Situaciones propuestas para el aprendizaje de estudiantes del segundo de secundaria

1. 2019
JORGE LA CHIRA
I,E FRANCISCO BOLOGNESI
29-8-2019
FUNCIONES LINEALES

2. Editado por JORGE LA CHIRA para la I.E. FRANCISCO BOLOGNESI - VENTANILLA
FUNCIONES LINEALES
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FUNCIONES LINEALES
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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO
UBICA Y CALCULA DISTANCIAS
1) Responde:
a. Representa los puntos de los lugares (anexa hoja adicional al módulo)
b. Halla la distancia de: (1) casa de la cultura al estadio (2) museo de oro al estadio (3) plaza
a la alcaldía
c. Calcula la distancia en la gráfica A(0,2) y B(-3,0)

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PRODUCTO CARTESIANO
La profesora de Historia repartió un trabajo formando 3 grupos, la primera parte tiene que
entregar todos, el día lunes y la segunda parte el día Jueves.
El siguiente diagrama representa esta situación, siendo al conjunto de los
grupos A y B el de los días de entrega.
❖ Por diagrama de flechas
Se llama Producto Cartesiano entre dos conjuntos al conjunto formado por todos los pares
ordenados tales que la primera componente pertenece al primer conjunto y la segunda
componente al segundo conjunto.
➢ Por comprensión: A x B = {(x,y) / x Є A ^ y Є B }
➢ Por extensión: A x B = {(1, Lunes),(1,Jueves),(2,Lunes),(2,Jueves),(3,Lunes),(3,Jueves)}
➢ Por tablas
➢ Por gráficos cartesianos
B
A
Lunes Jueves
1 (1, Lunes) (1,Jueves)
2 (2, Lunes) (2,Jueves)
3 (3, Lunes) (3,Jueves)
1 Lunes
2 Jueves
3

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diagramar AxB
2) Dados A={10,20,30} y B={8,9}definir por extensión: AxB , BxA , AxA , BxB
diagramar BxB
Hacer la tabla de doble entrada
3) Resuelve

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RELACIONES
Si Asociamos con flechas las palabras que están en el grupo de la izquierda con el de la derecha
Fito Páez Pirámide
Egipto
Moda
Valeria Maza Fútbol
Tevez Cantante
(Egipto, Pirámide) es un par ordenado
R : A →B
Ejemplo Dados el conjunto A= {1,2,3,4,5,6,7} y B={2,3,4,5,6,7,8}y la relación R:
“es la mitad de” observa el diagrama de Venn y que pares ordenado se formaron
A B R:{(1,2);(2,4);(3,6);(4,8)}
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 8
D R = {1,2,3,4}
C R = {2,4,6,8}
Ejemplo- Si tenemos en cuenta los conjuntos anteriores y queremos formar la relación inversa
es R-1
:” es el doble de” siendo R-1
: B A
Obtendremos R-1
=:{(2,1);(4,2);(6,3);(8,4)}
D R
-1
= {2,4,6,8}
CR
-1
= {1,2,3,4}
Llamamos Dominio de la relación al conjunto
de partida y es un subconjunto de A
(alcance)
Llamamos Codominio de la relación al
conjunto de partida y es un subconjunto de B
(rango)
Se llama RELACIÓN de un conjunto A en otro B al conjunto formado por los pares ordenados
que cumplen una propiedad tal que la primera componente pertenece al primer conjunto y la
segunda componente al segundo conjunto.
A B
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 8
Egipto es el primer elemento llamado
primera componente
Pertenece al conjunto de partida
Pirámide es el segundo elemento
llamado segunda componente
Pertenece al conjunto de llegada

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Ejemplo.- Dado A={4,9,12} y B={3,8,9}si se obtiene su producto cartesiano
AxB ={(4,3),(4,8),(4,9),(9,3),(9,8),(9,9),(12,3),(12,8),(12,19)} y de estos pares se
eligen algunos como los siguientes:
• Los pares que tiene sus
componentes iguales R1 ={(x,y)/ x=y}
R1 ={(9,9)}
• Los pares que tienen la primera componente menor que la segunda
R2 ={(x,y)/ x<y} RELACIONES
R2={(4, 8),(4,9)}
• Los pares que tienen la primera componente múltiplo de la segunda
R3 ={(x,y)/ x Є y }
R3 ={(9,3),(9,9),(12,3)}
Ejemplo.- Dados A={4,-6,0,-2} y B={-5,-3,-1,0,3} y las siguientes relaciones
A.R1 ={(x,y)/ x “es el siguiente de y” }
B. R2 ={(x,y)/ “ x = y + 1” }
C. R3 ={(x,y)/ “ y = x – 1 ” }
a. Define por extensión cada relación
b. Indica el Dominio y Codominio de cada relación
c. Hace la gráfica de cada relación
d. Define por comprensión y extensión R1
-1
4) Resuelve

