Este documento presenta la resolución de dos ejercicios de geometría métrica. En el primer ejercicio, se determina el punto en una recta que equidista de dos planos dados. En el segundo ejercicio, se construye un plano equidistante de los dos planos originales y se calcula su intersección con la recta para encontrar el punto buscado. Ambos ejercicios utilizan fórmulas para calcular distancias a planos y se resuelven sistemas de ecuaciones.

1.
Ejercicio
Resuelto
GEOMETRÍA
(PROBLEMAS
MÉTRICOS)
JOSÉ
MANUEL
GONZÁLEZ
GARCÍA

2.
1. Forma.
Vamos
a
emplear
la
fórmula
con
que
se
calcula
la
distancia
de
un
punto
a
un
plano
d P,π( )=
ax0 + by0 + cz0 + d
a2
+ b2
+ c2
Como
nuestro
punto
pertenece
a
la
recta
r,
vamos
a
expresar
r
en
sus
ecuaciones
paramétricas
para
obtener
la
forma
que
tendrá
un
punto
genérico
de
r.
x = t +1
y = 2t − 2
z = 3t
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
la
forma
de
un
punto
genérico
es
de
la
forma:
Aplicamos
la
fórmula
para
calcular
la
distancia
del
punto
genérico
a
cada
uno
de
los
planos
e
igualaremos
ambas
distancias
para
que
nuestro
punto
equidiste
de
ambos
planos.
Determina
el
punto
o
los
puntos
de
la
recta:
que
equidista
de
los
planos
y
P = t +1,2t − 2,3t( )

3. EJERCICIO
RESUELTO
(
GEOMETRÍA-­‐PROBLEMAS
MÉTRICOS)
3
JOSÉ
MANUEL
GONZÁLEZ
GARCÍA
http://www.aprendeaprobando.p.ht
josema80@gmail.com
667879664
3
para
este
valor
de
t
el
punto
de
la
recta
es

4.
2. Forma.
Vamos
a
construir
un
plano
que
equidiste
de
los
planos
dados,
una
vez
hecho
esto,
calcularemos
el
punto
de
corte
con
la
recta
y
obtendremos
el
punto
de
r
que
equidista
de
ellos.
Calculamos
la
recta
de
intersección
de
y
resolviendo
el
sistema
que
forman:
De
la
recta
de
intersección
necesitaremos
un
punto
y
un
vector
El
otro
vector
que
necesitamos
para
construir
nuestro
plano
lo
obtenemos
sumando
los
vectores
normales
de
cada
plano
dado.
Q =
5
3
,
−1
3
,0
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
v

ds = 1,−1,1( )

5. EJERCICIO
RESUELTO
(
GEOMETRÍA-­‐PROBLEMAS
MÉTRICOS)
5
JOSÉ
MANUEL
GONZÁLEZ
GARCÍA
http://www.aprendeaprobando.p.ht
josema80@gmail.com
667879664
5
calculamos
la
intersección
del
plano
y
la
recta
r
r :
x = t +1
y = 2t − 2
z = 3t
3 t +1( )− 3 2t − 2( )− 6 3t( )− 6 = 0
t =
1
7
P =
8
7
,
−12
7
,
3
7
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