese giro necesario
para que se cumpla que la suma de momentos en B es cero, esto es, qué momento adicional
debo agregar en b para que se produzca un giro que equilibre el nudo, siempre que θa y θc
sean iguales a cero (empotramiento a ese lado).
Al aplicar el momento adicional en B se puede encontrar por medio de la ecuación de
equilibrio en B, el valor de θb. Con este valor puedo encontrar los momentos que se
generan en los extremos opuestos de los elementos manteniendo sus giros iguales a cero.
En este paso se ha hecho cumplir una de las ecuaciones de equilibrio (ΣMb=0) pero las
otras dos ecuaciones no se satisfacen. Se procede a soltar otro grado de libertad, por
ejemplo θa manteniendo los otros dos valores iguales a cero. Para satisfacer su ecuación de
equilibrio se debe aplicar un momento externo igual y de sentido contrario al momento
desequilibrado en ese nudo. Se encuentra el valor del giro debido a este momento y se
halla el momento del elemento en el extremo contrario B. Otra vez se desequilibró el nudo
B. Si analizamos de nuevo la estructura pero esta vez soltando el nudo B sometido al
momento contrario al generado en la segunda iteración estaríamos equilibrando el nudo B.
Este proceso continúa hasta que los momentos que tenemos que equilibrar en cada paso se
van haciendo menores.

4. Note que en este proceso cada iteración es independiente de la anterior y corresponde a una
corrección de los momentos finales en los extremos, por eso y por superposición los
momentos finales corresponden a la suma de los momentos generados en cada iteración.
Cuando tenemos una estructura con un nudo al cual le llegan varios miembros el proceso de
equilibrio en ese nudo nos lleva a repartir ese momento en todos los elementos, esa
repartición se hace de acuerdo con la rigidez a rotación de cada elemento. Mostraremos
con el siguiente ejemplo la forma en que se reparten los momentos en un nudo.
Grado de libertad libre= θb
Ecuaciones de equilibrio en el sentido del grado de libertad libre:
Ecuaciones pendiente deflexión:

5. Note que los momentos están dados solamente en función del giro en b ya que los otros
grados de libertad son cero.
Si llamamos al término
La rigidez rotacional del elemento a un giro, K, podemos expresar la ecuación de
equilibrio como:
Despejando para θb, tenemos:
Reemplazando en la ecuación de cada momento nos queda:
Notamos que el momento en el nudo se distribuye de acuerdo con la relación,
A la cual le damos el nombre de factor de distribución. Los factores de distribución de los
miembros que llegan a un nudo deben sumar uno. (Por qué?). El elemento que tenga mayor
rigidez tiene mayor factor de distribución por lo tanto se lleva mayor parte del momento.
Para elementos con EI constantes el miembro más rígido es aquel que tiene menor longitud.
Cuando en un nudo solo llegan dos elementos con EI iguales, se puede expresar el factor de
distribución en función de las longitudes:
y

6. Analicemos que pasa con los momentos generados en los otros nudos no libres, en este
caso los extremos de elemento empotrados:
Por ecuaciones pendiente deflexión
Esto nos muestra que el momento generado en un extremo fijo cuando el otro extremo se
libera es igual a la mitad del momento del lado que giró.
Esta conclusión nos ayuda mucho en el proceso iterativo porque nos da el valor del
momento generado en el extremo opuesto al liberado, a este valor se le llama momento
trasladado.