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8
FUNCIONES
Una función es una relación entre dos variables a las que, en general,
llamaremos x e y.
x es la variable independiente (DOMINIO).
y es la variable dependiente (RANGO).
La
función asocia a cada valor de x un único valor de y. Se dice que y es
función de x, lo que se escribe y = f(x).
Las funciones sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos,
sociológicos o, simplemente, para expresar relaciones matemáticas:
- La distancia recorrida por un móvil al transcurrir el tiempo.
- El volumen de un líquido al aumentar la temperatura.
- El impuesto de circulación que paga un vehículo en una
ciudad sgún la cilindrada del motor del mismo.
- El volumen de una esfera al variar la longitud del radio de la misma.
- Sobre unos ejes cartesianos representamos las dos variables: La x sobre el eje horizontal (eje de
abscisas). La y sobre el eje vertical (eje de ordenadas).
- Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, la abscisa x y la ordenada y.
- El tramo de valores de x para los cuales hay valores de y se llama dominio de definición de la función.
- Los ejes deben estar graduados con las correspondientes escalas para que puedan cuantificarse los
valores de las dos variables.

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¿Cuándo una gráfica no corresponde a una función?
De las dos gráficas que se muestran a continuación, la de la izquierda corresponde a
una función y la derecha no. Observa:
En ésta a cada valor de x de la variable
independiente (eje de abscisas) le corresponde
un único valor imagen y de la variable
dependiente (ordenadas).
En ésta hay algunos valores de la variable
independiente x a los que corresponden más de
un valor de la dependiente , lo que contradice la
definición de función.
Para reconocer si una relación es función se analiza existencia y unicidad: debe
existir para cada elemento del conjunto de partida una imagen y ésta debe ser
única
5) Indica cuales son funciones y cuales no lo son (justifica tu respuesta)
a) b) c) d) e)
g i

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Representación de una FUNCION Mediante su representación gráfica.
La cotización en bolsa de un determinado producto en los primeros 10 días en que se sacó a bolsa es la
función representada en la imagen anterior.
Como mejor podemos apreciar el comportamiento global de una función es mediante su representación
gráfica, por eso, siempre nos será de mucha utilidad conseguir representar la función si no nos la dan ya
representada.
La variable independiente sería el tiempo en días y la variable dependiente el valor de cotización del
producto en miles de euros.
Representación de una FUNCION Mediante su expresión analítica o fórmula.
Este enunciado representa una función que describe la distancia a la que se
encuentra Alberto según el instante entre las 8.30 y las 9.00 de la mañana, y su
gráfica aproximada es la representada a la derecha.
"Un padre que estuvo observando desde el balcón a su hijo Alberto como iba al colegio:
.-De casa salió a las 8.30 y fue seguidito hasta casa de su amigo Tomás. Lo esperó un rato sentado en el
banco y luego se fueron juntos, muy despacio, hacia el colegio.
Cuando ya estaban llegando, mi hijo se dio cuenta de que se había dejado la cartera en el banco; volvió
corriendo, la recogió y llegó a la
escuela a las 9 en punto."

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CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

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x x
x
x
x
6) Clasificar las siguientes funciones
a) y b) y c) y d) y
x
d) y f) y g) y h) y
x x
7) Decidir razonadamente si las siguientes correspondencias son funciones o no. En las que sí lo sean,
indicar cuál representa la variable independiente y cuál la dependiente.
a. A todo número natural se le hace corresponder su número natural siguiente.
b. A todo número natural se le asocian sus divisores.
c. A cada día del año se le asocia la cotización del euro frente al dólar.
d. A todo número fraccionario se le asocia su inverso.
e. A todo número se le asocia su raíz cuadrada.
f. A cada fase de la luna le asociamos la fecha en la que se da dicha fase.
g. A todo número se le asocia su doble más siete.
8) El gráfico muestra la distancia recorrida por un automóvil a medida que transcurre el tiempo
De acuerdo con el gráfico respondan:
a) ¿Qué distancia recorrió en las primeras 2 horas de marcha?..............
b) ¿Durante cuanto tiempo estuvo detenido?...........................................
c) ¿Cuánto tardó en recorrer 300 metros?................................................
d) ¿Qué distancia recorrió entre las paradas?..........................................
e) ¿Cuántos kilómetros recorrió durante las últimas 3 hs?.....................
x
x

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9) De acuerdo al gráfico que muestra la evolución del peso de un varón y una
mujer en los primeros 15 años de su vida; respondan las siguientes preguntas:
a) ¿Cuáles son las variables relacionadas?.........................................
b) ¿Cuál fue el peso del varón a los 5 años?.......................................
c) ¿Cuál fue el peso de la mujer a los 10 años?..................................
d) ¿A qué edad el varón pesó 35 kg?..................................................
e) ¿A qué edad la mujer pesó 45kg?..................................................
f) ¿Entre qué edades la mujer pesó más que el varón?..........................................................
10) Esta gráfica muestra la evolución de la audiencia de radio en Perú en un día
promedio del año 1993. El porcentaje se refiere a toda la población española de 14
años o más.
• ¿Entre qué horas se realiza la medida?
• ¿En qué horas del día aumenta el porcentaje de personas que escuchan la radio? ¿Cuándo disminuye?
• ¿En qué momento de la mañana es máximo el porcentaje de oyentes?
• ¿Cuál es el máximo de la tarde? ¿Y de la noche?
• ¿Cuál es el porcentaje de oyentes a las 8 de la mañana? ¿Y a las 9 de la noche?

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¿Cómo se grafica una función lineal?
Podemos utilizar:
 Una tabla de valores
 La ordenada al origen y la pendiente de la recta

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FUNCIONES LINEALES
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➔ Grafica los puntos hallados en los ejes cartesianos y luego procede
a unir esos puntos.
Vamos a dar un ejemplo: Graficar la función y = 3x +2
Así quedará determinada la recta correspondiente a la función y = 3x + 2

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
 Ahora vamos a graficar utilizando la pendiente y la ordenada al origen
I- La ordenada al origen (b) vale 2 en nuestra función, por lo tanto
marcamos ese valor sobre el eje y.
II- A partir del punto que marcamos sobre el eje y ubicamos el otro punto de la recta
utilizando la pendiente: en nuestra función a vale 3, es decir
3
.
1
cada 1 unidad que “avanzo” en el eje x, la recta sube 3 unidades en el eje y
Subo 3
Avanzo 1

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FUNCIONES LINEALES
1
y = 3 x
11) Representar las siguientes funciones lineales, hallar los ceros y marcar la pendiente y la
ordenada:
12) Las siguientes tablas se realizaron en un videoclub, ya que sabemos cuántas películas
lleva cada persona, existe un solo precio a pagar y por día se alquila un número determinado de
películas
Videos
alquilados
Costo del
video en $
Día de la
semana
Películas
alquiladas
1 3 Lunes 30
3 9 Martes 25
5 15 Miércoles 25
8 24 Jueves 20
10 30 Viernes 100
Sábado 120
Domingo 80
Una de las tablas se puede expresar a través de una operación matemática.
Si llamamos x a la cantidad de películas que alquila una persona y sabemos cuánto cuesta el alquilerel costo
a) ¿Las funciones que se pueden definir por fórmulas nos permiten conocer el valor de una
de las variables si sabemos el de la otra?........................
b) Si Mara lleva 5 películas ¿Cuánto debe pagar?..........................................................
c) Si Mara pagó $ 30 ¿Cuántas películas llevó?............................................................
d) Grafiquen la tabla anterior (en hoja cuadriculada)
e) ¿Qué número obtenemos al dividir cada valor costo por su correspondiente valor de la cantidad de videos
alquilados?..................................
13) Sebastián contrató el servicio telefónico de Internet a una empresa que cobra por el
servicio $ 25 fijos por mes, más $ 0,50 la hora de conexión.
Entre las magnitudes (en h) y costo total (en $) existe una función que asigna a la cantidad
de horas de conexión un costo más un precio fijo.
a) ¿Pueden calcular el precio total mediante una fórmula?..........
b) ¿Cuál es el costo? y = ...............................
c) Realiza la tabla con 5 valores para la variable independiente y luego grafica
(en hoja cuadriculada)
d) ¿Qué número obtenemos al dividir cada variable dependiente por la
correspondiente variable independiente?............................
e) ¿Cuál es el costo total de un mes, si utilizó el servicio durante 120 hs?
…………………………………………………………………………………….
f) Si pagó $ 100 ¿Cuánto tiempo utilizó el servicio durante ese mes?
…………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

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14) Una vendedora de cosméticos cobra un sueldo fijo de $ 50 más una comisión
de $ 15 por cada producto vendido.
a) Escribir la fórmula de la función que permite calcular su ganancia.
b) Si vendió 20 productos, ¿cuánto cobró?.
c) Si cobró $ 110 ¿Cuánto vendió?
d) Graficar la función.
15) Patricia se va de viaje al exterior y decidió alquilar un teléfono celular durante
su estadía. Le ofrecen dos opciones: el modelo A, que es el más sencillo, tiene un
costo de $ 0,50 por minuto de comunicación, mientras que el modelo B, que tiene
contestador automático le pide $ 3 en concepto de seguro más $ 0,50 por minuto de
comunicación
a) Completar las tablas
Modelo A Modelo B
b) Escribir una fórmula para cada situación
c) Graficar ¿Cómo resultan las rectas?
16) Se visitan tres empresas con el propósito de alquilar un auto.
En la empresa A, el costo es de $ 70 por día. En la empresa B, el costo es de $30 en concepto de gastos
administrativos y $ 3,3 por cada kilómetro recorrido. En la empresa C, cobran el alquiler por 10 días o
fracción: $ 500 con kilometraje ilimitado.
Para cada empresa establecer.¿ Cuál es la variable y la fórmula del costo en función
de dicha variable?
Graficar
Empresa Variable Fórmula del costo Gráfico
A
B
C
............................
............................
...........................
.................................
..................................
¿En qué empresa saldría más económico alquilar el auto si necesito hacer un viaje de
2000km, distribuidos en 15 días?
17)..
Min Costo Min Costo
0 0
0.50 3,50
2 2
1,50 4,50

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FUNCIONES LINEALES
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18) La fuerza que hace un resorte está directamente relacionada con su
estiramiento. Si lo estiro el doble, hace el doble de fuerza.
a) Graficar el comportamiento del resorte cuyos valores están en la siguiente tabla:
Estiramiento (Cm.) Fuerza (Kgf)
0 0
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
b) ¿Cómo es la fórmula de la función que representa a este resorte?
c) ¿Qué estiramiento sufrirá un resorte de este tipo al estar sometido a una fuerza de 35 kgf?
19) La siguiente tabla muestra los datos recogidos respecto a la
longitud del feto durante el embarazo según las semanas de gestación:
• Usando la tabla de valores, representa gráficamente la función.
• Señala cuál es la variable independiente y cuál la dependiente y en
qué se mide cada una.
• Durante las primeras dos o tres semanas de
gestación el feto es casi microscópico. ¿Cuánto
medirá cuando la gestación sea de 12 semanas y
media?
• ¿Cuál es la longitud que suele tener un niño al nacer?
• Si la expresión P = 0,025·L3 nos da de forma aproximada el
peso del feto en gramos según su longitud L en centímetros.
• Construye la correspondiente tabla y dibuja la gráfica de la función
que representa el peso en gramos del feto según la semana de
gestación.
20) Un remonte de una pista de montaña funciona de 9 de la mañana a 4 de la tarde y su
recorrido es el siguiente:
Desde la salida hasta la pista, que está a 1200 m, tarda 15 minutos. Se para
en la pista 15 min. Baja hasta la base en 10 minutos. Está parado 20 min, y
empieza de nuevo el recorrido.
• Dibuja la gráfica que representa el recorrido del remonte.
• ¿Cuál es la posición del remonte a las 12 h 30 min?¿Y a las 12 h 20 min?
• ¿Observas alguna característica especial en la gráfica?. Coméntala.
x y
5 1
10 7
15 15
20 25
25 35
30 42
35 48
40 52

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5
6